离散数学(第14讲)
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离散数学(第14讲)二元关系
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Discrete Mathematics 2）反之，在非空集合A上给定一个划分π，则可将A 分割成若干个划分块。 根据以下条件定义A上的二元关系R，即对任何元 素x,y∈A，如果x和y在同一划分块中，则xRy。显 然，R是A上的等价关系，称为由划分π所诱导的 等价关系，并且该等价关系的商集就等于π 。 结论 的划分是一一对应的。 集合A上的等价关系与集合crete Mathematics 在非空集合A上给定一个划分 在非空集合 上给定一个划分π={A1,A2,…,Am}， 上给定一个划分 ， 找出由π所唯一确定的 所唯一确定的A上的等价关系的方法如 找出由 所唯一确定的 上的等价关系的方法如 下： 把划分π的每一块 都拿出来， 把划分 的每一块Ai都拿出来，并且作其笛卡 的每一块 尔积A 尔积 i× Ai(i=1,2,..,m) ，然后求这些笛卡尔积的 并集，即为所求， 并集，即为所求，即
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Discrete Mathematics 例 设A={1,2,3,4,5,6,7,8}， ， R={<x,y>|x,y∈A∧x =y(mod3)}，其中 =y(mod3) ∈ ∧ ，其中x 的含义是x和 分别除以 后的余数相等， 分别除以3后的余数相等 的含义是 和y分别除以 后的余数相等，即x-y可以 整除。 上的等价关系， 被3整除。不难验证 为A上的等价关系，它的关系 整除 不难验证R为 上的等价关系 图如下图所示： 下图所示 图如下图所示：
Discrete Mathematics
Discrete Mathematics 3、商集 、 为非空集合A上的等价关系， 定义 设R为非空集合 上的等价关系，以R的不相 为非空集合 上的等价关系 的不相 交的等价类为元素的集合叫做A在 下的商集， 下的商集 交的等价类为元素的集合叫做 在R下的商集，记 作A/R，即 ， A/R={[a]R |a∈A} ∈ 显然， 显然，在例1中，A在R下的商集是 中 在 下的商集是 A/R ={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}。 。
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
最新离散数学屈婉玲第十四章ppt课件
对于x∈S，如果存在yl (或yr)∈S使得 yl◦x=e（或x◦yr=e）
则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
可以证明： 对于给定二元运算，单位元或零元如果存在，则是唯一的. 对于可结合的二元运算，给定元素若存在逆元，则是唯一
定义14.5-6 设◦和∗为S上两个不同的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 (x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律. (2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
例1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是． (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．求一个数的相反数是Z上的一元运算. (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而 加法和减法不是．求倒数是R*上的一元运算.
3
实例
(6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算. 求反函数不一定是一元运算.
4
二元与一元运算的表示
1．算符 可以用◦, ∗, ·, , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z 对一元运算, x的运算结果记作x.
2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表 公式表示 例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：
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消去律
定义14.10 设∘为S上的二元运算，如果对于任意的 x, y, zS 满足以下条件：
则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
可以证明： 对于给定二元运算，单位元或零元如果存在，则是唯一的. 对于可结合的二元运算，给定元素若存在逆元，则是唯一
定义14.5-6 设◦和∗为S上两个不同的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 (x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律. (2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
例1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是． (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．求一个数的相反数是Z上的一元运算. (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而 加法和减法不是．求倒数是R*上的一元运算.
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实例
(6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算. 求反函数不一定是一元运算.
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二元与一元运算的表示
1．算符 可以用◦, ∗, ·, , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z 对一元运算, x的运算结果记作x.
2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表 公式表示 例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：
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消去律
定义14.10 设∘为S上的二元运算，如果对于任意的 x, y, zS 满足以下条件：
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A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
离散数学讲义
历史上著名的悖论
NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides’ paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具 体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊 壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的， 因而伊壁孟德正在撒谎。
其内容较广，主要包括数理逻辑、 集合 论、图论、代数结构等四个基本部分。
7
什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
12
1-1 命题及其表示法
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。
复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”， “0”表示“假”。
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
19
NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖 论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克 特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列 斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。
NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides’ paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具 体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊 壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的， 因而伊壁孟德正在撒谎。
其内容较广，主要包括数理逻辑、 集合 论、图论、代数结构等四个基本部分。
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什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
12
1-1 命题及其表示法
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。
复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”， “0”表示“假”。
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课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
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NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖 论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克 特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列 斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。
左孝凌离散数学PPT课件
25
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
14-循环群
[5]0=[0]；[5]1=[5]； [5]2=[4]； [5]3=[3]； [5]4=[2]； [5]5=[1]；
无限循环群的生成元素
若a是无限循环群的生成元素，则a-1(a的逆元素) 也是。
–
ak = (a-1)-k。 设G=<a>。若b也是G的生成元。则存在整数m和t, 满 足：am=b, bt=a, ∴a=bt=(am)t=amt, ∴amt-1=e, a是无限阶 元素，∴mt-1=0, ∴m=t=1或者m=t=-1, ∴b=a或者b=a1。
循环群
离散数学 第14讲
上一讲内容的回顾
同构与同构映射 同态与同态映射 满同态 同构、同态与系统性质的保持
循环群
群中元素的阶 循环群的定义 循环群中的生成元素 循环群的子群 无限循环群与整数加群同构 有限循环群与相应的剩余加群同构
有限群的生成子群
设G是有限群，a∈G，构造G的子集H如下： H = {ak | k是正整数 } 则H构成G的子群(H是封闭的)，称为a生成的子 群〈 〉 〈a〉
–
⇒ 令 k = mr+i (m, i均为正整数，且0 ≤ i ≤ r-1), 则a mr+i = (ar)m*ai = ai = e 因为i<r, i只能是0, 即k = mr ⇐ 令k = mr，则ak = a mr = (ar)m = em = e
–
任何元素与其逆元素有相同的阶
–
设|a|=r, (a-1)r=(ar)-1=e, 因此|a-1||r 。令| a-1|=t, at=((a-1)-1)t = ((a-1)t)-1 = e，因此r|t, 即r|| a-1|, 所以| a-1|=r
(其中： s, s-1∈S, t, t-1∈T)
无限循环群的生成元素
若a是无限循环群的生成元素，则a-1(a的逆元素) 也是。
–
ak = (a-1)-k。 设G=<a>。若b也是G的生成元。则存在整数m和t, 满 足：am=b, bt=a, ∴a=bt=(am)t=amt, ∴amt-1=e, a是无限阶 元素，∴mt-1=0, ∴m=t=1或者m=t=-1, ∴b=a或者b=a1。
循环群
离散数学 第14讲
上一讲内容的回顾
同构与同构映射 同态与同态映射 满同态 同构、同态与系统性质的保持
循环群
群中元素的阶 循环群的定义 循环群中的生成元素 循环群的子群 无限循环群与整数加群同构 有限循环群与相应的剩余加群同构
有限群的生成子群
设G是有限群，a∈G，构造G的子集H如下： H = {ak | k是正整数 } 则H构成G的子群(H是封闭的)，称为a生成的子 群〈 〉 〈a〉
–
⇒ 令 k = mr+i (m, i均为正整数，且0 ≤ i ≤ r-1), 则a mr+i = (ar)m*ai = ai = e 因为i<r, i只能是0, 即k = mr ⇐ 令k = mr，则ak = a mr = (ar)m = em = e
–
任何元素与其逆元素有相同的阶
–
设|a|=r, (a-1)r=(ar)-1=e, 因此|a-1||r 。令| a-1|=t, at=((a-1)-1)t = ((a-1)t)-1 = e，因此r|t, 即r|| a-1|, 所以| a-1|=r
(其中： s, s-1∈S, t, t-1∈T)
《离散数学》总复习上课讲义
不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 公式类型. 换名规则与代替规则
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
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冯伟森
Email：fws365@ 2013年7月4日星期四
主要内容
1、偏序关系
1）偏序集的哈斯图
2）偏序集中的特殊元素
2、全序集与良序集
1）全序关系
2）良序关系
2013-7-4
计算机学院
2
§5.2
偏序关系
偏序关系是集合上的自反的、可传递、反 对称关系,它提供比较集合中元素的工具;也提 供了事物之间的顺序关系。 定义5.4
2013-7-4 计算机学院 14
定义5.9
设B A，a∈A
若对任意b∈B,都有b a,则称a为B的上界。
若对任意b∈B,都有a b,则称a为B的下界。
若元素c∈A是B的任何一个上界,若均有a c,则
称a为B的 最小上界。
若元素c∈A是B的任何一个下界,若均有c a,则 称a为B的 最大下界。 注意：上下界均针对于子集而言。
设R是集合A上的自反的、反对称的、可传 递的关系，则称R是A上的偏序关系(记为“ ”, 读作“小于等于”)。序偶<A，R>称为偏序集。
容易证明：偏序 的逆关系 1 也是一个偏 序，我们用“ ”表示，读作“大于等于”。
2013-7-4 计算机学院 3
例5-2.1
1) 集合A的幂集2A上定义的“”是偏序关系。<2A,>是 偏序集。 2) 实数集合R上定义的“≤”是偏序关系，<R,≤>是偏 序集。 3) 大于零的自然数集合N＋上定义的“整除”关系“|” 也是一个偏序关系,<N＋,|>是偏序集。 4) ALGOL或PL/I等都是块结构语言，设： B＝{b1,b2,b3,…,bn} 是这种语言的一个程序中的块的集合。对所有i和j， 定义关系“ ”如下： bi bj当且仅当bi被bj所包含。 则“ ”也是一个偏序关系,<B, >是偏序集。
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12
例5-3.1
集合A＝{a,b,c}上定义的关系
R＝{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<b,c>,<a,c>} c b a
是一个全序关系，<A, >的哈斯图如右图。 实数集合R上定义的“≤”是全序关系，
<R,≤>是全序集。 集合A＝{a}的幂集2A上定义的“”是全序关
2013-7-4 计算机学院 15
例5-3.2
设集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，|是A上的整除关系， 则<A，|>是偏序集，考虑A的子集：B1＝{1,2,3,6}，B2＝ {2,3,5,7}，B3＝A。 求出B1，B2，B3的最大(小)元、极大(小)元、上(下)界、 最小上界、最大下界。
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6
例5-2.2
设A＝{2,3,6,12,24,36},“|”是A上的整除关系，画出其 一般的关系图和哈斯图。
24 36 24 36
12 6 12 6
2
3
2
3
关系图
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哈斯图
7
偏序关系R的Hasse图是由R的一个真子集
cover(R)的关系图构成的。这个cover(R)又称
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全序关系
定义5.6设<A, >是一个偏序关系，若对任意 x,y∈A， x与y都是可比的，则称关系“ ”为 A上的全序关系。称<A, >为全序集。 定义5.7设<A, >是一个偏序集， 。如
果<B, >是一个全序子集，则称B为A中的一条
链。链中元素数目减1称为该链的长度。
2013-7-4 计算机学院 17
即：
“ ”是良序关系
“ ”是全序关系
“ ”是偏序关系 （“”？）
但：有限全序集良序集
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一般地，任何有限的全序集的每一个非空
的子集一定有最小元，所以，有限全序集一定
是良序集。对于无穷的全序集，则并非如此。
如全序集<N, >是良序集，但全序集<Z, >
23
例5-3.4
利用拓扑排序算法把偏序集<{2,3,6,12,24,36},︱>转 变为一个全序集
解
1 2 3 4 5 6 7
2013-7-4
我们把算法列成下面的表:
x y ′ 使用步骤 1 3 3 6 12 24 6 12 24 36 2′3 3′6 6′12 12′24 24′36 2,3①, ② 3③,3①,3 ② 同上 同上 同上 {2,3,6,12,24,36} 2 {3,6,12,24,36} {6,12,24,36} {12,24,36} {24,36} {36} Φ
定义5.11 设 、 ′是集合A上的两个偏序关系。
如果 对 a,b A,当a b时必导致 a ′b, 则称关 系 ， ′是可比较的 。
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例5-3.3 ‘整除’和‘小于等于’是自然数集上的两个偏序 关系,而且‘︱‟和‘ ≤’是可比较的, ∵对任何a,b N,a︱b时也有a≤b。 注意:例5-3.3中的‘︱‟是偏序而非全序,„≤‟ 却是一个全序,现在问: 对于任何一个有限偏序集<A, >,能否在A上 定义一个全序′,使 与′可比较? 答案是肯定的。我们可以通过所谓‘拓扑排序’ 的过程来达到目的。
为盖住关系，可以用符号表示为
Cover(R)={(x,y)∈R∣(t∈A)[(t≠x∧t≠y) →((x,t)R∧(t,y)R)]} 求出了R的cover(R)，作Hasse图就容易了。
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8
例5-2.4
作出下面偏序集对应的Hasse图：<2{a,b,c} ,> 偏序关系对应的盖住关系是： Cover()={(,{a}), (,{b}),(,{c}), ({a},{a,b}), ({a},{a,c}), ({b},{a,b}), ({b},{b,c}), ({c},{a,c}), ({c},{b,c}), ({a,b},{a,b,c}), ({a,c},{a,b,c}), ({b,c},{a,b,c})}
例5-2.3
1）集合A={a,b,c}，偏序集<2A,>中，{a}与{a,b}是可比 的，{a}与{b,c}不是可比的。 偏序集<R,≤>中，对任意x,y∈A，x与y都是可比的。 偏序集<Z,≤>中，对任意x,y∈A，x与y都是可比的。 偏序集<N,|>中，2与3不是可比的；2与6是可比的；2与 8是可比的。
集 最大 最小 上 下 最小 最大 合 元 元 极大元 极小元 界 界 上界 下界 B1 6 B2 无 B3 无
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1
6
1
6
无 无
1 1 1
16
无 2,3,5,7 2,3,5,7 无 1 1 5,6,7,8 1 无 1
计算机学院
良序关系
定义5.10设<A, >是一偏序集，若A的任何一 个非空子集都有最小元，则“ ”称为良序关系， 简称良序，此时<A, >称为良序集。 由上述定义，良序集的任何一个非空子集 都有最小元，所以，对任意a,b∈A，集合{a,b}有 最小元，所以有a b或b a，因此，良序关系 “ ”一定是全序关系。
定理5.3: 任何有限偏序集都可以转变成全序集。
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习题五
8、9、10、13、15
2013-7-4
计算机学院
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设A＝{2,3,6,12,24,36},“|”是A上的整除关系 ，画出其一般的关系图。
24 36
6
12
2 关系图
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5
偏序集的哈斯图
1) 用小圆圈或点表示A中的元素，省掉关系图中 所有的环。 (因自反性) 2) 对任意x,y∈A，若x y，则将x画在y的下方， 可去掉关系图中所有边的箭头。 (因反对称性) 3) 去掉有向边，即当（i，j）和（j，k）都是 有向边时，去掉有向边（i，k）。 (因传递性) 按1),2),3)所作成的图称为哈斯图(Hasse图)。
序号 当前A
算法结束
计算机学院 24
定义的全序为:
2′3 ′6′12′24 ′36 由拓扑排序定义的全序关系是什么？完全取决于 极小元的选择方法。 如上例中也可以定义为: 3′2 ′6 ′12 ′36 ′24, （ 因 为 在 <{2,3,6,12,24,36},︱>中，2和3是不可比的）由此可 得:
系，<2A,>是全序集。若|A|≥２，则<2A,>不 是全序集。
2013-7-4 计算机学院 13
偏序集中的特殊元素
定义5.8
设<A, >是偏序集，a是A的一个元素。 若对任意b∈A,都有b a,则称a为A中的最大元 。 若对任意b∈A,都有a b,则称a为A中的最小元 。 若对任意b∈A,或者b a，或者b与a不可比较,则 称a为A中的极大元。 若对任意b∈A,或者a b，或者b与a不可比较,则 称a为A中的极小元 。
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定义5.12 设和′是集合A上的两个偏序关系,如果
和′是可比较的且′是全序关系,则称关系′是关 系的一个拓扑排序。 由一个给定的有限偏序集构造全序集的 拓扑排序算法: 输入:偏序集<A, > 输出:全序集<A, ′>
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主要内容
1、偏序关系
1）偏序集的哈斯图
2）偏序集中的特殊元素
2、全序集与良序集
1）全序关系
2）良序关系
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§5.2
偏序关系
偏序关系是集合上的自反的、可传递、反 对称关系,它提供比较集合中元素的工具;也提 供了事物之间的顺序关系。 定义5.4
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定义5.9
设B A，a∈A
若对任意b∈B,都有b a,则称a为B的上界。
若对任意b∈B,都有a b,则称a为B的下界。
若元素c∈A是B的任何一个上界,若均有a c,则
称a为B的 最小上界。
若元素c∈A是B的任何一个下界,若均有c a,则 称a为B的 最大下界。 注意：上下界均针对于子集而言。
设R是集合A上的自反的、反对称的、可传 递的关系，则称R是A上的偏序关系(记为“ ”, 读作“小于等于”)。序偶<A，R>称为偏序集。
容易证明：偏序 的逆关系 1 也是一个偏 序，我们用“ ”表示，读作“大于等于”。
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例5-2.1
1) 集合A的幂集2A上定义的“”是偏序关系。<2A,>是 偏序集。 2) 实数集合R上定义的“≤”是偏序关系，<R,≤>是偏 序集。 3) 大于零的自然数集合N＋上定义的“整除”关系“|” 也是一个偏序关系,<N＋,|>是偏序集。 4) ALGOL或PL/I等都是块结构语言，设： B＝{b1,b2,b3,…,bn} 是这种语言的一个程序中的块的集合。对所有i和j， 定义关系“ ”如下： bi bj当且仅当bi被bj所包含。 则“ ”也是一个偏序关系,<B, >是偏序集。
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例5-3.1
集合A＝{a,b,c}上定义的关系
R＝{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<b,c>,<a,c>} c b a
是一个全序关系，<A, >的哈斯图如右图。 实数集合R上定义的“≤”是全序关系，
<R,≤>是全序集。 集合A＝{a}的幂集2A上定义的“”是全序关
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例5-3.2
设集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，|是A上的整除关系， 则<A，|>是偏序集，考虑A的子集：B1＝{1,2,3,6}，B2＝ {2,3,5,7}，B3＝A。 求出B1，B2，B3的最大(小)元、极大(小)元、上(下)界、 最小上界、最大下界。
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例5-2.2
设A＝{2,3,6,12,24,36},“|”是A上的整除关系，画出其 一般的关系图和哈斯图。
24 36 24 36
12 6 12 6
2
3
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关系图
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哈斯图
7
偏序关系R的Hasse图是由R的一个真子集
cover(R)的关系图构成的。这个cover(R)又称
2013-7-4 计算机学院 11
全序关系
定义5.6设<A, >是一个偏序关系，若对任意 x,y∈A， x与y都是可比的，则称关系“ ”为 A上的全序关系。称<A, >为全序集。 定义5.7设<A, >是一个偏序集， 。如
果<B, >是一个全序子集，则称B为A中的一条
链。链中元素数目减1称为该链的长度。
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即：
“ ”是良序关系
“ ”是全序关系
“ ”是偏序关系 （“”？）
但：有限全序集良序集
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一般地，任何有限的全序集的每一个非空
的子集一定有最小元，所以，有限全序集一定
是良序集。对于无穷的全序集，则并非如此。
如全序集<N, >是良序集，但全序集<Z, >
23
例5-3.4
利用拓扑排序算法把偏序集<{2,3,6,12,24,36},︱>转 变为一个全序集
解
1 2 3 4 5 6 7
2013-7-4
我们把算法列成下面的表:
x y ′ 使用步骤 1 3 3 6 12 24 6 12 24 36 2′3 3′6 6′12 12′24 24′36 2,3①, ② 3③,3①,3 ② 同上 同上 同上 {2,3,6,12,24,36} 2 {3,6,12,24,36} {6,12,24,36} {12,24,36} {24,36} {36} Φ
定义5.11 设 、 ′是集合A上的两个偏序关系。
如果 对 a,b A,当a b时必导致 a ′b, 则称关 系 ， ′是可比较的 。
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例5-3.3 ‘整除’和‘小于等于’是自然数集上的两个偏序 关系,而且‘︱‟和‘ ≤’是可比较的, ∵对任何a,b N,a︱b时也有a≤b。 注意:例5-3.3中的‘︱‟是偏序而非全序,„≤‟ 却是一个全序,现在问: 对于任何一个有限偏序集<A, >,能否在A上 定义一个全序′,使 与′可比较? 答案是肯定的。我们可以通过所谓‘拓扑排序’ 的过程来达到目的。
为盖住关系，可以用符号表示为
Cover(R)={(x,y)∈R∣(t∈A)[(t≠x∧t≠y) →((x,t)R∧(t,y)R)]} 求出了R的cover(R)，作Hasse图就容易了。
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例5-2.4
作出下面偏序集对应的Hasse图：<2{a,b,c} ,> 偏序关系对应的盖住关系是： Cover()={(,{a}), (,{b}),(,{c}), ({a},{a,b}), ({a},{a,c}), ({b},{a,b}), ({b},{b,c}), ({c},{a,c}), ({c},{b,c}), ({a,b},{a,b,c}), ({a,c},{a,b,c}), ({b,c},{a,b,c})}
例5-2.3
1）集合A={a,b,c}，偏序集<2A,>中，{a}与{a,b}是可比 的，{a}与{b,c}不是可比的。 偏序集<R,≤>中，对任意x,y∈A，x与y都是可比的。 偏序集<Z,≤>中，对任意x,y∈A，x与y都是可比的。 偏序集<N,|>中，2与3不是可比的；2与6是可比的；2与 8是可比的。
集 最大 最小 上 下 最小 最大 合 元 元 极大元 极小元 界 界 上界 下界 B1 6 B2 无 B3 无
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无 2,3,5,7 2,3,5,7 无 1 1 5,6,7,8 1 无 1
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良序关系
定义5.10设<A, >是一偏序集，若A的任何一 个非空子集都有最小元，则“ ”称为良序关系， 简称良序，此时<A, >称为良序集。 由上述定义，良序集的任何一个非空子集 都有最小元，所以，对任意a,b∈A，集合{a,b}有 最小元，所以有a b或b a，因此，良序关系 “ ”一定是全序关系。
定理5.3: 任何有限偏序集都可以转变成全序集。
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习题五
8、9、10、13、15
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设A＝{2,3,6,12,24,36},“|”是A上的整除关系 ，画出其一般的关系图。
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2 关系图
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偏序集的哈斯图
1) 用小圆圈或点表示A中的元素，省掉关系图中 所有的环。 (因自反性) 2) 对任意x,y∈A，若x y，则将x画在y的下方， 可去掉关系图中所有边的箭头。 (因反对称性) 3) 去掉有向边，即当（i，j）和（j，k）都是 有向边时，去掉有向边（i，k）。 (因传递性) 按1),2),3)所作成的图称为哈斯图(Hasse图)。
序号 当前A
算法结束
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定义的全序为:
2′3 ′6′12′24 ′36 由拓扑排序定义的全序关系是什么？完全取决于 极小元的选择方法。 如上例中也可以定义为: 3′2 ′6 ′12 ′36 ′24, （ 因 为 在 <{2,3,6,12,24,36},︱>中，2和3是不可比的）由此可 得:
系，<2A,>是全序集。若|A|≥２，则<2A,>不 是全序集。
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偏序集中的特殊元素
定义5.8
设<A, >是偏序集，a是A的一个元素。 若对任意b∈A,都有b a,则称a为A中的最大元 。 若对任意b∈A,都有a b,则称a为A中的最小元 。 若对任意b∈A,或者b a，或者b与a不可比较,则 称a为A中的极大元。 若对任意b∈A,或者a b，或者b与a不可比较,则 称a为A中的极小元 。
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定义5.12 设和′是集合A上的两个偏序关系,如果
和′是可比较的且′是全序关系,则称关系′是关 系的一个拓扑排序。 由一个给定的有限偏序集构造全序集的 拓扑排序算法: 输入:偏序集<A, > 输出:全序集<A, ′>