数学建模第二章课件
合集下载
数学建模2-2-课件
m yk m1 yk 1 m1 yk
为了便于计算与应用，通常采用表格形式计算差分，如表2.4.1所示。
表 2.4.1
x
x
k
y y
k
y y y
0
k
y
2
k
y
3
k
y
4
k
0
0
x
x x x
1
y
y y y
y
2
0
1
y
3
1
0
yi
2
2
y y
y
2
1
2
y
3
1
3
y
2
2
3
3
4
4
科学计算与数学建模
第2章 城市供水量的预测模型
中南大学数学与统计学院
2.4 求插值多项式的Newton法
由线性代数可知，任何一个不高于n 次的多项式，都可表示成函 数 1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ),, ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) 的线性 组合，即可将满足插值条件 P( xi ) yi (i 0,1,, n) 的n 次多项式写 成形式 a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
因此，牛顿插值多项式 Nn x 是插值多项式P x 的另一种表示形 n 式,与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了“增加一个节点时整个 计算机工作必须重新开始”﹙见例2.3.1﹚的缺点，而且可以节省乘﹑ 除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念， 又与数值计算的其它方面有着密切的关系.
为了便于计算与应用，通常采用表格形式计算差分，如表2.4.1所示。
表 2.4.1
x
x
k
y y
k
y y y
0
k
y
2
k
y
3
k
y
4
k
0
0
x
x x x
1
y
y y y
y
2
0
1
y
3
1
0
yi
2
2
y y
y
2
1
2
y
3
1
3
y
2
2
3
3
4
4
科学计算与数学建模
第2章 城市供水量的预测模型
中南大学数学与统计学院
2.4 求插值多项式的Newton法
由线性代数可知，任何一个不高于n 次的多项式，都可表示成函 数 1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ),, ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) 的线性 组合，即可将满足插值条件 P( xi ) yi (i 0,1,, n) 的n 次多项式写 成形式 a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
因此，牛顿插值多项式 Nn x 是插值多项式P x 的另一种表示形 n 式,与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了“增加一个节点时整个 计算机工作必须重新开始”﹙见例2.3.1﹚的缺点，而且可以节省乘﹑ 除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念， 又与数值计算的其它方面有着密切的关系.
数学建模 第二讲
历史背景: 然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在 埃牟斯的门徒”是范· 梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画 已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰 特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范· 梅格伦曾 因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制“在埃牟 斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后， 他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多 么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这 种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地 证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。这一问题一直拖 了20年，直到1967年，才被卡内基· 梅伦（Carnegie-Mellon） 大学的科学家们基本上解决。
dN dt N
放射性定理
常数λ是正的，称为该物质的衰变常数 ， 物质的衰变常数λ越大，衰变的越快。 变速度的一种度量就是半衰期，它定义为一定数 量的放射性原子衰变到一半时所需的时间。
用λ来计算半衰期T:
dN dt N (t0 ) N 0 N
其解为:
令 N N0 1 2
N (t ) N 0 e
§1 微分方程的简单应用 一、物体达到的最大高度
问题：在地面上以初速度 v 铅直向上射一物 体，设地球引力与物体到地心距离平方成反比， 求物体可能达到的最大高度。若物体脱离太阳 v 系，则 应为多少？
0
0
解：已知地球半径R＝6370公里，假设空气阻力不 计（仅讨论此简单情况）。 设在t时刻物体的高度为S＝S(t)，
共轭复根λ1, λ2 = p ± iq 时， y = e px( c1 cos qx ＋c2 sin qx )。
13
λx
数学建模第二章
* *
方程的根：实根、虚根。全局的根、 方程的根：实根、虚根。全局的根、局部 的根。单根、重根。 的根。单根、重根。
介值定理 若函数 则方程
] f ( x在 [ a , b连续，且 ) 连续，
f ( a ) f (b ) < 0
f ( x ) = 0 ( a , b内至少有一个实根。 ) 内至少有一个实根。 在
x k +1
f ( xk ) ,k = 0,1,2, L = xk − f ′( x k )
2.1.2 非线性方程求解的MATLAB实现 非线性方程求解的MATLAB实现 MATLAB
MATLAB是matrix laboratory(矩阵实验室 的缩 是 矩阵实验室)的缩 矩阵实验室 软件包是由美国MathWorks公司 写， MATLAB软件包是由美国 软件包是由美国 公司 推出的。目前最为流行的版本MATLAB6.5，其最 推出的。目前最为流行的版本 ， 高版本已达到MATLAB7.7。 高版本已达到 。 对计算机编程与数值计算，之所以感到困难是因 对计算机编程与数值计算， 为受到编程技术与数学算法的制约 MATLAB对于问题的表达方式几乎与问题的数学 对于问题的表达方式几乎与问题的数学 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强， 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强，便 于进行科学工程计算的应用软件。 于进行科学工程计算的应用软件。
模型求解
利用MATLAB软件求解，见MATLAB界面操作 软件求解， 利用 软件求解 界面操作 第二问： 第二问：反复利用递推式可得
xn +1 = (1 + p ) xn − Q = (1 + p ) 2 xn −1 − (1 + p )Q − Q = (1 + p ) n x1 − [(1 + p ) n −1 + (1 + p ) n − 2 + L + (1 + p ) + 1]Q (1 + p ) n − 1 = (1 + p ) n x1 − Q p
方程的根：实根、虚根。全局的根、 方程的根：实根、虚根。全局的根、局部 的根。单根、重根。 的根。单根、重根。
介值定理 若函数 则方程
] f ( x在 [ a , b连续，且 ) 连续，
f ( a ) f (b ) < 0
f ( x ) = 0 ( a , b内至少有一个实根。 ) 内至少有一个实根。 在
x k +1
f ( xk ) ,k = 0,1,2, L = xk − f ′( x k )
2.1.2 非线性方程求解的MATLAB实现 非线性方程求解的MATLAB实现 MATLAB
MATLAB是matrix laboratory(矩阵实验室 的缩 是 矩阵实验室)的缩 矩阵实验室 软件包是由美国MathWorks公司 写， MATLAB软件包是由美国 软件包是由美国 公司 推出的。目前最为流行的版本MATLAB6.5，其最 推出的。目前最为流行的版本 ， 高版本已达到MATLAB7.7。 高版本已达到 。 对计算机编程与数值计算，之所以感到困难是因 对计算机编程与数值计算， 为受到编程技术与数学算法的制约 MATLAB对于问题的表达方式几乎与问题的数学 对于问题的表达方式几乎与问题的数学 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强， 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强，便 于进行科学工程计算的应用软件。 于进行科学工程计算的应用软件。
模型求解
利用MATLAB软件求解，见MATLAB界面操作 软件求解， 利用 软件求解 界面操作 第二问： 第二问：反复利用递推式可得
xn +1 = (1 + p ) xn − Q = (1 + p ) 2 xn −1 − (1 + p )Q − Q = (1 + p ) n x1 − [(1 + p ) n −1 + (1 + p ) n − 2 + L + (1 + p ) + 1]Q (1 + p ) n − 1 = (1 + p ) n x1 − Q p
数学建模第二章课件
第二章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
数学建模简明教程课件-第1-2章
第1章数学建模概论随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。
生物、医学、军事、社会、经济、管理等各学科、各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。
利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是要建立恰当的数学模型，简称数学建模，数学建模正在越来越广泛地受到人们的重视。
从这一意义上讲，数学建模被看成是科学研究和技术开发的基础。
没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，从这一意义上讲，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键步骤之一。
1.1 数学模型与数学建模1.1.1 模型的概念在日常生活和工作中，人们经常会遇到或用到各种模型，如飞机模型、水坝模型、火箭模型、人造卫星模型、大型水电站模型等实物模型；也有文字、符号、图表、公式、框图等描述客观事物的某些特征和内在联系的模型，如模拟模型、数学模型等抽象模型。
模型是客观事物的一种简化的表示和体现，它应具有如下的特点：1.它是客观事物的一种模仿或抽象；它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运行的理解，为了使模型成为帮助人们合理进行思考的一种工具，因此要用一种简化的方式来表现一个复杂的系统或现象。
2.为了能协助人们解决问题，模型必须具备所研究系统的基本特征和要素。
此外，还应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系。
有了这样的一个模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的效果。
模型可以分为实物（形象）模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数学模型。
对我们来说，最感兴趣的是数学模型。
与上述的各种各样的模型相对应的是它们在现实世界中的原型（原始参照物）。
所谓原型，是指人们研究或从事生产、管理的实际对象，也就是系统科学中所说的实际系统，如电力系统、生态系统、社会经济系统等。
而模型则是指为了某个特定目的，将原型进行适当地简化、提炼而构造的一种原型替代物。
数学建模 - 第二章 线性规划及单纯形法
p j a1 j , a2 j ,, amj 为A的第j列向量
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
数学建模第二章 非线性规划
数学建模
线性规划与非线性规划的区别 如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行 域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线 性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的 任意一点达到。 3.1.2 非线性规划的Matlab 解法 Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式
数学建模
数学建模
解 设投资决策变量为
则投资总额为
，投资总收益为
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金 额不能超过总资金A ，故有限制条件
由于) xi (i = 1,…. , n 只取值0 或1，所以还有
数学建模
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案， 所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量 （取0 或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。 因此，其数学模型为：
就可以求得当x1=0.5522, x2=1.2033, x3=0.9478 时，最小 值 y = 10.6511 。
3.2 Matlab 求无约束极值问题 3.2.2 无约束极值问题的数值解 在Matlab 工具箱中，用于求解无约束极值问题的函数有 fminunc 和fminsearch，用法介绍如下。
数学建模
例2 求下列非线性规划
数学建模
解 （i）%编写M 文件fun1.m 定义目标函数
function f=fun1(x); f=sum(x.^2)+8;
（ii）编写M文件fun2.m定义非线性约束条件 function [g,h]=fun2(x); G=-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2 x(2)+2*x(3)^2-3; %非线性等式约束
第二章 机电一体化系统数学建模(新)ppt课件
电动机x(Mt)(t) (t) m 电动机 M (t) (t) m
m
x(t)
x(t)
m
(t)
(t) M(t)
x(t)
x(t) (t)
m
r
M(t)
x(t)
m
r
丝杠螺母副
(a) (t) M(t)
M(t) (b)
小齿轮齿条副
(c)
(a)
(b)
(c)
x(t)
x(t)
x(t)
m
(t) m
r
(t) M(t)
k
b
x1
m
拉氏变换：
(s22 nsn 2)X(s)A (s)F m (s)
x2 f (t)
由加速度作为输入、质点相对壳体的位移作为输出，系统的传递函数为：
X(s) A(s)
s221nsn2
精选PPT课件
8
2.1 质点平移系统
问题2 质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。m1代表汽车质量， B代表振动阻尼器，K1为弹簧，m2为轮子的质量，K2为轮胎的弹性，建立质点平 移系统数学模型。
2.3.2 速比折合 齿轮传动系统
n12
2 1
2 1
M1 M2
J 1d d 2 t2 1 B 1d d t11 2(J2d d 2 t2 2 B 2d d t2 M 0) M i
(J 1 n 1 2 2 J2 )d d 2 t2 1 (B 1 n 1 2 2 B 2 )d d t1 M i n 1 2 M 0
精选PPT课件
11
2.1 质点平移系统
习题1 图示机械平移系统的传递函数，并画出它们的动态结构方框图。
精选PPT课件
12
m
x(t)
x(t)
m
(t)
(t) M(t)
x(t)
x(t) (t)
m
r
M(t)
x(t)
m
r
丝杠螺母副
(a) (t) M(t)
M(t) (b)
小齿轮齿条副
(c)
(a)
(b)
(c)
x(t)
x(t)
x(t)
m
(t) m
r
(t) M(t)
k
b
x1
m
拉氏变换：
(s22 nsn 2)X(s)A (s)F m (s)
x2 f (t)
由加速度作为输入、质点相对壳体的位移作为输出，系统的传递函数为：
X(s) A(s)
s221nsn2
精选PPT课件
8
2.1 质点平移系统
问题2 质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。m1代表汽车质量， B代表振动阻尼器，K1为弹簧，m2为轮子的质量，K2为轮胎的弹性，建立质点平 移系统数学模型。
2.3.2 速比折合 齿轮传动系统
n12
2 1
2 1
M1 M2
J 1d d 2 t2 1 B 1d d t11 2(J2d d 2 t2 2 B 2d d t2 M 0) M i
(J 1 n 1 2 2 J2 )d d 2 t2 1 (B 1 n 1 2 2 B 2 )d d t1 M i n 1 2 M 0
精选PPT课件
11
2.1 质点平移系统
习题1 图示机械平移系统的传递函数，并画出它们的动态结构方框图。
精选PPT课件
12
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y2 •设作者选择A、B两家出版社所得的报酬分别为 y1 ， （单位：元），销售量为 n册，书的定价为 p 元∕本。
二、模型的分析与建立
出版社给作家的报酬 y（单位：元）为版税与稿酬之和。
出版社A给作家的稿酬为：
6% n p, 0 n 3000 y1 8% n-3000 p 2 n 300 6% 3000 p, n 3000
将问题中的已知数据代入模型，得
I 5.5%-3% x 100 3%
2.5% x 3 0 x 100
问题（2）
由问题（1）建立的模型可以看出来，老人的年收入 I 与购 买公司债券的金额 x 万元有关。已知年收入 I 4.5万元，要 求投资公司债券的金额 x 。
4.模型求解。
应当借助 计算Байду номын сангаас 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
数学建模流程图解
问题分析
模型评价 模型应用
模型假设 符号设定
建立模型
N
Y
模型检验
模型求解
1.4 数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口,生态,交通,环境,经济等 初等数学,网络,微分方程, 运筹,随机模型等
表现特性
确定和随机
•设小王的租车费用为y 元，汽车行驶了
x
km。
二、模型的分析与建立
由问题知道，小王共租用了5天汽车。小王的租车用为5 x 元为基本租金200×5与汽车行驶里程费用 之和。因此租 车费用 y 与车程 x 之间的关系为
y 200 5 5 x
三、模型求解
将2800代入上式，得
2800 1000 5 x
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
即
6% n p,0 n 3000 y1 8% n p 2 n 60 p 6000, n 3000
出版社B给作家的报酬为： 0, 0 n 4000 y2 10% n 4000 p 3 n 4000 , n 4000 即
第二章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
思考2：餐馆中洗盘子问题
餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是 这样清洗盘子的：先用冷水粗洗一下，再放进热水池 洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低， 否则洗不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一 池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下。
数学建模的一般步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要 的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构建模—— 即建立数学模型。 在难以得出解析解时，也
二、模型的分析、建立与求解 问题（1）
老人的年收入 I （单位：万元）为购买公司债券的红利收入x r1 与银行存款的利息收入100 x r1 之和。 因此建立模型如下：
I x r1 100 x r2
0 x 100
即：
I r1 r2 x 100 r2
将年收入4.5万元代入模型
得
4.5 2.5% x 3
解之，得
x 60 （万元）
所以如果老人希望获得45000元的年收入，则至少 要购买60万元的公司债券。
问题三：出版的稿酬模型
有两家出版社正在竞争一部新作的出版权。 A出版社给作者的稿酬为：前3000册提供6%的版税； 超过3000册部分支付8%的版税另加每本2元稿酬。
离散和连续
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述,分析,预报,决策,控制等
白箱 灰箱 黑箱
1.5 数学建模与能力的培养
①数学建模实践的每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 数学建模与其 调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理 说是一门技术,不 能力等。在提出假设时，又需要用到 想象力和归纳 简化 如说是一门艺术 . 开设数学建模课的主要目的为了提高学 能力。 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 技术大致有章可. 题的本领。撰写论文的初步方法 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 循,艺术无法归纳 前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继 成普遍适用的准 续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果 则. 用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在 尽可能短的时间内查到并学会想应用的知识的本领。 ③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
0,0 n 4000 y2 10% n p 3 n 400 p 12000, n 4000
三、模型求解
y2 均为分段函数， 这里 y1 ，
当n 4000 时，显然 y1 y2 0
，所以选择A出版社；
当 n 4000 时，令 y1 y2 ， 即
二、模型假设与变量说明
• 小王在国庆前一天到租车公司取了车，同时交付了 1000元押金。假期第5天下午5时，他还车时支付了 2800元租车费（含押金）。问小王驾车行驶了多少 千米？
一、模型假设与变量说明
•假设小王在租车期间没有造成汽车损坏，2800元租车 费为基本租金与驾车里程收费之和。 •假设租车时间不到一天按一天计。
三、模型的分析与建立
所用地砖的数量 表示取上整。 a / di b / di ，其中 所用材料的面积 ( a / di di ) ( b / di di ) 浪费面积 ( a / di di ) ( b / di di ) ab 按题目要求：求浪费的材料最少，即
S
思考1：淋雨量问题
一个雨天，你有急事需要从家到学校去，学校离家 仅1km，且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具， 决定碰一下运气，冒着雨去学校。而出发雨就大了， 但你不打算再回去，一路上，你将被大雨淋湿。
,
一个似乎很简单的考虑是你应该在雨中尽可能地快 走，以减少淋雨的时间。但如果考虑到降雨方向的变 化，在全部路程上尽力地快跑是不是最好的策略？试 建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能降低淋雨的 程度。
• 假设房间地面为一个标准的长方形 • 假设玻化砖均为标准的正方形，三种型号地砖的 边长分别为0.5m，0.6m，0.8m.
• 不考虑玻化砖之间的缝隙、房屋尺寸的误差以及 瓷砖尺寸的误差等等。
• 假设一间屋用同一型号的地砖。 • 假设一块地砖被切割后，余料不能再用。 • 设测得房间的长为a m，宽为b m. •设三种型号规格的地砖的边长分别为di（i=1,2,3）
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
一、模型假设与变量说明
•假设不考虑投资公司债券的风险。 •假设公司债券的红利与银行的利息都按年支付， 且利率固定。 •假设老人将1百万全部用来购买公司债券或存入银 行，没有闲臵。 •假设老人的年收入为 I （万元），购买公司债券的金额为 x 万元，则存入银行的金额为100 x 万元，公司债券的年回报率 为 r1 ，银行存款的年利率为 r2 。
( a / di di ) ( b / di di ) ab 最小
简记为 min( a / di di ) (b / di ) ab 这就是要建立的数学模型。
五、模型的分析与检验
• 在实际装修中，工人师傅一般会在正式铺地砖之 前进行预铺，以调节误差，使铺出的地砖整齐、 美观。因此，建模时可以不考虑各种误差。我们 所得结果与实际情况吻合，模型正确实用。 • 把模型分析的结果返回到实际所研究的对象中， 如果检验的结果不符合或部分符合实际情况，那 么我们必须 回到建模之初，修改、补充假设，重 新建模；如果检验结果与实际情况相符，则进行 最后的工作——模型的应用。
二、模型的分析与建立
出版社给作家的报酬 y（单位：元）为版税与稿酬之和。
出版社A给作家的稿酬为：
6% n p, 0 n 3000 y1 8% n-3000 p 2 n 300 6% 3000 p, n 3000
将问题中的已知数据代入模型，得
I 5.5%-3% x 100 3%
2.5% x 3 0 x 100
问题（2）
由问题（1）建立的模型可以看出来，老人的年收入 I 与购 买公司债券的金额 x 万元有关。已知年收入 I 4.5万元，要 求投资公司债券的金额 x 。
4.模型求解。
应当借助 计算Байду номын сангаас 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
数学建模流程图解
问题分析
模型评价 模型应用
模型假设 符号设定
建立模型
N
Y
模型检验
模型求解
1.4 数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口,生态,交通,环境,经济等 初等数学,网络,微分方程, 运筹,随机模型等
表现特性
确定和随机
•设小王的租车费用为y 元，汽车行驶了
x
km。
二、模型的分析与建立
由问题知道，小王共租用了5天汽车。小王的租车用为5 x 元为基本租金200×5与汽车行驶里程费用 之和。因此租 车费用 y 与车程 x 之间的关系为
y 200 5 5 x
三、模型求解
将2800代入上式，得
2800 1000 5 x
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
即
6% n p,0 n 3000 y1 8% n p 2 n 60 p 6000, n 3000
出版社B给作家的报酬为： 0, 0 n 4000 y2 10% n 4000 p 3 n 4000 , n 4000 即
第二章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
思考2：餐馆中洗盘子问题
餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是 这样清洗盘子的：先用冷水粗洗一下，再放进热水池 洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低， 否则洗不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一 池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下。
数学建模的一般步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要 的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构建模—— 即建立数学模型。 在难以得出解析解时，也
二、模型的分析、建立与求解 问题（1）
老人的年收入 I （单位：万元）为购买公司债券的红利收入x r1 与银行存款的利息收入100 x r1 之和。 因此建立模型如下：
I x r1 100 x r2
0 x 100
即：
I r1 r2 x 100 r2
将年收入4.5万元代入模型
得
4.5 2.5% x 3
解之，得
x 60 （万元）
所以如果老人希望获得45000元的年收入，则至少 要购买60万元的公司债券。
问题三：出版的稿酬模型
有两家出版社正在竞争一部新作的出版权。 A出版社给作者的稿酬为：前3000册提供6%的版税； 超过3000册部分支付8%的版税另加每本2元稿酬。
离散和连续
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述,分析,预报,决策,控制等
白箱 灰箱 黑箱
1.5 数学建模与能力的培养
①数学建模实践的每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 数学建模与其 调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理 说是一门技术,不 能力等。在提出假设时，又需要用到 想象力和归纳 简化 如说是一门艺术 . 开设数学建模课的主要目的为了提高学 能力。 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 技术大致有章可. 题的本领。撰写论文的初步方法 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 循,艺术无法归纳 前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继 成普遍适用的准 续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果 则. 用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在 尽可能短的时间内查到并学会想应用的知识的本领。 ③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
0,0 n 4000 y2 10% n p 3 n 400 p 12000, n 4000
三、模型求解
y2 均为分段函数， 这里 y1 ，
当n 4000 时，显然 y1 y2 0
，所以选择A出版社；
当 n 4000 时，令 y1 y2 ， 即
二、模型假设与变量说明
• 小王在国庆前一天到租车公司取了车，同时交付了 1000元押金。假期第5天下午5时，他还车时支付了 2800元租车费（含押金）。问小王驾车行驶了多少 千米？
一、模型假设与变量说明
•假设小王在租车期间没有造成汽车损坏，2800元租车 费为基本租金与驾车里程收费之和。 •假设租车时间不到一天按一天计。
三、模型的分析与建立
所用地砖的数量 表示取上整。 a / di b / di ，其中 所用材料的面积 ( a / di di ) ( b / di di ) 浪费面积 ( a / di di ) ( b / di di ) ab 按题目要求：求浪费的材料最少，即
S
思考1：淋雨量问题
一个雨天，你有急事需要从家到学校去，学校离家 仅1km，且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具， 决定碰一下运气，冒着雨去学校。而出发雨就大了， 但你不打算再回去，一路上，你将被大雨淋湿。
,
一个似乎很简单的考虑是你应该在雨中尽可能地快 走，以减少淋雨的时间。但如果考虑到降雨方向的变 化，在全部路程上尽力地快跑是不是最好的策略？试 建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能降低淋雨的 程度。
• 假设房间地面为一个标准的长方形 • 假设玻化砖均为标准的正方形，三种型号地砖的 边长分别为0.5m，0.6m，0.8m.
• 不考虑玻化砖之间的缝隙、房屋尺寸的误差以及 瓷砖尺寸的误差等等。
• 假设一间屋用同一型号的地砖。 • 假设一块地砖被切割后，余料不能再用。 • 设测得房间的长为a m，宽为b m. •设三种型号规格的地砖的边长分别为di（i=1,2,3）
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
一、模型假设与变量说明
•假设不考虑投资公司债券的风险。 •假设公司债券的红利与银行的利息都按年支付， 且利率固定。 •假设老人将1百万全部用来购买公司债券或存入银 行，没有闲臵。 •假设老人的年收入为 I （万元），购买公司债券的金额为 x 万元，则存入银行的金额为100 x 万元，公司债券的年回报率 为 r1 ，银行存款的年利率为 r2 。
( a / di di ) ( b / di di ) ab 最小
简记为 min( a / di di ) (b / di ) ab 这就是要建立的数学模型。
五、模型的分析与检验
• 在实际装修中，工人师傅一般会在正式铺地砖之 前进行预铺，以调节误差，使铺出的地砖整齐、 美观。因此，建模时可以不考虑各种误差。我们 所得结果与实际情况吻合，模型正确实用。 • 把模型分析的结果返回到实际所研究的对象中， 如果检验的结果不符合或部分符合实际情况，那 么我们必须 回到建模之初，修改、补充假设，重 新建模；如果检验结果与实际情况相符，则进行 最后的工作——模型的应用。