简单的抽象代数基本知识2

⎛ 0 0⎞ ⎜ ⎜ 0 0 ⎟⎜ 0 0 ⎟ = ⎜ 0 0 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
定义1: 带幺无零因子的交换环称为整环 定义2：若A是至少含有0,1的环,且A -{0}构成乘法 群，则称A 为除环
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五，理想和商环 1,定义 定义1:设（ I ；+，*）是（R；+，*）的子环， 若对任意的R中元素a，有a I ={a*x|x∈ I}⊆I, 则称I是R的一个左理想。 若对任意的R中元素a，有I a ={x*a|x∈ I}⊆I, 则称I是R的一个右理想。 若I既是R的左理想又是右理想，则称I是R的理想。

b≠0 时，有 ab−1 ∈ F ′ 并且当
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二，域的特征 定义: 设在域(F,+, *)中，e为F的乘法单位元，0为 F的加法单位元，如果对任意的正整数n，都有 ne≠0，则称域F的特征为0，如果存在正整数 n，使得ne=0，则满足ne=0的最小正整数n为域 F的特征 定理1: 域的特征p或为素数或为0，特别的,对任 何有限域，其特征必为素数
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(3) 类似地，我们可以用a-b表示a+(-b)， na表示a的加法n次幂，即
a 1 4 + 4+ 3 na= a + 42... 4a
n个
而用an表示a的乘法n次幂，即 an= aa 2... a 1 3
n 个
规定:今后加法运算就是满足交换律的 规定:今后加法运算就是满足交换律的 二元代数运算 二元代数运算
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环的分类：
环 交换环 消去环 有幺元环 非零元有逆环
整环
除环
域
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例5 Q, R,C 都是域, 分别称为有理数域、实数 域和复数域. 证数域 F上的一元多项式环 F [ x ]的有理分式 首先, Zp是一个有单位元的含p 个元素的交 例6
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二，环 的 性 质 性质1 用数学归纳法，分配律可以推广如下： a（b1+…+bn）= ab1+…+abn， （a1+…+am）b = a1b+…+amb，
∑ a ∑ b =∑ a b
i =1 i j =1 j i i, j
m
n
j
性质2 a(c-b)=ac-ab， (c-b)a=ca-ba。 性质3 a0=0，0a=0。 性质4 a（-b）= -（ab），
编 码 理 论 基 础
哈尔滨工程大学理学院 信息与计算科学系 林 锰
Department of Mathematics, College of Sciences
第一章 简介抽象代数基本知识
1 2 3 授课预计 (6学时) 群的相关概念 环的相关概念 域及域上多项式
§2.2 环 的 相 关 概 念 一, 环的定义及相关内容 1，定义：设R是一个非空集合，其中有“+” “·” 两种二元代数运算，R叫做一个环，如果 1) a+b=b+a， 2) a+（b+c）=（a+b）+c， 3) G中有一个元素0，适合a+0=a， 4) 对于G中任意a,有-a,适合a+（-a）=0， 5) a·（b·c）=（a·b）·c， 6) a·（b+c）=a·b+a·c，（a+b) ·c=a·c+b·c。
（2）如果不存在R的真理想I′，使得:
I ⊂ I ′ ⊂ R ,则称I是R的最大理想。
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商环的定义 设〈I, +, ·〉是环R=〈R, +, ·〉的理想, 由I产生 的陪集关系记为~, 定义运算
(a + I ) ⊕ (b + I ) = (a + b) + I
适合对任意a ∈ G，1a = a1 = a 则称R为带幺环。
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从定义可以看出，带幺环(又叫含壹环)至少有 两个元构成,如模２的整数环。 例. 整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘 法下作成的环不是含壹环。 性质9 含幺环G的幺是唯一确定的。 性质10 设环G有1，则 1≠0。
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显然，任一非零环R至少有两个平凡理想： R本身和仅由R的零元 0 形成的子集{0}。 除了这两个理想外，如果R还有其他理想I， 则称I为R的真理想。 3,主理想：
a 设（R；+，·） 是一个环， ∈ R ,包含a的R的最
小理想称为由a生成的主理想记为<a>
Zp的乘法群 U ( p), = Z∗ 所以 Zp 中每个 换环, 又因为 f ( x) p | f ( x), g ( x) ∈ F [ x], g ( x) ≠ 0} 全体 F ( x) = { g( ) 非零元都可逆. 所以xZp是一个域.
是一个域(称为有理分式域). 例6 设 p 为素数, 则 Zp 是一个含 p个元素的有 限域.
a , b ∈ F 都有： f (a + b) = f (a ) ⊕ f (b)
f (a • b) = f (a ) ⊙ f (b ) 则称（F，+，·）与（F′，+，⊙）同构，
记为：（F，+，·）≌（F′，+，⊙）
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五，域上关于x的多项式 1，域上的多项式环 设F是域，x是一个抽象的符号，F上面一个 文字x的多项式形式如下： a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an 其中 n，n-1，…是非负整数， 系数a0，a1，…，an∈ F。x的多项式可用ƒ(x) , g(x)等代表。 若n=0，则此多项式只有一个“常数项”a0 ，可看 作是F中的元素a0。 系数是0的项可以删可添。
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§2.3 域及域上多项式 一，域的相关概念 定义: 设(1)（F ；+，*）是一个带幺交换环 (2)（F -{0}，*）是交换群； 则称（F ；+，*）是一个域.（F ；+）称为域的加 法群， （F -{0}，*）称为乘法群 又一定义:可交换的除环称为域(field). 定理: 域一定是整环，有限整环一定是域 非交换的除环称为体(skew field).
注意：环与群一样都可以只有一个元素构成。
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3,关于定义的说明 (1) 为了叙述和理解上的方便，通常将环中“+” 的单位元记为0，而将环中元素a关于加法的 逆元称作a的负元，记作-a。如果环中关于“*” 有单位元，就把这个单位元记作1，而将关于 乘法的逆元（若存在的话）称为a的逆元，记 作a-1。 (2) 如果环 R 的乘法还满足交换律, 则称 R为交换环
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子域： 设（F；+，×）是域， S⊆F，若（S；+，×） 仍构成域，则称S是R的子域。 而称F为S的扩域。 定理： 设（F；+，×）是域， ′ 为F的一个非空子集， F 则（F ′；+，×）构成（F ；+，×）子域的充分 必要条件是：对任意的 a, b ∈ F′，都有：a − b ∈ F′
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五 同态与同构 定义. 设（R；+，·） （G；+，◎）是两个环，如 果存在一个从R到G的一个映射 f 使得: f(a+b)=f(a) + f(b) f(a·b)=f(a) ◎ f(b) 则称f为同态映射,同时称（R；+，·)与 （G ；+，◎）同构；若f是一一的，则称f 为 同构映射
1
pn
5，设F的特征是素数p，则 (a1 + L + a n ) p = a p + L + anp 6，设F的特征是素数p，n不是p的倍数，则
n
p −1
= 1 ----Fermat小定理
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三，素域 设F是一个域，其特征为P≠0，e为其单位元，则 称：∏={0，e，2e，…，(p-1)e}为F的素域 四，域的同构 设（F，+，·）与（F′，+，⊙）是两个域，如 果存在一个从F 到F′的一一对应 使得对任意的 f
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定理2： 设F是一个特征为P的域，P≠0，m是一个正整 数，则任意的0≠a∈F，都有pa=0.更进一步， ma=0当且仅当p∣m 定理3： 设F是一个特征为P的域， F > 1. 则 (1) F中所有非零元素对加法的阶都相同. (2) 若 F的阶是有限的,则必为素数.
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四，整环和除环 若G是环，a，b ∈ R，如果a≠0，b≠0， 但 ab=0，则称a，b为零因子。如果G没有这样的元 素，则说G无零因子。 无零因子的环称为消去环） （ 例. 整数环是消去环，矩阵环不是消去环， 有零因子。比如， 0 1 ⎞⎛ 1 0 ⎞ ⎛
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重要的结论 1，p是素数时，任意非零元素在F的加法群中的 周期等于p； 2，设F的特征是素数p，则（a+b）p = ap+bp 3，设F的特征是素数p,则(a-b)p = ap-bp 4，设F的特征是素数p，则 (a ± b) = a ± b