控制系统的频率特性分析

控制工程基础
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特点
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验 的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或 系统来说，具有重要的实际意义。
（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形 对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还 适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性 系统的分析。
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输出信号与输入信号的幅值比A() 称为系统的幅频特性。 输出信号与输入信号的相位差() 称为系统的相频特性。
Im
V()
图4-2
U()
Re
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G( j) U () jV () （4-3）
G( j ) A( )e j() （4-4）
A( ) G( j ) [U ( )]2 [V ( )]2
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Css (t) B1e jt B2e jt
-(-j) Ar e jt ( j) Ar e jt
2j
2j
(S)
M (S) N (S )
s j
M ( j) N ( j)
a c
jb jd
(S)令s j,可用模和幅角形式表示
(S)的模为( j)
(S )的幅角为（j )
Css (t) A() Ar sin[t ()]
说明 线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，
其输出与输入的幅值比为 A() ( j)
输出与输入的相位差
() ( j)
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记住： Css (t) ( j) Ar sin[t ( j)]
A() ( j) 幅频特性 ()＝(j） 相频特性
即( j ) ( j ) e j（j )
( j) ( j)
( j) ( j)
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不介绍
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Css (t) B1e jt B2e jt
不介绍
-(-j ) Ar e jt ( j ) Ar e jt
2j
2j
e j e j sin
2j
- (-j ) e j(-j ) Ar e jt ( j ) e j(j ) Ar e jt
x(t) A0 sin t （4-1）
系统的稳态输出为频率相同而幅值和相位都发生了变化的正弦信号
y(t) A( ) A0 sin[t ( )] （4-2）
X(t),y(t)
y(t) A( ) A0 sin[t ( )] x(t) A0 sin t
0
t
( )
图4-1 频率特性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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() G( j) arctg[U ()] V ()
（4-5） （4-6）
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下面对这一结论进行证明。
不介绍
m
K
*
(S
Z
j
)
(S)
j 1 n
(S Pi )
i 1
r(t) Ar sin t
R(S)
Ar S2 2
m
C(S)
(S)R(S)
K
*
(S
Z
j 1
n
(S Pi )
Css (t) B1e jt B2e jt
求B1, B2
n
C(S)
Ci
B1
B2
i1 S pi S j S j
C
(
S
)
(S
)
R(
S
)
(S
)
S
Ar 2
2
B1
(s) Ar s j
s j
(
j)
Ar 2j
两边同乘s j,并令s -j
B2
(s) Ar s j
s j
(
j)
Ar 2j
两边同乘s j,并令s j
时域 复数域 频域
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时域法与频域法的比较：
时域法：
r(t) 1(t), t,1 2t 2
不动的信号（信号一经给定，不再改变），研究输出的 瞬态分量，即衰减的快慢。 频域法：
r(t) Ar sin t : 0 变化
动的信号，研究系统的稳态输出。
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-4
-6
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 2
y(t)
-8
1.5
0
1
2
3
4
5
6
t/s
1
yss(t)
u(t) 2cos(20t 30)
0.5 幅值
0
-0.5
-1
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-1.5
y(t)
控制-工2 程基础 u(t)
6
0
1
2
3
4
5
6
t/s
对于传递函数为G(S)线性定常系统，若输入信号为一正弦信号
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4-1 频率特性的基本概念 4.1.1 频率特性及其物理意义
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频 率正弦输入信号的响应特性。
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
线性系统
输出的振幅和相位一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而变化
j)
Ar S2 2
i 1
部分分式法展开：
n
C(S)
Ci
B1
B2
i1 S pi S j S j
n
c(t) Cie pit B1e jt B2e jt i 1
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n
c(t) Cie pit B1e jt B2e jt i1
不介绍
若系统稳定，则Ｐi均位于Ｓ左半平面。则系统稳态输出为：
幅频特性：输出信号与输入信号的幅值比。 相频特性：输出信号与输入信号的相位差。 幅频特性和相频特性统称频率特性。记为：
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
当输入为正弦信号，系统的稳态输出为频率相同，幅值和相位
发200生4－变5－化25 的正弦信号。这一结控制论工程普基遍础 成立。
5
6 4 2 幅值 0 -2
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 yss(t)
u(t)
u(t) 2cos(5t 30)
第四章 控制系统的频率特性分析
Frequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
第一节 频率特性的基本概念 第二节 幅相频率特性—奈氏图 第三节 对数频率特性—玻德图
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引言
线性定常系统
常微分方程 传递函数 频率特性函数
2j
2j
- (j ) e-j(j ) Ar e jt ( j ) e j(j ) Ar e jt
2j
2j
(j) Ar
e e j[t(j )] - j[t(j )] 2j
则： Css (t) ( j) Ar sin[t ( j)]
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Css (t) ( j) Ar sin[t ( j)]