第11章 磁场和它的源
磁场中的高斯定律
磁场中的高斯定律磁场是物理学中一个重要的概念，它是描述物体周围的磁性力线分布及其相互作用的数学模型。
磁场中的高斯定律是描述磁场分布的一种重要方法，它对于我们理解和应用磁场具有重要的意义。
高斯定律是由德国数学家高斯在19世纪提出的，它是电磁学中一组基本的方程之一。
高斯定律描述了磁场中的磁通量与周围磁场的关系，即磁场的源与汇之间的平衡关系。
根据高斯定律，任意闭合曲面上的磁通量等于该曲面内的磁场源的总量，即磁场源的数量与周围磁场的分布密切相关。
这一定律可以用数学公式表示为：Φ = ∮ B·dA = μ0M其中，Φ表示磁通量，B表示磁感应强度，dA表示曲面上的微元面积，μ0表示真空磁导率，M表示磁场源的总量。
高斯定律的应用范围非常广泛，它在电磁学、磁学、电子学等领域都有重要的应用。
例如，在电磁感应中，高斯定律可以用来计算磁场源在电线圈上产生的感应电动势；在电磁波传播中，高斯定律可以用来分析电磁波的传播特性。
此外，在电磁设备的设计和优化中，高斯定律也可以用来确定磁场的分布情况，以提高设备的性能。
除了在应用中的重要性外，高斯定律还有助于我们对磁场的本质进行理解。
根据高斯定律，磁通量与磁场源的总量成正比，这意味着磁场源越多，磁通量就越大。
换句话说，磁场源的数量决定了磁场的强弱。
这一观点对于我们理解磁场的产生和变化机制非常重要。
在实际应用中，我们经常需要通过测量磁场的分布来确定磁场源的性质和位置。
高斯定律可以作为一种有效的工具，帮助我们进行磁场测量和分析。
通过测量磁通量和确定曲面上的面积，我们可以计算出磁感应强度，并进一步推导出磁场源的总量和分布情况。
磁场中的高斯定律是描述磁场分布的一种重要方法。
它通过磁通量和磁场源的关系，帮助我们理解和应用磁场。
在实际应用中，高斯定律可以用来计算磁场的分布和性质，从而提高设备的性能。
通过深入研究高斯定律，我们可以更好地理解磁场的本质和变化机制，为磁场的应用提供更有效的方法和工具。
地球磁场
正常场和磁异常
按研究地磁场的目的不同，可将地磁场分为正常地磁 场（正常场）和磁异常（异常场）两部分。 通常情况下，正常场和异常场是相对的概念，这和重力勘 探中的基准场和重力异常的概念是类似的。 正常场可认为是磁异常（即所要研究的磁场）的背景场或 基准场。
正常场和磁异常
磁暴 磁暴是一种强烈的磁扰动。从赤道到极区均可观察到磁暴
现象；而且几乎是全球同时发生。发生时对磁场水平分量的强 度影响特别显著，对垂直分量影响相对小些。因此，通常研究 磁暴的形态和特征是通过水平分量强度变化来进行的。
地磁脉动 地磁脉动是一种地磁场的微扰变化，它具有准周期结构的
特点。一般周期介于n×10-1～n×102s，频率范围从毫赫到数 赫；振幅的变化范围为n×10-3～n×10nT(在强扰动期间也可 达数百纳特)。
变化磁场 地球内部场源引起的缓慢长期变化和地球外 部场源引起的短期变化
地磁场的短期变化
太阳日变化是以一个太阳日24h为 周期，称为地磁日变。它的变化是 依赖于地方太阳时。其基本特点是： 各个地磁要素的周日变化是逐日不 停地在进行，其中振幅易变、相位 几乎不变。白天(6--18)时磁场变 化较大，夜间较平静。夏季的变化 幅度最大，冬季的幅度最小，春秋 季节居中。日变的平均幅度为n— n×10nT。
Tsi =T0+Tm+Ta
T0为中心偶极子磁场，Tm为非偶极子磁场（也称为大陆磁场
或世界异常，基本磁场）， Ta 为地壳磁场。
T = T 0+ T m + T sc+ T 'a+ T ''a+ δ T
基本磁场占地磁场的99％以上，是构成地磁场主体的稳定磁场。 其强度在近地表时较强，远离地表时则逐渐减弱。 变化磁场占地磁场的很小部分（＜1％）。这种磁场主要是 由太阳辐射、太阳带电粒子流、太阳的黑子活动等因素所 引起的。因此，它常包含有日变化、年变化及太阳黑子活 动引起的磁暴（即较剧烈的变化）等成分。
磁场的涡旋源
磁场是一种非常神奇的物理现象，它既可以被用来制造电磁设备，也可以用来探测地球的磁场。
而磁场的涡旋源则是磁场的一个重要特性，下面我们来详细了解一下。
首先，磁场的涡旋源是指在某个区域内磁场的旋转方向。
磁场的旋转方向可以是顺时针或逆时针，而涡旋源则是指在某个区域内这种旋转方向的变化。
涡旋源可以是单一的，也可以是多个交错存在的。
其次，涡旋源是磁场的一种局部现象，它只存在于磁场的某个区域内。
在涡旋源周围的区域内，磁场的方向是连续的，没有明显的旋转方向变化。
因此，涡旋源是磁场的一个局部特性，可以被看作是磁场的一种“异常”。
第三，涡旋源的存在对磁场的特性有着重要的影响。
涡旋源会导致磁场的强度和方向发生变化，同时还会影响磁场的传播速度和能量密度。
因此，在磁场的研究中，涡旋源是一个非常重要的研究对象。
第四，磁场的涡旋源在许多应用中都有着重要的作用。
例如，在电动机和发电机中，涡旋源是电磁场的一个关键特性，它决定了电机的运行效率和输出功率。
在地球物理探测中，涡旋源则可以被用来探测地球的磁场，从而了解地球内部的结构和构成。
最后，涡旋源的研究也是一个非常有趣的课题。
涡旋源的形成和演化过程涉及到许多物理现象，例如电磁感应、磁场的反转和扭曲等等。
通过对涡旋源的研究，我们可以更深入地了解磁场的本质和特性，同时也可以探索许多新的应用领域。
总之，磁场的涡旋源是磁场的一个重要特性，它对磁场的强度、方向和传播速度都有着重要的影响。
涡旋源在许多应用中都有着重要的作用，并且也是一个非常有趣的研究课题。
希望今天的文章能够让大家对磁场的涡旋源有更深入的了解。
物理 磁场和它的源2
4 π r0 无限长载流长直导线
(cos1 cos 2 )
2
1 0 2 π
×
B
0 I
2 π r0
I
B
y
半无限长载流长直导线
π 1 2 2 π
x
C
o
1
P
BP
0 I
4πr
4
物理学
第五版
17-4
毕奥-萨伐尔定律
无限长载流长直导线的磁场
B
0 I
2πr
运动电荷的磁场
圆电流的磁场 dI 2 π rdr rdr 2π R 0 dI 0 dB dr o 2r 2 r 0 R 0 R dr B dr 2 0 2 0, B 向内 0, B 向外
18
解法一
物理学
第五版
17-5
运动电荷的磁场
解法二
运动电荷的磁场
dB0
0 dqv
4 π r2
R o r
dq 2 π rdr
v r
dr
B
dB
0
2
dr
0
2
R
0
dr
0 R
2
19
物理学
第五版
17-6
磁场的高斯定理
一 磁感线
切线方向—— B 的方向； 疏密程度—— B 的大小.
B
2 S
dS1
1
B2
B1
dΦ 1B 1 dS1 0 dΦ2 B2 dS2 0
B cos dS 0
S
磁场高斯定理
S B d S 0
从磁场中的高斯定理可知：
从磁场中的高斯定理可知：1.引言1.1 概述概述磁场是物质周围呈现出的物理现象，它对于电磁学和物理学的研究有着极其重要的意义和应用价值。
在研究磁场的性质和行为时，高斯定理是一种非常有用且常用的工具。
高斯定理通过描述磁场的流量和磁场源之间的关系，为我们提供了一种便捷的方法来分析和理解磁场的特性。
本文将讨论从磁场中的高斯定理入手，探究其背景、原理、推导和应用。
首先，我们将简要介绍高斯定理的背景和基本原理，包括高斯定理的提出者和其在电磁学中的重要性。
然后，我们将重点关注磁场中的高斯定理，介绍它的推导过程，并探讨它在实际问题中的应用。
通过这一过程，我们将充分理解高斯定理在磁场中的作用和意义。
最后，我们将总结对磁场中的高斯定理的理解和意义，并探讨它在电磁学和物理学领域的启示和应用。
由于高斯定理的普适性和便捷性，它为我们研究磁场的性质、解决实际问题提供了很大的帮助。
通过深入理解磁场中的高斯定理，我们可以更好地掌握电磁学的基础知识，同时也能够将这些知识应用于实际的工程和科学研究中。
总之，本文将通过对磁场中的高斯定理进行详细的讨论，旨在揭示其背后的原理和应用，加深我们对于电磁学和物理学的理解，并为我们在实际问题中的应用提供指导。
随着磁场研究的不断深入和应用的不断拓展，高斯定理将继续在这一领域中发挥重要作用，为我们的科学研究和技术发展提供有力支持。
1.2 文章结构文章结构的主要目的是为了让读者更好地理解文章的内容和逻辑性。
在本文中，文章结构分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分旨在引导读者对整篇文章的主题和内容产生兴趣，并对文章的背景、原理、目的进行概述。
在本文中，我们首先会简单介绍高斯定理的背景和原理，然后阐述磁场中的高斯定理的推导和应用。
接下来是正文部分，正文将详细讲解高斯定理的背景和原理，包括其基本概念、数学表达和物理意义。
我们会介绍高斯定理的起源和发展，并阐述其在电磁学中的重要性和应用。
此外，我们还会探讨磁场中的高斯定理的推导过程和具体应用实例。
磁场力方向
磁场力方向
磁场力是斥力和吸引力共同作用的结果，是由磁场产生的一种能量场。
在物理学中，
磁场是指由电流产生的电磁场，它能影响其它电荷，通常能改变他们的运动状态。
磁场力
可以用磁力矢量来表示。
磁场力的起源来源于通过在两个不同电位之间传递能量而产生的受力学。
量子力学解
释了电磁场的几何结构和物理特性。
这种力的方向取决于电荷的运动方向。
也就是说，在
电荷的运动方向上，磁场力为斥力；而在电荷的运动方向与之相反的方向上，磁场力为吸
引力。
由于磁场力的双性，它既可以斥开又可以吸引其它电荷，被称为交互作用能，广泛
存在于物体之间。
磁场力强度是从它本身而受到支配的，而不是它作用于某一物体上。
磁场力的强度取
决于磁场产生的力矩，而磁力矢量的级数，与这种力矩的大小和分布强度有关。
即，根据
磁力矢量的方向，可以清楚地确定磁场力的方向。
磁场力的方向取决于电荷的运动方向。
按照定义，磁场产生的力矢量指向电荷运动方向，而磁场力指向此力矢量的反方向。
由此可见，当受到磁场力的电荷偏移时，磁场力又
会被改变，以配合物体的移动方向。
例如，假设两个电子在一个磁场中运行方向相反，两
粒电子受到的磁场反向作用力会把它们击散开来。
同样，在一个有定向的磁场力场中，如
果电荷的运动方向同方向，它们的磁场力也是同向的。
磁场力的方向取决于电荷的运动方向，与电荷本身的特性无关，只与路径和方向有关。
磁场力是由磁场产生的力矢量决定的，它们由电荷及其运动方向决定，根据它们之间的关系，我们可以认识到磁力矢量的方向决定磁场力的方向。
磁铁磁场分布特性
磁铁磁场分布特性
磁铁是磁场中的一种源，它一般被均匀分割为永磁铁和转动磁铁两种形态。
根据磁场类型的不同，磁铁磁场分布有着不同的特点。
首先，永磁铁的磁场分布原理以及特性介绍，磁力线从磁极的质量中得出的，有针对一点或分段的。
磁力线主要来自极点即磁点，极点上方的分布密度较大，但远离极点，分布密度逐渐减少，甚至在一定距离上走向极点时变成负值，而且在不同方向上磁场有相应的分布形状。
其次，转动磁铁的磁场分布特性，在转动磁铁采用交流电源时，磁极上可以聚集大量电流，形成虚拟电极，从而形成了微磁密度，沿静磁场的边缘，微磁密度的梯度分布有明显的递减变化，磁场分布的形态比永磁铁的更复杂，在附近表面上主要形成双极状态，而在远离极点的空间中，随着电流缩小，磁力线会越发弱。
最后，就磁铁磁场分布特性而言，可以看出，无论是永磁铁还是转动磁铁，其磁场分布都会有所不同，磁场的强度分布也会随着方向和距离的变化而变化，因此，在实际应用中，需要根据各自的特点和使用场合，正确选择合适的磁铁，以期获得较为理想的磁场分布效果。
磁的几大概念
磁的几大概念磁是自然界中一种重要的物理现象，它涉及许多重要的概念和原理。
在本文中，我将介绍磁的几大概念，包括磁场、磁性材料、磁感应强度、磁力线和磁矢势。
首先，磁场是磁力的作用区域，它是由磁性物体产生的。
磁场可以分为静态磁场和动态磁场两种情况。
静态磁场是指磁场随时间不变，而动态磁场是指磁场随时间变化。
磁场是由磁源产生的，常见的磁源包括磁铁和电磁铁。
磁场的强度是通过一个物理量磁感应强度来描述的。
磁感应强度是磁场的一个重要参数，它表示单位面积内通过的磁力线的数量。
磁感应强度的单位是特斯拉(Tesla)，一特斯拉等于一个平方米内通过的磁力线数量为1。
磁感应强度的大小和方向取决于磁场的分布情况和磁源的性质。
磁感应强度是磁力计算和磁场研究的基础。
磁性材料是指具有磁性的物质，例如铁、镍和钴等金属。
磁性材料可以分为两大类：铁磁材料和非铁磁材料。
铁磁材料在磁场中会表现出强烈的磁性，能够吸引磁铁或其他铁磁材料。
常见的铁磁材料包括铁、镍和钴等。
非铁磁材料在磁场中表现出微弱的磁性，不能吸引磁铁。
常见的非铁磁材料包括木材、玻璃和塑料等。
磁力线是描述磁场分布的一种方法，它是由磁场的磁感应强度方向组成的曲线。
磁力线从磁南极指向磁北极，线的密度表示磁感应强度的大小。
磁力线的性质可以帮助我们理解磁场的分布情况。
例如，在磁力线的相互作用下，两个磁铁可以相互吸引或排斥。
磁矢势是磁场的另一个重要概念，它描述了磁场的能量分布情况。
磁矢势是一个矢量场，它的方向和大小表示磁场的方向和强度。
磁矢势的计算可以通过安培定律和比奥-萨伐尔定律来实现。
磁矢势在电磁场和电磁波的研究中起着重要作用。
综上所述，磁的几个重要概念包括磁场、磁感应强度、磁性材料、磁力线和磁矢势。
这些概念帮助我们理解磁的性质和行为，对于磁力的计算和应用有重要意义。
磁的研究不仅在物理学中具有重要作用，还广泛应用于电子技术、医学影像和地球物理学等领域。
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Ib b O a Ia
∴
Ba B 同理 b 4 2a Ba 和 Bb 均垂直向外
0 I a
0
0
4
而两直线段上元电荷 dq 旋转形成 I b 等效圆形(平均)电流 d I r b dq dI r 2 T 2 dr π dr dr r 2π O a dr 0 dI r d r I 0 a ∴ dBr d I 2r r 2π r 所有的 dB 垂直向外. 0 b dr 0 b 则 Br dBr 2π a r 2π ln a ∴ O 点处总磁感应强度的大小： 0 b B Ba Bb Br 2π ( π ln a ) B 方向：垂直向外
I a b P
如图，在距原点x远处取宽度dx的薄板，为 I dI dx ， 它在P点的磁感应强 一长直电流 a 度方向垂直向里，大小为
dB 2 (a b x)
I a
O
b
P
0 dI
2a(a b x)
0 I
dx
x dx
x
则整个薄板形电流在P点的磁感应强度大小为
B dB
z
解： 0 I ˆ B入 k 4πR
R O y
0 I 3 ˆ B弧 i 2R 4
x
I
0 I ˆ B出 j 4πR
0 I ˆ ˆ2ˆ B 3π i j 2k 8πR
11-3 电流由长直导线 1 沿半径方向经 a 点流入一电阻均匀分布的 圆环，再由 b 点沿半径方向从圆环流出，经长直导线 2 返回电源， 如图所示。已知长直导线上电流强度为 I，求圆心 O 点的磁感应 强度. 2 b 解： ∵O点在导线 1 和 2 的延长线上, ∴ B1 = B2 = 0 I 设环的半径 a , 两导线夹角 ，环的电阻 率ρ, 横截面积 S , 则二段弧的电阻分别为
a R S
I O
a(2 ) R S 2 IR I I 2π R
2π
2π
并联
R
a (2 ) S 2
a I 1
IR I I R 2π
B
B
0 I
2r
0 I 2 π
I
O
R
R
(2)
a
O
(3) 正方形的每条边在O 处产生的 B 均相同 一条边在O 处产生的 B 由下式给出（方向垂直向里）
B直o 20 I 1 3 (cos1 cos 2 ) (cos cos ) 4π r 2πa a 4 4 4π 2
1 I
(3)
2
0 I
d e dE r 2 ar 2 dt dt
r
P
d e 又 B dl o ( I c o ) L dt
极板间 I c 0
B
2rB o 0 ar 2
1 o 0 ar 2
11-13 如图所示的为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场 E ，其方向垂直纸面向内， E 的大小随时间t线性增加，P为 圆柱体内与轴线相距为r的一点，则（1）P点的位移电流密度的 方向为 向内 ；（2）P点感生磁场的方向为 竖直向下 。
0 Ib
11-11 如图所示，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环路 L1、L2的磁感应强度为B的环流中，必有 B dl < dl LB L1 2 L （填“ > ”或“ < ”或“ = ”） 解： 在电容器二极板间取一和极板边缘一样的 L 回路L（下图中红色虚线所示）
8π 2 r
B 向外,
B 向里
0 I 2 2π
2r
0 I 2 π
8π 2 r
B环 B B 0 BO B环 B1 B2
0
11-4 如图所示，一宽度为a的无限长金属薄板中通有电流I，电流 沿宽度方向均匀分布，求在薄板平面内距板一边距离为b的P点的 磁感应强度大小和方向。 解： 无限长薄板电流可视为由无数 根长直电流构成
I a b
x
a x y dy b y
则对矩形回路的磁通量为
o
m d m
xa
Bbdy
x x
xa
0 I 0 Ib a x bdy ln( ) 2y 2 x
11-10 两无限长平行直导线与一直角三角形共面，各部分尺寸如 图所示。已知两导线中的电流均为I，求三角形回路中的磁通量。 解：取如图所示的x轴，在距原点x远处取宽度dx I I 的窄条，其高度为 h b (a r x)
2 r I内 2 I R
I
r
B
dr
S
l
B
0 Ir
2 πR 2
d m B dS BdS Bl dr
m d m
R
0
Bldr 0 l
R
0 Ir
2 πR 2
dr
0 Il 4
11-9 无限长平行直导线与一矩形共面，各部分尺寸如图所示。 已知导线中的电流为I，求矩形回路的磁通量。 解：取如图所示的y轴，在距原点y处取宽度dy的 I 窄条。无限长平行（与此窄条平行）直线电 0 I ˆ 流的磁场分布为 B 2y B ，对此窄条的磁通量 为 ˆ d m B dS BdS Bbdy ( B || dS )
2( x 2 R 2 )3 2
方向沿轴线且与电流方向成右手螺旋关系
11-6 有一闭合回路由两个半径为 a 和 b 的同心共面半圆连接而成， 如图所示，其上均匀分布线密度为 的电荷，回路以角速 度 绕过 O 点垂直于回路的轴转动, 求圆心 O 点处的磁感应强 度 BO.
解：∵电流定义为 1 秒钟内通过某 截面的电荷量, ∴等效圆形(平均) 电流 q 1 a π a I a T 2π 2
I dq R d R dt dt
半径为R，电流为I的圆形电流在其轴线上离圆心x远处一点 的磁感应强度大小为（参见张三慧编《大学物理学》第三版 上册 P273，式（11.11）） 2
B
0 IR
2( x 2 R 2 )3 2
将 I R 带入上式得
B
0R 3
11-8 一根很长的铜导线均匀载有电流I，截面半径为R，在导线内 部作一平面 S ，如图所示，试计算通过 S 平面的磁通量 (沿轴线 方向取长为l的一段作计算).（铜的磁导率 0 ） 解： 以轴为中心作半径 r 的圆环 0 I内 则环上 B 2πr 当 0＜r＜R 时： B 沿环的切向.
1
2
显然，有 B dl B dl
L1 L
（穿过L的位移电流显然比 穿过L1的大，再利用普遍 的安培环路定理即可推得）
L
L1
忽略边缘效应且认为导线处的 I d 0 ； 无导线处，即电容器极板间， I c 0 。 则由全电流连续原理知，导线处的传导电流 I c 与极 板间的位移电流 I d 相等 又，普遍的安培环路定理
B dl 0 I
L
B
0 I
2πr
r a I 0
ar b
∴
B0
I
B
I 2 2 π ( r a ) 2 2 π(b a )
∴
0 I (r 2 a 2 )
2πr (b 2 a 2 )
r b
I I
∴
B
0 I 2 πr
L dl 0 I c 0 I d B dl LB L 2 B dl B dl
L2
B dl o ( I c I d )
L1
L2
11-12 半径为R的两块圆板，构成平行板电容器放在空气中， 现对电容器匀速充电，使两板间的电场的变化率为 dE dt a ， P点是两极板之间到对称轴距离为r的任意一点，求P点处的磁 感应强度。 解： 在平行板间取一半径为r 的圆形回路 穿过该回路的电通量随时间的变化率
a
1
r2 b
窄条面积为
dS hdx
b (a r1 x)dx a
r1
a
左、右二长直导线电流在窄条处的磁场分别为
B1
0 I （垂直向外） 2x
B2
2 [ x (r1 r2 )]
0 I
（垂直向里）
I o
I r2 r1
则窄条的磁通量为
d m ( B2 B1 )dS 0 a2a(a b x)
0 I
dx
2πa
0 I
ln
ab b
方向垂直向里
11-5 如图, 半径为 R, 电荷线密度 ( > 0 ) 的均匀带电的圆线圈绕 过圆心与圆平面垂直的轴以角速度 转动, 求轴线上任一点的磁感 应强度 B . R 解： 带电的圆线圈转动时，等价为一圆形电流 O 取 dq dl Rd 则圆形电流的电流强度大小为
11-1 如图所示，电流I沿三种不同形状的导线流动，求下列各种 情况下O点处的磁感应强度大小。
R
O
I
O
R
a
I
I
R
(1)
(2)
(3)
解：
B直 4π r
几型载流导线的磁场公式
(cos1 cos2 )
0 I
B长直
2π r
0 I
B半长直
4π r
0 I
B弧心
0 I 为弧所对应的圆周角） （ 2 R 2
dx b x a
x
0 I 1 1 b ( ) (a r1 x)dx 2 x r2 r1 x a