2018数学学业水平测试卷(一)

2018年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟题
数 学
1．考试采用书面答卷闭卷方式，考试时间90分钟，满分100分； 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
（1）若集合}31|{≤≤-=x x A ，}2|{》
x x B =，则=B A （ ） A. }21|{≤≤-x x B. }21|{<≤-x x C. }32|{≤<x x D. }32|{≤≤x x （2）若5
4
cos -
=α，且α是第二象限角，则=αtan （ ） A. 43- B. 43 C. 34 D ．3
4-
（3）函数)2(log )(2
3--=x x x f 的定义域为 （ ）
A. }12|{-<>x x x 或
B. }21|{<<-x x
C. }12|{<<-x x
D. }21|{-<>x x x 或 （4）已知数列}{n a 是等差数列，且1,8
1
41-==
a a ，则}{n a 的公差d 为（ ） A.2 B.2- C. 2
1
D.83-
（5）一个正三棱柱（底面是正三角形，高等于侧棱长） 的三视图如图所示， 这个正三棱柱的表面积是（ ） A.8 B.24 C.43+24 D.83+24 （6）在某体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别是（ ）
A.92,2
B.92,2.8
C.93,2
D.93,2.8
（7）已知向量)2,1(-=a ，)2,3-(),1,(=-=c m b ，若c b a ⊥-)(，则m 的值是（ ）
A.
2
7
B.35
C.3
D. 3-
（8）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
若1=a ，
45=∠B ,2=∆ABC S 则b 等于（ ）
A.5
B.25
C.41
D.52
（9）正数b a ,满足1=ab ，则b a +2的最小值为（ ） A.2 B.22 C.
2
3
D.3 （10）设)(x f 是定义域为R 的奇函数，且当0>x 时，x x x f -=2
)(，则=-)2(f （ ） A. 2 B.2- C.6 D.6-
（11）直线4+=x y 与圆2
2
)3()(-+-y a x 8=相切，则a 的值为（ ） A. 3 B.22 C. 3或5- D. 3-或5 （12）执行如右程序框图，输出的结果为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．16
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
（13） 点),(y x P 在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥≤22x x y x y 表示的平面区域内，则y x z +=的最大值为 ．
（14）在边长为2的正方形面内随即取一点，取到的点到正方形中心的距离小于1的概率
为 ． （15）若3
1
)2
sin(
)sin(=
+++x x π
π，则=x 2sin _ _ ．
（16）已知函数⎩⎨⎧>-≤=)
1(,)
1(,3)(x x x x f x ，若2)(=x f ，则=x _ _ ．
三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）
已知函数2
()2cos 2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3
f π
的值；
（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.
（18）（本小题满分10分）
某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
（1） 求应从小学，中学，大学中分别抽取的学校数目；
（2） 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步的数据分析： ①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率.
（19）（本小题满分10分） 如图，已知PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，N M ,分别是PC AB ,的中点，若
45=∠PDA ，
（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：⊥MN 平面PCD .
20（本小题满分10分） 若数列
前n 项和可表示为
，则
是否可能成为等比数列？若可能，求
出a 值；若不可能，说明理由．
（21）（本小题满分12分） 已知圆C ：2
2
8120x
y y ，直线:20l ax y a ，
（1）当a 为何值时，直线l 与圆C 交得的弦最长；
（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，当a 为何值时，ABC 的面积最大.
2018年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟(一）参考答案
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
（13）6 （14）4
π
（15）98 （16）2log 3
三、解答题(共5小题，满分52分)
（17）
解：（Ⅰ）22()2cos
sin 333f πππ=+=31
144
-+=- ----5分 （Ⅱ）
1cos 231
()2cos 2cos 2222x f x x x -=+
=+,
所以()f x 的最大值为2，最小值为-1 ------10分
（18）解：（Ⅰ）从小学，中学，大学中分别抽取的学校数目为3，2,1 ------2分
（Ⅱ）3所小学记为1a ，2a ，3a ，2所中学记为1b ，2b ，大学记为c
则抽取两所学校所有可能结果为{1a 2a ，1a 3a ，1a 1b ，1a 2b ，1a c ，2a 3a ， 2a 1b ，2a 2b ，
2a c ， 3a 1b ，3a 2b ，3a c ，1b 2b ，1b c ， 2b c }共15种-----------6分
从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件A ）的所有可能结果为{1a 2a ，
1a 3a ， 2a 3a }，共3种
所以5
1
153)(==
A P -----10分
（19）解 （1）证明：如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE 。

N E , 分别为PD,PC 的中点，CD EN 2
1
//∴
又M 为AB 的中点，CD AM 2
1
//∴
AM EN //∴，∴四边形AMNE 为平行四边形。

AE MN //∴，PAD MN 平面//∴ ----------5分
（2）
45,=∠⊥PDA ABCD PA 平面
PD AE PAD ⊥∴∆∴为等腰直角三角形。

又A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,
AE CD PAD AE PAD CD ⊥∴⊂⊥∴，平面而平面,
又PCD MN PCD AE D PD CD 平面平面⊥∴⊥∴=,, -----------10分
（20) 解： 因
的前n 项和
，故
=
,
， a n =2n +a －2n-1－a=2n-1()．要使
适合
时通项公式，则必有
，
此时
， ，
故当a=－1时，数列成等比数列，首项为1，公比为2，
时，
不是等比数
列．
（21）解：设圆心到直线的距离为d ，圆心C （0，4）半径r=2 ------1’
（1)在圆中，最大的弦是直径。

所以直线过圆心C 。

将点C 坐标代入直线方程， 4=-a(0+2), 求得 a=-2;- -----5’
（2）圆心C 到直线:20l ax
y a 的距离2
42,1
a d
a
---7’
AB 224-d ， -----9’
由
2
22
2
22
1
(4)42
22
4,2
422,1
71d d s
AB d d d
d d d
a a
a
a
此时取等号条件为即当
时解得或。

故所求直线为714
020x y x y 或 -----------12’。