二次根式讲义

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《二次根式》讲义

《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。

其中，＼（＼sqrt{｝＼）称为二次根号，＼（a\）叫做被开方数。

需要特别注意的是，二次根式有两个非常重要的限制条件：一是根指数为 2；二是被开方数必须是非负数。

例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）等都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。

二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a ＼geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。

例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。

2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））例如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。

3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4\times 3} ＝＼sqrt{4} ＼cdot ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）。

4、＼（＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼dfrac{3\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 3\）。

三、二次根式的化简化简二次根式是二次根式运算中的重要环节，其目的是将二次根式化为最简二次根式。

最简二次根式需要满足以下两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

初中数学二次根式经典讲解

初中数学二次根式经典讲解一、知识要点概述1、二次根式：式子叫做二次根式．2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4、二次根式的主要性质5、二次根式的运算(1)因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．(2)有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．(3)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．(4)二次根式的乘除法二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二、典例剖析分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．例3、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（）A．B．－C．D．－分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．例6、已知，求a＋b＋c的值．分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试．点评：应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|，a2n，是三种重要的非负数表现形式．判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如：在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简二次函数的图象与性质主讲：童丽丹知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．3、二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；(2)x=h为抛物线对称轴；(3)顶点坐标为（h，k）．依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．6、抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．典型剖析例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；由对称轴知，④正确；由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．例2、二次函数y=x2＋(a－b)x＋b的图象如图所示．那么化简的结果是____________．解：原式=－1．∵图象与y轴交点在x轴上方，∴b＞0．又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，例3、已知抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若AB的长为，求抛物线的解析式．解：(1)∵y=x2－(2m＋4)x＋m2－10=[x－(m＋2)] 2－4m－14，∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)．(2)∵A、B是抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=，化简整理得：16m=－48，∴m=－3．当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．例4、如果抛物线y=－x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．(1)求m的取值范围；(2)若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．∵A、B分处原点两侧，∴x1x2<0，即－(m＋1)<0，得m>－1．又∵△=[2(m－1)]2－4×(－1)(m＋1)=4m2－4m＋8=4(m－)2＋7>0，∴m>－1为m的取值范围．(2)∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k(k>0)，则x1=3k，x2=－k．例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．解：∵二次函数当x=1时有最大值－6，∴抛物线的顶点为（1，－6），故设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：a(2－1)2－6=－8，∴a=－2，∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．解：（1）由图象可知：a<0，图象过点（0，1），∴c=1．图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，∴b=－(a＋c)=－(a＋1)．由题意知，当x=－1时，应有y>0，∴a－b＋c>0，∴a＋(a＋1)＋1>0，∴a>－1，∴实数a的取值范围是－1<a<0．(2)此时函数为y=ax2－(a＋1)x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．(1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）；(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，－6）．分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．解：（1）设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，），（－2，－5）代入得方程组∴解析式为y=＋x－1．（2）设y=a(x＋2)2＋3，把（－3，2）代入得2=a(－3＋2)2＋3，解得a=－1．解析式为y＝－x2－4x－1.（3）设y=a(x＋1)(x－2)，把（3，－6）代入得－6=a(3＋1)(3－2)，解得．∴解析式为y=(x＋1)(x－2)，即．函数的应用主讲：童丽丹一、知识要点概述命题趋势分析：函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的热点．由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此每年中考试卷中都要出现与函数有关的题目，而且多以压轴题出现．1、函数与方程的综合主要是二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组的综合较多，常涉及到一元二次方程的解法、根与系数关系以及根的判别式；方程组的解法，有时也涉及到分式方程的解法，关键是把函数的问题转化为方程(组)的问题，但是，仅含方程与函数的综合题型不多，而是与面积、存在性、开放性、探索性等问题糅合在一起的命题较多．2、函数与图形的面积综合题，通常出现在压轴题中的某一小题中占3—5分，主要类型有：已知函数的解析式，求有关三角形、四边形和不规则的多边形面积，其中以求三角形、四边形的面积为主；已知图形的面积，求函数关系式或某些特殊点的坐标，还有求面积关于某个变量的函数关系式等，函数与图形面积问题是中考中热门问题，题型常考常新，体现了数形结合的思想、转化的思想、分类讨论思想等．3、函数与几何的综合题几乎每份中考试卷都有函数与几何的综合题，是因为函数题目体现了数与形的结合，体现了代数知识与几何知识的灵活运用，它能考查许多知识点，考查学生的分析问题、综合运用知识解决问题的能力，函数与几何的综合，主要包括一次函数、二次函数与三角形、四边形与圆的综合、涉及全等三角形、直角三角形、直角三角形与圆的有关知识，一般有3—4个小题，占分约12—16分，是一类很热门的题目，常有存在性、开放性与分类讨论的题目．二、典型例题剖析例1、已知抛物线与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点与y轴交于C点，O为坐标原点．(1)求m的取值范围；(2)若且OA＋OB=3OC，求抛物线的解析式．分析：一元二次方程与二次函数的关系是：抛物线y=ax2＋bx ＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标x1，x2是一元二次方程ax2＋bx ＋c=0(a≠0)的两根，从而可利用根的判别式及根与系数的关系来解二次函数与x轴相交的有关问题．另外OA=|x1|，OB=|x2|体现了数形结合．解：(1)∵抛物线与x有两个不同的交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴(2)∵A(x1，0)，B(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点，∴x1，x2是方程的两个不等实根，∴x1＋x2=－24mx1x2=8(18m2－m)，∴x1＋x2＜0x1x2＞0∴x1与x2同负∵C点的坐标为C(0，18m2－m)，∴OC=|18m2－m|=18m2－m又∵OA＋OB=3OC∴－x1－x2=3(18m2－m)即－(－24m)=3(18m2－m)点评：抛物线与x轴有两个交点，就可以转化为一元二次方程的△＞0，要根据x1＋x2与x1·x2的符号来确定x1与x2的符号，从而得|x1|与|x2|去绝对值后的值．求出m有两个值后，要及时地检验，舍去不合题意的m值，这些都是在解函数与方程有关综合题时应注意的地方，也是易错点．例2、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元．但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P与x的函数表达式．(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000元，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本)解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则因此当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．(2)当0≤x≤100时，P=60．当100＜x＜550时，当x≥550时，P=51．(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获利为W元．当x=550时，W=6000 ；当x=1000时，W=11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获利6000元，若订购1000个，利润是11000元．例3、已知二次函数y=x2＋bx＋c与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，其顶点坐标为，AB=|x1－x2|，若S△APB=1，则b与c的关系式是（）A．b2－4c＋1=0B．b2－4c－1=0C．b2－4c＋4=0D．b2－4c－4=0例4、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点Q（0，2），顶点P在第一象限且S△ABP=2S△ABQ．若R(－1，－4)在抛物线上，求抛物线的解析式．分析：设一般式y=ax2＋bx＋c由S△ABP=2S△ABQ可知P点的纵坐标为4，根据顶点坐标公式，得到一个方程，再把Q、R两点坐标代入一般式中，又得到两个方程，由这三个方程组成一个方程组，可求出a、b、c的值．例5、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%(纳税款=应纳税所得额×对应的税率) 按此规定解答下列问题：(1)设甲的月工资、薪金所得为x元(1300＜x＜2800)需缴交的所得税款为y元，试写出y与x的函数关系式．(2)若乙一月份应交所得税款95元，那么他一月份的工资、薪金是多少元？分析：本题是用列表法表示的分段函数型应用题，解题的关键是理解税率表，要将超800元部分分段，每段对应不同的税率，应交税款是每段税款之和．解：(1)因为甲的月工资、薪金所得x元，而1300＜x＜2800．∴500＜x－800＜2000，所交税款由两部分组成．500元按税率5%交税，另一部分(x－800－500)元，按10%交税，故y与x之间的函数关系式为y=500×5%＋(x－800－500)×10%=(x－1300)×10%＋25(2)根据第(1)小题中，当收入在1300元至2800元之间时，纳税在500×5%=25元至500×5%＋(2800－800－500)×10%=175(元)之间，由于乙职工纳税95元，知他的工资、薪金肯定在1300元至2800元之间，适用(1)的函数关系式：∴95=(x－1300)×10%＋25解得x=2000．例6、如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC．(1)求△ABC的面积；(2)如果在第二象限内有一点，试用含a的式子表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值．(3)在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3)因为△ABM为等腰三角形，分类讨论：1°以AB为底边的等腰△ABM，则AB的中垂线与x轴的交点为M，可求出M1的坐标为2°，以AB为腰的等腰△ABM，以B为圆心，AB为半径画弧交x轴于点M2，可求出其坐标为；以A为圆心，AB为半径画弧交x轴于点M3，M4可求其坐标为故满足条件的点M有4个，三角形主讲：童丽丹一、知识要点概述1、定义：由不在同一直线上的三条线段顺次首尾相接而成的封闭图形叫三角形．2、三角形的分类（1）按边分（2）按角分3、三角形的一些重要性质（1）边与边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（2）角与角的关系：三角形内角之和等于180°，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角且等于和它不相邻的两内角之和；4、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等，反之，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等边对等角、等角对等边）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形三线合一）．5、等边三角形的性质等边三角形的三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°．6、等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．7、直角三角形的性质（1）直角三角形的两锐角互余；（2）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边长的一半；（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半；（4）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．8、直角三角形的判定（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；（3）若一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对角是直角．9、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．10、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等、对应线段（边、高、中线、角平分线）相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等．11、全等三角形的判定（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“SAS”）；（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“ASA”）；（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“AAS”）；（4）有三边对应相等的两个三角形全等（简称“SSS”）；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）．二、典例例题剖析例1、若一个三角形的三条边长均满足方程x2－6x＋8=0，则此三角形的周长为__________．解：解方程x2－6x＋8=0得x1=2，x2=4．由题设的条件，三角形的三边长无外乎四种组合：2，2，2；4，4，4；2，2，4；2，4，4．其中2＋2=4，说明以2，2，4为边不能构成三角形，其他三组均符合三角形的形成条件．因此，所求三角形的周长为6或10或12．例2、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD 与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，说明△ABC是等腰三角形．分析：本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理．这道题设计新颖，第（1）题是一道条件探索题，也是一道分类讨论题．第（2）题与第（1）题衔接十分紧密，很有创意．这种题型是中考热点题型，应引起重视．解：（1）依据等腰三角形的判定方法可知：满足①③，①④，②③，②④可判定△ABC是等腰三角形．（2）选择①④．已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC，求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EOB＋∠OBC=∠DCO＋∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∴△ABC是等腰三角形．例3、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和15cm两部分．求这个三角形腰长和底边长．解：如图，可设AB=AC=x，底边BC=y．又BD是中线，则AD=DC=．因为BD将△ABC的周长分成AB＋AD和BC＋CD两部分为9和15，由于未指明哪一部分是9，哪一部分是15，因此，有如下两种情况：（1）解得x=6，y=12，不满足三角形的三边关系，舍去．（2）解得x=10，y=4，满足三角形的三边关系．故这个三角形腰长为10cm，底边长是4cm．点评：方程思想是一种很重要的数学思想，解题时要注意重视，在解答本例时要注意两点：一是要注意分类讨论；二是求出解之后要检验（即所有解是否满足三角形三边之间的关系定理）．例4、已知，如图在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点．试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．分析：这是一道探究型试题，首选可大胆地猜想一个△MEF是Rt△，即要证明∠FME=90°，注意到M是BC的中点，可连结AM，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求证．解：△MEF是等腰直角三角形．证明：连接AM．∵AB=AC，∠BAC=90°，M点是BC的中点，∴AM==BM，且AM⊥BC于点M，∠MAB=∠MAC=∠BAC=45°．又∵DE⊥AC，DF⊥AB，AB⊥AC，∴DE//AB，DF//AC．而∠BAC=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°，∴∠BDF=45°=∠B，∴BF=FD，∴AE=BF，∴△AEM≌△BFM（SAS），∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠BMF＋∠AMF=90°，∴∠AME＋∠AMF=90°，即∠EMF=90°，从而证明△EMF 是Rt△．又MF=EM，故△EMF是等腰直角三角形．例5、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC 上一点，AE⊥BD交BD延长线于点E，且AE=．求证：BD是∠ABC的平分线．分析：AE边上的高与∠ABC的平分线重合，联想到等腰三角形．通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形．证明：延长BC、AE交于F点．∵AC⊥BC于点C，AE⊥BD于E，∴∠AED=90°，∠ACF=∠ACB=90°，∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90°．又∠3＝∠4，∴∠1=∠2．又∵AC=CB，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF=BD=2AE，则AE=EF．又∵∠AEB=∠BEF=90°，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠ABE=∠FBE，即BD是∠ABC的平分线．例6、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE＋CD．证明：在AC上截取AM=AE，连结FM.∴，∴，∴.又，∴.又.∴，又FC=FC ，.∴，∴CD=CM，∴AC=AE＋CD.例7、如图，已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比为6︰5︰4．求在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角度之比．解：以点A为中心将△AOB逆时针旋转60°得到△AO′C，则△AO′C≌△AOB，∴O′C=OB．连接O′O，则△AOO′为等边三角形．∴OO′=OA，故△OO′C为以OA、OB、OC为边组成的三角形．因为∠AOB︰∠BOC︰∠AOC=6︰5︰4，∠AOB＋∠BOC＋∠AOC=360°，∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，∴∠AO′C=∠AOB=144°，∴∠OO′C=∠AO′C－∠AO′O=144°－60°=84°，∠O′OC=∠AOC－∠AOO′=96°－60°=36°，∴∠OCO′=180°－∠OO′C－∠O′OC=180°－84°－36°=60°．故以OA、OB、OC为边组成的三角形中，其三边所对的角度比为60°︰36°︰84°=5︰3︰7．。

二次根式讲义

二次根式讲义一、知识点梳理 1.二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2.定义重点①式子有意义：)0(≥a a 中必须，否则，式子没有意义②隐含条件：)0(≥a a ，则，即也为非负数4. 二次根式的乘除运算b a ab ⋅=（00≥≥b a ，）)0,0(≥≥=b a b ab a根式中分母不能含有根号，且要变为最简。

6.最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

三、典型例题讲解例11、用代数式表示：（1）面积为S 的正方形的边长为______．(2）•面积为10•的直角三角形的两直角边的比为1：•2，•则这两条直角边分别为______．2、在二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（）A ．1<aB ．1≤aC ．1≥aD ．1>a 3、下列式子中，是二次根式的有（）①22x +，②3x ，③32，④2()x -A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、（1）若0≥a ，则a _____0．（2）若021=++-x y ，则=x _____，=y ______． 5、求使式子有意义的实数x 的取值范围．（1）2x - （2）11x - 例21、计算：（1）=2)3(______；（2）=-2)52(_____． 2、下列式子正确的个数是（）①2)4(4±=；②3)3(2-=--；③1)2()3(22=-；④2)7(7=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在实数范围内分解因式792-a ．解：=-=-222)7()3(79a a （）·（）4、计算：（1）22＝______．（2）2(5)-＝_____；（3）2211010-=＝______．5、计算：（1）2(2)x -（2≤x ）（2）2(32)- （3）－2(3.14)π-例31、计算：（1）2×7＝______．（2）12×8＝______；（3）0.1×100＝_______．2、下列运算不正确的是（）A ．0.40.6⨯＝0.2×0.6＝1.2B ．4×36＝2×6＝12C ．0.4 3.60.4 3.6 1.44⨯=⨯=＝＝1.2D ．a ·3＝3a （0≥a ） 3、计算：（1）3×（－212）（2）2×6×13（3）2ab ·1b （4）－12xy ·（－4y ）4、计算：（1）812＝______；（2）126＝_____．5、计算：（1）318÷2＝_____；（2）293x y xy ÷＝______．例41、化简：（1）8＝______；（2）1327＝____．2、化简：（1）3a ＝_____；（2）2316x y ＝_____．3、化简：（1）56＝______；（2）－125015⨯＝______；（3）2332ab c＝______；4、下列计算正确的是（）A ．－1210×2＝－1220B ．y x xy x xy x 31313313=⋅=⋅C ．112882887272⨯=⨯＝4＝2 D ．534＝5435、把38化为最简二次根式为_______．6、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（）A ．aB ．31C ．1x D ．21a +四、举一反三 1．（2012义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间2．（2012杭州）已知)212()33(-⨯-=m ，则有（）A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－5 3.（2012泰安）下列运算正确的是（）A ．2(5)5-=- B ．21()164--= C ．632x x x ÷= D ．325()x x =4．（2012德阳）使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（）A ． 0≥xB ．21≠x C ．0≥x 且21≠x D ．一切实数5.（2011山东菏泽）实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+- 化简后为（）A ． 7B ．－7C ．152-aD ．无法确定6.（2011山东济宁）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为（）A ．1B ．－1C ．7D ．－77．（2011山东烟台）如果aa 21)12(2-=-，则（）A ．21<a B. 21≤a C. 21>a D. 21≥a8．（2011山东日照）已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(＝0，那么20112011y x -＝．9. （2011山东枣庄）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a※b ＝b a b a -+，如3※2＝32532+=-．那么8※12＝．10.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简22()()a b c b a c +-+--－a b c --．a 105第2题图第4题图五、过关测试二次根式的定义 1、二次根式11x --有意义，则实数x 的取值范围为_____． 2、矩形面积为12cm 2，矩形的长与宽之比为3：2，则矩形长为_____cm ，宽为____cm ． 3、无论实数x 取何值下列式子总有意义为（）A ．2(1)x -- B ．21x -+ C ．21x + D ．1x -4、如图所示，方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（） A ．3 B ．2 C ．5 D ．65、如图所示，在平面直角坐标系中，A （－2，3），B （－4，0），C （－2，0）是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．6、已知1433b a --与114+-b a 互为相反数，试求a ，b 的值．7、已知x ，y 为实数，且y ＝1122x x -+-＋12，求x ，y 的值．二次根式的性质1、计算：（1）=2)75(____________；（2）=-2)2(x ______．2、（1）当0≥x 时，=-2x ______________；（2）当0≤x 时，2x ＝______． 3、下列式子计算不正确的是（）A ．3)3(2=B ．a a =-2)(（0≥a ）C ．2(32)-＝3－2D ．15)53(2-=- 4、计算：（1）22)3553()54(- （2）22(6)(8)-+-（3）2)52(494-⋅+ （4）2230.6--5、已知实数x 在数轴上的位置如图所示，化简2222(1)(2)x x x --+-．6、（改错题）计算：（2x -）2＋2(3)x - 解：（2x -）2＋2(3)x -＝2－x ＋x －3 ① ＝－1 ②你认为上述解答过程是错在第_____步，为什么？并求出正确的结果．二次根式的乘法 1、计算：（1）－122×3＝_____；（2）18×（－32）＝_____． 2、计算：（1）110×110＝______；（2）131x·3xy ＝______． 3、化简：（1）3a -＝_____；（2）34m n （0<m ）＝______． 4、若)2)(1(21--=-⋅-x x x x ．则x 的取值范围是（）A ．1>xB ．2≥xC ．2>xD ．1≥x 5、定义运算“@”运算法则，x@y@z ＝xyz ，则2@3@6值为（）A ．3B ．2C ．6D ．126、下列各等式成立的是（）A ．45×25＝85B ．53×42＝205C ．43×32＝75D ，53×42＝20 7、已知2＝a ，则200的值为（）A ．a 2B ．a 3C ．a 10D ．a 8 8、下列计算正确的是（）A ．(121)(9)1219-⨯-=-⨯-＝33B ．23x ＝x 3C ．(16)(25)1625-⨯-=⨯＝20D ．249x -＝32-x 9、阅读解答题:因为23＝223⨯＝12 ①－23＝2(2)3-⨯＝12 ②所以23＝－23 ③ 即2＝－2导致以上出现错误的结果错因在第几步（） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 10、化简：（1）2000 （2）250a b （0<a ，0>b ）（3）18×3220×（－1315）（4）627×（－23）（5）2xy ×12x （6）115×23×（－1210）11、计算（1）5xy ×（－323x y ）×361y （2）32ab b ·（－323a b ）·3ab（0<a ，0>b ）（3）)))((abx ax x a b x ab --- （0>a ，0>b ，0>x ）12、将aa 1-括号外的因式a 移到括号内部．二次根式的除法及最简二次根式 1、计算：（1）49＝_____________；（2）2764＝______．2、计算：（1）0.680.17＝__________；（2）328＝______． 3、计算：（1）0.48＝______；（2）512＝_____． 4、若2211x xx x--=++，则x 取值范围为_______． 5、下列各式是最简二次根式为（） A ．15B ．24C ．28D ．7326、如图所示，小芳想在墙壁上钉一个三角形架，•其中两直角边的长度之比为3：2，斜边长为520，则较短直角边的长度为（） A ．40 B ．210 C ．410 D ．426 7、化去下列各式中根号内的分母正确的是（） A ．2225555== B ．22151535=⨯ C ．3333n n mn m m m ==（0>m ，0>n ） D ．11aa a a==＝a 8、下列各式计算正确的是（）A ．442939---==---＝23B ．238499=＝2132C ．3163727÷= D ．825＝58 9、把下列二次根式化为最简二次根式：（1）338＝_______；（2）712＝_______；（3）2.11.0⋅＝_______；（4）3273x ＝_______； 10、计算：（1）48÷（32·3）（2）43623x x ÷（3）3520÷（－136）（4）8243311、计算：（1）3223×（－1815）÷1225（2）－4318÷（28×1354）。

八年级数学二次根式的概念专题讲义

二次根式的概念专题讲义知识准备平方根的性质：正数有个平方根，它们；0的平方根是；负数平方根。

一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”称为（二次）根号．注：开平方时，被开方数a的取值范围（为什么？）例1．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？例2、当x+在实数范围内有意义？例3=0，求a2004+b2004的值．练习(1)下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、x>0）、、、（x≥0，y•≥0）是二次根式的有：不是二次根式的有：（2）当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？a5二次根式的性质1a≥0）是一个非负数2、理解二次根式的两个性质（2=a（a≥0）和（a≥0）。

探究（—）当a>0a 0;当a=00 0.概括:探究（二）根据算术平方根的意义填空：）2=_______；是4411x+1x1x y+）2=4．）2=_______；2=______；）2=_______．概括:例题与练习：计算（1）2（2）（2（3）（）2；)3(2-=；)21(2-= ；。

二次根式的性质：练习：1、数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A、a>0 B、a≥0 C、a<0 D、a=0 2有意义，则x的取值范围为（）A、x>3B、x≥3C、x<3 D．x=33、（2=________；=________4x的取值范围是_______5是一个正整数，则正整数m的最小值是________．6、计算（1）2（2）-2（3）（）27=0，求x y的值．二次根式的乘法用“>、< 或＝”填空．，94⨯094⨯归纳:对二次根式的乘法规定为12反过来:例题与练习计算①2×5②3×12③×④化简④324ba计算(1)14×7（2）35×（3）x3·xy31判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2=4=4=8计算：（1）24×27（2）6×（—15）（3）18×20×75（4）54332⨯⨯2、下列各等式成立的是（）．A、、、、二次根式的除法二次根式的除法公式：________________________(_____________________)计算（1）624（2)440（3）23101÷计算：（1（2）39（3）3135÷计算：（1（2（3（4）515（5）a2a6÷（6）5b220ab÷=最简二次根式：二次根式的加减复习、类比1、什么是同类项？2、合并同类项（1）2x+3x ；（2）2x 2-3x 2+5x 2类比回答：（1）2x 4与-5x 4是项（2）3532-与是二次根式。

二次根式讲义 Word

二次根式及其运算概述：二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法。

知识盘点：1、二次根式的性质：2、二次根式的运算法则：（5）3、设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅4、当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．典典例精析：例1 化简：点评：若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：点评：两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：点评：（1）将被开方数的化成分母是2的分数就可以按例3的方法解决了，还要注意开方时考虑符号；(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简。

例5：(2010湖北省荆门市)已知a ＝2b ＝2a b -的值．点评：由于a+b 和ab 都是有理数，所以整体代人较为简便。

点评：考虑到被开方数的平方差特点待定系数法设原式为x ，两边平方可以使原式简化。

例7：化简441296222+--+-+++x x x x x x点评：本题的解法叫零点法，也叫分段讨论法，是解决绝对值题型的基本方法。

例8：设154-=a ，试求a a a 4223--的值。

点评：原式=a(a 2-2a-4)=a(a 2-2a+1)-5a ….通过配方巧妙解答，流畅自然。

例9：计算10121011101144++-++点评：设10,10,10424===a a a 则达到化繁为简之妙。

例10：已知a 、b 都是有理数，且347-是方程02=++b ax x 的解，求a+b 。

(完整)人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识、性质

第1讲二次根式认识、性质第一部分知识梳理知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根，即0（）。

非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。

非负性质的解题应用：（1）、如若，则a=0,b=0；（2）、若，则a=0,b=0；（3）、若，则a=0,b=0。

知识点三：二次根式的性质第二部分考点精讲精练考点1、二次根式概念例1、下列各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（121 （219-（321x +（439 （56a - （6221x x ---例3)))2302,12203,1,2xx y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个例4、下列各式中，属于二次根式的有（）例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y ≥0）．51+x 、2+1x 、______个。

考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子4x -有意义．例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2019，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（） A ．0≥x 且0≥y B ．0>yxC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。

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教学情况记录表
1)把积的算术平方根的性质ab a ? b(a 0,b 0)反过来写为
a ?
b a?b(a 0,b 0) ，则为二次根式的乘法法则，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式进行相乘的运算，如
a ? b? c abc(a 0,
b 0,
c 0) .二次根式前面有系数时，可类比单项式
乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为积的系数，被开方数之
积作为被开方数 (2)把商的算术平方根的性质 a a (或 a b a b)(a
0,b 0).反过来
bb
写为 a a(或 a b a b)(a 0，b 0) ，则为二次根式的除法法则，即bb 二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变. 注意：二次根式的乘、除法法则和积的算术平方根、商的算术平方根的性质互为逆运算，在计算和化简二次根式时可结合题目灵活运用，但始终要注意法则与性质成立的条件.
7、分母有理化(例7)
定义：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.例如 2 2 6 6
3 3 9 3 注意：(1)有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式.
(2)分母有理化的依据：分式的基本性质.
(3)分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式.
(4)分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，如a(a 0) 的有理化因式是 a .
8、二次根式的合并(例8) 合并被开方数相同的二次根式，把系数相加减，根指数和被开方数不变.方法与整式加减运算中的合并同类项类似，例如 3 3 2 3 1 3 (3 2 1) 3 3 3.
2 2 2 二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式.
9、二次根式的加减法(例9)
二次根式的加减法法则：二次根式的加减运算，就是将被开方数相同的项进行合并。

为此，首先应将每个二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.可简单地概括为：先化简，后合并.
（1）二次根式的加减实际上就是合并被开方数相同的二次根式，因此在进行二次根式加减时，能否准确化简二次根式是关键.化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并，如 2 3 就是最简结果，不能再合并. （2）二次根式的加法也满足加法交换律和结合律.
10、二次根式的混合运算（1）运算顺序：与数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的混合运算，也应先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的.
（2）二次根式混合运算的结果应写为最简形式，这个形式可以是最简二次根式，也可以是几个非同类最简二次根式的和或差.
（3）在运算过程中，每个二次根式都可以看成是一个“单项式”，因此实数运算中的运算律（结合律、交换律、分配律等）和所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等）在二次根式的运算中仍然适用.
三、例题讲解
1、下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
（1）5；（2）x21；（3）9 （4）3 64
2、化简：（1）（23）2；（2）（ 2 3）2；（3）（ 7）2；（4）（52）2
3、化简：（1） 300 ；（ 2） 14
112
4、化简：
（ 1）
5、化简
1 1
23
64 25
；（2）
169
6、计算：（1） 6 3；（2） 4 5 3 10 ；（3） 108 12 ；（ 4） 15
7、把下列各式分母有理化：
32
1）
3；（2）2 5.
8、合并被开方数相同的二次根式：
二次根式讲义
1)3 2 ( 2 2) 5 2 ； 2) 2a ab b ab
b
ab
2
10、( 1)( ( 80 40) 5 (2)(5 3 2 5)
2
5、计算： 27 23
8 3 1
2
____________ 2
(1) 1 (1 3)(1 3) 12 5
9、
1) 3 48 9
1
3 12 ；(2)3 40 3
四、中考链
接 1、
若实数 a,b 满足 a 2 b 4
2 0，则 a
b 2、计算 2 6 =
3、计算 (
4、计算 3 6 2 2 3 6、 7、
2 8、先化简，再求值：x
xyx 9、计算：( 1) 2 ( 8 10)
10、计算：（1）（ 5 2）（ 5
五、巩固提
高
1、化简40 的结果是（）
2
y，其中x y
(2) ( 24 2)
A.10
B.2 10
C. 4 5
D.20 计算
24 ( 2 2) __________________
3
43 4
3
__________
2、
3、
4、计算18
计算 3 6 30
5、计算：8 72 9
6、计算：27 12 4
1
7、计算24 18 1
8、计算：(1) (3 18 1 50 4 1) 32
52
2) 48 3 1 12 24
2 1 2 3, y 1 2
3 50) 2
( 3 1)2
9、（岳阳）下列二次根式中属于最简二次
根式的是（
A ．14 B．48 C．
b
D ．4a 4
10、如果x ? x 6 x（x 6），那么
（）
A．x≥0 B．x≥ 6 C．0≤ x≤ 6 D．x 为一切
实数
11、（湖南长沙）小明的作业本上有
以下四题：
① 16a44a2② 5a 10a 5 2a a 1a a2?1a a ；
④ 3a 2a a A．①B．②做错的题是（）
C．③D．④
12、化简
A．11
30 11
5
1 1
6的结果为（
B．30
330
13、（青海）若最简二
次根式A． a 3
4 B． a 4 3
14、（江西）化简8 2
（ 2
A．—2 B． 2 2
C．
330
30
D．30
11
1 a与 4 2a 的被开方数相同，则 a 的值为（）
C．a=1 D．a=
—1
2）
得（
C．2 D． 4 2 2。

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