第三章_曲线拟合算法的研究汇总
曲线拟合法的基本原理
曲线拟合法的基本原理宝子，今天咱们来唠唠曲线拟合法这个超有趣的东西哦。
你看啊，在我们的生活里呢，有好多好多的数据点。
比如说，你记录了一个月里每天的气温，那这些不同日期对应的气温数值啊，就像是散落在纸上的小点点。
曲线拟合法呢，就像是一个超级聪明的小魔法师，它想把这些零散的小点点串起来，变成一条漂亮又有意义的曲线。
那它是怎么做到的呢？其实呀，它是基于一种假设的。
这个假设就是，这些看起来乱乱的点呢，背后是有一个规律的，这个规律可以用一个数学表达式来表示。
就好比你看天上的星星，虽然星星那么多，但是它们的排列其实是有一定的天文规律的。
我们通常会有一些已经知道的函数类型，像一次函数（就是那种y = ax + b的形式啦）、二次函数（y = ax²+ bx + c），还有其他更复杂的函数。
曲线拟合法就会尝试用这些函数去贴近那些数据点。
比如说，对于气温的例子，如果它发现这些点的分布有点像二次函数的形状，那就会开始调整这个二次函数的参数a、b、c。
这个调整的过程就像是给一个小木偶调整关节一样。
它要让这个函数曲线尽可能地靠近那些数据点。
那怎么算靠近呢？这里就有一个很有趣的衡量标准啦，叫做误差。
误差就像是一个小裁判，它会看看函数曲线和数据点之间的距离。
如果距离很大，那就说明这个函数曲线还不太合适；如果距离很小，那就是找对方向啦。
比如说，有个数据点是(3, 5)，而我们拟合出来的曲线在x = 3的时候得到的值是4.8，那这个0.2的差距就是误差的一部分哦。
曲线拟合法会不断地调整函数的参数，让所有数据点的误差加起来变得最小最小。
而且哦，这个方法超级实用呢。
在科学研究里，如果我们有一些实验数据，想要找到这些数据背后隐藏的规律，曲线拟合法就可以大显身手啦。
像研究化学反应的速度和温度的关系，通过收集不同温度下反应速度的数据，然后用曲线拟合法找到合适的函数关系，就可以预测在其他温度下反应速度大概是多少啦。
在经济领域也是哦。
曲线拟合算法
曲线拟合算法
曲线拟合算法是一种数值分析中的重要技术，它可以将数据点转换成曲线，以便更好地描述数据的分布情况。
它可以增强数据的可视化效果，从而帮助人们更清晰地了解数据的规律和趋势，从而有效地改进业务流程，提高数据分析的准确性和可靠性。
曲线拟合算法的实现步骤大致为：首先，确定拟合曲线的类型，通常需要根据数据的特点来选择相应的拟合曲线，例如线性拟合、二次拟合、三次拟合等。
其次，根据拟合曲线的类型，计算拟合曲线的参数，一般根据最小二乘法来计算。
最后，根据计算出的参数绘制拟合曲线，以及计算拟合曲线的误差。
曲线拟合算法在很多领域都得到了广泛的应用，例如工程设计、统计分析、技术分析、科学研究等。
例如，曲线拟合算法可以用于预测经济数据的变化趋势，以及分析市场的发展趋势；也可以用于工程设计，例如根据数据拟合出函数，以便实现工程设计中的优化控制；此外，曲线拟合算法还可以用于科学研究，例如研究气候变化等。
总之，曲线拟合算法是一种重要的数值分析技术，它可以有效地描述数据的分布规律，可以在很多领域得到有效的应用，从而发挥重要作用。
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘
第3章 插值方法与曲线拟合
2.若用抛物线插值（三点插值） 程序： clear format long x = [0.4, 0.5, 0.6]; y = [-0.916291, -0.693147, -0.510826]; xi = [0.54]; yi = lagrange(x, y, xi) 其结果为： yi = -0.61531984000000
x1
x
p1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
称 l0 ( x ) 和 l1 ( x ) 为 x0点和x1点的插值基函数。有如下性质：
l0 ( x0 ) 1, l 1 ( x0 ) 0 ,
l0 ( x1 ) 0 l 1 ( x1 ) 1
p1 ( x0 ) y0 p1 ( x1 ) y1
2.若用五点插值 程序： clear 插值误差与插值次数有关！ format long x = [0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8]; y = [-0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.356675, -0.223144]; xi = [0.54]; yi = lagrange(x, y, xi) 其结果为：yi = -0.61614271520000
例
f(x)=ln(x)
Lagrange插值
二
准确值 ln0.54=0.6161861394238
1.若用线性插值（两点插值） 程序： clear format long x = [0.5, 0.6]; y = [-0.693147, -0.510826]; xi = [0.54]; yi = lagrange(x, y, xi) 其结果为： yi = -0.62021860000000
曲线拟合法的理论与分析
曲线拟合法的理论与分析曲线拟合法是一种常用的方法来逼近所测量的曲线，以及对拟合后的曲线拟合形状的分析。
维度拟合技术为曲线拟合提供了另一种实用的策略。
它可以用来确定和实现空间拟合,计算曲线拟合精度,特征提取,及自动形态识别等目的。
曲线拟合法的基本原理包括样本准备，曲线拟合算法选择、拟合技术及参数设置等。
样本准备是指输入数据处理，采样数据不能太多而不能太少，要使拟合效果最佳。
然后是选择曲线拟合算法，经常使用的曲线拟合算法有最小二乘法、指数拟合、多项式拟合等。
拟合技术的选择以及参数的设置都将会影响拟合的精度，且参数设置还可以确定拟合曲线的形状。
维度拟合技术是一种实用的曲线拟合方法，它把拟合对象拆分成若干个维度，把每个维度分别拟合，再将各个维度综合起来，得到更形象有意义的曲线拟合技术。
有时候，数据点往往是不可避免地误差存在，可以通过增加拟合残差的正则化项，使曲线拟合更加合理。
正则化项的选取和参数设置的不同，对拟合的精度有一定的影响，正则化参数的取值越大，数据之间的不均匀性越小，拟合的精度越高。
特征提取是从数据中抽取特征的过程，广泛应用于曲线拟合。
曲线拟合在特征提取中的重要应用，可以利用拟合技术进行特征提取，对特征提取算法采用曲线拟合技术，可以有效地抽取出有用的特征。
自动形态识别也可以利用曲线拟合技术，曲线拟合可以反映一定物体的形态，可以作为形态识别的基础技术。
另外，曲线拟合法还可以用来分析采用不同参数的曲线拟合的结果，以求得最佳的曲线拟合结果。
曲线拟合法是一种工程技术，它不仅可以用于科学研究，而且可以应用到工程中，如计算机视觉、图像处理和识别、机械设计等等。
综上所述，曲线拟合法可以用来拟合所测量的曲线，把拟合对象拆分成若干个维度，用正则化项来减少误差，可以用来特征提取以及自动形态识别等。
它不仅可以用于科学研究，而且可以用于工程实践，因而具有很强的实用性。
计算方法 第三章 最小二乘法与曲线拟合
j1 i1
i1
称（2）为（1）的正规方程组（法方程组）。 （2）的解即为（1）的解，称此方法为最小二乘法。
例：利用最小二乘法求矛盾方程组：
2x+4y=11
3x 5y 3 x 2 y 6
4x 2 y 14
解：将原方程组改写为
4
1 2x 4 y 11 2 3x 5y 3 3 x 2 y 6
记
Q
n
i2
n
m
2
(aij x j bi ) （求Q的最小值）
i 1
i1 j1
Q
xk
n i 1
2
m
(aij x j
j 1
bi )aik
n
2
i 1
m
(aij x j
j 1
bi )aik
0
即
m
n
aij aik
x
j
n
aik bi
(k 1, 2,
, m)
——（2）
注：拟合时尽量使i 0
2. 常用方法：
m
m
（1）使偏差绝对值之和最小，即 | i | | (xi ) yi |最小。
i 1
i 1
(2)
使偏差最大绝对值最小，即max 1im
|
i
|
max
1im
|
( xi
)
yi
|
最小。
m
m
（3）使偏差平方和最小，即 i2 ［(xi ) yi］2最小。
解得：x 2.977，y 1.226
§3.2 曲线拟合
一、已知 x x1 x2 xn
y y1 y2
yn
n－1的多项式 Q(x) a0 a1x
曲线拟合算法研究及分析
曲线拟合算法研究及分析作者姓名郭腾腾专业信息与计算科学指导教师姓名田霞专业技术职务副教授作者姓名郭腾腾专业信息与计算科学指导教师姓名田霞专业技术职务副教授摘要 (1)第一章曲线拟合算法的简介 (2)什么是曲线拟合算法 (2)1.1.1曲线拟合的大体思想 (2)1.1.2曲线拟合的概念 (2)可化为线性拟合的非线性拟合 (3)第二章曲线拟合算法的研究 (4)曲线拟合的国内外研究现状 (4)2.1.1曲线拟合的目的及意义 (4)2.1.2曲线拟合的国内外研究现状 (5)2.1.3曲线拟合研究设计内容 (5)曲线拟合的最小二乘法 (6)2.2.1最小二乘法的大体原理和多项式拟合 (6)2.2.2一般最小二乘拟合 (11)2.2.3最小二乘拟合多项式的存在唯一性 (13)2.2.4多项式拟合中克服正规方程组的病态 (14)第三章曲线拟合算法的评价 (16)参考文献 (18)致谢 (19)附录 (20)判断最佳拟合那个数据的曲线的一个方式是通过找到误差的平均值分析绝对误差。
平均误差越小方程拟合的越好。
分析这条曲线的另一个办法是找到均方误差。
咱们用均方误差代替平均误差。
一样，均方误差越小，方程拟合的越好。
平均误差和均方误差之间最主要的不同是均方误差考虑那些远离预测值的数据值。
换句话说，远离预测值的数据对均方误差的影响要比平均误差更大。
这是因为当一个两位数取平方时，若是他们没有被平方，他们的差会变大。
统计学家们一般在分析顶用均方误差，所以咱们也用均方误差。
在这里，通过对曲线拟合算法的进一步研究，咱们对这一算法有了更深刻地熟悉，并运用最小二乘法的原理，用列主元消去法编程实现了用改良的平方根法求正规方程组。
关键词：曲线拟合最小二乘法列主元消去法平方根法ABSTRACTOne way to judge how well the curve fits the data is to analyze the absolute error by finding the mean of the error. The smaller the mean error, the better the fit of equation. Another way to analyze the curve is to find the mean square error. Instead of finding the mean of the error, we find the mean of squaring the error. Again, the smaller the mean square error, the better the fit of equation. The main difference between mean error and mean square error is that the mean square error takes care more of an account for data values that are farther away from the prediction values. In other words, data that falls far from its predictor has a larger effect on the mean square error than the mean error. Because two numbers’ difference s become greater when two numbers are squared. Generally Statisticians use the square mean error in analyses, so we will too. Here, We have a better comprehension for the algorithm by taking deeply research，and take the Least square method and Column principle elimination method to solve the normal equations by using improved Square Root Method.Key words: Curve fitting; Least square method; Column principle elimination method; Square Root Method第一章 曲线拟合算法的简介什么是曲线拟合算法1.1.1曲线拟合的大体思想曲线拟合用持续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处置方式。
曲线曲面的拟合与设计分析
∂L ∂β0′
β0′,β1 = 0 ，
∂L ∂ β1
β 0′, β1
=0
解出：
∑ ∑ βˆ0′ = y ， βˆ1 = y j (x j − x ) (x j − x )2
（3-5） （3-6）
βˆ0′, βˆ1 分别是截距和斜率的最小二乘估计。简单线性回归的拟合模型是
yˆ = βˆ0′ + βˆ1(x − x )
yj(xj − x) =
xj
yj
−
1 n
(
x j )(
yj)
式（3-6）中用新记号后的斜率的最小二乘估计为
（3-9） （3-10）
βˆ1 = Sxy / Sxx
（3-11）
回归关系应用时应注意到： 1）、应谨慎地选用回归模型的变量和近似函数的形式； 2）、回归关系仅对回归变量的取值在原始数据的范围内是有效的；换句话说，当 x 在原
i =1
i =1
i =1
(3-13)
其中的 SSE 是残差平方和，表示实际观察值没有落在回归直线上引起的偏差；SSR 是回归平
方和，是由回归直线引起的偏差。因此如果 SSR 越大，SSE 越小，表示 y 与 x 的线性关系就
越显著；反之，表示 y 与 x 的线性关系就越不显著。这样就找到了一种判别回归直线拟合程
5
试验设计与分析
D(
y0
−
yˆ0
)
=
σ
2
⎡ ⎢ ⎣
1 k
+
1 n
+
(x0 − x Sxx
)2
⎤ ⎥ ⎦
（3-24）
于是，在如 x0 处 k 个未来观察值的平均值的 100%（1-α ）预测区间是
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第三章 曲线拟合算法的研究3.1 引言随着航空、汽车等现代工业与计算机技术的发展，圆锥曲线与列表点曲线已经成为形状数学描述的常用方法，得到了广泛的应用。
为了满足激光切割加工任务的需要，自动编程系统集成了多种曲线拟合算法，这样利用现有的激光切割机，即可实现特殊曲线的插补功能，极大地丰富系统的插补能力，满足复杂的生产要求。
3.2 圆锥曲线拟合算法的研究在经济型数控系统中，对于圆锥曲线即平面二次曲线的加工是数控加工中经常遇到的问题，随着数控加工对圆锥曲线插补的需求，近年来有关各种圆锥曲线的插补算法应运而生[26]。
常用的解决方法是先用低次的有理参数曲线拟合或将其离散，再用直线、圆弧逼近，然后才能进行数控加工[28]。
本章从一个新的视角利用双圆弧方法，提出先对圆锥曲线进行标准化处理，再用双圆弧拟合逼近，然后再进行数控加工。
这样的优点是：圆弧样条的等距曲线还是圆弧；双圆弧样条能达到C 1连续，基本上能满足要求；所有数控系统都具有直线插补和圆弧插补功能，无需增加额外负担。
由于工程应用不同，对曲线拟合的要求也不同。
有的只要求拟合曲线光滑，有的要求光顺[9-10]。
本章中开发的软件要求是：支持多种常用圆锥曲线的拟合；拟合曲线要求光滑；拟合曲线与函数曲线间的误差应控制在允许的范围之内，且拟合圆弧段数较少。
本章提出的对圆锥曲线的插补，是建立在对平面任意二次曲线可以进行分类的基础上，先将二次曲线进行分类，然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合，这样就可以直接利用数控系统的圆弧插补功能进行插补。
3.2.1 圆锥曲线的一般理论[9]在平面直角坐标系中，二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线。
其中系数A 、B 、C 、D 、E 、F 为实常数，且A 、B 、C 不同时为零。
022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax(3.1)式（3.1）称为圆锥曲线的隐式方程。
令AC B 42-=∆ （3.2）称上式为二元二次方程（3.1）的判别式。
0<∆ 时，（3.1）式为椭圆型曲线（包括圆、椭圆和虚椭圆）； 0=∆ 时，（3.1）式为抛物线型曲线（包括两平行直线和虚直线）；0>∆ 时，（3.1）式为双曲型曲线（包括两相交直线）。
在不同的坐标系下，平面上一点的坐标、一条曲线的方程是不同的。
通过利用坐标变换（即坐标轴的平移和旋转），可以将一般二次曲线方程化成最简形式，借以确定曲线的形状和位置。
一、坐标轴的平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和长度单位，这样的坐标变换叫做坐标轴的平移，简称平移或移轴。
将旧坐标系oxy 平移到y x o ''',那么平面上任一点M 在旧坐标系与新坐标系的坐标),(y x 和),(''y x 具有关系：⎩⎨⎧+'=+'=00y y y x x x （3.3）其中),(00y x 是新坐标系中的原点o '在旧坐标系里的坐标。
公式（3.3）叫做平移变换公式。
二、坐标轴的旋转坐标原点的位置和长度单位都不改变，让坐标轴绕原点按同一方向旋转同一个角度，这种坐标变换叫做坐标轴的旋转，简称旋转或转轴。
把旧坐标系oxy 绕原点o 旋转同一个角度θ到y x o '''，那么平面上的任一点M 在旧坐标系与新坐标系下的坐标),(y x 和),(''y x 之间具有关系：⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x （3.4）公式（3.4）叫做旋转变换公式。
适当选择坐标系，二次曲线方程经过坐标系的旋转和平移变换，可简化成几种标准方程。
1．中心二次曲线方程可以简化成下面5种标准方程之一：a) 12222=+b y a x （椭圆）；b) 12222-=+by a x （虚椭圆）；c) 02222=+by a x （点椭圆或称变态椭圆）；d) 12222=-by a x （双曲线）；e) 02222=-by a x （两相交直线，或称变态双曲线）。
2．无心二次曲线的标准方程为：px y 22= （抛物线）3．线心二次曲线方程可化简成下面3种标准方程之一： a) 22a y =（两平行直线）； b) 22a y -=（两平行共轭虚直线）； c) 02=y （两重合直线）。
由实际的工程应用可知，在实际的加工中只有椭圆、双曲线、抛物线和直线具有工程价值。
数控机床具有直线和圆弧的插补功能，所以在本章中只考虑椭圆、双曲线和抛物线的拟合算法。
实现椭圆、双曲线、抛物线的拟合算法主要步骤为：1）参数输入遵照数控NC 程序编程规范，以最少输入参数唯一定义曲线为准则，设计了曲线的输入参数，见表1。
2）曲线标准化利用坐标系平移、旋转变换，将曲线变换到可以利用最简方程表示的坐标系下，并求解方程，详见附录1。
为了便于计算，最后确定采用下列形式作为各曲线的标准方程式。
抛物线：b ax y +=2椭圆：⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x曲线类型 参数说明抛物线 顺逆方向、起点、终点、焦点坐标椭圆顺逆方向、起点、终点、中心坐标、长轴相对于X 轴的转角双曲线 顺逆方向、起点、终点、中心坐标、长轴相对于X 轴的转角表1 平面圆锥曲线输入参数列表双曲线：⎩⎨⎧==θθbtg y a x sec3）求取曲线的极值点、拐点，对曲线进行分割，建立有序的型值点序列。
型值点的排序规则为：抛物线：以A i x x -为标准，按递增顺序排列； 椭圆：以A i θθ-为标准，按递增顺序排列； 双曲线：以A i θθ-为标准，按递增顺序排列；注：A x 为起点横坐标，i x 为第i 个点横坐标；A θ为起点极角，i θ第i 个极角。
4）取i P ，1+i P 两个型值点，进行双圆弧曲线拟合。
5）如果拟合结果的法向误差满足规定误差，则转6）,否则，则转7）。
6）将拟合结果送入输出链表中，如果曲线全部拟合完成，则结束，否则转4）。
7）在i P ，1+i P 之间按照0.618,0.382的比率插入新的型值点，再转4）。
上述，为曲线拟合的主要步骤，下面详细的介绍一下双圆弧拟合算法。
3.2.2 曲线的常用双圆弧拟合算法[17-25]按平面曲线给定一列有序型值点（节点），每相邻节点之间由两条相切圆弧构成，两圆弧分别通过一个节点，且节点处的切线斜率与曲线在节点处的斜率相等，叫做曲线的双圆弧拟合。
双圆弧拟合有六个参数需要确定：两节点i P ，1+i P ；两节点i P ，1+i P 处的切线斜率；双圆弧的切点T ；双圆弧切点处的公切线斜率。
前四个参数可由曲线的参数方程按给定参数值求得。
双圆弧拟合方法主要根据后两个参数的求法而不同，但不难证明两圆弧相切点位置结论：相切点位置有无穷多个；相切点的轨迹是一个圆弧——轨迹弧（过相邻两节点的弧，且在两节点处切线夹角等于曲线在两节点处切线夹角）。
为确保双圆弧的正确拟合，要求：1) 两拟合圆弧应满足保凸要求，即两相邻节点i P ，1+i P 处切线M P M P i i 1,+需有实交点（沿某切线方向前进时，与另一切线的反向延长线的交点，称为实交点，反之为虚交点）；2) 拟合的圆弧段需要采用劣弧，即两节点连线1+i i P P 与两切线M P M P i i 1,+构成的三角形中πβα<+（见图8，图9，图10）。
3.2.3 公切线确定方法1.常用的公切线确定方法有以下三种：1) 垂直平分线法：相邻两节点连线的垂直平分线与轨迹弧的交点作为两拟合圆弧的切点（图8）；2) 平行弦法：两圆弧的公切线平行于相邻两节点连线1+i i P P ，两圆弧的公切点T 显然是1+∆i i MP P 的内心（图9）；3) 平均转角法：两圆弧的公切线平行于曲线在相邻两节点处切线交角的平分线（图10）；2.三种方法的特点比较如下： 1) 保凸条件：a) 垂直平分线法：331≤≤βα；图8 垂直平分线法拟合双圆弧图9 平行弦线法拟合双圆弧图10 平均转角法拟合双圆弧b) 平行弦法：0>αβ； c) 平均转角法：331<<βα。
2) 两圆半径比（在保凸条件下）： a) 垂直平分线法：43sin /43sin21βααβ--=R R ； b) 平行弦法：[]221)2sin(/)2sin(αβ=R R ； c) 平均转角法：43sin /43sin21βααβ--=R R 。
3.2.4 双圆弧拟合算法[8]图11，设节点A 和B 为在第1+i 个区间[]1,+i i P P 上的相邻节点，经坐标变换后AB 为横轴，A 为原点，垂直于AB 为纵轴。
有向直线A g 和B g 为拟合曲线j Γ在A 和B 上的有向切线。
设C 是直线A g 和B g 的交点，α和β分别是A g 和B g 与横轴的夹角，逆时 针方向为正;πβαπ<<-,，T 为ABC ∆的内心。
如果C 在横轴的上方，且A g 和B g 的方向分别与有向直线AC 和CB 的方向相同，那么，彼此相切且分别以A g 和B g 为切线的双圆弧公切点轨迹是过三点A ，T ，B 且ABC ∆内部的圆弧，图11（a ）。
如果B g 的方向与CB 的方向相反，则双圆弧公切点轨迹是过A 点和B 点且弧度为（2/C ∠-π）在AB 下方的圆弧，图11（b ）。
在当0<αβ（保凸）时，双圆弧同向，为C 形双圆弧。
当0>αβ时，双圆弧反向，为S 形双圆弧。
在局部坐标系下，双圆弧圆心和半径可以统一地由下式给出：图11 双圆弧曲线(b) 反向双圆弧(a) 同向双圆左圆半径：)2sin 2sin2/()2sin(1θϖαθϖ++=L R , (3.5) 圆心坐标：αsin 1R x A -=， αcos 1R y A =。
(3.6) 右圆半径：)2sin2sin 2/()2sin(2θϖϖαθ-+-=L R ，(3.7) 圆心坐标：βsin 2R L x B -=， βcos 2R y B =。
(3.8) 公切点M 的坐标：2sin/)2cos()2sin(ϖαθαθϖ+++=L x M(3.9)2sin /)2sin()2sin(ϖαθαθϖ+++=L y M(3.10)其中αβϖ-=；θ是左圆弧的圆心角，θϖ-是右圆弧的圆心角；逆时针方向为正；正圆对应正圆心角，负圆对应负圆心角，πθπ<<-，L 是AB 的长度。
3.2.5 误差分析方法利用法向误差判断方法，步骤如下：（1）计算二次曲线在节点i P ，1+i P 间n 等分的各分点坐标。
1）对于抛物线b ax y +=2，在节点i P ，1+i P 间将横轴值x 等分为n 份：1110+=<<<<=-i i i i i i x x x x x x n n ，计算出抛物线上各对应分点坐标：))(,(r r r i i i x y x P r=1,2,…,n-1。