数学建模例题_之_饮酒驾驶模型[1]

饮酒驾驶模型摘要本文针对酒后驾车造成交通事故死亡率高，以及根据国家质量检验检疫局发布的饮酒后驾车新标准，建立了饮酒后血液中酒精含量的数学模型。

通过了解酒精在体内吸收，分布和排除的动态过程，及这些过程与人体内酒精反应的定量关系建立微分方程，运用药物动力学原理建立单室和双室模型。

得出血液中的酒精含量)(t C ,与进入体内总酒量)(t x 、时间t 的函数关系式：单室模型：()()()()k k e e x k t x t C a t k kt a a --==--0双室模型：()()n n p n p t pt pt v t x v t x AUC AUC n n∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=--1001本文还运用了 Wagner-Nelson 法（待吸收的百分数对时间作图法），与题中给出的参考数据在计算机运行的结果作对比。

本文还解决了如下问题：1、从模型分析了大李第二次被判为饮酒驾车是因为二次饮酒，而使血液中酒精含量累积而超标。

2、对喝了低度酒多长时间驾车违反规则作了量化分析；3、从单室模型得出了一个血液中酒精含量峰值计算公式：()k k k gk t a a -=303.2max4、用本文的模型对天天喝酒能否开车作了讨论。

本文最后对模型的优点和不足作了评价。

一、问题提出据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

二、问题假设1、机体分为中心室（I 室）和周边室（II 室），两个室的容积（即血液体积或药物分布容积）的过程中保持不变［1］。

2、药物从一室向另一室的转移速率，及向体外的排除速率，与该室的血药浓度成正比。

3、酒精含量的变化基本只受消除速度常数支配。

4、假定消除只发生在中心室，两个房室内酒精初始量都为零（即没有喝酒）。

5、酒在体内运动的配置和消除都是药物动力学过程。

6、人都是在精神状态正常情况下喝酒。

7、酒精可在整个机体内以同速度达到平衡。

三、符号定义v ：房室表观分布容积； k ：酒精消除速度常数； a k ：酒精吸收速度常数；cp k ：酒精转移速度常数（pc k ）；)(t f ：t 时刻体内吸收酒精的速度; m C ：血酒浓度的最高峰值；)(t C ： 时刻的t 血液中酒精含量； )(t x ：进入体内的总酒量； 0x ：一次喝下的酒量；()t x a ：t 时刻体内吸收的酒精量； ()t x c ：t 时刻中心室内的酒精量； ()t x p ：t 时刻周边室内的酒精量；n t ：第n 次喝酒的时刻；m t ：血液浓度达到最高峰值的时刻；I ：已经代谢排泄酒物总量； p AUC ：一次喝酒后的吸收总量；四、模型建立（一）、单室模型将人的机理作为一个房室处理的模型，人喝酒后，酒精需要一定的吸收过程，可建立模型图（1）：图(1) 依条件及示意图，得到单室模型；()kx t f dtdx-= （1） ()x x =0()()v t x t C = （2） ()v x C C 000== 酒精逐渐进入血液循环后；()()t k a a a a e k t x k t f x -==0* （3） 得到:()()()k k e e x k t x a t k kt a a --=--0 （4） 将（2）式代入（3）得()()()()k k e e x k t x t C a t k kt a a --==--0 （5）根据动力学原理的有关计算方法，总结出的血液中酒精含量最大峰值和达到最大峰值时间计算公式［2］x e C m kt 0max -= （6） ()k k k gk t a a -=303.2max （7）(二)、双室模型［3］二室模型假设酒精进入体内后在两个房室内配置，一个中心室，另一个是外周室，酒精在体内的配置和消除都是一级动力学过程，但酒精的吸收可以是任意的，见图（2）：图（2）按照质量平衡原理，时间t -0范围内吸收进入体内的总酒量)(t x 为()()()()I t X t X dt t f t x p c t++==⎰0 （8）其中()dt t X k I tc ⎰=0 （9）代入式（5） 并在等号两边同时除以表观分布容积V 得到()()()()v t x dt t c k t c v t x p t ++=⎰0 （10）其中血液中酒精含量()t c =()vt x c 。

根据式（7）, 当∞→t 时，计算酒精吸收分数的公式为：()()()()⎰⎰∞∞++=00)(dtt c k v t x dt t c k t c x t x p t（11） 我们运用Wagner-Nelson 方法求解，对此，我们在算法作如下基本假设：在时间1-n t 和n t 之间外周室酒精量()t x p 可以用线性插值近似逼近，因此()t vt x p -曲线下的面积n n t t pAUC 1-可用梯形法进行运算()()()()21111---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰--n n n p n p t t p t t pt t v t x v t x dt v t x AUC nn n n (12) 则()()()()()2110000111---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+==---⎰⎰⎰n n n p n p t pt t p t p t p t pt t v t x v t x AUC dt vt x dt v t x dt v t x AUC n n n n n n (13)为了叙述方便，令21--=∆n n n tt t则有()()n n p n p t pt pt v t x v t x AUC AUC n n ∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--101 （14）这是一个递推公式，()n n ,,3,2,1 ∈。

当1=n 时t 0=0，000=t pAUC ，()00=vt x p ，221011t t t t =-=∆则根据上述递推公式()()()111100001t vt x t v t x v t x AUC AUC p p p t p t p ∆⋅=∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= （15） 外周室的药物量变化微分方程为()()()t x k t c vk dtt dx p pc cp p -= （16） 在n t -0时间范围内，对式(10)等号两边积分,得到()()()dt t x k dt t c vk t x nn t p pc t cp n p ⎰⎰-=0（17）在上式等号两边同时除以v ,得到 ()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=-=--⎰⎰⎰n n p n p t p pc t cp t p pc t cp n p t v t x v t x AUC k dt t c k dtvt x k dt t c k v t x n n n n 100001(18)整理上式后()()()n pc t n n p pc t p pc cp n p t k t v t x k AUC k dt t c k v t x n n ∆+∆--=⎰--10101（19） 2、递推计算过程用数学不完全归纳法，对式(15)和式(11)进行递推计算, 计算过程为: 1=n 时20011==∆t pAUC t t()()1111t k dtt c k vt x pc t cp p ∆+=⎰()1101t vt x AUC p t p∆⋅=2=n 时 2122t t t -=∆()()()22102121t k t vt x k AUC k dt t c k vt x pc t p pct ppc cp p ∆+∆⋅--=⎰()()221012t v t x v t x AUC AUC p p t pt p ∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 3=n 时 2233t t t -=∆()()()33203132t k t vt x k AUC k dt t c k vt x pc t p pct ppc cp p ∆+∆⋅--=⎰()()332023t V t X V t X AUC AUC p p t pt p ∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 如此递推计算可得到：()()n n p n p t p t p t v t x v t x AUC AUC n n ∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=--1001（20） 根据题中所给出的数据和（20）式作出图（3）：图（3）由以上各推导公式我们可以计算人在一次饮酒的量，以及多次饮酒的量后体内酒精含量随时间的变化。

五、模型结果分析及验证1、对大李的问题给予解释：通过双室模型可以看出，第一次饮酒时，虽然()201<vt x p ,也就是2010<t pAUC但是第二次饮酒后，由于他第一次饮酒时血液中还残留有一定酒精，有如下关系式()()2210012t v t x v t x AUC AUC p p t p t p ∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 即()()202210012>∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-t v t x v t x AUC AUC p p t p t p 时，就违反了国家的新标准。

2、对喝了3瓶啤酒的在多长时间内驾车就会违反标准。

A 、酒是在短时间内喝的：只要10201t AUC t p∆>，即40/10t pn AUC t <内开车，就会违反国家的新标准。

按照题中给出的参考数据，70㎏的人在短时间内喝下的2瓶酒后，得到的数据代入，同样体重的人喝3瓶啤酒，解得t 约在11小时内，就会违反国家新标准。

B 、酒是较长时间内喝。

我们对上述问题定性地假设长时间内喝了 n 次（每次都是在短时间内喝）， 因为()()n n p n p t p t p t v t x v t x AUC AUC n n ∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=--1001 则有 n t pt pt AUC AUC n n ∆>--2010即 40/)(10--<n n t pt p n AUC AUC t 内开车就会违反国家的新标准。