数学建模：第五章 运筹与优化模型
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数学建模第四章运筹和优化
4-4 变分法模型（6）
4-4 变分法模型（7）
4-4 变分法模型（8）
4-4 变分法模型（9）
4-4 变分法模型（10）
4-4 变分法模型（11）
4-4 变分法模型（12）
然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积
分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分
学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆
长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学
院并任首任院长。
•
1716年11月14日，莱布尼兹在汉诺威逝世，终年70岁。
4-4 变分法模型（5）
4-1 线性规划模型（21）
4-1 线性规划模型（22）
4-41-1 线线性性规规划划模模型型（（232）3）
4-1 线性规划模型（24）
4-1 线性规划模型（25）
4-1 线性规划模型（26）
4-1 线性规划模型（27）
பைடு நூலகம் 4-1 线性规划模型（28）
4-1 线性规划模型（29）
4-1 线性规划模型（30）
期的数学，并获得了哲学硕士学位。
•
20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。这一年，他发表了第一
篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基
本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论
文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。
莱布尼兹（3）
•
莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外
纳什2
纳什3
• 简介 约翰•纳什（JOHN
F.NASH）美国人 (1928- )由 于他与另外两位数学家在非 合作博弈的均衡分析理论方 面做出了开创性的贡献，对 博弈论和经济学产生了重大 影响，而获得1994年诺贝尔 经济奖。
数学建模 运输问题 送货问题
数学建模论文题目:送货问题学院(直属系):数学与计算机学院年级、专业:2010级信息与计算科学姓名:杨尚安刘洋谭笑指导教师:蒲俊完成时间:2012年3月20日摘要本文讨论的是货运公司的运输问题，根据各公司需求和运输路线图，建立了线性规划模型和0-1规划模型，对货运公司的出车安排进行了分析和优化，得出运费最小的调度方案。
对于问题一，由于车辆在途中不能掉头，出车成本固定，要使得总成本最小，即要使在一定的车辆数下，既满足各公司的需求，又要尽量减小出车次数。
故以最小出车数为目标函数，建立线性规划模型，并通过lingo求解，得出最小出车数27次。
接着考虑车的方向问题，出车分为顺时针和逆时针，建立0-1模型，并求解，得出满足问题一的调度方案（见附录表1）。
对于问题二，车辆允许掉头，加上车辆装载货物和空装时运输费不同，，要使总成本最小，故可以通过修改原目标函数，建立线性规划模型和0-1规划模型，求解，得出最佳派出车辆3辆并列出满足问题二的调度方案。
对于问题三第一小问，增加了运输车辆的类型。
即装载材料的方法很多，在上述分析的基础上，通过增加约束条件，建立新的线性规划模型，并求解，得出满足问题三的调度方案。
在第二小问中，由于给出部分公司有道路相通，可采用运筹学中的最短路问题的解决方法加以解决。
关键字：线性规划模型0-1规划模型调度一、问题重述某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。
路线是唯一的双向道路(如图１)。
货运公司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。
每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。
运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。
运筹学第5章
分枝定界法
分枝定界法是一种隐枚举法或部分枚举法，它不是一种有效算 法，是枚举法基础上的改进。它是一种“巧妙”地枚举整数规 划问题的可行解的思想来设计算法的，其关键步骤是分枝和定
界。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。 本世纪六十年代初由Land Doig 和Dakin等人提出。由于这种
方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它是解整数规划的主
整数规划问题
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一个
子集，任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条件，因
而不一定仍为可行解。 整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解（反之 不一定），但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解的目 标函数值。
-14China University of Mining and Technology
运 筹 学
整数规划的典型例子
整数规划问题
工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再建 一家工厂。相应的建厂方案有A 3 和A 4 两个。这种物资的需求地有 B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需求 地的单位物资运费cij，见下表：
B1 A1 A2 A3 2 8 7 B2 9 3 6 B3 3 5 1 B4 4 7 2 年生产能力 400 600 200
运 筹 学
整数规划问题
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此分 别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
1 对项目j投资 xj ( j 1,2,..., n) 0 对项目j不投资
投资问题可以表示为： max
z
c
j 1
n
j
xj
运筹学讲义第5章
2010/03
--12--
--第5章 目标规划--
Cj → CB p1 0 p2 XB d1− d2− d3− b 10 40 100
0 x1 1 2 3 -1 -3 1 0 0
0 x2 0 1 2 –2 0 1 2
p1 d1− 1 0 0
0 d1+ -1 0 0 1 -1 2 3
0 d2− 0 1 0
--第5章 目标规划--
第五章
目标规划
Goal
Programming
线性规划：单一目标 目标规划：多目标(Multiple-objetives)
考虑优先次序、综合规划
2010/03 --1--
--第5章 目标规划--
5.1 问题的提出和数学模型 一、引例：某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，其生产的参数 如表中所示。在制定生产计划时要考虑如下内容： （1）依据市场反馈信息，Ⅰ产品出现滞销，预测表明， 两种产品的生产比例大致保持1:1为宜； （2）设备能力尚有机动的余地，B设备必要时可以加班， 但希望加班时间愈少愈好；A设备较为重要，所以既希望 能力能够被充分利用，同时又尽量少加班； （3）企业将利润指标定位12元，并力求超过。 企业认为，在上述考虑的目标中，利润要求最为重 要；产量比例次之；A设备的重要性是B设备的三倍。 试建立该问题的数学模型。
2010/03
--11--
--第5章 目标规划--
例：
Min z=P1d1－+P1d2+ +P2d3－ St. x1 +d1－－ d1+= 10 2x1+x2 +d2－－ d2+=40 3x1+2x2 +d3－－ d3+ =100 x1, x2≥ 0, di－, di+ ≥ 0, (i=1,2,3)
运筹学课件--第五章 目标规划
例如
P1 级目标实现利润至少30元； P2级目标是甲乙产品的产量 假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6 件更重要，取其权重为2 minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- ) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ = 4 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
16
OR:SM OR:SM
例3 在上题中（例2），如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A 型机减少利润20元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每 周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型。 解：设x1,x2分别为在正常时间和加班时间生产A型机台数，x3,x4 分别为在正 常时间和加班时间生产B型机台数，目标规划数学模型为：
10
OR:SM OR:SM
建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列 出目标约束与绝对约束；
2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约
束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即 可。
3、给各目标赋予相应的优先因子 Pk（k=1.2…K）。
OR:SM OR:SM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获
利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。
该厂经营目标如下： 1、利润指标为每月16000元，争取超额完成； 2、充分利用现有生产能力； 3、可以适当加班，但加班时间不得超过24小时； 4、产量以预计销售量为准。 试建立目标规划模型。
P1 级目标实现利润至少30元； P2级目标是甲乙产品的产量 假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6 件更重要，取其权重为2 minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- ) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ = 4 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
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OR:SM OR:SM
例3 在上题中（例2），如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A 型机减少利润20元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每 周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型。 解：设x1,x2分别为在正常时间和加班时间生产A型机台数，x3,x4 分别为在正 常时间和加班时间生产B型机台数，目标规划数学模型为：
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OR:SM OR:SM
建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列 出目标约束与绝对约束；
2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约
束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即 可。
3、给各目标赋予相应的优先因子 Pk（k=1.2…K）。
OR:SM OR:SM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获
利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。
该厂经营目标如下： 1、利润指标为每月16000元，争取超额完成； 2、充分利用现有生产能力； 3、可以适当加班，但加班时间不得超过24小时； 4、产量以预计销售量为准。 试建立目标规划模型。
运筹学第5章：整数规划
1 xj 0 对项目j投资 对项目j不投资 （j 1， ，n） 2，
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
运筹学第五章 整数规划ppt课件
，求解过程停止。 3.B有最优解，但不符合A的整数条件，记其目标函数值为z1。
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
2020/3/2
11
•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
2020/3/2
7
7
第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
2020/3/2
第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
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•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
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第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
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第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
第四章运筹与优化模型
▪ >> c=[-300,-500]; ▪ A=[20,40;50,20];b=[3000;2400]; ▪ >> [x,fval]=linprog(c,A,b) ▪ Optimization terminated. ▪ x= ▪ 22.5000 ▪ 63.7500 ▪ fval = ▪ -3.8625e+004
Value Reduced Cost
X1 3.250000
0.000000
X2 2.500000
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 14.75000
1.000000
2 0.000000
0.2500000
3 0.000000
1.250000
▪ 例3 某公司有A、B两个炼油厂，A厂每天可生产20 桶汽油和50桶燃料油，而B厂的产量分别是40桶和 20桶.该公司每年至少约需3000桶汽油和2400桶燃 料油 .如果开工运转，则A厂每天约需300元，而B 厂约需500元.试问A、B两厂每年开工个多少天可使 该公司运转两个炼油厂费用最少？
…
a1n
A2
a21
a22
…
a2n
…
…
……
…
Am 利润
am1
am2 …
amn
c1
c2
…
cn
总量 b1 b2 … bm
▪ （一）建立数学模型
▪ 设产品Bj的产量为xj( j=1,2, …,n)，称之为决策变 量，所得总利润为Z，则要解决的问题的目标是使
（总利润）函数Z=∑cjxj有最大值，而决策变量
所受的约束条件为：
▪ 2 0.000000