抽象代数
抽象代数-
抽象代数抽象代数是一种研究代数结构的数学分支。
它主要研究抽象结构的性质和关系，这些结构在代数学中经常出现。
代数结构通常由一组对象以及代数运算所组成。
例如，向量空间就是一个代数结构，由向量组成，并在其上定义了称为加法和数乘的运算。
另一个例子是环，由一组元素和两个二元运算组成，称为加法和乘法。
抽象代数中的基本概念是群、环和域等代数结构。
一个群就是一个集合，其中包含一些元素以及定义在这些元素上的二元运算。
这个运算必须满足一些条件，例如结合律和单位元素的存在性。
另一个重要的性质是每个元素都有一个逆元素。
群的一些典型例子包括对称群和整数群。
环是一种代数结构，其中包含一个集合，以及定义在这个集合上的两个二元运算（加法和乘法）。
这些运算必须满足一些条件，例如分配律和乘法单位元素的存在性。
整数环和矩阵环都是一些典型例子。
域是一种代数结构，它包含一个集合，以及定义在这个集合上的加法、乘法和求逆元素运算。
域的一个重要性质是它的乘法和加法都满足分配律。
实数域和复数域都是典型的域。
在抽象代数中，还有一些与上述代数结构相关的概念，例如同态和同构。
同态是指两个代数结构之间的一种映射，它保留了结构中的一些性质。
同构是指一种同态，其中映射还是一一映射。
抽象代数中的一个重要原理是结构定理，它给出了任何有限生成的交换群的结构。
换言之，任何有限生成的交换群都可以写成一些有限阶循环群的直和形式。
这个原理是代数几何和代数数论中的许多结论的基础。
总的来说，抽象代数是研究代数结构的重要分支，它涵盖了群、环、域等许多概念，并具有广泛的应用，包括密码学、编码理论、代数几何和代数数论等。
抽象代数的初步认识
抽象代数的初步认识抽象代数，作为数学的一个分支，涵盖了代数结构的研究和应用。
它对于理解数学中的一些基本概念和原理具有重要意义，本文将对抽象代数的初步认识进行探讨。
一、代数结构的基本概念在开始介绍抽象代数之前，我们需要回顾一些代数的基本概念。
代数结构是指集合S以及定义在其上的一些运算符号的组合。
常见的代数结构包括群、环、域等。
群是指在某个集合上定义了一种运算，且满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。
环具备两种运算：加法和乘法，并满足封闭性、结合律、分配律等性质。
域是具有加法、乘法和逆元的环。
二、抽象代数的基本概念抽象代数是对代数结构进行深入研究和抽象化的学科。
它研究了代数结构之间的关系，以及它们的性质和性质之间的相互影响。
抽象代数的核心概念之一是同态映射，它描述了两个代数结构之间的映射关系。
同态映射能够保持代数结构中的运算性质。
另一个核心概念是同构，指的是两个代数结构之间存在双射的同态映射。
同构代数结构在某种程度上可以看作是完全相同的。
三、抽象代数的应用抽象代数在数学中有广泛的应用。
首先，在数论中，抽象代数提供了一种方法来研究数的性质和关系。
其次，在几何学中，抽象代数为研究平面、空间等几何结构提供了工具和方法。
例如，通过引入向量空间的概念，可以将几何问题转化为代数问题来求解。
此外，在密码学和编码理论中，抽象代数也扮演着重要的角色。
通过抽象代数的方法，可以设计出安全性较高的密码算法。
四、抽象代数的发展历程抽象代数的发展可以追溯到十九世纪，由许多数学家共同推动。
其中，埃米尔·诺特等人提出了群的概念，并建立了群论的基本框架。
后来，大卫·希尔伯特和埃米·诺特等人进一步完善了抽象代数的系统体系，将其广泛应用于各个数学领域。
随着数学的发展，抽象代数得到了进一步的扩展和应用，涉及的领域也越来越广泛。
五、抽象代数的挑战与展望尽管抽象代数在数学领域发展迅速且广泛应用，但仍然存在着一些挑战和问题值得探讨。
抽象代数高等数学教材
抽象代数高等数学教材抽象代数，作为数学的一个重要分支，研究的是代数结构的抽象概念及其性质。
它是现代数学的基石之一，也是高等数学中的一门重要课程。
本教材旨在全面而系统地介绍抽象代数的基本概念、理论和方法，帮助读者建立起对抽象代数的深入理解和应用能力。
第一章：群论1.1 群的定义与性质1.2 群的子群与商群1.3 幺半群与半群1.4 群同态与同构1.5 群的作用与置换群第二章：环论2.1 环的定义与性质2.2 整环与域2.3 环的同态与同构2.4 素理想与极大理想2.5 多项式环与唯一因子分解整环第三章：域论3.1 域的定义与性质3.2 代数扩域与超越扩域3.3 有限域与伽罗华理论3.4 不可约多项式与域的扩张第四章：线性代数4.1 线性空间的定义与性质4.2 线性变换与矩阵4.3 特征值与特征向量4.4 正交矩阵与对角化4.5 线性空间的直和与内积空间第五章：模论5.1 模的定义与性质5.2 子模与商模5.3 生成元与基本定理5.4 非交换环上的模5.5 自由模与有限生成模第六章：域扩张与代数闭包6.1 域扩张的概念与性质6.2 代数元与超越元6.3 代数闭包与代数簇6.4 代数闭域与代数不变量6.5 有理函数与分式域的构造第七章：范畴论与同调代数7.1 范畴的基本概念与性质7.2 范畴的构造与自然变换7.3 函子与函子范畴7.4 外代数与同调代数基础7.5 奇异同调与同调算子第八章：群表示论8.1 群表示的基本概念与性质8.2 单群与群同态8.3 群表示与欣格尔引理8.4 卷积公式与算术引理8.5 特殊群的表示与表示的构造结语：本教材通过系统而严谨的讲解，涵盖了抽象代数的核心内容，旨在培养读者对抽象代数的兴趣和学习动力，提升读者对数学的抽象思维能力和证明能力。
在学习的过程中，读者还可结合习题和实例进行巩固和应用，从而更好地掌握抽象代数的理论与方法。
希望本教材能成为读者学习抽象代数的重要参考资料，为他们在数学领域的探索和研究奠定坚实基础。
数学中的抽象代数学原理
数学中的抽象代数学原理在数学领域中，抽象代数学原理是一门涉及代数结构的分支学科，它研究的对象不再是具体的数或几何图形，而是一种抽象的代数结构。
通过引入符号和定义，抽象代数学原理帮助我们研究和解决各种问题，从而深化了我们对数学的理解。
本文将介绍抽象代数学原理的基本概念、重要定理以及其在数学中的应用。
一、基本概念1.1 集合与运算抽象代数学原理的基础是集合论。
集合是一种包含元素的集合体，而运算则是对集合中元素的操作。
常见的运算有加法、乘法等。
在抽象代数中，我们引入了符号和定义，将运算进行了抽象化，从而可以更深入地研究和推广。
1.2 代数结构代数结构是指由集合和定义在其上的运算构成的一种数学结构。
常见的代数结构包括群、环、域等。
群是指在运算下封闭、满足结合率、存在单位元和逆元等性质的代数结构。
环则在此基础上加入了乘法运算，域则满足更多的性质，如存在乘法逆元等。
二、重要定理2.1 哈代(Hada)定理哈代定理是抽象代数学中的一个重要定理，它指出：在代数封闭的域上，任意一个整数次数的多项式方程都有根。
这一定理对于解决方程问题具有重要意义。
2.2 同态与同构定理同态和同构是抽象代数学中的两个重要概念。
同态是指保持运算结构的映射，同构则是既单射又满射的同态映射。
同态与同构定理告诉我们，如果两个代数结构之间存在同态或同构映射，那么它们之间的性质将是相似的。
三、在数学中的应用抽象代数学原理在数学中有广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用领域：3.1 密码学密码学是应用数学的一个重要领域，它研究如何保证信息的安全性。
抽象代数学原理在密码学中扮演着重要的角色，通过利用代数结构的性质，可以设计出安全可靠的加密算法。
3.2 编码理论编码理论是研究如何将信息进行编码和解码的学科。
抽象代数学原理在编码理论中的应用广泛，例如纠错码的设计和解码算法的研究。
3.3 图论图论是研究图及其性质的学科，抽象代数学原理在图论中的应用也非常重要。
高等学校教材：抽象代数
高等学校教材：抽象代数
抽象代数是数学中一个重要的分支，它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。
因此，抽象代数是一个非常重要的学科，被纳入高等教育的必修学科之一。
抽象代数具有对对象的抽象性、逻辑性和构造特征。
它探讨的是一个特定的运算系统的性质，即一个或多个变量的数学运算，包括一元操作、二元操作、多元操作以及更多的称为结构的性质，比如群结构和环结构。
抽象代数是抽象思维的重要工具，运用它可以提取出许多抽象性质。
它对解决一些基本的数学问题及其逆问题也是非常有用的，例如具有特定性质的表达式的构造、破解密码的解算、几何形状的建模等。
此外，它还可以用来研究抽象代数中各类数量结构的有关性质，比如多项式代数结构，以及传统代数问题。
抽象代数有许多经典的理论，比如Galois理论、群论、环论，它们为学习抽象代数和理解抽象代数提供了经典的框架。
学习抽象代数也可以从有关代数概念的角度出发，如应用抽象代数表示一元多项式关系、理解群结构和环结构以及了解多项式的相关概念等。
抽象代数的入门学习也需要具备一定的先修知识，如微积分、线性代数以及计算机科学等。
此外，还需要有良好的抽象思维能力和模型构造能力，以及足够的练习经验。
抽象代数是数学经典理论的一大分支，它具有理论和实践性的价值，在不同的学科和领域中都有着重要的应用。
作为一门经典学科，
抽象代数的学习有着宽广的前景，值得我们认真研究和思考。
抽象代数知识点总结
抽象代数知识点总结一、群的基本概念与性质1、集合及其基本概念集合是研究对象的所有对象的总体，且每个对象都是它的一个成员。
集合的基本概念有空集、全集等。
2、二元运算及其基本性质设M是一个非空的集合，如果对于M中的每一对元素（a，b），都有一个元素：c与之对应，那么就称c在二元运算下，是a和b的像，记作：c=a*b or c=ab 或c=a×b。
3、群的基本概念设G是一个非空集合，*是G上的一个二元运算，如果满足下列4条性质：1）封闭性：对于G中的任意两个元素a、b，有a*b＝c，则c也是G中的一个元素。
2）结合律：对于G中的任意三个元素a、b、c，有(a*b)*c＝a*(b*c)。
3）存在单位元：存在G中的一个元素e，对于G中的任意一个元素a，都有e*a＝a*e＝a。
4）存在逆元：对于G中的任意一个元素a，存在G中的一个元素b，使得a*b＝b*a＝e。
则称（G,*）为一个群，*e*为群的单位元，b为a的逆元。
4、群的基本性质群具有唯一性、反号的相等性、等式的一般性质以及二次方向等性质。
5、群的记号与群的表示法群记号一般由两部分组成，它们的含义可以简单分别叫做群名和运算名，前者表示群的所有元素的种类，后者表示群的元素相互之间的运算。
这是群的基本概念与性质的介绍，群是代数结构中的一种基本结构，具有很强的普适性，因此在很多数学分支中都有广泛的应用。
二、群的子群与陪集1、子群的定义设（G，*）是一个群，对于G的一个非空子集H来说，如果在G的运算*下，H构成一个群，则称H是G的一个子群。
2、子群的判定定理判定定理是指定群的一个非空子集是否为子群的方法，使得许多确定子群是否存在的问题可以迅速得到解决。
3、陪集的基本概念给定群G，a是G的一个元素，在G中a的左陪集和右陪集分别定义。
4、陪集的划分与陪集的等价关系陪集的划分是一个重要概念，若H是G的一个子群，a是G的一个元素，G可被H分成无穷个不相交的子集（陪集）：aH={(ah|h∈H)}及Ha={(ha|h∈H)}三、同态与同态定理1、同态的定义设（G，*）和（G’，*’）是两个群，如果G、G’之间的映射f满足一定条件，即对于任意的a.b∈G，有f(a*b)=f(a)*’f(b)，则称映射f为从（G，*）到（G’，*’）的同态映射。
数学中的抽象代数
数学中的抽象代数数学是一门可以追溯到古代的学科，在数千年的演变过程中，出现了各种各样的分支。
其中，抽象代数是一门比较新的学科，与我们平时学习的数学知识有所不同。
本文将从基本概念、代数结构、进一步谈到群、环和域这几个重要的概念，以及抽象代数在现代科技中的应用等方面，逐步展开对抽象代数的探讨。
一、基本概念抽象代数是一门从代数结构本身出发，研究代数结构的一般性质和模式的学科。
它将代数结构本身作为研究对象，不再局限于具体数学中出现的代数结构。
这就导致了一种独特的数学语言和思维方式，在抽象代数中，我们不再关注代数对象之间的计算方法，而是关注这些对象所具有的共性。
在抽象代数中，我们研究的不是数，而是符号之间的关系。
二、代数结构代数结构是指由一组元素和一些定义在这些元素上的代数运算所组成的。
这里“元素”可以是任意事物的抽象量，如数、向量、函数、矩阵等；“代数运算”指的是可以在这些元素之间进行的运算，如加、减、乘、除等。
常见的代数结构有群、环、域、向量空间等。
三、群群是最基本的代数结构之一，它是一种带有一种二元运算的集合，这个运算满足四个公理：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
封闭性指的是群中任意两个元素的运算结果仍是群中的元素；结合律指的是运算不受元素之间的顺序影响；单位元指的是可以使该群中的元素和该元素自身运算得到该元素；逆元指的是存在唯一的逆元，可以使该元素和该逆元运算得到单位元。
举个例子，全体二阶可逆方阵构成的集合就是一个群，加法是二阶矩阵之间的加法，单位元是零矩阵，逆元就是该矩阵的相反数。
四、环环是一种带有两种二元运算的集合，分别叫做加法和乘法，这个运算满足一些公理：环是加法群，乘法具有结合律和分配律，乘法具有单位元，零乘任何数等于零。
简单来说，环就是一个满足加、乘运算规律的数学结构。
例如，典型的整数环就是一个环，这里的加法是普通的整数加法，乘法是普通的整数乘法。
五、域域是一种特殊的环，它满足乘法可逆性，即每个非零元素都有逆元。
抽象代数的概念与应用
抽象代数的概念与应用抽象代数是数学中一个非常重要的分支。
从字面上理解，抽象代数是对代数结构进行的一种抽象的研究。
虽然初学者可能会对这个领域感到陌生，但是抽象代数已经被证明是在许多不同的应用中至关重要的。
在本文中，我们将探索抽象代数的概念与应用以及它在数学、计算机科学、物理学和其他领域中的实际应用。
抽象代数的概念抽象代数是一种研究代数结构的数学学科。
代数结构是指一组数学对象及它们之间的一些关系，通常包括运算、等式和公理。
对这些对象和关系进行抽象地研究，是抽象代数的主要目标。
抽象代数的一个基本概念是群，它是一种代数结构，包括一组对象和一种二元运算，并满足一些基本性质。
具体来说，一个群必须满足以下性质：1. 闭合性： A和B是群G的成员，A*B也是群G的成员。
2. 结合律：对于群G中的任意三个成员，(A*B)*C=A*(B*C)。
3. 反元素：对于群G中的任意一个成员A，存在一个成员B，使得A*B=B*A=e，其中e是群G的恒等元素。
4. 恒等元素：存在一个元素e，使得对于群G中的任意元素A，e*A=A*e=A。
这些性质保证了群的基本性质，它们是抽象代数研究的核心内容。
在这之上，抽象代数还研究了其他代数结构，如环、域和向量空间等。
抽象代数的应用抽象代数在数学以外的领域中也有广泛的应用。
以下是抽象代数在数学、计算机科学、物理学和其他领域中的一些实际应用。
数学中的应用在数学研究中，抽象代数已被证明是一个强大的工具。
在代数几何中，群论、域论和其他抽象代数内容都扮演了重要角色。
抽象代数也被应用于实际问题的解决，如密码学中的ElGamal密码和Diffie–Hellman密钥交换协议等。
此外，抽象代数在贝尔定理、代数化数学、代数编程和代数处理四个方面都有广泛应用。
计算机科学中的应用抽象代数在计算机科学中也有广泛应用。
计算机科学中的数据结构、算法和程序设计等内容都涉及到抽象代数知识。
程序语言和编译器也要求对抽象代数有一定的理解。
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近世代数练习题一、填空题1、设集合A={1,2,3,⋯,m}，B={1,2,3,⋯,n}，是正整数n m ,，集合B A ⨯含有 个元素。
2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。
3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个4、n 次对称群n S 的阶是 。
5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。
6、设R 是模2n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2x 在R 里有个根。
7、由13=x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。
8、一个 环是域。
9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。
10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。
二、选择题1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ）。
332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC132231:→→→σD2、下列说法错误的是（ ）域是除环A域是整环B 可交换除环是域C可交换整环是域D3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。
奇数A 偶数B 0C 整数D4、下列环中不是除环的是（ ）整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()()=+++11352x xx （ ）。
()1A()12+xB()135++x xC()2235+++x x xD6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ）αασ→:A2:αατ→Bααρ-→:C ααδ→:D7、设22⨯R是数域R 上的一切22⨯矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则以下矩阵可作为环22⨯R的零因子的是（ ）。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000A⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0111C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101D 8、整数环Z 中，可逆元的个数是（ ）。
1A 2A 3C 4A9、剩余类加群Z 18的子群有( )。
个3A 个4B 个5C 个6D10、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()()=+++11352x xx （ ）。
()1A()12+xB()135++x xC()2235+++x x xD三、计算题1、设集合{}1174,1，，=A ，{}642，，=B ，求A ⋃B ， A ⋂ B ,B A ⨯。
2、设集合{}864,2，，=A ，{}963，，=B ，求A ⋃B ， A ⋂ B ， B A ⨯。
3、试举出一个由正实数集+R 到实数集R 的一一映射。
4、设6元置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=254613654321;456132654321;245316654321 ρτπ (1)求1-π,τρ(2)求π, τ和ρ的循环置换表达式,并求||π, τ, ρ。
5、求出3次对称群3S 的所有子群。
6、求出剩余类加群8Z 的所有子群。
7、设{}Q Q b a b a R ,,2∈+=是有理数集，问R 对于普通加法和乘法能否构成一个域。
8、设{}Q Q b a bi a C ,,∈+=是有理数集， 1-=i ，问C 对于普通加法和乘法能否构成一个域。
9、设P 是模7的剩余类环，在[]x R 里计算乘积：[][][]()[][]()4536223+--+x xx x 。
10、在[]x Z 7中计算：[][][]()[][][]()32445322++++x x x x 四、证明题1、设ϕ是群G 与群G 的同态满射，则(1) 若G H ≤,那么 ()G H ≤ϕ； (2) 若G H ,那么()G H ϕ。
2、证明：任何一个群都同一个变换群同构。
3、设G 是群，G g g ∈∀21,，则21g g 与12g g 的阶相同。
4、设G 是群，证明：G 的指数为2的子群H 为正规子群。
参考答案一、填空题1、n m ⨯2、44 3、mm 4、n 5、{}]4[],3[],2[],1[],0[6、n7、28、交换除9、最大理想 10、代数扩域（或扩张）二、选择题1、C2、D3、B4、A5、A6、D7、B8、B9、D 10、A 三、计算题1、解： A ⋃B={}11,764,21，，，, A ⋂ B ={}4； =⨯B A ()()()()()()()()()()()(){}6,11,4,11,2,116,7,4,7,2,76,4,4,4,2,4,6,1,4,1,2,1，，2、解： A ⋃B ={2,3,4,6,8,9}，A ⋂ B ={6}BA ⨯()()()()()()()()()()()(){}9,8,6,8,3,89,6,6,6,3,6,9,4,6,4,3,4,9,2,6,2,3,2，= 3、解：x x R R ln :→→+σ是由正实数集+R 到实数集R 的一一映射。
因为：1）∈∀y x ,+R ，若y x ln ln =，则y x =，所以σ为单射；2）R z ∈∀，z e x =∃，使得：z e x z==ln ln ，所以σ为满射。
所以σ为一一映射。
4、解: 1) ； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1453626543211π ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=452361654321254613654321456132654321 τρ 2) ()()()()()26316432154261 ； ； ===ρτπ[][]4623623=====ρτπ； ，； ， 5、解：3S 的所有子群：()()(){}11= ()()()(){}2,1,12,1= ()()()(){}3,1,13,1= ()()()(){}3,2,13,2= ()()()()(){}2,3,1,3,2,1,13,2,1=3S =()()()()()(){}2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1,16、解：8Z 的所有子群：[]()[]{}00=；[]()=1[]()=3[]()=5[]()=78Z ；[]()[]()[][][][]{}6,4,2,062==；[]()[][]{}4,04=。
7、解： R 对于普通加法封闭； 加法结合律显然成立；有零元：0； R b a ∈+∀2都有负元：R b a ∈--∀2∴R 对于普通加法作成加群。
又 R 对于普通乘法封闭；乘法结合律显然成立； 乘法对加法的分配律也成立；∴R 对于普通加法和乘法作成环又R 有非零元1； R 有单位元1 ()02≠+∀b a ∈R，都有其逆元：2222ba b a +-∈R∴R 对于普通加法和乘法作成域8、解： C 对于普通加法封闭；加法结合律显然成立； 有零元：0；C bi a ∈+∀都有负元：C bi a ∈--∀ ∴C 对于普通加法作成加群。
又 C 对于普通乘法封闭；乘法结合律显然成立；乘法对加法的分配律也成立； ∴C 对于普通加法和乘法作成环 又C 有非零元1； C 有单位元1()0≠+∀bi a ∈C ，都有其逆元：22b a bia +-∈C∴C 对于普通加法和乘法作成域9、解： [][][]()[][]()4536223+--+x xx x=[][][][][][][][][]12315246308210223345-+-+-++-x x x x x x x x =[][][][][][]122721382102345-+-+-x x x x x=[][][][][]56323345-++-x x x x 10、解：[][][]()[][][]()32445322++++x x x x=[][][][][][][][][]12x 8x 16x 15x 10x 20x 9x 6x 12223234++++++++ =[][][][][]12x 23x 35x 26x 12234++++ =[][][][]5x 2x 05x x 5234++++=[][][]5x 25x x 534+++四、证明题 1、证明：(1)()()}|{H g G g H ∈∈=ϕϕ，()H y x ϕ∈∀, ，H y x ∈∃,，使得：()()y y x x ϕϕ==, ,且由G H ≤，得：H x xy ∈-1,，则()()()xy y x y x ϕϕϕ==,()()111---==x x x ϕϕ所以()H xy x ϕ∈-1,，故 ()G H ≤ϕ。
(2) 由G H 和(1)得：()G H ≤ϕ，且()G g H x ∈∀∈∀,ϕ,G g H x ∈∃∈∃,，使得()()g g x x ϕϕ==, ，则 ()()()()111---==gxg g x g gx g ϕϕϕϕ，由G H 得：H gxg ∈-1，故 ()()H gxg gx g ϕϕ∈=--11，所以()G H ϕ。
2、 证明：设{} ,,,c b a G =是群，G x ∈∀，定义G 的一个变换：x g gx g x ττ=→:作集合{} ,,,c b a G τττ=，可定义G 到G 的满射：x x τφ→:又由消去律有：gy gx y x ≠⇒≠， ∴ y x y x ττ≠⇒≠∴φ为G 到G 的一一映射，且有()()===y gx xy g g xy τ=y g x τ()=yxg ττyx gττ即xyy x τττ=∴φ为G 到G 的同构映射，∴G 是一个群，且是一个变换群。
结论成立。
3、证明：若()()()()e g g g g g g g g nn==21212121即：()()e g g g g g g n =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2112121所以()()e g g g g g g n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-1211212即：()e g g n=12所以12g g 的阶≤21g g 的阶 同理：21g g 的阶≤12g g 的阶所以12g g 的阶=21g g 的阶，即：21g g 与12g g 的阶相同4、证明： H 为G 的指数为2的子群，则G x ∈∀，当H ∈∀x 时，当然有H H H ==x x ，当H ∉∀x 时，则由于 ()2:=H G ，故Hx xH H H G ==，从而只有x x H H =，即H 为正规子群。