第九章 一元非线性回归分析
应用技术回归分析第九章部分完整答案
第9章 非线性回归9.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。
如：(1) 乘性误差项，模型形式为e y AK L αβε=， (2) 加性误差项，模型形式为y AK L αβε=+。
对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。
一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。
9.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表9.14所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。
表9.14生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%）5.26.56.88.110.2 10.3 13.0解：先画出散点图如下图：5000.004000.003000.002000.001000.00x12.0010.008.006.00y从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。
（1）二次曲线 SPSS 输出结果如下：Mode l Sum mary.981.962.942.651R R SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the E stim ateThe independent variable is x.ANOVA42.571221.28650.160.0011.6974.42444.2696Regression Residual TotalSum of Squares dfMean SquareF Sig.The independent variable is x.Coe fficients-.001.001-.449-.891.4234.47E -007.0001.4172.812.0485.843 1.3244.414.012x x ** 2(Constant)B Std. E rror Unstandardized Coefficients BetaStandardizedCoefficientstSig.从上表可以得到回归方程为：72ˆ 5.8430.087 4.4710yx x -=-+⨯ 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。
回归分析非线性回归
回归分析非线性回归回归分析是用于探究自变量和因变量之间关系的一种统计方法，在实际应用中，所研究的问题往往并不是简单地呈线性关系。
为了更准确地描述变量之间的复杂关系，我们需要使用非线性回归模型。
非线性回归指的是自变量与因变量之间的关系不是简单的线性关系，而是可以用其他非线性函数更好地拟合的情况。
这样的非线性函数可以是多项式函数、指数函数、对数函数等等。
非线性回归可以更好地反映实际问题的实际情况，并且通常能够提供更准确的预测结果。
在非线性回归分析中，我们需要确定非线性函数的形式以及确定函数中的参数。
对于确定非线性函数的形式，一般来说，可以通过观察数据的散点图、经验和理论分析来选择。
根据选择的非线性函数形式，我们可以使用最小二乘法等方法来确定函数中的参数。
以一个简单的例子来说明非线性回归的具体步骤。
假设我们想要研究一个人的年龄和体重之间的关系，我们可以选择一个二次多项式模型来描述这个关系。
我们的非线性回归模型可以写作：体重=β₀+β₁×年龄+β₂×年龄²+ε其中，体重是因变量，年龄是自变量，ε是误差项。
我们的目标是确定模型中的参数β₀、β₁和β₂的值，使得模型最好地拟合观察到的数据。
为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法来估计参数的值。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化观测值与模型预测值之间的离差平方和来确定参数的值。
通过最小二乘法估计出的参数值，可以用于建立非线性回归模型，从而对未来的数据进行预测。
除了使用最小二乘法估计参数值之外，我们还可以使用其他的优化算法如牛顿法或梯度下降法来估计参数的值。
这些方法的选择通常取决于模型形式的复杂程度、参数数量以及数据量等因素。
需要注意的是，非线性回归模型的参数估计和预测结果都受到初始值的选择和模型形式的选择的影响。
因此，在进行非线性回归分析时，我们需要注意选择合适的初始值和合适的模型形式，以获得更准确的结果。
在实际应用中，非线性回归可以用于多个领域，比如医学、经济学、工程学等。
一元非线性回归
2 656.824 1 846.988 1 616.684 1 730.563 11 303.970 14 019.790 9 277.172 13 684.750 1 949.164 4 846.016 521 457.400 564 370.800
298.473 179.866 172.808 172.143 881.042 638.176 862.088 712.787 228.403 324.481 7 393.938 12 212.410
求解
① 根据有关研究，景观斑块面积与周长关系可 用双对数关系拟合：LnA = t1*lnP + t2 y = ln A x = ln P ② 作变量替换，令 ，将表中原始数 据进行对数变换，变换后得到的各新变量对 应的观测数据如表。
序号 1 2 3 4 5 6 7 y=lnA 9.254 106 9.678 763 10.340 99 9.153 019 9.292 742 9.977 338 8.838 07 x=LnP 6.438 379 6.417 2 6.653 782 6.273 258 7.552 816 7.168 551 6.033 226 序号 42 43 44 45 46 47 48 y=lnA 12.358 13 8.307 622 10.336 37 7.508 433 10.176 19 9.515 909 11.091 18 x=LnP 8.362 186 5.667 487 6.797 918 5.323 65 6.875 294 6.951 841 7.718 879
0.8
(a>0 and b>0)
0.6
20
y
y
0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25
第9章一元线性回归解读
也称为Pearson相关系数 (Pearson’s correlation coefficient)
2. 样本相关系数的计算公式
r (x x)( y y) (x x)2 (y y)2
相关系数的性质
• 性质1：r 的取值范围是 [-1,1]
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？ 9.1.2 用散点图描述相关关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
怎样分析变量间的关系？
建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之 间的关系。分析变量之间的关系需要解决 下面的问题
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体
2020-11-17
散点图
(销售收入和广告费用的散点图)
2020-11-17
9.1 变量间的关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
相关系数
(correlation coefficient)
1. 度量变量之间线性关系强度的一个统计量
– 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体
相关系数，记为
变量之间的关系？
2020-11-17
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？
函数有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完
y
全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量
•
的相关系数相等，即rxy= ryx
• 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的
回归分析非线性回归
回归分析非线性回归回归分析是一种用于研究自变量与因变量之间关系的统计分析方法。
在回归分析中，我们使用自变量来解释因变量的变化，并建立一个数学模型来描述这种关系。
通常情况下，我们假设自变量与因变量之间是线性关系。
因此，在大多数回归分析应用中，我们使用线性回归模型。
然而，有时候我们可能会发现实际数据不符合线性关系的假设。
这时，我们就需要使用非线性回归模型来更好地解释数据。
非线性回归分析是一种通过建立非线性模型来描述自变量和因变量之间关系的方法。
在这种情况下，模型可以是各种形式的非线性函数，如指数函数、对数函数、多项式函数等。
非线性回归模型的形式取决于实际数据。
非线性回归模型的建立通常包括以下几个步骤：1.数据收集：首先需要收集与自变量和因变量相关的数据。
这些数据应该能够反映出二者之间的关系。
2.模型选择：根据实际情况选择合适的非线性模型。
常见的非线性模型有指数模型、对数模型、幂函数等。
3.参数估计：使用最小二乘法或其他拟合方法来估计模型中的参数。
这些参数描述了自变量和因变量之间的关系。
4.模型检验：对估计得到的模型进行检验，评估模型的拟合程度。
常见的检验方法有残差分析、F检验、t检验等。
5.模型解释与预测：解释模型的参数和拟合程度，根据模型进行预测和分析。
非线性回归分析的主要优点是可以更准确地描述自变量和因变量之间的关系。
与线性回归不同，非线性回归可以拟合一些复杂的实际情况，并提供更准确的预测。
此外，非线性回归还可以帮助发现自变量和因变量之间的非线性效应。
然而，非线性回归模型的建立和分析相对复杂。
首先，选择适当的非线性模型需要一定的经验和专业知识。
其次，参数估计和模型检验也可能更加困难。
因此，在进行非线性回归分析时，需要谨慎选择合适的模型和方法。
最后，非线性回归分析还需要考虑共线性、异方差性、多重共线性等统计问题。
这些问题可能影响到模型的稳定性和可靠性，需要在分析过程中加以注意。
总之，非线性回归分析是一种用于解释自变量和因变量之间非线性关系的方法。
一元非线性回归
⼀元⾮线性回归⼀元⾮线性回归有时，回归函数并⾮是⾃变量的线性函数，但通过变换可以将之化为线性函数，从⽽利⽤⼀元线性回归对其分析，这样的问题是⾮线性回归问题。
为了检验X射线得到杀菌作⽤。
⽤200kv的X射线照射杀菌，每次照射6分钟，照射次数为x,照射后所剩的细菌数为y,下表是⼀组试验结果x y x y x y1 783 815415282 621 912916203 433 1010317164 431 117218125 287 12501996 251 13432077 175 1431根据经验知道y关于x的曲线回归⽅程如bxyae试给出具体的回归⽅程，并对其对应的决定系数R^2和剩余标准差s。
⼀、⾸先描出数据的散点图，如下图散点图呈现出⼀个明显的向下且下凸的趋势，可能选择的函数关系很多，⽐如我们可以给出如下三个曲线函数：1.1bay x=+（1）2.baxy=（2）3.bxy ae=（3）⼆、参数估计1.为了能采⽤⼀元线性回归分析⽅法，我们做如下变换yv ln=u=x则（1）式的曲线图就化为如下的散点图u i∑= 3655 i v ∑=87.22497u =182.75 v =4.3612482ui∑=1611149 u i i v ∑=21281.692nu =667951.3 nuv =15940.36uu l = 943197.8 uv l =5341.3291B =uuuvl l =130.9375 0B=v - B1=-388.301得出⽅程v=-388.301+130.9375x四、结束语对于可化为线性模型的回归问题，⼀般先将其化为线性模型，然后再⽤最⼩⼆乘法求出参数的估计值，最后再经过适当的变换，得到所求回归曲线。
在熟练掌握最⼩⼆乘法的情况下，解决上述问题的关键是确定曲线类型和怎样将其转化为线性模型。
确定曲线类型⼀般从两个⽅⾯考虑:⼀是根据专业知识，从理论上推导或凭经验推测、⼆是在专业知识⽆能为⼒的情况下，通过绘制和观测散点图确定曲线⼤体类型。
一元非线性回归分析
Non-linear Regression Analysis
1.常用旳目旳函数及其线性化旳措施 2.回归方程旳评价措施 3.应用范例与MATLAB实现
1. 常用旳目旳函数及其线性化措施
在某些实际问题中，变量间旳关系并不都是线性旳， 那时就应该用曲线去进行拟合.用曲线去拟合数据首先要 处理旳问题是回归方程中旳参数怎样估计？
处理问题旳基本思绪
对于曲线回归建模旳非线性目旳函数 y f (x), 经过
某种数学变换
v u
v( u(
y) x)
使之“线性化”化为一元线性
函数 v a bu 旳形式，继而利用线性最小二乘估计旳
措施估计出参数a和b ，用一元线性回归方程 vˆ aˆ bˆu
来描述 v 与 u 间旳统计规律性，然后再用逆变换
SSR SST SSE.
3. 应用范例与MATLAB实现
商店销售额与流通率旳非线性回归分析
流通率是反应商业活动旳一种质量指标，指每元 商品流转额所分摊旳流通费用.
搜集了九个商店旳有关数据 。
2. 回归方程旳评价措施
对于可选用回归方程形式，需要加以比 较以选出较 好旳方程，常用旳准则有：
⑴ 决定系数 R2
定义
R2 1 SSE , SST
称为决定系数.显然 R2 1 . R2 大表达观察值 yi 与拟 合值 yˆi比较接近，也就意味着从整体上看，n个点旳散
布离曲线较近.所以选 R2 大旳方程为好.
b>0
b<0
线性化措施
令 v ln y , u 1/ x, 则 v ln a bu. ⑹ 对数函数 y a bln x
函数图象
b>0
b<0
一元非线性回归分析的应用
.学号姓名学院专业化学工程与技术成绩一元非线性回归分析的应用——以流化床中不同床层高度处的气泡直径为例摘要：一元非线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的非线性关系的预测方法。
在实际现实问题中，变量之间的关系往往都是比较复杂的非线性相关关系。
本文运用一元非线性回归的分析方法，构建了简单的分析模型，求出模型参数，并对分析结果的显著性进行了假设检验，从而了解到流化床中床层高度与气泡直径之间的关系呈非线性相关(双曲线关系)。
正文：一、问题提出鼓泡流化床由于气体和固体之间有较高的传热、传质速率，已广泛应用于工业领域。
气泡是气固鼓泡流化床中一种重要的现象，气泡结构以及流动过程的变化对反应有较大的影响，气泡的出现、聚并、破裂对床层内颗粒的混合和床层浓度、温度的均匀分布有至关重要的作用，因而研究鼓泡流化床内的气泡行为对提高反应器的效率具有十分重要的意义。
二、数据描述流化床中气泡直径与床层高度之间有一定关系，运用这一关系可以根据流化床中床层高度求出气泡直径，下表是实测14对气泡直径与床层高度的数据记录，用一元非线性回归法分析他们之间的关系。
表1 气泡直径u 与床层高度v 的试验数据三、模型建立（1）构建模型由上表中的数据，做出气泡直径u 与相应的床层高度v 数据的散点图，如下图所示.图一 实验数据散点图该图形显示气泡直径u 与相应的床层高度v 之间存在非线性相关关系。
根据图中散点图的特点，选用双曲线1/u=a + b/v作为回归函数来表示气泡直径u 与床层高度v 之间的关系。
y=1/u x=1/v ①则得线性函数 y=a + b*x （2）模型求解由v、u的试验数据去倒数得x, y的数据，见表2。
表2 u, v的试验数据利用上面的数据，按线性回归公式算得x= 0.080311/14=0.005736, y=0.261725/14=0.018695,Lxx=∑xi2-14x2 =0.000106Lyy=∑yi2-14y2 =0.000548Lxy=∑xiyi-14x y=0.00024ß^= Lxy/ Lxx=0.00024/0.000106=2.263298â =y-ß^x =0.018695-2.263298*0.005736=0.005711 得到样本回归直线方程y^=2.263298x+0.005711 ②下图为用excel拟合的直线图图二实验数据拟合图四、检验用相关系数检验法检验上式，对α=0.01，查相关系数临界值，得r0.01 (12) =0.661,由于│r│=│Lxy│/( Lxx Lyy)^1/2 =0.995938>0.661所以线性回归方程②式的作用高度显著。
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.
2. 估 计 非 线 性 回 归 关 系 的 参 数 ， 如 极 . 值、曲线拐点、渐近值等；
.
. 3.利用非线性回归方程进行预测或其它 分析。
二、非线性回归的类型
曲线类型
.
. 根据曲线的性质和特点分为以下6种类型：
.
1.指数函数曲线
63.7
. 35 75.2
-1.1093
79.3
.
40 90.2
-202196
89.4
45 95.4
-3.0320
94.8
50 97.5
-3.6636
97.6
本章小结：
.
. 1.用线性转换法配置曲线方程的基本步骤。
.
2.指数曲线方程与Logistic生长曲线方程在进 行线性转换时有什么区别？
.
. 3.Logistic生长曲线方程的信息分析：起始量、 . 极限量和拐点日期的计算及生物学意义。
X(周次)
Y ( kg)
Yln 2.827Y
Y
.
2
0.30
2.1310
.
4
.
0.86
0.8273
6
1.73
-0.4555
.
8
.
10
.
12
2.20
-1.2553
2.47
-1.9342
2.67
-2.8336
14
2.80
-4.6415
.
解：
1、求K值:
K
y2 2
y1 y3 2y1y2y3
y
2 2
.
. 该曲线称为增长曲线。a是起始量，b是 每经过一个单位时间实得量对于起始量 的平均倍数。
二、方程 Yˆ abX 的线性转换
.
. 方程 Yˆ abX通过对数转换可化为直线 方程。
.
方程 Yˆ abX 两边取对数：
lg Yˆ lg a (lg b)X
.
. 令：Yˆ lg Yˆ ( Y lg Y )
. s 2.265920 xy 123.5304 n 7 y
. b 0.519964 a 2.993743
则：Yˆ 2.993743 0.519964 X
数据表
. 4、将直线回归方程 Yˆ 2.993743 0.519964 X 反
. 转换为
.
Yˆ K
1 aebX
a ln12.993743 19.96
.
1. Y是累积生长量或繁殖量时：
.
.
y2y y 2y y y
K 2 1
3
123
y2 y y
2
13
2.Y是累积频率（%）时：K=100
三、Logistic曲线方程的应用实例
.
[实例1] 测定某肉鸡在良好饲养条件下的
.
生长过程，每两周测定一次，得结果于
.
下表，试以Logistic方程描述之。
.
一、Logistic曲线方程及性质
.
.
.
Y
K
.
K
.
2
.
K
.
1a
0 ln a
∞
x
b
.
.
Yˆ K
(a、b、K 均大于0)
.
1 aebX
（一）Logistic曲线方程
.
. .
Yˆ K 1 aebX
(a、b、K 均大于0)
.
式中：X—生长发育时间；
.
Y—累积生长量；
.
.
K—极限生长量，或叫终极量，表
.
. .
则： Yˆ
2.827
1 19.96e 0.519964X
.
5、曲线拟合度检验
.
.
r 0.9914
yx
.
r 0.754 , r 0.874
0.05, 5
0.01, 5
相关达到了极显著，表明该资料用 logistic曲线 描述是合适的。
[实例2]某地测定1972年越冬代棉红龄虫的化蛹 进度（%），化蛹时间以 5月31日为0计，结果 . 如下表。试以Logistic生长曲线方程描述该资料
Yˆ a bX
. 将直线方程中的 a和 b反转换为a和 b：
.
a lg1a
b lg1 b
将a和b代入方程 Yˆ abX中，即可得到
所要配置的指数方程。
三、方程 Yˆ abX的应用条件
.
.
. 1.因变量Y的取值均大于0；
2.对因变量Y做对数转换（ Y lg Y ），
.
（ X, Y）的散点图呈线性；
. X和Y的关系。
.
X Y(%) Y ln(100 Y) Yˆ
100
Y
1 62.0909e0.1564x
5 3.5
3.3168
3.4
.
10 6.4
2.6827
7.1
.
15 14.6
1.7663
14.4
.
20 31.4
0.7815
26.9
.
25 45.6
0.1765
44.6
. 30 60.4
-0.4222
2.对数函数曲线
.
.
3.幂函数曲线
.
.
4.双曲函数曲线
5.Logistic生长曲线
.
.
6.二次多项式曲线
.
三、非线性回归方程的配置
. 基本步骤如下：
.
. 1.做散点图，选择合适的曲线类型及回 归方程形式。
2.配置相应的非线性回归方程。
.
. 非线性回归方程的配置方法：
.
①用非线性最小二乘法配置（ 麦夸特
.
.
a lg a
.
b lg b
.
. 则：Yˆ a bX
这是典型的直线方程形式。方程中的 a 和 b 可根据下式计算：
X
Y
Y ' lg Y
.
x1
y1
.
x2
y2
.
┇
┇
xn
yn
y lg y
1
1
y lg y
2
2
┇
y lg y
n
n
.
.
xy 1 x y
.
b
n
.
x2 1 x2
n
. a y bx
示当生长发育时间无限延长(X→∞)
.
时的累积生长量,为常数。
.
.
e =2.71828……
(二）Logistic曲线的特性 Logistic曲线
. 1. Logistic曲线的形状呈s形，曲线上下各有K
Yˆ
K 1a
，即生长发育时间为0的
1a
3.当X→∞时， Yˆ K，即生长发育时间无限延
.
Marguardt法）。
. ②用线性最小二乘法配置。即对曲线方 . 程先进行变量代换，使之变成直线方程，
.
然后计算直线方程中的回归系数，最后 再反转换为原曲线方程。
一、方程 Yˆ abX的图像及性质
.
.
Y
a>0
.
b>1
.
.
0
X
.
.
Yˆ abx
该曲线方程在生物学研究中应用较广。例
. 如，微生物培养时间X与增殖量Y的关系。
.
.
. 3.X, Y的相关系数达到显著。
. . .
四、方程 Yˆ abX的应用实例
. [实例] 某作物出苗后6~16天（即日龄） . 的植株地上部分干重（g）如下表，试用 . 指数方程描述之。
植株地上部分干重Y与日龄X的关系
.
日龄X 地上部干重Y Y lg Y Yˆ 0.0204(1.57 )X
x 2 1 x2
0.196
n
.
a y bx 1.69
Yˆ a bX 1.69 0.196X
3.将 a和 b 转换成a和b，代入指数方程Yˆ abX；
a lg1 a lg11.690.0204
.
. b lg1 b lg10.196 1.57
.
由此，得到指数方程 Yˆ 0.02041.57X
生长速度又趋于缓慢，以致终期停止生长或趋
于饱和。
二、Logistic曲线方程的建立
. （一）Logistic曲线方程的线性转换
.
Yˆ K
.
1 aebX
K Yˆ YˆaebX
.
K Yˆ Yˆ
aebX
. .
两边取自然对数：
ln(
K
Yˆ
Yˆ
)
ln
a
bX
.
令
： Yˆ
ln(
K Yˆ
Yˆ
)
，即 Y ln( K Y ) Y
.
长的终极量是K。
. . .
4育极.曲时限线间生在X长=(量b1ln的blnaa1, /时K22。，)处这有时一生个长拐量点Y，ˆ 即K2生，长恰发为
.
Logistic生长曲线对于动、植物生长或繁
殖过程的描述为：开始生长或繁殖较为缓慢，
.
随着时间推移，增长速度加快，在 X ln a处为 . 增长速度最快的时刻，而后经过一个时间b 段，
.
. . .
第九章 一元非线性回归分析
第一节 非线性回归的基本概念 第二节 指数曲线方程的配置 第三节 Logistic曲线方程的配置 第四节 曲线拟合度检验
一、什么是非线性回归
.
（一）非线性回归分析