自动控制原理-5-1 频率特性及其表示法
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经典自控第5章 频率特性.ppt
() ~ 为系统的相频特性。
A() 1 / 1 2T 2 , () arctgT
RC网络的幅频特性和相频特性
A() 1 / 1 2T 2 , () arctgT
G( j)
G(s)
s j
1
Tj 1
1
e j tan 1 (T )
(T )2 1
RC网络的幅相特性曲线
2、对数频率特性
1
j2
n
(o) 180
( )
arctg
1
2 (
/ n /n )
2
arctg
2 1 (
/ n / n )2
,
0
-180
非最小相位
0.1 1
10 ω/ωn
振荡环节的对数坐标图
L( ) 20lg (1 2 / n2 )2 4 2 ( / n )2
二阶微分环节
非最小相位二阶微分环节
G(s)
1、各典型环节频率特性图概览
（1）幅相曲线
j
j
· -k
0Байду номын сангаас
·k
比例环节K的幅相曲线
0 ω
积分环节的幅相曲线
23
j ω
0 ω=0
微分环节幅相曲线 j
T>0 ω
ω=0
0
1
T<0
一阶微分环节的幅相曲线
j
T<0
ω=∞
1
-45o 0
ω=0
T>0
ω=1/T
惯性环节的幅相曲线
24
0 -0.5
j
ζ=0.2—0.8
10 ω/ωn
,G( j ) 0 180o
二阶振荡、微分环节的渐近线
A() 1 / 1 2T 2 , () arctgT
RC网络的幅频特性和相频特性
A() 1 / 1 2T 2 , () arctgT
G( j)
G(s)
s j
1
Tj 1
1
e j tan 1 (T )
(T )2 1
RC网络的幅相特性曲线
2、对数频率特性
1
j2
n
(o) 180
( )
arctg
1
2 (
/ n /n )
2
arctg
2 1 (
/ n / n )2
,
0
-180
非最小相位
0.1 1
10 ω/ωn
振荡环节的对数坐标图
L( ) 20lg (1 2 / n2 )2 4 2 ( / n )2
二阶微分环节
非最小相位二阶微分环节
G(s)
1、各典型环节频率特性图概览
（1）幅相曲线
j
j
· -k
0Байду номын сангаас
·k
比例环节K的幅相曲线
0 ω
积分环节的幅相曲线
23
j ω
0 ω=0
微分环节幅相曲线 j
T>0 ω
ω=0
0
1
T<0
一阶微分环节的幅相曲线
j
T<0
ω=∞
1
-45o 0
ω=0
T>0
ω=1/T
惯性环节的幅相曲线
24
0 -0.5
j
ζ=0.2—0.8
10 ω/ωn
,G( j ) 0 180o
二阶振荡、微分环节的渐近线
自动控制原理与系统控制系统的频率特性
如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。
自动控制原理课件2第二节频率特性的几种表示方法
Sunday, April 15, 2012
6
Sunday, April 15, 2012
2
一、极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 它是在复平面上用一条曲线表示ω 由 0 → ∞ 时的频率特性。 即用矢量 G ( jω ) 的端点轨迹形成的图形。 ω 是参变量。在曲线 的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。 根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 ω Q(ω ) 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。
第二节 频率特性的几种表示方法
Sunday, April 15, 2012
1
频率特性可以写成复数形式： ( jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) ，也可 G 以写成指数形式：G ( jω ) =| G ( jω ) | ∠G ( jω )。其中，P(ω ) 为实 频特性， (ω ) 为虚频特性； G ( jω ) |为幅频特性， G ( jω ) 为相频 Q | ∠ 特性。 在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设 计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图） 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
A(ω )
增益 0
Sunday, April 15, 2012
5
使用对数坐标图的优点： 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线） 近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。 三、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图） 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成 一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数 幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。
6
Sunday, April 15, 2012
2
一、极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 它是在复平面上用一条曲线表示ω 由 0 → ∞ 时的频率特性。 即用矢量 G ( jω ) 的端点轨迹形成的图形。 ω 是参变量。在曲线 的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。 根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 ω Q(ω ) 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。
第二节 频率特性的几种表示方法
Sunday, April 15, 2012
1
频率特性可以写成复数形式： ( jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) ，也可 G 以写成指数形式：G ( jω ) =| G ( jω ) | ∠G ( jω )。其中，P(ω ) 为实 频特性， (ω ) 为虚频特性； G ( jω ) |为幅频特性， G ( jω ) 为相频 Q | ∠ 特性。 在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设 计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图） 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
A(ω )
增益 0
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使用对数坐标图的优点： 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线） 近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。 三、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图） 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成 一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数 幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。
自动控制系统—— 第5章-1 频率特性及其表示法
Mod5_1_1.mdl Mod5_1_1Prg.m
7
(1)输入为 ui (t) sin t 相对输入，输出有相位差，幅度不同
8
(2)输入为 ui (t) sin 2t 输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变
9
(3)输入为 ui (t) sin 3t 输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定
2
引言
频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典 方法称为频域分析法 引入频域模型：频率特性函数
线性定常系统的数学模型： 时域模型： 常微分方程
复数域模型： 传递函数 频域模型： 频率特性函数
3
频域分析的内容: 1.频率特性及其表示:幅相曲线，Bode图 2.典型环节的频率特性：一阶环节，二阶环节 3.Nyquist稳定判据：基于幅相曲线、Bode图 4.稳定裕度：幅值稳定裕度，相位稳定裕度 5.频域指标：带宽、谐振频率、谐振峰值等
cs (t) Kce jt K ce jt
K c 和 K c 可以由留数计算得到
Kc
G(s)
(s
A j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)A
2j
Kc
G(s)
(s
A j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)A
2j
22
由于 G( j) A()e j()
G( j) 与 G( j) 是共轭的
所以 G( j) A()e j()
Kc
G( j，) A
2j
A 2j
A()e j()
Kc
G( j)A
2j
A 2j
A()e
j ( )
代入 cs (t) Kce jt K ce jt
7
(1)输入为 ui (t) sin t 相对输入，输出有相位差，幅度不同
8
(2)输入为 ui (t) sin 2t 输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变
9
(3)输入为 ui (t) sin 3t 输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定
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引言
频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典 方法称为频域分析法 引入频域模型：频率特性函数
线性定常系统的数学模型： 时域模型： 常微分方程
复数域模型： 传递函数 频域模型： 频率特性函数
3
频域分析的内容: 1.频率特性及其表示:幅相曲线，Bode图 2.典型环节的频率特性：一阶环节，二阶环节 3.Nyquist稳定判据：基于幅相曲线、Bode图 4.稳定裕度：幅值稳定裕度，相位稳定裕度 5.频域指标：带宽、谐振频率、谐振峰值等
cs (t) Kce jt K ce jt
K c 和 K c 可以由留数计算得到
Kc
G(s)
(s
A j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)A
2j
Kc
G(s)
(s
A j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)A
2j
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由于 G( j) A()e j()
G( j) 与 G( j) 是共轭的
所以 G( j) A()e j()
Kc
G( j，) A
2j
A 2j
A()e j()
Kc
G( j)A
2j
A 2j
A()e
j ( )
代入 cs (t) Kce jt K ce jt
自动控制原理--第五章-频率特性法
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
自动控制原理第5章_线性控制系统的频率特性分析法
5. 2控制系统开环传递函数的对数频率特性
5.2.2 系统伯德图的绘制
开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤： （1）把系统开环传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函
数乘积，分析它的组成环节； （2）确定一阶环节、二阶环节的转折频率，由小到大将各转折频率
标注在半对数坐标图的频率轴上； （3）绘制低频段渐近特性线； （4）以低频段为起始段，从它开始每到一个转折频率，折线发生转
开环极点的个数。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.4 控制系统的相对稳定性
开环频率特性 G( j)H( j)在剪切频率 c处所对应的相角与 180 之差称为相角裕度，记为 ，按下式计算
(c ) (180 ) 180 (c )
开环频率特性 G( j)H的( 相j)角等于 时所1对80应的角频率称为相
闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0 时0，开 环奈奎斯 特曲线逆时针方向包围( )点 周1, j。0 是具P有2 正实部P 的开 环极点的个数。 需注意，若开环传递函数含有 v 个积分环节，所谓 由 0 0 ，指的 是由 0 0 0 ，此时奈 奎斯特曲线需顺时针增补 v 角度的无穷大半径的圆弧。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
若闭环系统在[ s]右半平面上有 个P开环极点，当 从 变化到
时，奈奎斯特曲线 G( j对)H点( j) 的包围1周, j数0 为 （ 为逆时N针，
为顺N 时 0针），则系统N<在0[ ]右半平面上的闭环极点s的个数为 。
折，斜率变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类； （5）如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处
自动控制原理 第五章(第一次课)
autocumt@
18
中国矿业大学信电学院 常俊林
ω =1
1 12 + 2 2 e
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 .6 o
c ss (t ) = 2 ⋅ 0 .45 sin t + 30 o − 26 .6 o = 0 .9 sin t + 3 .4 o
autocumt@ 13
(
)
(
)
中国矿业大学信电学院 常俊林
c(t ) = b1e
− s1t
+ ... + bn e
− sn t
+c1e
− jωt
+ c2e
jωt
css (t ) = c1e
− jωt
+ c2 e
jωt
其中: 其中
c1 = C ( s)( s + jω ) s = − jω
Aω = G ( s) ⋅ ( s + j ω ) s = − jω ( s + jω )( s − jω )
[ a (ω ) c (ω ) + b (ω ) d (ω )] + j[ b (ω ) c (ω ) − a (ω ) d (ω )] = c 2 (ω ) + d 2 (ω )
autocumt@ 9 中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
b(ω )c(ω ) − a(ω )d (ω ) ϕ (ω ) = arctg a(ω )c(ω ) + b(ω )d (ω )
自ห้องสมุดไป่ตู้控制原理
r (t ) = 2 sin(t + 30 )
自动控制原理第五章-1
积分环节:G(s)=1/s
微分环节:G(s)=s 惯性环节:G(s)=1/(Ts+1) 一阶微分环节:G(s)=Ts+1 振荡环节 1/(s 2 / n2 2s / n 1)
二阶微分环节 s 2 / 2 2s / 1 n n
比例环节:G(s)=K (K<0)
惯性环节:G(s)=1/(1-Ts)
系统开环传函由多个典型环节相串联 ：
G(s) H (s) G1 (s)G2 (s)Gr (s)
那么，系统幅相特性为：
G ( jw) H ( jw) G1 ( jw)G2 ( jw) Gr ( jw) A1 ( w)e
j1 ( w )
A2 ( w)e k ( w )
k 1 r
A A A ( s j ) s j G( j ) ( s j ) s j G( j ) ( s j )(s j ) 2j s2 2
a G( s)
A A A ( s j ) s j G( j ) ( s j ) s j G( j ) s2 2 ( s j )(s j ) 2j
幅频特性 相频特性
线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号， 其输出与输入的幅值比为 输出与输入的相位差
A() G( j)
( )
G ( j )
(1)、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的 频率响应, 记为css(t)
(2)、频率特性
幅频特性A(): 稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比: Ac A( ) G ( j ) A 相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差: ( ) G ( j ) 幅相频率特性G(j) : G(j) 的幅值和相位均随输入正弦信 号角频率的变化而变化。 G( j ) A(w)e j ( ) 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得到系统的频率 特性。
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L() 20lg A()
例如 A( ) 10时，L( ) 20dB
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20
对数频率特性
对数频率特性图示 对数幅频特性表示在半对数坐标中。 横坐标为角频率 ，采用对数比例尺标度， 但标注角频率的真值， 每变化10倍，横坐标就增加一个单位长度。 这个单位长度代表10倍频的距离，称之为 “十倍频”或“十倍频程”。 纵坐标用普通比例尺标度。
G ( j )
式中：
R ( ) I ( )e
2 2
j ( )
A( )e
j ( )
A( ) R 2 ( ) I 2 ( ) －复数频率特性的模，即幅频特性
I ( ) ( ) arctan －复数频率特性的相位移，即相频特性 R( )
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11
1 频率特性的基本概念
频率特性的性质
频率特性也是一种数学模型 与传递函数一样，它描述了系统的内在特性， 与外界因素无关。决定于系统结构和参数。
频率特性描述的是一种稳态响应特性 可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态 性能、稳态性能。
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图5.5 半对数坐标 昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系
1
lg （十倍频程）
22
对数频率特性
(2) 对数相频特性 对数相频特性一般不考虑0.434这个系数，而只 用相角位移 ( ) 本身 。 对数相频特性的横坐标与对数幅频特性的横坐标 相同，其纵坐标表示相角位移，单位为“度”， 采用普通比例尺标度。 由对数幅频特性和相频特性组成的对数频率 特性图，常称为波德(Bode)图。
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12
1 频率特性的基本概念 系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 频率特性(幅频、相频)是频率的函数 ，这是 系统中的储能元件引起的。 实际系统具有“低通”滤波器特性 实际系统的输出量都随频率的升高而出现失真， 幅值衰减。 频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去
m m1
其中：
R ( )是频率特性的实部，称为实频特性
I ( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
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17
幅相频率特性
幅相频率特性的图示 也称为奈奎斯特曲线（奈氏图）或极坐标图。
极点 坐标轴Leabharlann jI ( )R(i )
(i )
(b)
jI ( )
23
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对数频率特性
对数频率特性表示法的优点 能在很宽广的频率范围表示频率特性 在一张图上，可画出频率特性的低、中、高 频率段，有利于分析和设计系统。 简化绘制系统频率特性的工作 系统通常由许多环节串联构成。系统的对数 频率特性即为各环节的对数频率特性叠加。 简明展现各环节对整个系统的影响 给分析和设计控制系统带来了很大的方便。
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15
2 频率特性的表示
幅相频率特性 可以表示成代数形式或极坐标形式。 设系统或环节的传递函数为
bm s m bm1 s m1 .... b0 G( s ) n n 1 an s an1 s ... a0
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24
2 频率特性的表示法
对数幅相频率特性 是将对数幅频特性和对数相频特性绘在 一个平面上，分别以对数幅值作纵坐标（单 位为分贝），以相位移作横坐标（单位为 度），以频率为参变量得到的图。
这个图称为尼柯尔斯(Nichols)图或尼氏图。
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第5章 频域分析法
频率特性是控制系统在频域中的一种数学模 型，是研究自动控制系统的一种工程方法。 系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和 稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系 统性能的影响，指出系统改进方向。
频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动 态模型的系统来说，很有用处。
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16
幅相频率特性
令 s j ，可得系统或环节的频率特性 代数形式：
bm ( j) bm1 ( j ) ... b0 G( j) R() jI ( ) n n 1 an ( j) an1 ( j ) ... a0
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21
对数频率特性
A()
100
A 增 加 10 倍
L()
40 20 0
10 1
L 增加 20 dB
0.1 0.01
_ 20 _ 40 0.1 1
增加10倍
1 0 10 100 1000 2 3
（1/s）
lg 增加一个倍频程
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14
5.1 频率特性及其表示法
2 频率特性的表示
频率特性的三种图示法
幅相频率特性
极坐标图—Nyquist图（奈奎斯特图、简称奈氏图）。
对数频率特性
对数坐标图—Bode图（伯德图，简称伯氏图）
对数幅相频率特性
复合坐标图—Nichocls图（尼柯尔斯图，简称尼氏 图）；一般常用于闭环系统的频率特性分析。
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) 1 RCs
输入 : ui (t ) A sin(t ) 由复阻抗的概念求得
ui (t )
R
C
uo (t )
图5.3 RC串联电路
U o ( j ) 1 1 G( j ) U i ( j ) 1 RCj 1 jT
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7
1 频率特性的基本概念
三种数学模型之间的关系
微分方程
d s dt
系 统
d j dt
传递函数
频率特性
图5.2 三种数学模型之间的关系
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8
s j
1 频率特性的基本概念
例5.1 对于图5.3所示的RC串联电路，说明频率特 性的物理意义。 解： RC电路的传递函数为
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6
1 频率特性的基本概念
系统的幅频特性
C ( j ) | G( j ) || | R( j )
反映了输出量与输入量幅值之比与频率 的关系。
系统的相频特性
( ) C ( j ) R( j )
反映了输出量与输入量相位之差与频率的关系。
R( )
A(i )
(i )
A(i )
(a)
I (i )
(1 ) R( ) (2 ) A(1) G( j1 ) A(2 ) G( j2 )
(c)
图5.4 幅相频率特性表示法
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幅相频率特性
系统或环节的频率特性的指数形式 ：
式中: T RC
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1 频率特性的基本概念
RC电路的频率特性
G( j ) G( j ) e j ( )
由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅 值与相位无关。 1 幅频特性 G( j ) 1 T 2 2
表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值比。 相频特性 ( ) arctanT 表示在稳态时，输出信号与输入信号的相差。
19
2 频率特性的表示法
对数频率特性 对频率特性指数形式的两边取对数，得
lg G( j) lg A()e j ( ) lg A() j () lg e lg A() 0.434 ()
(1) 对数幅频特性 频率特性幅值的对数值常用分贝(dB)表示，称 为增益。关系式为
第5章 频域分析法
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 频率特性及其表示法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性的绘制 用频率特性分析控制系统的稳定性 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 闭环系统频率特性 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系
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1
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c (t ) C sin( t )
t
系统
C
t
即： G ( j )
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C ( j ) R ( j )
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5
1 频率特性的基本概念
系统的频率特性
C ( j ) C ( s) G( j ) R( j ) R( s)
s j
系统
c(t ) C sin(t )
图5.1 线性时不变系统的正弦稳态响应
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4
1 频率特性的基本概念
频率特性的定义
在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量 的复数之比。一般用 G ( j )表示。
R
r (t ) R sin t
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1 频率特性的基本概念
频率特性的求取
根据定义求取 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代 入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦 量的复数比即可得到。
例如 A( ) 10时，L( ) 20dB
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对数频率特性
对数频率特性图示 对数幅频特性表示在半对数坐标中。 横坐标为角频率 ，采用对数比例尺标度， 但标注角频率的真值， 每变化10倍，横坐标就增加一个单位长度。 这个单位长度代表10倍频的距离，称之为 “十倍频”或“十倍频程”。 纵坐标用普通比例尺标度。
G ( j )
式中：
R ( ) I ( )e
2 2
j ( )
A( )e
j ( )
A( ) R 2 ( ) I 2 ( ) －复数频率特性的模，即幅频特性
I ( ) ( ) arctan －复数频率特性的相位移，即相频特性 R( )
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1 频率特性的基本概念
频率特性的性质
频率特性也是一种数学模型 与传递函数一样，它描述了系统的内在特性， 与外界因素无关。决定于系统结构和参数。
频率特性描述的是一种稳态响应特性 可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态 性能、稳态性能。
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图5.5 半对数坐标 昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系
1
lg （十倍频程）
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对数频率特性
(2) 对数相频特性 对数相频特性一般不考虑0.434这个系数，而只 用相角位移 ( ) 本身 。 对数相频特性的横坐标与对数幅频特性的横坐标 相同，其纵坐标表示相角位移，单位为“度”， 采用普通比例尺标度。 由对数幅频特性和相频特性组成的对数频率 特性图，常称为波德(Bode)图。
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1 频率特性的基本概念 系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 频率特性(幅频、相频)是频率的函数 ，这是 系统中的储能元件引起的。 实际系统具有“低通”滤波器特性 实际系统的输出量都随频率的升高而出现失真， 幅值衰减。 频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去
m m1
其中：
R ( )是频率特性的实部，称为实频特性
I ( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
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幅相频率特性
幅相频率特性的图示 也称为奈奎斯特曲线（奈氏图）或极坐标图。
极点 坐标轴Leabharlann jI ( )R(i )
(i )
(b)
jI ( )
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对数频率特性
对数频率特性表示法的优点 能在很宽广的频率范围表示频率特性 在一张图上，可画出频率特性的低、中、高 频率段，有利于分析和设计系统。 简化绘制系统频率特性的工作 系统通常由许多环节串联构成。系统的对数 频率特性即为各环节的对数频率特性叠加。 简明展现各环节对整个系统的影响 给分析和设计控制系统带来了很大的方便。
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2 频率特性的表示
幅相频率特性 可以表示成代数形式或极坐标形式。 设系统或环节的传递函数为
bm s m bm1 s m1 .... b0 G( s ) n n 1 an s an1 s ... a0
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2 频率特性的表示法
对数幅相频率特性 是将对数幅频特性和对数相频特性绘在 一个平面上，分别以对数幅值作纵坐标（单 位为分贝），以相位移作横坐标（单位为 度），以频率为参变量得到的图。
这个图称为尼柯尔斯(Nichols)图或尼氏图。
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第5章 频域分析法
频率特性是控制系统在频域中的一种数学模 型，是研究自动控制系统的一种工程方法。 系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和 稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系 统性能的影响，指出系统改进方向。
频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动 态模型的系统来说，很有用处。
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幅相频率特性
令 s j ，可得系统或环节的频率特性 代数形式：
bm ( j) bm1 ( j ) ... b0 G( j) R() jI ( ) n n 1 an ( j) an1 ( j ) ... a0
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对数频率特性
A()
100
A 增 加 10 倍
L()
40 20 0
10 1
L 增加 20 dB
0.1 0.01
_ 20 _ 40 0.1 1
增加10倍
1 0 10 100 1000 2 3
（1/s）
lg 增加一个倍频程
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5.1 频率特性及其表示法
2 频率特性的表示
频率特性的三种图示法
幅相频率特性
极坐标图—Nyquist图（奈奎斯特图、简称奈氏图）。
对数频率特性
对数坐标图—Bode图（伯德图，简称伯氏图）
对数幅相频率特性
复合坐标图—Nichocls图（尼柯尔斯图，简称尼氏 图）；一般常用于闭环系统的频率特性分析。
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) 1 RCs
输入 : ui (t ) A sin(t ) 由复阻抗的概念求得
ui (t )
R
C
uo (t )
图5.3 RC串联电路
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1 频率特性的基本概念
三种数学模型之间的关系
微分方程
d s dt
系 统
d j dt
传递函数
频率特性
图5.2 三种数学模型之间的关系
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s j
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例5.1 对于图5.3所示的RC串联电路，说明频率特 性的物理意义。 解： RC电路的传递函数为
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1 频率特性的基本概念
系统的幅频特性
C ( j ) | G( j ) || | R( j )
反映了输出量与输入量幅值之比与频率 的关系。
系统的相频特性
( ) C ( j ) R( j )
反映了输出量与输入量相位之差与频率的关系。
R( )
A(i )
(i )
A(i )
(a)
I (i )
(1 ) R( ) (2 ) A(1) G( j1 ) A(2 ) G( j2 )
(c)
图5.4 幅相频率特性表示法
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幅相频率特性
系统或环节的频率特性的指数形式 ：
式中: T RC
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1 频率特性的基本概念
RC电路的频率特性
G( j ) G( j ) e j ( )
由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅 值与相位无关。 1 幅频特性 G( j ) 1 T 2 2
表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值比。 相频特性 ( ) arctanT 表示在稳态时，输出信号与输入信号的相差。
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2 频率特性的表示法
对数频率特性 对频率特性指数形式的两边取对数，得
lg G( j) lg A()e j ( ) lg A() j () lg e lg A() 0.434 ()
(1) 对数幅频特性 频率特性幅值的对数值常用分贝(dB)表示，称 为增益。关系式为
第5章 频域分析法
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 频率特性及其表示法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性的绘制 用频率特性分析控制系统的稳定性 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 闭环系统频率特性 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系
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c (t ) C sin( t )
t
系统
C
t
即： G ( j )
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C ( j ) R ( j )
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1 频率特性的基本概念
系统的频率特性
C ( j ) C ( s) G( j ) R( j ) R( s)
s j
系统
c(t ) C sin(t )
图5.1 线性时不变系统的正弦稳态响应
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1 频率特性的基本概念
频率特性的定义
在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量 的复数之比。一般用 G ( j )表示。
R
r (t ) R sin t
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1 频率特性的基本概念
频率特性的求取
根据定义求取 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代 入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦 量的复数比即可得到。