高中数学 第二章 概率 2.4 二项分布 伯努利分布素材 苏教版2-3 精
高二年级-数学-二项分布(2)
8, 81
P (
8)
P( X
4)
C 44
(
1 3
)4
(
2 3
)0
1, 81
则 的概率分布为
0
2
4
6
8
16
32
24
8
1
P
81
81
81
81
81
➢检验概率和是否为1.
研究应用
3 二项分布——实际应用
研究应用
变式：一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个
交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 1 . 3
☆二项分布
若随机变量X
的分布列为Pn(X=k)＝
C
k n
pk q nk
其中0
p 1，p q 1，
k＝0,1,2，…，n，则称X 服从参数为n，p的二项分布，
记作 X B(n, p) .
2 二项分布——建立正确的概率直觉
问题情境
照以往的经验， 我贡献正确意见的 概率为0.9！
我们仨每人贡献正确意见的概率 都是0.7，且互不影响，最后按过半数 人的意见作出决策,咱们能赢吗？
即 A与A ，
(3) 每次试验中P(A)＝p＞0．
对立
的状态，
1 二项分布的概率
知识回顾
☆概率计算：在n次独立重复试验中，如果每次试验事件A 发生的概率均为 p(0<p<1)，那么在这n次试验中，事件A 恰好发生k次的概率.
Pn(k)＝ Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2, , n .
相互独立的，遇到红灯的概率都是 1 ，遇到红灯时停留的时间都是2min. 3
高二年级-数学-二项分布(1)
解：用随机变量X 表示取到的白球数，则X H (3,4,10).
P(X
2)
C42C61 C130
3 10
答：从袋中任取3个球，其中恰有2个白球的概率为
3
.
10
❖ 解题反思 要注意二项分布与超几何分布的区别.
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：
4 二项分布公式的应用
研究应用
例题讲解
(1)对立性，即在一次试验中试验结果只有发生或不发生这两种.
3
解：P( X
2)
C62
(
1 3
)2
(
2 3
)4
80 .
243
错
2. 3个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是
1
，并且各人猜
5
对与否互不影响,那么恰有两人猜对的概率为 _____ .
解：设X 为猜对人的个数，则X
1 B(3, ).
X
B（3，4）
5
5
P( X =2）=
C
2 3
(
1 5
)2
(
4 5
)1
白球个数X的概率分布.
解：设取一次球取到白球为事件A.P( A) 2 , P( A) 3 ,则X B(3, 2)
5
5
5
X的所有可能取值为0,1, 2, 3.
P(X
0)
C
0 3
(
2 5
)0
(
3 5
)3
27 125
P(X
1)
C31
(
2 5
)1
(
3 5
)2
54 125
4 二项分布公式的应用
研究应用
高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差概率论与数理统计公式整理素材苏教版选修2_3202012251156
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
＝0
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
（8）二维均匀分布
当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4）
（5）对于
.
（4）离散型与连续型的关系
（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。
连续型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
（6）条件分布
离散型
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1- P(B)
条件概率
2020学年高中数学第2章概率2.4二项分布课件苏教版选修2_3
1．已知随机变量 X 服从二项分布，X～B6，13，则 P(X＝2)等 于( )
2．在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中 2 次的概率？ 解：记“甲未击中目标”为事件 A4，“乙击中 2 次”为事件 B4， 则 P(A4)＝C02(1－23)2＝19，P(B4)＝C22(34)2＝196，所以甲未击中、 乙击中目标 2 次的概率为 P(A4B4)＝19×196＝116.
独立重复试验概率求解的关注点 (1)运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉 及的试验是否为 n 次独立重复试验，判断时注意各次试验之间 是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要 么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然 后用相关公式求概率. (2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率 乘法公式及对立事件的概率公式．
2.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18，19，20 层停靠．若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘 客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用 X 表示这 5 位乘 客在第 20 层下电梯的人数，求随机变量 X 的概率分布．
解：可视一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验，相当于做 了 5 次独立重复试验，故 X～B(5，13)， P(X＝0)＝C05(13)0(23)5＝23423. P(X＝1)＝C15(13)1(23)4＝28403. P(X＝2)＝C25(13)2(23)3＝28403. P(X＝3)＝C35(13)3(23)2＝24403.
伯努利分布和二项分布的关系
伯努利分布和二项分布的关系1.引言1.1 概述在数学和统计学中，伯努利分布和二项分布是两个重要的概率分布。
它们都属于离散随机变量的分布，广泛应用于各种实际问题的建模和解决。
伯努利分布是最简单的概率分布之一，也被称为0-1分布。
它描述了只有两种可能结果的试验，比如抛硬币的结果可以是正面或反面，或者一次考试的结果可以是及格或不及格。
伯努利分布的特点是每个试验的结果只有两种可能，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
这个分布可以用一个参数p来描述，表示成功的概率。
而二项分布则是由多次独立的伯努利试验组成的概率分布。
它描述了在n次相互独立的重复试验中，成功的次数的概率分布。
比如抛硬币n次，统计出正面朝上的次数，或者进行n次考试，统计出及格的次数。
二项分布的特点是每次试验只有两种可能的结果，成功和失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p，且每次试验之间是相互独立的。
这个分布可以用两个参数n和p来描述，n表示试验的次数，p表示每次试验中成功的概率。
伯努利分布是二项分布的特殊情况，当n=1时，二项分布就是伯努利分布。
也就是说，伯努利分布可以看作是进行一次独立试验的结果，而二项分布则是进行多次独立试验的结果。
因此，二项分布可以用来描述多次独立试验的结果，而伯努利分布则适用于只有一次独立试验的情况。
总而言之，伯努利分布和二项分布在概率论和统计学中具有重要的意义。
它们之间存在着密切的关系，伯努利分布可以看作是二项分布的特殊情况。
了解这两个分布的定义和特点，有助于我们更好地理解和应用概率统计的知识。
在接下来的内容中，我们将进一步介绍伯努利分布和二项分布的定义与特点，并探讨它们之间的关系。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论伯努利分布和二项分布之间的关系。
第一部分是引言部分，将对文章的内容进行概述。
首先介绍伯努利分布和二项分布的定义和特点，并指出它们在概率统计中的重要性。
高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差概率论与数理统计公式整理素材苏教版选修2_32
指数分布
ex ,
f (x)
0 服从参数为 的指数分
布。 X 的分布函数为
F(x)
1 ex , 0,
x 0,
x<0。
记住积分公式：
x nex dx n!
0
正态分布
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e ， 2 2 x ，
F(x) 1
(t )2
x
e
2 2
dt
2
。
参数 0 、 1时的正态分布称为标准正态分布，记
为 X ~ N(0,1) ，其密度函数记为
(x)
1
x2
e2
2 ， x ，
分布函数为
(x) 1
x
e
t2
2
dt
。
2
(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且 Φ(0)＝ 1 。 2
当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
减法公式 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条 P( A)
条件概率
件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
基 本 事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
高中数学 第二章 概率 2.4 二项分布学案 苏教版选修2-3
2.4 二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一独立重复试验思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？思考2 试验结果有哪些？思考3 各次试验的结果有无影响？梳理n次独立重复试验的特点(1)由________次试验构成．(2)每次试验____________完成，每次试验的结果仅有____________的状态，即________．(3)每次试验中P(A)＝p＞0.特别地，n次独立重复试验也称为伯努利试验．知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用B k表示仅投中k次这个事件．思考1 用A i如何表示B1，并求P(B1)．思考2 试求P(B2)和P(B3)．梳理一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P(A)＝1－p＝q.若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．类型一求独立重复试验的概率例1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答)引申探究若本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙各击中1次的概率．(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为12.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子． (1)求甲坑不需要补种的概率；(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P 1，另记有坑需要补种的概率为P 2，求P 1＋P 2的值．类型二 二项分布例2 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的概率分布．反思与感悟 (1)当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p . (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，必须在满足独立重复试验时才能应用，否则不能应用该公式；②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的概率分布．类型三 二项分布的综合应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的概率分布；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的概率分布； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．反思与感悟对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B 还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．跟踪训练3 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，求p与n的值．1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________．2．某人进行射击训练，一次击中目标的概率为35，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为____________． 4．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，在他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.5．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k.此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式．答案精析问题导学 知识点一思考1 条件相同．思考2 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． 思考3 无，即各次试验相互独立．梳理 (1)n (2)相互独立 两种对立 A 与A 知识点二思考1 B 1＝(A 1A 2 A 3)∪(A 1A 2A 3)∪(A 1 A 2A 3)， 因为P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8，且A 1A 2 A 3、A 1A 2A 3、A 1 A 2A 3两两互斥， 故P (B 1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.思考2 P (B 2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P (B 3)＝0.83＝0.512.题型探究例1 解 (1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立， 故P (A 2B 2)＝49×38＝16.引申探究解 记“甲击中1次”为事件A 4，记“乙击中1次”为事件B 4， 则P (A 4)＝C 12×23×(1－23)＝49，P (B 4)＝C 12×34×(1－34)＝38.所以甲、乙各击中1次的概率为P (A 4B 4)＝49×38＝16.跟踪训练1 解 (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18， 所以甲坑不需要补种的概率为 1－18＝78. (2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为P 1＝C 13×78×⎝ ⎛⎭⎪⎫182＝21512. 由于3个坑都不需补种的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫783，则有坑需要补种的概率为P 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫783＝169512. 所以P 1＋P 2＝21512＋169512＝95256.例2 解 (1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)， 则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ， 则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12×710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100. 所以X 的概率分布如下表：跟踪训练2 解 取到黑球个数X 的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150·⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125. 故X 的概率分布为例3 解 (1)由ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3，则 P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的概率分布如下表：(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ·3，k ＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235.故η的概率分布如下表：(3)所求概率为P (ξ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝211243.********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星 跟踪训练3 解 由题设知，C 24p 2(1－p )2>827. ∵p (1－p )>0，∴不等式化为p (1－p )>29， 解得13<p <23，故2<6p <4. 又∵6p ∈N ，∴6p ＝3，即p ＝12. 由3n ＝12，得n ＝6. 当堂训练1．[0.4,1] 2.81125 3.1626254.①② 5．解 由题意知ξ～B (3，25)， 则P (ξ＝0)＝C 03(25)0(35)3＝27125， P (ξ＝1)＝C 13(25)1(35)2＝54125， P (ξ＝2)＝C 23(25)2(35)1＝36125， P (ξ＝3)＝C 33(25)3＝8125. 所以随机变量ξ的概率分布如下表：。
2.4二项分布 ppt课件(25张) 高中数学苏教版 选修2-3
－
以称这样的随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3
独立重复试验有哪些特点？
答
本 课 时 栏 目 开 关
(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)各次试验的结果是相互独立的；
(1)由题意知，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，且 23 1 0 P(ξ＝0)＝C3×1－3 ＝27， 解
(2)恰在第三次命中目标； (3)命中两次； (4)刚好在第二次、第三次两次击中目标．
解 题中的 4 个问题都是在同一条件下事件发生的情况，所以 均属独立重复试验．
(1)命中一次的概率为 33 12 8 96 1 3 1－ ＝ · ＝ P＝C4· ； 5 5 125 625 5
填一填·知识要点、记下疑难点
1．一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次
本 课 时 栏 目 开 关
试验的结果仅有 两种对立的状态 ，即 A 与 A .每次试验中 P(A)＝p＞0.我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验，也 称为伯努利试验 . 2．在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k(0≤k≤n)次的 k k n－k C 概率为 Pn(k)＝ np q ，k＝0,1,2„，n，它恰好是(q＋p)n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
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(2)恰在第三次命中目标的概率为 3 3 3 8 3 24 1－ ＝ · ＝ P＝ · 5 5 125 625； 5 (3)命中两次的概率为 32 9 4 216 2 3 2 1－ ＝6· · ＝ P＝C4· · ； 5 25 25 625 5 (4)在第二次、第三次两次击中目标的概率为 3 32 36 2 1－ ＝ P＝5 · . 5 625