苏州高三数学(正题)期中参考答案

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2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3}，N ={x|log 2x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0，b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ，ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得b k<a k<b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N∗C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ，则n =______． 14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为______．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为______平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；若对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)≥1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD=2AD，求△ABC的面积．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．−alnx(a>0)．21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3]，N={x|log2x≤1}=(0,2]，则M∩N= (0,2]．故选：C．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a>0，b>0，⇒∵ab<1，令a=4，b=18，则a+b>1，∴充分性不满足．⇐当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，∴a>0，b>0，ab<1a+b<1的必要不充分条件，故选：B．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7．故选：D ．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示，再求值即可．本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除选项C ；当0<x <√3时，3x −x 3>0，sinx >0，∴f(x)>0，当√3<x <π时，3x −x 3<0，sinx >0，∴f(x)<0，故选：A ．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0<x <√3和√3<x <π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18．故选：C ．6.【答案】D【解析】解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ，由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)，则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0，所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在性定理，α∈(1,e)．另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s′(x)=3x 2−6x ，令s′(x)>0得：x >2或x <0，令s′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值，故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0，由零点存在性定理：β∈(3,4) 所以α<β．故选：D ．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，得到答案．本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ，令顶点为(m,A)，所以m −a 2k−1=T6，所以a 2k−1到左边零点的距离为T12，将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比，确定1与A 两个最大值的比例，当x ∈[0,π2]时，π2×T 12T 6+T 12=π6，所以1A =sinπ6sin π2=12，所以A =2，故选：B ．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ．本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，数列{b 5}：2，4，8，16，32，数列{a 4}：3，7，12，24，因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1<a k+1<b k+2，所以b k<a k<b k+1<a k+1，故b k<b k+1，a k<a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4<2，则q=b4b3<0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故选：C．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=(−2i)2=−4，为实数，故选项B错误，∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确，∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2+4(b−1)=0，即a2=1−b≥0，∴b≤1，故选：AD．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，此时f(x)的最小值为1，当x∈(π2,32π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，此时f(x)的最小值为−1，当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，此时f(x)的最小值为−1，所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当x ∈[0,π2]时，f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π，令f(x)=0，可得x =5π4，7π4，又f(x)为偶函数，所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx|，则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)，当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误；故选：ABC ．利用奇偶性定义可判断A ；由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B ；由于函数为偶函数，故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C ；确定(π2,π)上函数的解析式，可判断D ．本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D 正确．故选：BD ．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ．本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.【答案】−1【解析】解：由y =me x +xlnx ，得y′=me x +lnx +1，则y′|x=1=me +1=3，即me =2，又me =3+n ，∴3+n =2，即n =−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】10【解析】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，∵d<0，n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】400【解析】解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S=12θr²，由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又θr+2r≥2√2θr2，所以θr2+10√2θr2≤1200；设t=√2θr2，t>0，则t 22+10t ≤1200，解得−60≤t ≤40，所以当θr =2r =40时，面积S =12θr²的最大值为400．故答案为：400．求出扇形的面积，得到关于θ，r 的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值．本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解：因为f(1−x)=f(x)，且f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，则f(1−x)=−f(−x)，则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x)，所以f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2，故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2，故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，所以当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0，令g(x)=sinπx ，则y =sinπx −πx ，因为y′=πcosπx −π≤0，所以y =sinπx −πx 是单调递减函数，当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0，即当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ，故f(x)≥g(x)，由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32]．利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f(2−x)=f(−x)，利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数，从而f(x)−πx≥0，令g(x)=sinπx，由y=sinπx−πx是单调递减函数，得到g(x)−πx≤0，从而f(x)≥g(x)，作出f(x)与g(x)的图像，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4))，b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx))，f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z)．【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f(x)的表达式； (2)由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.【答案】解：(1)选条件①时，数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2−a n }为常数列，所以a n 2−a n =a 12−a 1=2，解得a n =2或a n =−1；所以数列{a n }为2，−1，2，−1，2，−1，.......，所以a n +a n−1=1(n ≥2)，即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件②时，S n =12(a n +n +1)，所以S n−1=12(a n−1+n −1+1)，上面两式相减得：a n =12a n −12a n−1+12，整理得a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件③时，a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，转换为S n+1−S n−1=1(常数)，即a n+1+a n =1，所以所以a n +a n−1=1(n ≥2)，即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．(2)由(1)得：S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ，S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2，所以：b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2)，所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34．【解析】(1)选条件①时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件②时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，∴S△BCD=12×4×4=8，又S△CDE=4=12S△BCD，∴E为CB中点．解：(2)作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF=12AB，在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF=12AB=32x，∴CD2=CF2+(AF−AD)2，∴42=(32x)2+(32x−x)2，解得x=4√105，则AB=12√105，CF=6√105，∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725．【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可，(2)设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．本题考察等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30∘=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．(2)解：由(1)知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为ℎ，因为BO=BC⋅sin60°=√32，又因为PB=3MB，所以ℎ=BO⋅23=√33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3，V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16．【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；(2)用等体积法求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′(x)=0，则ax2−ax+1=0，①当△=a2−4a≤0，即0<a≤4时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间；②当△=a2−4a>0，即a>4时，方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，f(x)递增，当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时，f′(x)<0，f(x)递减，综上，当0<a≤4时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>4时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a)；(2)若f(x)有两个极值点，由(1)知，a>4，且x1，x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根，∴x1+x2=1,x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am，∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am，∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am，即2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0，∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增，则ℎ(a)>ℎ(4)=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)对函数f(x)求导，令f′(x)=0，然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；(2)依题意，x1+x2=1,x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈(0,π)时，g′(x)=−2sinx−1x2<0，所以g(x)在(0,π)上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1>0，g(π2)=2π−1<0，所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α，即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α；(2)①由(1)可知，当x∈(0,α)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α，且α∈(π3,π2 )，所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0，所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点，又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0，所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点；②当x∈[π,2π)时，sinx≤0，f(x)≤lnx−x，设ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−1<0，故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0，故当x∈[π,2π)时，f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立，所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点；③当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤lnx−x+2，令m(x)=lnx−x+2，则m′(x)=1x−1<0，故m(x)在[2π,+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(2π)<0，则当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点．综上所述，f(x)有且仅有两个零点．【解析】(1)设g(x)=f′(x)，利用导数研究函数g(x)的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；(2)分x∈(0,π)，x∈[π,2π)，x∈[2π,+∞)三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题(含答案解析)

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。

江苏省苏州中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题(含解析)

江苏省苏州中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知变量x，y之间的经验回归方程为 7.60.4=-，且变量x，y的数据如图所示，y x四、解答题参考答案：1．C【分析】根据对数函数的性质，以及二次函数的性质，分别求得集合{|1},{|0}A x x B x x =<=≥，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由集合()2{|lg 1}{|1},{|}{|0}A x y x x x B y y x y y ==-=<===≥，所以[0,1)A B = .故选：C.2．B【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当1,4a b ==，此时满足4a b +>，但2a >且2b >不成立，所以充分性不成立；反之：若2a >且2b >，可得4a b +>成立，所以必要性成立，所以“4a b +>”是“2a >且2b >”必要不充分条件.故选：B.3．C【分析】利用正态分布的性质即可得出结果.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布(0,4)N ，()0.3P ξ≥2=，所以(2)(2)0.3P P ξξ≤-=≥=，则()21(2)0.7P P ξξ≥-=-≤-=.故选：C.4．C【分析】根据对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由函数()2ln(23)f x x x =--+，令2230x x --+>，即2230x x +-<，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，令()223g x x x =--+，根据二次函数的性质，可得()g x 在(3,1)--单调递增，在(1,1)-上单调递减，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，即()f x 的递减区间为(1,1)-.故选：C.再证左半部分不等式：21e 1x x b ->+.设取曲线上两点11(,),(1,0)e eA B -，因为()0,0则用割线:OA y x =-，1:(1)e 1AB y x =--来限制综上可得213e2e123b x xb -+<-<++成立【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有：（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知全集，集合，则．2.复数的实部是．3.“”是“”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的横、纵坐标，则点在直线上的概率为 .5.如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是 .6.若样本的方差是2，则样本的方差是7.执行程序框图,若，则输出的 .8.已知函数则的值是 .9.等差数列中，若, ，则 .10.已知实数、满足，则的最小值为 .11.设向量，，其中，若，则 .12.若函数在上有意义，则实数的取值范围是_ ___．13.若函数的零点有且只有一个，则实数 .14.对于在区间[a，b]上有意义的两个函数，如果对于区间[a，b]中的任意x均有，则称在[a，b]上是“密切函数”， [a，b]称为“密切区间”，若函数与在区间[a，b]上是“密切函数”，则的最大值为 .二、解答题1.已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.2.如图，在中，已知为线段上的一点，（1）若，求，的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值。

3.已知集合，（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.4.扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.5.已知函数在点处的切线方程为．⑴求函数的解析式；⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．6.设函数，数列满足．⑴求数列的通项公式；⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知全集，集合，则．【答案】【解析】，.【考点】集合的运算.2.复数的实部是．【答案】2【解析】由，得的实部为2.【考点】复数的概念和运算.3.“”是“”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】充分不必要【解析】如果，那么，所以“”是“”的充分条件，如果，那么不一定有，例如还有等，所以“”是“”的不必要条件，综上所以“”是“”的充分不必要条件.【考点】充分条件和必要条件.4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的横、纵坐标，则点在直线上的概率为 .【答案】【解析】以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的横、纵坐标，这样的结果共有36个，其中使的有共4个，根据古典概型的计算方法知，所求的概率为.【考点】古典概型.5.如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是 .【答案】40【解析】由从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为得前个小组的频数分别为5,10,15，其和为30，而后两个小组的频率之和为，所以前3个小组频率之和为，得所抽取学生人数为（人）.【考点】频率分布直方图.6.若样本的方差是2，则样本的方差是【答案】8【解析】设的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为.【考点】样本平均数和方差.7.执行程序框图,若，则输出的 .【答案】5【解析】因为，所以当恰好不满足时，，此时还要执行才能退出循环，所以输出的值为5.【考点】循环结构.8.已知函数则的值是 .【答案】【解析】，.【考点】分段函数求值.9.等差数列中，若, ，则 .【答案】100【解析】根据等差数列的性质，把两条件式相加得，.【考点】等差数列.10.已知实数、满足，则的最小值为 .【答案】【解析】已知不等式表示的平面区域是以，，为顶点的三角形区域，当动直线经过点时，取得最大值为4，因为，所以此时取得最小值.【考点】简单的线性规划、指数函数的性质.11.设向量，，其中，若，则 .【答案】【解析】两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.【考点】三角函数、平面向量.12.若函数在上有意义，则实数的取值范围是_ ___．【答案】【解析】由题意知即在恒成立，而在时取得最小值1，所以实数的取值范围是.【考点】不等式恒成立、指数函数的性质.13.若函数的零点有且只有一个，则实数 .【答案】【解析】函数是偶函数，所以要使其零点只有一个，这个零点只能是0，由得，当时，，它只有一个零点0，符合题意，当时，，它有3个零点，不符合题意，综上.【考点】函数的零点、偶函数的性质.14.对于在区间[a，b]上有意义的两个函数，如果对于区间[a，b]中的任意x均有，则称在[a，b]上是“密切函数”， [a，b]称为“密切区间”，若函数与在区间[a，b]上是“密切函数”，则的最大值为 .【答案】1【解析】由得，，这个不等式的解集为，由题意得，所以的最大值为.【考点】函数的综合运用.二、解答题1.已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.【答案】（1），；（2），.【解析】（1）此类三角函数问题的解决思路比较明显，就是将三角函数化为后求解，其中最小正周期为，函数与轴的交点就是其对称中心；（2）根据函数的图象判断它在所给区间的单调性，就可求出其最大值和最小值.试题解析：⑴∴的最小正周期为， 6分令，则，∴的对称中心为； 8分⑵∵∴∴∴∴当时，的最小值为；当时，的最大值为。

江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期中数学试题(解析版)

2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学2023.11注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.下列条件中，使得“a b >”成立的充分不必要条件是（）A.a b >B.11a b> C.22a b > D.ln ln a b>【答案】D 【解析】【分析】逐个判断是否为a b >的充分不必要条件即可.【详解】对于A ：当3,2a b =-=时满足a b >，此时不满足a b >，所以A 错误；对于B ：当2,3a b ==时满足11a b>，此时不满足a b >，所以B 错误；对于C ：当3,2a b =-=时满足22a b >，此时不满足a b >，所以C 错误；对于D ：ln ln 0a b a b >⇒>>，所以ln ln a b >是a b >的充分不必要条件，故选：D2.已知集合2{650}A x x x =-+<，{}B x x a =<，且A B A = ，则实数a 的取值范围为（）A.(1,)+∞B.[3,)+∞C.[5,)+∞D.(5,)+∞【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A ，再由A B A = ，则A B ⊆，应用集合间的包含关系即可.【详解】{}(,)A x x x =-+<=∣265015，且A B A = ，则A B ⊆，则5a ≥.故选：C3.已知π4cos 35α-（）=，则πsin 6α+（）的值为（）A.45-B.35-C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】解：因为π4cos35α-（）=，所以πππππ4sin cos cos cos 626335αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++==-= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭（）=-（）-，故选：D4.已知,a b 是两个单位向量，且,a b ︒=60 ，若2c a b =- ，则cos ,a c = （）A.12B.2C.13D.33【答案】B 【解析】【分析】先求a c ⋅，再求||c ，则cos ,||||a c a c a c ⋅=⋅即可求.【详解】已知,a b 是两个单位向量，11cos6012a b ︒⋅=⨯⨯= ，若2c a b =- ，则()a c a a b a a b ⋅=⋅-=-⋅=-=21322222，||c == ，故cos ,||||a c a c a c ⋅==⋅2.故选：B5.在ABC 中，π3A =，AB边上的高等于3AB ，则sin C =（）A.714 B.2114C.3714D.32114【答案】D 【解析】【分析】先利用AB 表示CA ，CB ，然后利用正弦定理求解即可.【详解】过C 作CE AB ⊥，垂足为E，则3CE AB =，因为π3A =，所以1π3tan 3CE AE AB ==，2π3sin 3CEAC AB ==，23BE AB AE AB =-=，3BC AB ===，所以在ABC 中由正弦定理可得sin sin AB BCC A=即3sin 2sin 14AB AB A C BC ⨯===，故选：D6.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A.,1a e b ==- B.,1a eb == C.1,1a eb -== D.1,1a eb -==-【答案】D 【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y xb =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．7.满足2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤的实数对m ，n 构成的点(,)m n 共有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求.【详解】由2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤，又20y x =≥，则0m ≥，所以2y x =在[,]m n 单调递增，故值域为[(),()]f m f n ，即,m n 是2x x =的两根，解得120,1x x ==，当0m n ==时，点(,)m n 为(0,0)，当1m n ==时，点(,)m n 为(1,1)，当0,1m n ==时，点(,)m n 为(0,1).故选：C 8.已知ππsin cos 1313a =+，114233b -=+，34log 2log 3c =+，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c b a <<D.c a b<<【答案】B 【解析】【分析】依题意分别根据各式特点，利用辅助角公式和三角函数单调性可得12a <<，利用近似值可得1.87b >，再利用对数函数单调性即可得522,415c ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即可比较得出结论.【详解】根据题意可知，πππππππsincos 131********a ⎛⎫⎛⎫=+=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ14134a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可得12a <<；由114233b -=+可得)()1122 1.711.69 1.30.57 1.873b =++=+=，即 1.87b >；易知3223<，即2323<，所以23333log log 2log 3<，即312log 223<<；又4338164=>4=，即3434>，又5432434256==<，可得4534<；所以4544434log log 3log 44<<，可得45log 4433<<；可得341324log 2log 32435c +=++<<，所以522,415c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭显然2421.87254415a cb ==<<<<，即ac b <<.故选：B【点睛】关键点点睛：求解本题关键在于通过观察式子特征可知，三个式子各不相同，构造函数的方法失效，所以只能通过限定,,a b c 的取值范围使其落在不同的区间内即可得出结论.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知复数z满足i )i 2z +=-，则（）A.||1z =B.z 的虚部为32C.310z +=D.2z z =【答案】AD 【解析】【分析】先求出复数z ，再结合复数的运算即可.【详解】由i )i 2z =-，得13i 22z =--，||1z ==，A 正确；z 的虚部为2-，B 错误；331i)112(221z --=++==，C 错误；221313i)(i=2222z z =--=-+，D 正确；故选：AD10.函数π()tan(2)4f x x =-，则（）A.()f x 的一个周期为π2B.()f x 是增函数C.()f x 的图象关于点3(,0)8π对称D.将函数tan 2y x =的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象【答案】AC 【解析】【分析】根据()f x 的周期性，单调区间，对称中心，及平移逐项判断.【详解】对A ：π()tan(2)4f x x =-的最小正周期为π2，故A 正确；对B ：()f x 的递增应满足：ππππ2π242k x k -<-<+，即增区间为πππ3π,,Z 2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故B 错误.对C ：()f x 的对称中心满足：πππ2422k x -=+，即中心为3ππ,084k ⎛⎫+⎪⎝⎭，Z k ∈，故C 正确；对D ：将函数tan 2y x =的图象向右平移π4个单位长度可得到ππtan 2tan 244y x x ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1AA的中点，点P 在对角线1A B 上，则（）A.三棱锥P CEF -体积为16B.点P 到平面CEF 的距离为23C.1AP D P +的最小值为D.四面体BCEF 外接球的表面积为14π【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，根据正方体的性质，明确三棱锥的底面以及底面上的高，可得答案；对于B ，利用A 求得的三棱锥的体积，利用勾股定理求得CEF △的三边长，结合余弦定理以及面积公式，可得答案；对于C ，根据正方体的性质，将点1D 旋转使得1,,A P D 共面，利用三角形的余弦定理，可得答案；对于D ，根据三棱锥的性质，设出外接球的球心，利用勾股定理，建立方程，结合球的面积公式，可得答案.【详解】根据题意，可作图如下：对于A ，在正方体ABCD 中，CB AB ⊥，CB ⊥平面11ABB A ，在三棱锥P CEF -中，以PEF !为底面，则CB 为其高，因为1P A B ∈，易知1ABA △为等腰直角三角形，且,E F 分别为1,AA AB 的中点，所以1//EF A B ，且P 到EF 的距离为1112442A B AB ==，1111233223P CEF PEF V CB S -=⋅⋅=⨯⨯=V ，故A 错误；对于B ，在Rt BCE 中，易知1BE =，2BC =，则CE ==，在Rt AEF 中，易知1AE AF ==，则EF =，在Rt ACF中，易知AC =，1AF =，则3CF =，在CEF △中，由余弦定理，222cos 210CE EF CFCEF CE EF+-∠==-⋅⋅，则sin 10CEF ∠=，所以13sin 22CEF S EF CE CEF =⋅⋅⋅∠=V ，点P 到平面CEF 的距离为13323332P CEFCEFV S -⨯==V ，故B 正确；对于C ，在正方体ABCD 中，易知11A D ⊥平面11ABB A ，因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以111A D B A ⊥，将1D 绕1A 旋转得到1D '，使得1,,A P D '共面，如下图：易知11D P D P '=，且11AP D P AD ''+≥，在11AA D 'V 中，易知11135AA D '∠=o ，由余弦定理，2221111111112cos AD AA A D AA A D AA D ''''=+-⋅⋅∠24422282⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪⎝⎭，则1AD '=，故C 正确；对于D ，取EC 的中点M ，易知M 为Rt BCE 为外接圆圆心，连接AM ，作1//NM AA ，//FN AM ，取O MN ∈，连接,OE OF ，如下图：因为1MN AA //，所以MN ⊥平面BCE ，由M 为Rt BCE 为外接圆圆心，则可设O 为三棱锥F BCE -的外接球球心，即OE OF R ==，因为//FN AM ，所以易知四边形AMNF 为矩阵，则AM FN =，MN FN ⊥，在Rt BCE 中，5cos 5BE CEB CE ∠==，易知πAEC CEB ∠=-∠，则5cos 5AEC ∠=-，在AEM △中，由余弦定理，222132cos 4AMAE EM AE EM AEM =+-∠=，在Rt MOE △中，222OE ME MO =+，22254OM OE ME R =-=-在Rt FOM 中，222OFON FN =+，()2221OF FN OM=+-，则222135144R R ⎛=+-- ⎝，解得272R =，则球的表面积为24π14πR =，故D 正确.故选：BCD.12.对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 为无界数列．下列说法正确的有（）A.等比数列{}n a 的公比为q ，若1q <，则{}n a 是有界数列B.若数列{}n a 的通项211==∑nk n a k ，则{}n a 是有界数列C.若正项数列{}n a 满足：12(3)3--=n n n a a n a ≥，则{}n a 是无界数列D.若数列{}n a 满足：12121111n na a a a a a +++= ，且()10,1a ∈，则{}n a 是有界数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据新定义逐个判定是否正确，注重通项公式的求解过程中的技巧的应用.【详解】对于A ：不妨令首项为1a ，则11n n a a q -=，因为01q <<，则11111n n n a a q a q a --==<，所以此时{}n a 为有界数列，所以A 正确；对于B ：当2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，又22211111111111211223112n a n n n n =+++<+-+-++-=-- ，所以02n a <<，当1n =时，112a =<，所以{}n a 是有界数列，B 正确；对于C ：不妨令()12,0,0a p a q p q ==>>，则23133a q a a p ==，342139a a a p==，453139a a a q ==，56433a pa a q==，6753a a p a ==，7863a a q a ==，所以数列{}n a 周期数列，所以数列{}n a 是有界数列，C 错误；对于D ：由12121111n n a a a a a a +++= ，得()12112111112n n n a a a a a a --+++=≥ ，两式相减得1211111n n n a a a a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简可得1211n n a a a a -=- ，即1211n n a a a a -=- 用数学归纳法证明()0,1n a ∈，当1n =时由题知()10,1a ∈；假设n k =时结论成立，即()12110,1k k a a a a -=-∈ ，此时1211k k a a a a -=- ；则当1n k =+时()2211213111124k k k k kk k a a a a a a a a a +⎛⎫=-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，又因为()0,1k a ∈，所以()21130,124k k a a +⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以1n k =+时成立，根据①和②可知，该结论成立，故()0,1n a ∈，所以{}n a 是有界数列，所以D 正确，故选：ABD【点睛】方法点睛：用数学归纳法可以很好的证明数列在某个区间的问题，但是要注意数学归纳法的书写格式和数学逻辑.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，655630S S -=，则10a =_______．【答案】20【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差d 即可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由655630S S -=，得15655()5()302a a S S +--=，即有635530a a -=，于是6336d a a -==，解得2d =，所以101920a a d =+=.故答案为：2014.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin 14ACF ∠=，则DEF 的面积为________．【解析】【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.【详解】因为EFD △为等边三角形，所以60EFD ∠= ，则120EFA ∠= ，在AFC △中，由正弦定理，则sin sin AF AC ACF AFC=∠∠，解得3sin 7sin 214AF AC AFC ACF =⋅∠==∠，由余弦定理，则2222cos AC AF FC AF FC AFC =+-⋅⋅∠，整理可得：21499232FC FC ⎛⎫=+-⨯⋅⋅- ⎪⎝⎭，则23400FC FC +-=，解得5FC =或8-（舍去），等边EFD △边长为532-=，其面积为122sin 602⨯⨯⋅=o .15.如图，一个半径为3的半圆，C 、D 两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，则CF DE ⋅=________.【答案】12##0.5【解析】【分析】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得⋅CF DE 的值.【详解】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，连接OE 、OF，由题意可知，60BOF ∠= ，120BOE ∠= ，则()1,0C -、()1,0D 、333,22E ⎛- ⎝⎭、333,22F ⎛ ⎝⎭，所以，5,22CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，5,22DE ⎛=- ⎪⎝⎭，故25512222CF DE ⎛⎛⎫⋅=⨯-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ .故答案为：12.16.已知函数2()33=--f x x ，若<m n ，且()()f m f n =，则m 的取值范围为____，mn 的取值范围为_________.【答案】①.(②.()3,3-【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到(m ∈，n ∈，确定2262m n mn +=≥，排除等号成立的条件，计算得到答案.【详解】()222,()336,,x x f x x x x ∞∞⎧⎡-∈⎣⎪=--=⎨-∈-⋃+⎪⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：<m n 且()()f m f n =，故(m ∈，n ∈，故226m n -=-，即2262m n mn +=≥，33mn -≤≤，m n ≠，等号不成立，故33mn -<<，即),3(3mn ∈-.故答案为：(；()3,3-.四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()2sin cos 442x x x f x =.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若()f x 的图象向右平移m (0)m >个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．【答案】（1）最小值为－2，此时5{|4,Z}3x x k k π=π-∈（2）min 53π=m ．【解析】【分析】（1）对三角函数合一后进行最小值得分析即可；（2）利用偶函数求出m 的值，再求出最小值即可.【小问1详解】因为()sin 2sin()2223π=+=+x x x f x ，所以当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,Z 3x k k π=π-∈时，()f x 取得最小值－2，所以()f x 的最小值为－2，此时x 的取值集合为5{|4,Z}3x x k k π=π-∈；【小问2详解】设()f x 的图象向右平移m (0)m >个单位后得到函数()g x ，则()2sin()23-π=+x m g x ，因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin(sin(223223ππ-+=--+x m x m ，展开可得πsin cos 0223x m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos()0223π-+=x m 恒成立，所以,Z 232m k k ππ-+=+π∈，所以2,Z 3m k k π=--π∈，又因为0m >，所以min 53π=m ．18.在①BAC ∠的平分线长为65；②D 为BC 中点，2AD =；③AH 为BC 边上的高，35719AH =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知2b =，2cos 3cos =-A a B .（1）求c ;（2）若，求BAC ∠的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）3（2）2π3BAC ∠=.【解析】【分析】（1）根据题意由2b =，利用余弦定理即可求得3c =；（2）若选①：记2BAC θ∠=，利用等面积法即可求得1cos 2θ=，即可知2π3BAC ∠=；若选②：利用平面向量表示出()12AD AB AC =+ ，再根据2AD =利用数量积定义即可求得结果；若选③：分别在Rt BAH 和Rt CAH △中利用余弦定理即可求得BC =，再利用余弦定理可求得2π3BAC ∠=.【小问1详解】由2b =及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-，即cos cos 3b A a B +=，由余弦定理得222222322b c a a c b b a bc ac+-+-⋅+⋅=，所以3c =．【小问2详解】若选①：记2BAC θ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于D ，则有ABC ABD ACD S S S =+ ，即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ，即12186sin 2sin sin 55=+θθθ，即sin 2sin θθ=，所以2sin cos sin θθθ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0θ≠，从而1cos 2θ=，即π3θ=，所以2π3BAC ∠=.若选②：由于D 为BC 中点，所以()12AD AB AC =+ ，即22242AD AB AC AB AC =++⋅，又因为72AD = ，3AB = ，2AC = ，所以3AB AC ⋅=- ，即cos 3⋅⋅∠=-AB AC BAC ，所以1cos 2BAC ∠=-，又因为()0,πBAC ∠∈，所以2π3BAC ∠=.若选③：由于AH 为BC 边上的高，在Rt BAH 中，2229571449191919⨯=-=-=⨯BH AB AH ，所以121919=BH ，在Rt CAH △中，222957494191919⨯=-=-=⨯CH AC AH ，所以71919=CH ，所以19=+=BC BH CH ，由余弦定理得22294191cos 22322+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC ，又因为()0,πBAC ∠∈，所以2π3BAC ∠=.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，2AD BC =，90DAB ∠= ，平面PDB ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥，AB PD ⊥，1BC =，2PD =（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角D PC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66-.【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理，可得答案；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角向量公式，可得答案.【小问1详解】因为平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDB 平面ABCD BD =，AC BD ⊥，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面PDB ，又因为PD ⊂平面PDB ，所以AC PD ⊥，又因为AB PD ⊥，AC AB A ⋂=，AC ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD AB ⊥，过A 引//AZ PD ，则有AZ AD ⊥，AZ AB ⊥，又因为90DAB ∠= ，即AB AD ⊥，以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AZ 为z 轴建立空间直角坐标系设(0)AB t t =>，则(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，(,1,0)C t ，(0,2,0)D，(0,P ，所以(),1,0AC t =uuu r ，(),2,0BD t =-uu u r，DP = ，由于AC BD ⊥，所以0AC BD ⋅= ，所以22t =，即t =，从而C，则)1,0DC =-uuu r，2,PB =-uu r，1,PC =-uu u r ，设平面PDC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则有00n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y =-=，取1x =，解得0y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即(1,0)=n ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c = ，则有00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200b b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，取1a =，解得01bc =⎧⎨=⎩，即(1,0,1)m = ，所以|cos ,||<>== m n设二面角D PC B --的平面角为θ，θ为钝角，所以二面角D PC B --的平面角余弦值为6-.20.已知函数()f x 满足2()e 2x f x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(2)1>-+f x a x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间（2）()2e,-+∞【解析】【分析】（1）先对函数()f x 求导，进而构造函数()e 22x m x x =-+，利用导数分析其单调性，进而可得min ()0m x >，进而得到()0f x '>恒成立，从而求解；（2）转化问题为1e x a x x x >+-在区间(0,)+∞上恒成立，令()1e xg x x x x =+-，,()0x ∈+∞，只需max ()a g x >，进而利用导数分析()g x 单调性进行求解即可.【小问1详解】因为2()e 2x f x x x =-+，所以()e 22x f x x '=-+，令()e 22x m x x =-+，则()e 2xm x '=-，当(,ln 2)x ∈-∞时，()0m x '<；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0m x '>．所以()m x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．所以min ()(ln 2)2(2ln 2)0==->m x m ，即()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间．【小问2详解】由题意()(2)1>-+f x a x 在区间(0,)+∞上恒成立，即21e 22x x x x ax >-+-+恒成立，即1e xa x x x >+-在区间(0,)+∞上恒成立，令()1e x g x x x x=+-，,()0x ∈+∞，只需max ()a g x >，因为()()()22211e 1e e 1x x x x x x g x x x x-+-⋅-'=-+-=，令()1e x h x x =+-，()0,x ∈+∞，有()10e x h x '=-<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，所以()(0)0h x h <=，即1e 0x x +-<，所以当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()()max 12e g x g ==-，即2e a >-，所以实数a 的取值范围为()2e,-+∞．21.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，21221++=++n n S S n n ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11b =，1(1)++-=n n n n b b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）22111,21,N 2211,2,N 22n n n n k k T n n n k k **⎧-+=-∈⎪⎪=⎨⎪+=∈⎪⎩【解析】【分析】（1）法一：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到14(2)++=n n a a n n ≥，从而得到114(2)n n a a n +--=≥，可得{}n a 的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；法二：变形得到22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，结合2110-=S ，得到2n S n =，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出答案；（2）变形得到21212(1)+-+=k k b b k ≥，当n 为奇数时，1n b =，当n 为偶数时，1123122n n b a n n -=+=-+=-，分n 为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.【小问1详解】法一:当1n =时，215S S +=，即2125a a +=，由11a =，得23a =，由21221++=++n n S S n n ，得212(1)2(1)1n n S S n n -+=-+-+(2)n ≥，两式相减得：14(2)++=n n a a n n ≥．又214a a +=，满足上式．所以当*n ∈N 时，14n n a a n ++=，又当2n ≥时，14(1)n n a a n -+=-，两式相减得：114(2)n n a a n +--=≥，所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-n n a a n n （n 为奇数），数列{}n a 的偶数项是以23a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-n n a a n n （n 为偶数），所以21n a n =-，即{}n a 的通项公式是21n a n =-．法二：因为21221++=++n n S S n n ，所以221(1)()n n S n S n +-+=--，同理可得()2211n n S n S n -⎡⎤-=---⎣⎦，故22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，因为2110-=S ，所以20n S n -=，即2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，11a =适合上式，所以{}n a 的通项公式是21n a n =-.【小问2详解】因为1(1)++-=n n n n b b a ，故当()21N n k n *=-∈时，221212(21)143k k k b b a k k ---==--=-①，当()2N n k n *=∈时，212222141k k k b b a k k ++==⨯-=-②，①、②两式相减得：21212(1)+-+=k k b b k ≥，因为11b =，312b b +=，所以31b =，因为21212(1)+-+=k k b b k ≥，所以当n 为奇数时，1n b =，当n 为偶数时，112(1)123n n n b b a n n ---==--=-，所以1123122n n b a n n -=+=-+=-，所以1,21,N 22,2,Nn n k k b n n k k **⎧=-∈=⎨-=∈⎩；当n 为偶数时，213124(222)112()()12222-+-=+++++++=⨯+=+ n n n n n n T b b b b b b n n ,当n 为奇数时，2111111[(1)(1)][2(1)2]22++++=-=-=+++-+-n n n n n T T b T b n n n 211122n n =-+，综上，22111,21,N 2211,2,N 22n n n n k k T n n n k k **⎧-+=-∈⎪⎪=⎨⎪+=∈⎪⎩.22.已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x ．（1）若()f x 在区间(1,2)上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，求证：()f x 有两个零点1x ，2x 12()x x ≠，且12()()0''+<f x f x ．【答案】（1）112a <<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，分0a ≤以及0a >，根据导函数得出函数的单调性，进而得出函数极值情况；（2）先根据导函数以及零点存在定理，证明函数存在两个零点.代入求出()()12,f x f x ，作差然后推得112212122()ln()(1)-+=-++x x x x a x x x x .然后求出1()22f x ax a x '=-+-，代入化简11212212112ln )()(()(x x f x f x x x x x '+=-+-'.转化为证明12212102ln -+>x x x x x x ，换元令12,(0,1)x t t x =∈，证明12ln 0t t t -+>，(0,1)t ∈即可.【小问1详解】因为2()(2)ln f x ax a x x =+--，(1,2)x ∈，所以22(2)1(21)(1)1()22+--+-'=+--==ax a x x ax f x ax a x x x.①当0a ≤时，()0f x '<在(1,2)上恒成立，所以()f x 在(1,2)上单调递减，()f x 在(1,2)上无极值点；②当0a >时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以()f x 的极小值点为1a ，无极大值点.因为()f x 在(1,2)上有极值，所以1(1,2)∈a，所以112a <<.综上所述，当112a <<时，()f x 在区间(1,2)上有极值.【小问2详解】由已知，()f x 定义域为()0+∞，.当01a <<时，(21)(1)()+-'=x ax f x x，0x >由（1）知：()111()ln 1f x f a a a==--+极小，因为01a <<，所以11a>.令1t a =，1t >，则()ln 1f t t t =--+.因为1()10'=--<f t t在(1,)t ∈+∞上恒成立，所以()f t 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0f t f <=，即()1()0f x f a =<极小.因为，221212ln 10e e e e e e ea a a a f -⎛⎫=+-=++-> ⎪⎝⎭，由（1）知：()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且110e f f a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在定理，可知()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点1x ，使1()0f x =，.因为()3(2)39333ln 3ln a f a a a a a a-=+-=+-.令()ln 1g x x x =-+，0x >，则()111x g x x x-'=-=.当01x <<时，有()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，有()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减.所以，()g x 在1x =处取得唯一极大值，也是最大值()10g =.因为01a <<，所以33a >，所以30g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即33ln 10a a --<，所以33ln 10a a -+>，所以()33140f a>+=>.由（1）知()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()()130f f a a ⋅<，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点2x ，使2()0f x =．所以()f x 有两个零点1x ，212()x x x ≠.下面证明12()()0''+<f x f x ：设120x x <<，则()()()()()()111111111111222222222ln 2ln 02ln 2ln 0f x ax a x x a x x x x f x ax a x x a x x x x ⎧=+--=+--=⎪⎨=+--=+--=⎪⎩．两式相减：2212121212[()()]2()(ln ln )0a x x x x x x x x -+-----=，即11212122()(1)2()ln 0-++---=x a x x x x x x x ，所以112212122()ln()(1)-+=-++x x x x a x x x x .因为22(2)11()22+--'==-+-ax a x f x ax a x x，所以12121212121111()()2()()2(2)2(1)()4''+=+-++-=++-+-f x f x a x x a a x x x x x x 1112221212112121222()ln2ln ()(1)(11112(1)()4())-+-++-=++-+-=-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x .要证：12()()0''+<f x f x ，即证：1211212211(0()02()ln-+<<<-x x x x x x x x ，只要证：122211112ln(()0)--+>x x x x x x ，即证：12212102ln-+>x x x x x x .令12,(0,1)x t t x =∈，即证：12ln 0t t t -+>，(0,1)t ∈．令()2ln 1-=+m t t t t，(0,1)t ∈，则222(1)112(0)----='=<m t t t t t 在(0,1)t ∈上恒成立，所以()m t 在()0,1上单调递减，所以()(1)0m t m >=．即12212102ln -+>x x x x x x 成立，故()f x 有两个零点1x ，2x 12()x x ≠，且12()()0''+<f x f x .【点睛】关键点睛：求出()f x '，代入化简11212212112ln)()(()(x x f x f x x x x x '+=-+-'.转化为证明12212102ln -+>x x x x x x ，换元求导即可.。

苏州市2023-2024学年高三上学期期中调研数学试卷(含答案)

苏州市2023～2024学年第一学期高三期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1．下列条件中，使得“>a b ”成立的充分不必要条件是A ．>a bB ．11>a bC ．22>a b D ．ln ln >a b2．已知集合2{650}=-+<A x x x ，{}=<B x x a ，且=A B A ，则实数a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞3．已知4cos 35-πα（）=，则sin 6+πα（）的值为A ．45-B ．35-C ．35D ．455．在△ABC 中，3=A π，AB 边上的高等于3AB ，则sin =CA ．14B ．14C ．14D ．146．已知曲线e ln =+x y a x x 在点(1,e)a 处的切线方程为2=+y x b ，则7二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．10．函数()tan 4=-f x x （2，则A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 是增函数C ．()f x 的图象关于点3π(,0)8对称D ．将函数tan 2=y x 的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1AA 的中点，点P 在对角线1A B 上，则A ．三棱锥-P CEF 体积为16B ．点P 到平面CEF 的距离为23C ．1APD P +的最小值为D ．四面体BCEF 外接球的表面积为14π12．对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 为无界数列．下列说法正确的有三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．（第14（第15题图．如图，一个半径为3两点为直径AB 的三等分点，⋅DE=▲．已知函数()3=-f x x 且()()=f m f n ，则m 的取值范围为围为▲.（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．(本小题满分10分)已知函数()2sin cos 442=+x x xf x .（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．18．(本小题满分12分)在①∠BAC 的平分线长为65；②D 为BC 中点，AD ；③AH 为BC 边上的高，AH 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC 中，角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ，已知b =2，2cos 3cos =-A a B .（1）求c ;（2）若，求∠BAC 的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，2=AD BC ，090∠=DAB ，平面⊥PDB 平面ABCD ，⊥AC BD ，⊥AB PD ，1=BC ，2=PD .（1）求证：⊥PD 平面ABCD ；（2）求二面角--D PC B 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知函数()f x 满足2()e 2=-+x f x x x ．（1）求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(2)1>-+f x a x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，21221++=++n n S S n n ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11=b ,1(1)++-=n n n n b b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．(本小题满分12分)已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x ．（1）若()f x 在区间(1,2)上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当01<<a 时，求证：()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x ．2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案及评分建议2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．题号12345678答案DCDBDACB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．题号9101112答案ADACBCDABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．20;;15．12;16．(，(3,3)-四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．（本小题满分10分）解：（1）因为()sin 2sin()2223π=+=+x x x f x ，……………………………………………2分当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,3π=π-∈x k k Z 时，f (x )取得最小值－2，………………4分所以f (x )的最小值为－2，此时x 的取值集合为5{|4,}3π=π-∈x x k k Z ．………………5分（2）设()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到函数()g x ，则()2sin()23-π=+x m g x ，因为()g x 为偶函数，所以()()-=g x g x ，即sin()sin()223223ππ-+=--+x m x m ，所以sin cos()0223π-+=x m 恒成立，所以,232ππ-+=+π∈m k k Z ，………………………8分所以2,3π=--π∈m k k Z ，…………………………………………………………………9分又因为0>m ，所以min 53π=m ．……………………………………………………………10分18．(本小题满分12分)解：（1）由b =2及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-，即cos cos 3+=b A a B，………2分由余弦定理得222222322+-+-+=b c a a c b b a bc ac，……………………………………………4分所以3c =．……………………………………………………………………………………5分（2）若选①，记∠BAC=2θ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，则有=+ABC ABD ACD S S S △△△，…………………………………………………………………………………………6分即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ，…………………………………………………7分即12186sin 2sin sin 55=+θθθ即sin 2sin =θθ，所以2sin cos sin =θθθ，………………9分因为(0,)2∈πθ，所以sin 0≠θ从而1cos 2=θ即3=πθ，…………………………………11分所以23∠=BAC π.……………………………………………………………………………12分若选②，由于D 为BC 中点，所以1()2=+AD AB AC ，…………………………………6分z即22242=++⋅ADAB AC AB AC，…………………………………………………………7分又因为72= AD ，3=AB ，2=AC ，所以3⋅=-AB AC ，……………………………9分即cos 3⋅⋅∠=-AB AC BAC ，所以1cos 2∠=-BAC ，……………………………………11分又因为(0,)∠∈BAC π，所以23∠=BAC π.………………………………………………12分若选③，由于AH 为BC 边上的高，在t R BAH△中，2229571449191919⨯=-=-=⨯BH AB AH ，所以121919=BH ，……………7分在t R CAH △中，222957494191919⨯=-=-=⨯CH AC AH ，所以71919=CH ……………9分所以19=+=BC BH CH 由余弦定理得22294191cos 22322+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC，…………………………11分又因为(0,)∠∈BAC π，所以23∠=BAC π.………………………………………………12分19．(本小题满分12分)解：（1）因为平面⊥PDB 平面ABCD ，平面PDB 平面ABCD =BD ，⊥AC BD ，⊂AC 平面ABCD所以AC ⊥平面PDB ，…………………………………………………………………………1分又因为⊂PD 平面PDB ，所以AC ⊥PD ，…………………………………………………2分又因为⊥AB PD ，=AC AB A ，⊂AC 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ，………………………………………………………………………4分（2）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，过A 引AZ PD ∥，则有AZ ⊥AD ，AZ ⊥AB ，又因为090∠=DAB ，即AD AB ⊥，以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AZ 为z轴建立空间直角坐标系，……5分设(0)=>AB t t ，则)0,0,0(A ，)0,0,(t B ，)0,1,(t C ，(0,2,0)D ，(0,2)P ,所以)0,1,(t AC =，)0,2,(t BD -=，)2,0,0(=DP ,由于⊥AC BD ，所以⋅AC 0=BD ，所以22=t ，即2=t ，………………………………………………………………………7分从而)0,1,2(C ，则)0,1,2(-=DC ，………………………………………………………8分设平面PDC 的一个法向量为),,(z y x n =，则有00⎧⋅=⎨⋅=⎩n DP n DC ，，即2020⎧=⎨-=⎩y ，，取1=x ，解得2,⎧=⎨⎩y z 即20)=n，………………………………………………9分同理，可求得平面PBC 的一个法向量为)1,0,1(=m ，…………………………………10分所以|cos,||<>== m n …………………………………………………………11分设二面角B PC D --的平面角为θ，θ为钝角，所以二面角B PCD --的平面角余弦值为.…………………………………………12分20．(本小题满分12分)解：（1）因为2()2=-+x f x e x x ，所以()22'=-+x f x e x ，………………………………………1分()()22'==-+x m x f x e x 令，则()2'=-x m x e ，当(,ln 2)∈-∞x 时，()0'<m x ；当(ln 2,)∈+∞x 时，()0'>m x ．所以()m x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．所以min ()(ln 2)2(2ln 2)0==->m x m ，…………………………………………………………3分即()0'>f x 恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间．…………………………………5分（2）由题意()(2)1>-+f x a x 在区间(0,)+∞上恒成立，即2221-+>-+xe x x x ax 恒成立，即1e>+-xax xx 在区间(0,)+∞上恒成立，………………6分令1e ()=+-xg x x xx ，(0,)∈+∞x ，只需max ()>ag x ，……………………………………………7分有222(1)(1e )1e e ()1-+--'=-+-=x x x x x x g x x x x ，(0,)∈+∞x ，……………………………………8分令()1e =+-x h x x ，[0,)∈+∞x ，有()1e 0'=-x h x ≤，从而()(0)0=h x h ≤，…………………9分所以当(0,1)∈x 时，()0'>g x ；当(1,)∈+∞x 时，()0'<g x ，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，……………………………………10分所以()(1)2e ==-g x g max ，…………………………………………………………………11分所以2>-ae .…………………………………………………………………………………12分21．(本小题满分12分)解：（1）法一:当1n =时，215S S +=，即2125a a +=，由11a =，得23a =，由21221n n S S n n ++=++，得212(1)2(1)1n n S S n n -+=-+-+(2)n ≥，两式相减得：14(2)++=n n a a n n ≥．又214a a +=，满足上式．所以当*n N ∈时，14n n a a n++=，…………………………………………………………1分又当2n ≥时，14(1)n n a a n -+=-，两式相减得：114(2)+--=n n a a n ≥，…………………………………………………………2分所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-nn a a n n (n 为奇数)，……………………………………3分数列{}n a 的偶数项是以23a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-nn a a n n (n 为偶数)，……………………………………4分所以21=-n a n ，即{}n a 的通项公式是21n a n =-．…………………………………………5分法二：因为21221++=++n n S S n n ，所以22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，………2分因为2110-=S ，所以20n S n -=，即2n S n =，………………………………………………3分当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，…………………………………………4分当1=n时，11a =适合上式，所以{}n a 的通项公式是21n a n =-.…………………………5分（2）因为1(1)n n n n b b a ++-=，所以：当*21()n k n N =-∈时，221212(21)143k k k b b a k k ---==--=-……①当*2()nk n N =∈时，212222141k k k b b a k k ++==⨯-=-……②①、②两式相减得：21212(1)+-+=k k b b k ≥，…………………………………………………6分因为11b =，312b b +=，所以31b =，因为21212(1)+-+=k k b b k ≥，所以当n 为奇数时，1n b =，…………………………………7分当n 为偶数时，112(1)123n n n b b a n n ---==--=-，所以1123122n n b a n n -=+=-+=-，…………………………………………………………8分所以1,22,nn b n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，…………………………………………………………………9分(i)当n 为偶数时，213124(222)112()()12222-+-=+++++++=⨯+=+ n n n n n n T b b b b b b n n ．…………10分(ii)当n 为奇数时，2111111[(1)(1)][2(1)2]22++++=-=-=+++-+-n n n n n T T b T b n n n 211122=-+n n ．………11分综上,22111,221122⎧-+⎪=⎨+⎪⎩n n n n T n n n 为奇数，为偶数.………………………………………………………12分22．(本小题满分12分)解：（1）因为2()(2)ln f x ax a x x =+--，(1,2)x ∈所以22(2)1(21)(1)1()22+--+-'=+--==ax a x x ax f x ax a x x x，…………………………1分①当0a ≤时，()0f x '<所以()f x 在(1,2)上单调递减，所以()f x 在(1,2)上无极值点，…………………………2分②当0a>时，当1(0,)∈x a 时，()0f x '<；当1(,)∈+∞x a 时，()0g x '>，所以()f x 在1(0,a 上单调递减，在1(,)+∞a上单调递增．所以()f x 的极小值点为1a，无极大值点，因为()f x 在(1,2)上有极值，所以1(1,2)∈a，所以112<<a .……………………………………………………………………………4分（2）当01a <<时，(21)(1)()+-'=x ax f x x，0x >由(1)知：111()()ln 1==--+f x f a a a 极小，01a <<，11>a令1=t a，1t >，则()ln 1f t t t =--+因为1()10'=--<f t t ，(1,)t ∈+∞恒成立，所以()f t 在(1,)+∞上单调递减所以()(1)0f t f <=即1()(0=<f x f a极小，…………………………………………………5分因为221212(ln 10-=+-=++->a a a a f e e e e ee e ，由(1)知：()f x 在1(0,a上单调递减，且11(()0⋅<f f e a ，所以()f x 在1(0,a上存在唯一的零点1x ，使1()0f x =，……………………………………6分因为3(2)39333()ln 3ln -=+-=+-a f a a a a a a ，又33ln 1,01<-<<a a a，所以3(3140>+=>f a ，由(1)知()f x 在1(,)+∞a上单调递增，且13()()0⋅<f f a a ，所以()f x 在1(,)+∞a上存在唯一的零点2x ，使2()0f x =．所以()f x 有两个零点1x ，212()x x x ≠.………………………………………………………7分下面证明12()()0f x f x ''+<：设120x x <<，则22111111112222222222()(2)ln ()2ln 0()(2)ln ()2ln 0f x ax a x x a x x x x f x ax a x x a x x x x ⎧=+--=+--=⎨=+--=+--=⎩．两式相减：2212121212[()()]2()(ln ln )0-+-----=a x x x x x x x x 即11212122()(1)2()ln 0-++---=x a x x x x x x x 所以112212122()ln ()(1)-+=-++xx x x a x x x x ，………………………………………………………………8分因为22(2)11()22+--'==-+-ax a x f x ax a xx 所以12121212121111()()2()()2(2)2(1)(4''+=+-++-=++-+-f x f x a x x a a x x x x x x 1112221212112121222()ln 2ln ()(1)(11112(1)()4())-+-++-=++-+-=-+x x x x x x xx x x x x x x x x x x ，……………9分要证：12()()0f x f x ''+<，即证：1211212211()0()02()ln-+<<<-x x x x x x x x ，只要证：122211112ln (()0)--+>x x x x x x ，即证：12212102ln -+>xx x x x x .……………………10分令12,(0,1)=∈x t t x ，即证：1ln 02-+>t t t ，(0,1)t ∈．令()2ln 1-=+m t t t t ，(0,1)t ∈，则222(1)112(0)----='=<m t t t t t ，(0,1)t ∈恒成立所以()m t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0m t m >=．即12212102ln-+>x x x x x x 成立，故()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x .……………………………12分。

苏州高中数学期中试题答案

苏州高中数学期中试题答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若\( a \), \( b \), \( c \)是三角形的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则此三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形2. 函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)的导数是（）A. \( 6x^2 - 6x + 1 \)B. \( 6x^2 - 6x - 1 \)C. \( 6x^2 + 6x - 1 \)D. \( 6x^2 + 6x + 1 \)3. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，则\( \cos \theta \)的值为（）A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{2}{3} \)4. 已知集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，则\( A \cap B \)等于（）A. \( \{1\} \)B. \( \{2, 3\} \)C. \( \{4\} \)D. \( \{1, 2, 3\} \)5. 若\( x \)满足方程\( |x - 1| + |x - 3| = 2 \)，则\( x \)的取值范围是（）A. \( x \leq 1 \)B. \( 1 \leq x \leq 3 \)C. \( x \geq 3 \)D. \( x \in \mathbb{R} \)6. 函数\( y = \log_2 x \)的图像关于（）A. 直线\( x = 1 \)B. 直线\( y = 1 \)C. 点(1, 0)D. 点(0, 1)7. 已知\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{9} \)，\( a \)和\( b \)都大于0，求\( a + b \)的值（）A. 9B. 18C. 27D. 368. 已知\( \sin \alpha = \frac{2}{3} \)，求\( \cos 2\alpha \)的值（）A. \( \frac{1}{9} \)B. \( \frac{5}{9} \)C. \( -\frac{1}{9} \)D. \( -\frac{5}{9} \)9. 一个圆的半径为3，圆心到直线的距离为2，则直线与圆的位置关系是（）A. 相切B. 相离C. 相交D. 内切10. 若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，\( a + b + c = 1 \)，求\( ab + bc + ac \)的值（）A. \( \frac{1}{2} \)B. \( -\frac{1}{2} \)C. \( -1 \)D. \( 0 \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知\( \tan \theta = 2 \)，求\( \sin 2\theta \)的值。

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则 DA DB 当0
……………… ……………
………… ……………
时， y 0 ， y 是的减函数；当时， y 0 ， y 是的增函数. 6 6 4
……………
3 时， ymin 3 1 ，此时 DO tan . …………… 3 6 3 答：当 D 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边 km 处时,能使三段木栈道总长度最短. 3
所以 g ( x ) f ( x ) 2 x 为奇函数，所以 g ( x3 1) g (1 3x 2 ) 0 等价于 g ( x3 1) g (3x 2 1) ，又 g ( x ) f ( x ) 2 e x ………………
1 2 ≥ 2 2 0 当且仅当 x 0 时，等号成立， ex
所以 2cos( )cos 2sin( )sin 3cos( )cos 3sin( )sin 0 ，因为、的终边不在 y 轴上，所以 cos( ),cos 均不为 0，所以 5cos( )cos sin( )sin 0 ，因为所以 tan( ) tan 5 ． ………………12 分 ………………14 分
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2018—2019 学年第一学期高三期中调研试数学参考答案与评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分) 1. 1,2 7. 2. x R , x 2 2 x 1 0 8. 5 9. 160 10. 3. 1 4. 11. (
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1 1 e x x f ( x) ，此时 f ( x) 为奇函数． ……………… e x e 1 1 （2）令 e x x t （ t ≥ 0 ），所以 e 2 x 2 x t 2 2 e e
所以 h(t ) t 2 2t 2 ，对称轴 t ， ①当 ≤ 0 时， h(t ) h(0), ，所求值域为 2, ；
所以，当
18．(本题满分 16 分) 解：（1）函数的定义域为 R ，因为 f ( x ) 为奇函数，由 f ( x) f ( x) 可知， f (0) 0 ，所以 1 a 0 ，所以 a 1 ； ………………
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当 a 1 时， f ( x ) e x
3 ) ， 6 2
1 7 [ , ] ；所以 sin(2 ) [ ,1] ； 6 2 6 6 6 1 7 所以 f ( ) 的取值范围是 [ , ] ． 2 2
因为 [0, ] ，所以 2
2
（2）由 m / / n ，所以 (2cos 2 3)cos 2sin 2 sin 0 ，所以 2cos(2 ) 3cos 0 ，
………… ………………
an 1 an q ≥ 2 ，所以数列 {an an 1} 单调递增， an an 1
所以在数列 {an an 1} 中， a2 a1 为最小项， ……………… 由 {an } 为“M 数列”，可知只需 a2 a1 3 ，即 q 1 3 ，所以 q 4 …… 同理，在 {bn bn 1} 中，“ b2 b1 ”为最小项，因为 {bn } 不是“M 数列”，所以存在 bm bm 1 ≤ 3 ，又“ b2 b1 ”为最小项，所以 b2 b1 ≤ 3 ，即 a1 ( q 1) ≤ 4 ，所以 q ≤ 5 …………… 因为 q N * ，所以 q 5 ， an 5n 1 ． ………………
n 1
………………2 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………7 分 ………………8 分
bn 2(n ≥ 2) ，所以 bn 是等比数列， bn1
．
………………9 分
（2）因为 cn an bn ，所以 cn (2n 1) 2n1 ，
Sn c1 c2 c3 L cn 1 20 3 21 5 22 L (2n 3)2n 2 (2n 1)2n 1 ， 2Sn 1 21 3 22 5 23 L (2n 3)2n 1 (2n 1)2n ，
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16．(本题满分 14 分) 解：（1）因为 an 是等差数列,
a1 2d 5, 设 an 的公差为 d ，由 a3 5 ， A6 36 ，得 2a1 5d 12,
所以 a1 1 ， d 2 ，所以 an 2 n 1 ；由 Bn 2bn 1 可知，当 n 1 时， b1 1 ；当 n ≥ 2 时， Bn 1 2bn 1 1 ，所以 Bn Bn 1 2bn 2bn 1 ，从而 bn 2bn 1 (n ≥ 2) ，又 b1 1 ，所以所以 bn 2
20．(本题满分 16 分)
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1 ， x 所以 f (1) 1 ，所以 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y x ；
解：（1）当 a 2 时， f ( x ) 2 x 1 ln x ，得 f ( x) 2
1 3 )．，所以 n ( , 2 2 6
3 ， 2
………………2 分 ………………3 分 ………………5 分 ………………7 分 ………………9 分 ………………10 分
所以 f ( ) m n = cos 2 3 sin 2 即 f ( ) 2sin(2
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Q1 6 2 23 2 4 7 1 2
19．(本题满分 16 分) 解：（1）因为等差数列 {an } 为“M 数列” ，所以 d 3 ，由 a1 1 ，得 S n n ……………
n( n 1) n( n 1) d ，由题意，得 n d 2n 2 2n 对 n N 均成立， 2 2 即 n 1 d 4n 2 对 n N 均成立， ………………
17. (本题满分 14 分)
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Q1 6 2 23 2 4 7 1 2
解：（1）由 DAO ， OC AB ， OA OB 1 ，
1 ， DO tan ，所以 DC 1 tan ， cos 2 2 sin 所以 y DA DB DC 1 tan 1, 0 . cos cos 4 （注：表达式 2 分，的的取值范围 1 分） 2sin 1 (2) y ， cos 2 1 令 y 0 ,得 sin ，又 0 ，所以， 2 4 6
2 ②当 0 时， h(t ) h( ), ，所求值域为 2 , ；
……………… ………………

………………
（3）因为 f ( x) e x
1 为奇函数，所以 g ( x ) f ( x ) 2( x ) f ( x ) 2 x g ( x ), ex
所以 g ( x ) f ( x ) 2 x 在 R 上单调增，所以 x 3 1 3 x 2 1 ，即 x 3 3x 2 2 0 ，又 x3 3x 2 2 ( x 1)( x 2 2 x 2) 0 ，所以 x 1 3 或 1 x 1 3 ．所以不等式的解集是 (,1 3) U (1,1 3) ． ……………… ……………… ……………
2018．11
2,2
1 ,0) e2
5.
12. 256
6. 10
13.
3

21 4
14. a -1 或 a 3 二、解答题(本大题共 6 个小题，共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分 14 分) 解：（1）因为
……………
1 ax 1 ， x x 当 a 0 时， f ( x ) 0 ， f ( x) 单调递减不满足题意；
（2）① f ( x ) ax 1 ln x （ x 0 ）,得 f ( x ) a
………………
1 1 当 a 0 时， x (0, ) ， f ( x ) 0 ； x ( , ) ， f ( x ) 0 ； a a 1 1 所以 f ( x) 在 (0, ) 上单调减，在 ( , ) 上单调增． a a 1 因为函数 f ( x) 有两个零点，所以 f ( x ) min f ( ) 0 ，得 0 a 1 ． ……… a 1 1 下证：在区间 (0, ) 和 ( , ) 内分别存在一个零点. a a 1 1 a 1 1 在 (0, ) 内，因为 f ( ) 0 ，而 f ( ) 0 ，又 f ( x) 在 (0, ) 上单调减，所以由零点存在 a e e a a 1 性原理可知：在 (0, ) 内 f ( x) 有一个零点； ……………… a 1 法一：在 ( , ) 内，可以证明 ln x x 1 x ，所以 ln x x 即 ln x 2 x ， a 1 1 所以 f ( x ) ax 1 ln x ax 1 2 x a ( x ) 2 1 ， a a 2 1 1 1 1 1 取 x0 ( 1) 2 ，得 a ( x0 ) 2 1 a (1 ) 2 1 1 a 0 ，而 f ( ) 0 ， a a a a a a 1 1 又 f ( x) 在 ( , ) 上单调递增，所以由零点存在性原理可知：在 ( , ) 内 f ( x) 有一个零 a a 点． ………………