2015年学而思杯6年级真题
2015年第五届“学而思杯”六年级
2015年第五届“学而思杯”六年级2015年第五届“学而思杯”六年级2015年第五届“学而思杯”六年级杯赛命题人：邹家意总分：150分时间：90分钟一、填空题．（每题10分，共80分）1. 2641473971________1524285660．【难度】★★【考点】计算：分数裂项【答案】7 【解析】11171939111111152428566032533843778415-4435384778154 21313114114-5383748741511213411314-3351577448841117原式 2. 若干个体积为13cm的小正方体木块平堆在地面上，其俯视图如（1），侧视图如（2），那么这堆木块的表面积最多等于________2cm．【难度】★★【考点】几何：三视图求表面积【答案】46 【解析】要让表面积最大，则应该让小正方体块数最多，符合该条件的三视图如下（其中（3）是主视图）：（2）（1）易得：这堆木块的表面积最多等于275724246cm． 3. 甲、乙两只桶装有酒，甲桶有酒800斤，酒精占比17.92%；乙桶有酒1200斤，酒精占比59.37%；那么，两桶互相交换________斤才能使两桶酒的酒精占比相等．【难度】★★【考点】应用：浓度问题【答案】480 【解析】对于此类问题，不管两者浓度是多少，都可直接应用以下公式得出结果：甲溶液重量乙溶液重量交换量甲溶液重量乙溶液重量那么本题结果为80012004808001200斤．【思考】以上结论该如何证明？ 4. 将长为15厘米的木棒截成长度为整数厘米的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有________种．【难度】★★【考点】计数：枚举结合几何【答案】7 【解析】设木棒被截成长度为厘米，厘米，厘米abc的三段（,,abc为非零自然数，且15abc，且abc），要构成三角形，必须满足abc，则,,abc只有下列7种可能：1,7,72,6,73,5,73,6,64,4,74,5,65,5,5、、、、、、，故有7中不同截法． 5. 123457xxxxx有________组不同的自然数解．【难度】★★★【考点】计数：隔板法【答案】330 【解析】（3）（2）（1）由于未知数12345、、、、xxxxx都有可能取0，所以先“借”1给每个未知数，则本题等同于“将127512（）个相同的苹果分到5个不同的盘中，共有多少种方法”，显然，共有51412111330CC种方法，即：该方程有330组不同的自然数解． 6. 下图中，、、、EFGH为正方形ABCD四条边上的点，三角形GBM的面积比三角形CNE的面积多22934cm，且2345CDDEDFAGBH．已知那么正方形ABCD 的面积等于________2cm．【难度】★★★【考点】几何：风筝模型【答案】28 【解析】用S表示正方形ABCD的面积，加辅助线如下：由左图可得：3131428GBESSS，111152220HBESSS，所以31581220GBEHBESSGMHMSS，所以1515131921517542136GBMGBHSSSS；由右图可得：12BFCSS，111123212EFCSSS，所以126112BFCEFCSSBNENSS，ONMEHGFDCBAABCDFGHEMNOONMEHGFDCBA易得：这堆木块的表面积最多等于275724246cm． 3. 甲、乙两只桶装有酒，甲桶有酒800斤，酒精占比17.92%；乙桶有酒1200斤，酒精占比59.37%；那么，两桶互相交换________斤才能使两桶酒的酒精占比相等．【难度】★★【考点】应用：浓度问题【答案】480 【解析】对于此类问题，不管两者浓度是多少，都可直接应用以下公式得出结果：甲溶液重量乙溶液重量交换量甲溶液重量乙溶液重量那么本题结果为80012004808001200斤．【思考】以上结论该如何证明？ 4. 将长为15厘米的木棒截成长度为整数厘米的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有________种．【难度】★★【考点】计数：枚举结合几何【答案】7 【解析】设木棒被截成长度为厘米，厘米，厘米abc的三段（,,abc为非零自然数，且15abc，且abc），要构成三角形，必须满足abc，则,,abc只有下列7种可能：1,7,72,6,73,5,73,6,64,4,74,5,65,5,5、、、、、、，故有7中不同截法． 5. 123457xxxxx有________组不同的自然数解．【难度】★★★【考点】计数：隔板法【答案】330 【解析】由于未知数12345、、、、xxxxx都有可能取0，所以先“借”1给每个未知数，则本题等同于“将127512（）个相同的苹果分到5个不同的盘中，共有多少种方法”，显然，共有51412111330CC种方法，即：该方程有330组不同的自然数解． 6. 下图中，、、、EFGH为正方形ABCD四条边上的点，三角形GBM的面积比三角形CNE的面积多22934cm，且2345CDDEDFAGBH．已知那么正方形ABCD的面积等于________2cm．【难度】★★★【考点】几何：风筝模型【答案】28 【解析】用S表示正方形ABCD的面积，加辅助线如下：由左图可得：3131428GBESSS，111152220HBESSS，所以31581220GBEHBESSGMHMSS，所以1515131921517542136GBMGBHSSSS；由右图可得：12BFCSS，111123212EFCSSS，所以126112BFCEFCSSBNENSS，所以1111111672228CNECBESSSS；所以：29163342929136284347434734GBMCNESSSSSScm，即：正方形ABCD的面积24728Scm．7. 在1至2100的所有自然数中，与210互质的数之和等于________．【难度】★★★【考点】数论：欧拉公式【答案】504000 【解析】由于2102357，根据欧拉公式知：在1至2100的所有自然数中，与210互质的数共有1111210011114802357个，其中每2个数作为1组，和为2100，所以总和等于48022100504000．8. 如图，六边形ABCDEF中，,AEECBCEC，EF平行于AC,90AEFECD，23,26FECECDAEBCSS,20四边形ABCES,则________四边形ABDES．【难度】★★★【考点】几何：蝴蝶模型，鸟头模型【答案】21 【解析】由于AEEC，所以90AEC；FEDCBAFEDCBA又由于90AEFECD，所以180FECECD，所以有：2FECECDSFEECFESECCDCD；由于BCEC，所以90BCE；又由于90AEFECD，所以180FEABCD，所以有：23312FEABCDSFEEASCDBC；由于EF平行于AC，所以6FEAFECSS，所以123BCDFEASS；所以203221四边形四边形ABDEABCEECDBCDSSSS．二、解答题．（每题10分，40分）9. 一次数学竞赛，某校有200多人参加，成绩都是整数，其中118的人不到70分，17的人不到80分，14的人达到90分．那么得分在80分至89分的有多少人？【难度】★★★【考点】应用：分数应用题结合数论【答案】153人【解析】由题知：总人数为18、7、4的公倍数，由于三个数的最小公倍数等于252，所以总人数就是252．那么得分在80分至89分的有11252115374人．10. 已知最简分数,57ab满足2.357ab，求ab的所有可能值之和．【难度】★★★【考点】计算：比较大小与估算【答案】218 【解析】由于2.357ab，所以2.252.3557ab，即2.2535752.3535ab，即：78.757582.25ab，所以7579808182或或或ab，由于5a是最简分数，所以a不是5的倍数，即75798182或或ab：①7579ab 易解得：27136或aabb ②7581ab 易解得：38125或aabb ③7582ab 易解得：16111581或或aaabbb 综上，ab 等于11、15、26、36、40、42或48，即ab的所有可能值之和等于218．11. 两块手表显示时间都采用二十四小时制（即显示范围为0时0分0秒至23时59分59秒），走时一快一慢，快表比标准表每2小时快3分钟，慢表比标准表每7小时慢4分钟．现在把快表指示时间调成9点5分0秒，慢表指示时间调成11点1分0秒，那么两块表第一次指示相同的时刻是多少？【难度】★★★【考点】行程：钟面行程【答案】18点29分0秒【解析】设经过标准表上的x小时后，两块表第一次指示相同，则：96056031160160427xxxx 解得：56x 由于569605605636066292，6624218，所以此时，两块表指示的时刻都是18点29分0秒．12. 在一个圆周上等距离分布着n个点，将所有点连线形成若干个以圆周上的点为顶点的封闭图形，再任意将其中某些点染成红色，使所有的封闭图形中存在以四个红点为顶点的正方形．已知当n取某数时，至少要将400个点染成红色才能保证达成要求，请求出n的取值．【难度】★★★【考点】组合：最值原理【答案】532 【解析】经尝试可得结论：只有当n为4的倍数时，连接圆周上的某四个点才能形成正方形；设4nk，则圆周上可找到k个不同的正方形，且不共顶点．要保证存在以四个红点为顶点的正方形，则考虑最不利情况：只有一个正方形的四个顶点全是红色，其余1k个正方形的三个顶点是红色，则有31400k，解得133k，则1334532n．三、解答题．（每题15分，共30分）13. 任给50个互不相等的非零自然数，每一个数都不大于425．证明：把这50个数两两相减（大减小）所得的所有差中至少有4个相等．【难度】★★★★【考点】组合：极端原理【答案】见解析【解析】设给定的50个非零自然数为1250，，，aaa，满足1250425aaa．令121232495049,,，baabaabaa 从反面来证明，即这50个数两两之差至多有3个相等．那么以上49个差中任取4个差至多有3个相等，那么124911122233316161617425bbb，另一方面，12492132504950150425bbbaaaaaaaaa，矛盾．因此结论成立．14. 是否存在连续若干个自然数，满足其立方之和等于：（1）2014？（2）20152014？若存在，请说明这些自然数满足的条件；若不存在，请说明理由？【难度】★★★★【考点】数论：余数性质【答案】都不存在，理由见解析【解析】设连续n个自然数的立方和为3333123Saaaan，则：333333333333221231231231122Saaaananaananaa 显然，该数除以4不可能余2，所以必然不存在连续若干个自然数满足其立方之和等于2014．再考虑第二问：令212kkA，讨论A除以7的余数如下表所示：70123456171234560(1)70136310270121210除以的余数除以的余数除以的余数除以的余数kkkkA 可知：A除以7只可能余0、1、2；令1kan，2112ananA，则1A除以7只可能余0、1、2；令2ka，2212aaA，则2A除以7只可能余0、1、2；那么：S除以7的余数等于12AA除以7的余数，只可能为0、1、2、5、6，即连续n个自然数的立方和除以7的余数，只可能为0、1、2、5、6；又由于20152014除以7余3，说明与S除以7的余数不同，所以不存在！1234567890ABCDEFGHIJKLMNabcdefghijklmn!@#$%^&am p;&*()_+.一三五七九贰肆陆扒拾，。
2015年学而思杯6年级真题解析
【难度】 ★★★ 【考点】计数：隔板法 【答案】 330 【解析】 由于未知数 x1、x2、x3、x4、x5 都有可能取 0，所以先 “借 ”1 给每个未知数，则本题等同
（7 5 12） 于 “将 12 个相同的苹果分到 5 个不同的盘中，共有多少种方法 ”，显然，共有
51 4 C12 1 C11 330 种方法，即：该方程有 330 组不同的自然数解．
1 1 数就是 252．那么得分在 80 分至 89 分的有 252 1 153 人． 7 4
6.
【难度】 ★★★ 【考点】几何：风筝模型 【答案】 28 【解析】用 S 表示正方形 ABCD 的面积，加辅助线如下：
A G M B H
F O N
D
A G
F O N M
Dห้องสมุดไป่ตู้
E
E
C
B
H
C
由左图可得： SGBE
3 1 3 1 1 1 1 1 S S ， SHBE S S ， 4 2 8 5 2 2 20
即：正方形 ABCD 的面积 S 4 7 28cm2 ．
7.
【难度】 ★★★ 【考点】数论：欧拉公式 【答案】 504000 【解析】 由于 210 2 3 5 7 ，根据欧拉公式知：在 1 至 2100 的所有自然数中，与 210 互质的
1 1 1 1 数共有 2100 1 1 1 1 480 个，其中每 2 个数作为 1 组，和为 2 3 5 7
2.
【难度】 ★★ 【考点】几何：三视图求表面积 【答案】 46 【解析】要让表面积最大，则应该让小正方体块数最多，符合该条件的三视图如下（其 中（ 3）是主视图） ：
【第五届】2015 秋季广州学而思小学综合测评六年级.数学问卷.pdf
考室题 答 准考证号内不 要 线 封 密姓名学校【第五届】2015 秋季广州学而思小学综合测评(六年级•数学问卷）注意事项： 1．全卷共五大题．时间：80 分钟．满分：120 分．2．请在指定的位置上（密封线内）填写自己的相关信息．3．请用黑色中性笔、签字笔或钢笔作答．4．不得使用涂改带、涂改液等涂改工具．5．不得使用计算器等计算工具．6．必须在答题卷指定区域内作答，否则答案无效．一、判断题（对的打√，错的打×．每小题 1 分，5 小题，共 5 分）1、最小的质数与最小的合数之和是一个偶数． （ ）2、正方体的表面积与底面积成正比例关系．（ ） 3、比较大小： 1 + 1 +1 < 1 + 1 + 1 ． （）12 1011 11 11114、表盘的时、分针在 12 时 15 分时的夹角，与 3 点整时的夹角大小一样． （ ）5、切一块长方体的豆腐，3 刀最多可将豆腐分成 7 块．（）二、选择题（将正确选项的编号填入相应位置．每小题 1 分，5 小题，共 5 分）1、一个三角形的三个内角之比为 2 : 3 : 5 ，这是一个（）．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形2、下列四个算式中，错误的是（）．A. 32+ 42= 52B. 52 +122 =132C. 24+ 42= 33D. 33 + 43 + 53 = 633、两个长方形的长之比、宽之比都是 3 : 2 ，则面积比是（ ）．A. 9 : 4B. 6 : 4C. 4 :1D. 3 : 24、下图中可以数出（）个不同的三角形．A. 16B. 18C. 20D. 215、2015 年的元旦是星期四，那么 2015 年的圣诞节（12 月 25 日）是星期（）．A. 四B. 五C. 六D. 日第 1 页 共 6 页三、填空题（每小题 2 分，10 小题，共 20 分）1、20 以内的所有奇数的和是________．2、数字找规律：2、5、10、17、26、37、50、________．3、一个圆形花园半径为 5 米，绕花园修建一圈篱笆，篱笆长度为________米．（ π 取 3.14 ）4、18 和 48 的最大公因数加上它们的最小公倍数，和是________．5、我们用[x ] 代表不大于 x 的最大整数．[3.8] +[4.7] = ________．6、将浓度为 30% 的盐溶液倒入纯净水中，最后得到了浓度为12% 的盐溶液 500 克．那么原来的纯净水有________克．7、如下图，以正方形的边长向内作四个完全相同的直角三角形，中心围出一个小正方形．已知小 正方形的边长与直角三角形的短直角边长度相等．那么大正方形的面积是小正方形的________倍．8、两位小数 a 四舍五入（保留至十分位）后是 5.0 ，小数 b 四舍五入（保留至十分位）后是 3.8 ．那么 a - b 的最大值是________．9、2014 年巴西世界杯赛程如下：32 支代表队每 4 队分为一个小组，每个小组内部进行单循环赛， 积分前 2 名晋级．所有晋级队伍进行淘汰赛，决出冠、亚、季军．整个世界杯赛程中共有________场比赛．10、琦琦以 30 元/股的价格买入某支股票 500 股．几天后，他以 36 元/股的价格卖出 60% 的股票； 一周后，他又以 28 元/股的价格卖出剩余全部股票．整个交易中，琦琦还付了 50 元的手续费．那么琦琦共赚了________元．第 2 页 共 6 页密封 线 内 不 要 答 题密封线内不要答题四、计算题（共34分）1、直接写出得数（每小题 1 分，6 小题，共 6 分）（1）5.73+3.37= ________ （2）1.27-0.7= ________（3） 5 - 7 = ________ （4）1 1 ⨯ 5 = ________8 12 5 12（5）1 1 ⨯ (6 - 2 ⨯ 3) =________ （6）2.5÷60%= ________22、解方程（每小题 2 分，2 小题，共 4 分）（1）11- 2 x =2 x +3 （2） 4 = 3 : 23 x3、简便运算（写出计算过程，能简算的要简算．每小题 4 分，6 小题，共 24 分）（1）317+426+183+274 （2）100+99-98-97+96+95-94-93+ +4+3-2-1（3）( 2 + 3 + 4 ) ÷ 1 （4）9999÷ 13 4 5 60 1111（5）133÷ 1 +157 ÷ 25% + 40 （6）1 2 ⨯1 2 ⨯1 2 ⨯ ⨯1 24 35 7 97第3页共6页五、实际应用（第1~4题每题5分，第5~6题每题8分，第7~8题每题10分，共56分）1、某个阅兵队列由 20 个方阵排成一列而成，每个方阵长 10 米，方阵间距离 15 米．那么这个阅兵队列全长多少米？2、琦琦有铅笔和圆珠笔若干支．铅笔占两种笔总数的72；若少 22 根圆珠笔，则圆珠笔占两种笔总数的52．那么原来琦琦的圆珠笔比铅笔多几根？3、将一个圆柱形蛋糕平均分成 4 份，每份蛋糕形如下图．请你求出这份蛋糕的表面积．（数据已在图中给出，单位：厘米，π取 3.14）3104、小宇以 40 米/分的速度上学．走了一半路程后小宇突然发现，若按这个速度前往学校，将迟到 3分钟．于是他把速度提高至50米/分，结果早到了1分钟．小宇家离学校多少米？第4页共6页密封线内不要答题考室题答准考证号内不要线封密姓名学校5、如图，四边形ABCD和DEFG都是正方形，边长分别为5厘米和3厘米．GH与CF平行．求三角形CFH的面积．F EA G DB H C6、若将137化为循环小数，（1）小数点后第 2015 位是数字几？（2）小数点后的前 2015 位数字之和是多少？第5页共6页7、A、B、C、D 四个工程队共同完成一项工程．若 A、B、C 三队合作，8 天可以完成；若 B、C、D 三队合作，10 天可以完成；若 A、D 合作，15 天可以完成．（1）若这项工程由 D 工程队单独完成，需要几天？（2）现在四个工程队按照 A-B-C-D-A-B-C-D-A……的次序每天轮班工作，这件工作最后由哪个工程队完成？请计算说明．8、肥罗从A点出发，按“ A-D-E-F-B-A”的顺序在五边形跑道上练习跑步．与此同时，小伦从B点出发，按“B-C-D-A-B-”的顺序在正方形跑道上练习跑步．已知AB为54米，F为BC 中点．又知肥罗与小伦的速度比为4 : 5，且两人第一次走到E点时恰好相遇．（1）求DE的长度．（2）若两人保持速度、运动路线不变，将在M点第二次相遇．求MB的长度．（3）实际上，两人在E相遇后，肥罗提速75%继续前行，而小伦提速80%原路返回，结果两人在N 点第二次相遇．求三角形 BMN 的面积．D E CFA B第6页共6页密封线内不要答题。
2015年年测六年级数学试卷
总分
一、填空题（共 5 道小题，每题 6 分，共 30 分）
1. 计算：1+ 3 + 5 + 7 + 9 +11 = __________．
2. 已知 a、b 都是非零自然数，且 a - b = 8 ，a + b < 28 ．那么，符合要求的 b 的取值有__________ 种．
15. 如图，将 1～12 这 12 个数填入下面的表格中，要求相邻方格（有公共边的方格算相邻方格）内 的数满足：右边的数比左边的数大，上边的数比下边的数大．那么，满足要求的填法有__________ 种．
（2）解方程组：
ìïïíïïî54xx
+ +
5 4
y y
= =
31 32
四、解答题（共 3 道小题，每题 10 分，共 30 分，需写出解题过程，请在答题纸上作答）
3. 数列 1、1、2、3、5、8、13、…的规律是：从第 3 项开始，每一项都等于它前面相邻两项的和． 那么，这个数列的第 11 项除以 4 的余数是__________．
4. 如图，两个正方形并排放置，其边长分别为 6 厘米和 2 厘米，那么阴影三角形的面积是__________ 平方厘米．
6 2
三、填空题（共 5 道小题，每题 10 分，共 50 分）
11. 每辆摩托车有 2 个轮子、1 个座位；每辆轿车有 4 个轮子、5 个座位；每辆卡车有 6 个轮子、7 个座位．经统计，这三种交通工具共有 13 辆，轮子共有 50 个，座位共有 59 个．那么，其中轿 车有__________辆．
【第1-6届】广州学而思六年级综合测评数学卷(含样卷)
2、一件衣服标价140 元，打七折出售还赚了 28 元．这件衣服的成本是（ ）元．
3、妈妈今年 35 岁，恰好是女儿年龄的 7 倍，（
）年后妈妈的年龄恰好是女儿的 3 倍．
4、在1: 5000000 的地图上，AB 两地相距 3 厘米．一辆速度 60 千米/小时的汽车从 A 地开到 B 地， 需要（ ）小时．
第1页 共6页
10、根据下图规律，第 18 个图是由________个最小的小方格构成． 第2页 共6页
爆米花的重量约是多少克？（ 取 3.14 ）
12cm
密封线内不要答题
密封线内不要答题
四、计算题（本大题共 30 分）
1、脱式计算，尽量使用简便方法计算（每小题 4 分，共 24 分）
（1）19 2 15 3 54
一、判断题（本大题共 5 小题，每小题 1 分，共 5 分）
1、水果总数一定，吃掉的水果重量与剩下的水果重量成反比例关系．
（）
2、长方形是轴对称图形，具有 4 条对称轴．
（）
3、两个三角形的形状相同，面积之比是1: 2 ，则内角和之比也是1: 2
（）
4、一位数中，质数与合数的个数相等．
（）
5、站在电线杆旁的小明的影长约等于身高时，电线杆的影长也接近其高度． （ ）
考场
2014 年羊城小升初排位赛 数学试卷
注意事项：
1．全卷共六大题．时间：80 分钟．满分：100 分 附加题：20 分 2．请考生在指定的位置上（密封线内）填写自己的相关信息． 3．请用黑色的签字笔或钢笔作答，不得使用涂改工具． 4．考生必须在虚线框内作答，不在框内作答的答案无效．
一、判断题（每小题 1 分，共 5 分）
白猫……的规律列队站好，那么第 2014 只猫是（ ）．
2015学而思杯数学解析(6年级)
5
每一个日期都可以记作一个八位数，例如 2015 年 4 月 6 日记作 20150406．如果这样的八
位数能被 9 整除，那么这个八位数所对应的日期就叫做“幸运日”，例如：20150406 就是
一个幸运日；同时它也是 2015 年 4 月的第一个幸运日．
3
四． 填空题Ⅳ（每题 7 分，共 28 分） 13. 希望小学六年级一班，每位同学至少选一门兴趣课，22 位同学选机器人，9 位同学选单片 机，15 位同学选无线电，16 位同学选信息学．每位选择单片机的同学都选择且只能选择 机器人或无线电中的一种，每位选择无线电的同学都选择且只能选择机器人或信息学中的 一种．那么，这个班最少有__________名同学．
BCP A
（3）如图，1 27.5 ， 2 95 ，3 38.5 ，那么4 __________．
C
E4 F
2
1
A
D
【解析】19
3 B
7
（4）如图，在三角形纸片 ABC 中，A 65 ，B 75 ，将纸片的一角折叠，使点 C 落在三角形 ABC 内．如果1 20 ，那么2 __________．
3
9. 某班有学生 48 名，女生占全班的 ．之后又转来若干名女生，这时女生恰好占全班人数
8
2
的 ．那么，转来了__________名女生．
5
3
2
【解析】设转来x 名女生， 48 x 48 x
8
5
解得x 2
10. 如图所示，圆的半径是 10 厘米．圆内部的弧都过此圆的圆心，且此圆的圆周恰好被弧六 等分．那么，阴影部分的周长是__________厘米．（圆周率取 3）
2022-2023学年小学六年级奥数典型题测评卷15《立体图形的表面积》(解析版)
【六年级奥数举一反三—全国通用】测评卷15《立体图形的表面积》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共7小题，满分21分，每小题3分）1．（2015•创新杯）如图，一个长8厘米、宽6厘米、高10厘米的长方体木块中，挖去一个棱长为3厘米的正方形的孔，木块现在的表面积是（）平方厘米．A．367 B．376 C．412 D．430【分析】由题意可知：挖去一个棱长为3厘米的正方形的孔，木块的表面积减少了1个小3×3的面，增加了5个3×3的面，实际相当于只增加了4个面；所以木块现在的表面积为原来长方体的表面积再加上中间的正方体的4个面的面积即可．【解答】解：（8×6+8×10+10×6）+3×3×4＝376+36＝412（平方厘米）答：木块现在的表面积是412平方厘米．故选：C．2．（2007•创新杯）把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比（）A．不增不减B．减少1个C．减少2个D．减少3个【分析】根据图形，搬动前小正方体A外表含有3个小正方形，搬动后A所在的位置有3个小正方形作为外表露出解答．【解答】解：由图可知，搬动前小正方体A外表含有3个小正方形，搬动后A所在的位置有3个小正方形作为外表露出，所以小正方形的个数与搬动前相比不增不减．故选：A．3．正方体的棱长扩大2倍，它的表面积就（）A．扩大2倍B．扩大4倍C．扩大6倍【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6；由此利用积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大几倍积就扩大几倍，即可解决问题．【解答】解：正方体的表面积＝棱长×棱长×6；正方体的棱长扩大2倍，根据积的变化规律可得：表面积扩大了2×2＝4倍；故选：B．4．（2012•其他杯赛）一个长方体，它的高和宽相等，若把长去掉2.5厘米，就成为表面积是150平方厘米的正方体，长方体的长是宽的（）倍．A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【分析】已知长方体的宽和高相等，把长去掉2.5cm，就成为表面积150平方厘米的正方体，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此可以求出正方体的一个面的面积，进而求出正方体的棱长（长方体的宽和高），用正方体的棱长加上2.5厘米就是长方体的长，然后根据求一个数是另一个数的几倍用除法解答．【解答】解：正方体的一个的面积是：150÷6＝25（平方厘米），正方体的棱长是：因为5的平方是25，所以正方体的棱长是5厘米，长方体的长是：5+2.5＝7.5（厘米），长是宽的：7.5÷5＝1.5倍；故选：A．5．把三个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来三个正方体的表面积的和减少（）A．2平方厘米B．3平方厘米C．4平方厘米【分析】3个小正方体拼成一个长方体只有一种拼组方法：一字排列法，拼组后长方体的表面积比原来减少了4个小正方体的面的面积，据此即可解答．【解答】解：1×1×4＝4（平方厘米）故选：C．6．正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大（）倍．A．2 B．4 C．6 D．8【分析】设正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，利用正方体的表面积公式求出扩大前后的表面积，即可求得表面积扩大的倍数．根据正方体表面积扩大的倍数是棱长扩大倍数的平方求解即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，原正方体的表面积：a×a×6＝6a2，现在的正方体的表面积：2a×2a×6＝24a2，表面积扩大24a2÷6a2＝4倍；故选：B．7．（2011•华罗庚金杯模拟）如图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是x平方厘米，那么x等于（）A．114 B．120 C．126 D．132【分析】这个玩具的表面积是大正方体的面积，加上6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积，据此解答即可．【解答】解：玩具的表面积：4×4×6+1×1×6×4＝96+24＝120（平方厘米）．答：它的表面积是120平方厘米．故选：B．二．填空题（共11小题，满分33分，每小题3分）8．（2016•其他杯赛）如图是棱长10厘米的两个正方体果盒，用一张长4分米，宽3分米的长方形彩色纸包装（接头处忽略不计）．这张彩色纸够吗？够．【分析】两个正方体拼成了一个长方体，表面积总和减少了两个正方形的面，即还剩下6×2﹣2＝10个正方形的面，即需要包装的面，然后根据正方形和长方形的面积公式进一步解答即可．【解答】解：6×2﹣2＝10（个）10厘米＝1分米1×1×10＝10（平方分米）4×3＝12（平方分米）12＞10所以，这张彩色纸够了．故答案为：够．9．（2016•学而思杯）如图，将一个棱长为4cm的正方体从中间切开，再拼成一个长方体，那么，表面积增加了16cm2．【分析】把正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积比原来增加了2个正方体的面的面积；再拼成一个长方体，那么，表面积又减少了1个正方体的面的面积；综合上述，实际相当于只增加了1个正方体的面的面积；由此即可解答问题．【解答】解：根据分析可得，表面积增加了1个正方体的面的面积：4×4＝16（平方厘米）答：表面积增加了16平方厘米．故答案为：16．10．（2015•小机灵杯）把一个正方体切成27个相等的小正方体．这些小正方体的表面积之和比大正方体的表面积大432平方厘米．那么，大正方体的体积是216立方厘米．【分析】能把一个正方体切成27个相等的小正方体，说明在上下、左右和前后各切2次，共切6次；每切一次就多出2个大正方形1个面的面积，共多出12个大正方形的一个面的面积．由432÷12＝36平方厘米，得其边长是6厘米．再运用正方体的体积公式，即可求出此题．【解答】解：432÷12＝36（平方厘米）正方体的边长：＝6（厘米）6×6×6＝216（立方厘米）故：答正方体的体积是216立方厘米．11．（2018•学而思杯）一个长为4厘米，宽和高均为2厘米的长方体，从中间切一刀分成两个完全相同的小正方体，那么这两个小正方体的表面积之和与原来的长方体表面积相比增加了8平方厘米．【分析】由题意，锯成的正方体的棱长是2厘米，会增加两个面，每个面的面积是2×2平方厘米，所以再乘以2就是增加的面积．【解答】解：2×2×2＝8（平方厘米）故答案为：8．12．（2016•其他杯赛）如图，把一根长方体木料，锯成大小不等的三个小长方体，则表面积比原来增加160平方厘米．【分析】由题意可知：把该长方体木料沿虚线平均截成3段后，表面积比原来增加了4个长为8厘米、宽为5厘米的长方形的面积，由此解答即可．【解答】解：8×5×4＝160（平方厘米）故答案为：160．13．（2016•迎春杯）如图是由9块相同的长方体摆放而成的大长方体，已知大长方体的表面积是360平方厘米，那么一个小长方体的表面积是88平方厘米．【分析】可以设小长方体的长为a，宽为b，高为c，根据表面积公式，可以列出关系式，2×（b+c）×（b+b+b）+2×（b+c）×a+2×a×（b+b+b）＝360，又3b＝2a，a＝3c，即可求出a、b、c的值进而可以求得小正方体的表面积．【解答】解：根据分析，设小长方体的长为a，宽为b，高为c，如下图所示，则有：3b＝2a，a＝3c故大长方体的表面积＝2×（b+c）×（b+b+b）+2×（b+c）×a+2×a×（b+b+b）＝360⇒3b2+3bc+4ab+ac ＝180又3b＝2a，a＝3c，可解得：a＝6，b＝4，c＝2，则一个小长方体的表面积是：2×6×4+2×6×2+2×4×2＝88平方厘米．故答案是：88平方厘米．14．（2015•创新杯）如图，在一个棱长40厘米的正方体的上、下两个底面的正中间，各有一个直径为6厘米的圆孔，孔深15厘米，则这个几何体的表面积是10165.2平方厘米，体积是63152.5立方厘米．（π取3.14）【分析】表面积比原来正方体的表面积多了两个圆柱的侧面积，体积比原来的正方体少了两个圆柱的体积．【解答】解：正方体的表面积40×40×6＝9600（平方厘米）一个圆柱的侧面积6×3.14×15＝282.6（平方厘米）这个几何体的表面积9600+282.6×2＝10165.2（平方厘米）正方体的体积40×40×40＝64000（立方厘米）圆柱的半径6÷2＝3（厘米）两个圆柱的体积3.14×3×3×15×2＝847.8（立方厘米）几何体的体积64000﹣847.9＝63152.2（立方厘米）故填10165.2和63152.515．（2016•其他杯赛）将表面积分别为150平方分米、54平方分米、96平方分米的三个正方体铁块熔铸成一个大正方体铁块，这个大正方体铁块的表面积是216平方分米．【分析】根据正方体的特征，它的12条棱的长度都相等，6个面的面积都相等；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；已知三个正方体的表面积分别是54平方分米、96平方分米、150平方分米，先分别求出三个正方体的棱长，把它们熔铸成一个大的正方体铁块，体积不变，由此再求三个正方体的体积之和即可．【解答】解：54÷6＝9（平方分米），因为：3×3＝9，所以：棱长是3分米；96÷6＝16（平方分米），因为：4×4＝16，所以：棱长是4分米；150÷6＝25（平方分米），因为：5×5＝25，所以：棱长是5分米；3×3×3+4×4×4+5×5×5＝27+64+125＝216（立方分米）；因为：6×6×6＝216，所以：大正方体的棱长是6分米；6×6×6＝216（平方分米）；故答案为：216．16．（2016•陈省身杯）如图，用6个完全相同的小正方体组成了一个长方体，如果每个小正方体的表面积均为48平方厘米，那么整个长方体的表面积为208平方厘米．【分析】每个小正方体的表面积均为48平方厘米，则每个面的面积是48÷6＝8平方厘米；用6个完全相同的小正方体组成了一个长方体，减少了2×5＝10面，所以还剩下6×6﹣10＝26个面，然后再乘每个面的面积即可．【解答】解：48÷6＝8（平方厘米）8×（6×6﹣5×2）＝8×26＝208（平方厘米）答：整个长方体的表面积为208平方厘米．故答案为：208．17．（2012•其他杯赛）一块正方体木块棱长为8厘米，从上面向下挖一个棱长为2厘米的小正方体（如图）后，余下部分的表面积是400平方厘米．【分析】根据题意，并结合正方体的切割特点可知：挖去一个棱长为2厘米的小正方体后，增加了4个侧面的面积，然后根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出正方体的表面积，然后加上4个边长为2厘米的正方形的面积即可．【解答】解：8×8×6+2×2×4＝384+16＝400（平方厘米）故答案为：400．18．（2014•希望杯）如图，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是90．【分析】求这个几何体的表面积，就要数出这个图形中小正方体露在外面的面数，从前、后、左、右、上、下方向上来数面的个数，然后用一个面的面积乘面的个数即可．【解答】解：从前、后、左、右、上、下方向，看到的面的个数分别为：14、14、16、16、15、15．表面积是：1×1×（14+14+16+16+15+15）＝1×90＝90．答：这个几何体的表面积（含底面积）是90．故答案为：90．三．解答题（共10小题，满分46分）19．（4分）从一个棱长为4厘米的正方形的每个面的中心位置分别挖去一个底面半径为1厘米、高为1.5厘米的圆柱．求挖去后的图形的表面积是多少平方厘米？【分析】每挖去一个圆柱，表面积就增加一个圆柱的侧面积，由题意可知，挖的四个圆柱没有接触．【解答】解：4×4×6+3.14×1×2×1.5×4＝96+37.68＝133.68（平方厘米）答：挖去后的图形的表面积是133.68平方厘米．20．（4分）从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？【分析】图1剩下部分的表面积比原来正方体的表面积减少了两个边长是2厘米的小正方形的面积；图2剩下部分的表面积比原来正方体的表面积增加了两个长是10厘米，宽是2厘米的长方形面积，同时又减少了两个边长是2厘米的小正方形的面积；图3剩下部分的表面积比原来正方体的表面积增加了四个长是10厘米，宽是2厘米的长方形的面积，再减去两个边长是2厘米的小正方形的面积，据此解答即可．【解答】解：图1：10×10×6﹣2×2×2＝592（平方厘米）图2：10×10×6+10×2×2﹣2×2×2＝632（平方厘米）图3：10×10×6+10×2×4﹣2×2×2＝672（平方厘米）21．（4分）用棱长是1厘米的立方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【分析】这个图形的表面积等于露在外面的面的面积，只要求出分别从正面、侧面、上面看到的面的个数，据此解答即可．【解答】解：从正面可以看到：2+2+3＝7（个）从左面可以看到：2+2+3＝7（个）从上面可以看到：3+3+3＝9（个）所以这个图形的表面积是：（7+7+9）×2×1×1＝46（平方厘米）答：这个图形的表面积是46平方厘米．22．（4分）（2016•华罗庚金杯）如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有16个面；从下面看有16个面；从前面看有10个面；从后面看有10个面；从左面看有10个面；从右面看有10个面．由此即可解决问题．【解答】解：图中几何体露出的面有：10×4+16×2＝72（个）所以这个几何体的表面积是：1×1×72＝72（平方米）答：这个立体图形的表面积等于72平方米．23．（5分）有一个长方体的铁块，这个铁块正好可以锯成三个正方体的铁块，表面积会增加20平方厘米，那么，这个长方体铁块原来的表面积是多少？【分析】把一个长方体木块正好横锯成三个大小相等的小正方体，切了2次，增加了4个小正方形的面积，增加了20cm2，用“20÷4”求出一个小正方形的面积，可以把原来的长方体的表面积理解为是14个小正方形面的面积之和，进而求出14个小正方形的面积之和即可．【解答】解：（20÷4）×（6×3﹣4）＝5×14＝70（平方厘米）答：原来长方体的表面积是70平方厘米．24．（5分）一个长方体，如果长减少2cm，则体积减少80cm3；如果宽增加3cm，则体积增加150cm3；如果高增加4cm，则体积增加320cm3．原来这个长方体的表面积是多少？【分析】根据题意，长方体的体积＝长×宽×高，一个长方体，如果长减少2cm，则体积减少80cm3，则宽×高即左右侧面的面积是80÷2＝40cm2，如果宽增加3cm，则体积增加150cm3，则长×高即前后面的面积是150÷3＝50cm2，如果高增加4cm，则体积增加320cm3，则长×宽即上下侧面的面积是320÷4＝80cm2，所以根据长方体的表面积＝（长×宽+宽×高+长×高）×2，据此回答．【解答】解：宽×高：80÷2＝40（cm2）长×高：150÷3＝50（cm2）长×宽：320÷4＝80（cm2）表面积：（40+50+80）×2＝340（cm2）答：这个长方体的表面积是340cm2．25．（5分）（2012•奥林匹克）如图所示，有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀．切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体的表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的八个小长方体的表面积之和是752平方厘米．那么在原来长方体的6个面中，面积最小的面是多少平方厘米？【分析】切完三刀之后，表面积之和是原来大长方体表面积的2倍，所以原来的大长方体的表面积是：752÷2＝376，切完第一刀，增加的两个面的面积是472﹣376＝96平方厘米，一个面的面积是96÷2＝48平方厘米；切完第二刀，又增加的两个面的面积是632﹣472＝160，一个面的面积是160÷2＝80平方厘米；切完第三刀，又增加两个面的面积是752﹣632＝120平方厘米，一个面的面积是120÷2＝60平方厘米，然后比较即可．【解答】解：752÷2＝376（平方厘米）（472﹣376）÷2＝48（平方厘米）（632﹣472）÷2＝80（平方厘米）（752﹣632）÷2＝60（平方厘米）48＜60＜80答：在原来长方体的6个面中，面积最小的面是48平方厘米．26．（5分）（2012•奥林匹克）欧欧收到一个长方体礼物盒，如果礼物盒的长增加4厘米，则体积增加80立方厘米；如果宽增加6厘米，则体积增加180立方厘米；如果高增加8厘米，则体积增加192立方厘米．请问：这个长方体的表面积是多少平方厘米？【分析】根据题意，用增加的体积除以增加的长、宽、高可得对应的三种面的面积，然后再用三个面积和乘2就是表面积．【解答】解：80÷4＝20（平方厘米）180÷6＝30（平方厘米）192÷8＝24（平方厘米）（20+30+24）×2＝74×2＝148（平方厘米）答：这个长方体的表面积是148平方厘米．27．（5分）（2016•希望杯）如图所示，图①由1个棱长为1的小正方体堆成，图②由5个棱长为1的小正方体堆成，图③由14个棱长为1的小正方体堆成，按照此规律，求：（1）图⑥由多少个棱长为1的小正方体堆成？（2）图⑩所示的立体图形的表面积．【分析】（1）先找到小正方体个数的规律，不难求出图⑥的正方体的个数；（2）先推测出图⑩所示的立体图形的小正方体的个数，再求表面积．【解答】解：（1）根据观察，图①中有12小正方体；图②有1+22个小正方体；图③有1+22+32个小正方体；图④有1+22+32+42个小正方体；图⑤有1+22+32+42+52个小正方体；图⑥有1+22+32+42+52+62＝91个小正方体，故答案是：91．（2）堆积体的表面积包括：前后2面、左右2面和上下2面．图⑩中有12+22+32+42+52+62+72+82+92+102＝385个小正方体，表面积为：2×（1+2+3+…+10）+2×（1+2+3+…+10）+2×10×10＝420．故答案为：420．28．（5分）将一个表面积为30cm2的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，求大长方体的表面积．【分析】正方体的每个面面积为30÷6＝5平方厘米，切开后增加了两个面，又拼成一个长方体后正好减少了一个面，所以最后相当于增加了一个面，表面积为30+5＝35平方厘米．【解答】解：30÷6＝5（平方厘米）30+5＝35（平方厘米）答：这个大长方体的表面积是35平方厘米．。
2022-2023学年小学六年级奥数典型题测评卷14《等积变形》(解析版)
【六年级奥数举一反三—全国通用】测评卷14《等积变形》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）1．（2014•迎春杯）如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米．那么大正六边形的面积是（）平方厘米．A．240 B．270 C．300 D．360【分析】按题意，显然可以将图进行分割，分割后阴影部分有六个面积相等的小正六边形，而空白部分是3个面积相等的小正六边形，利用面积之比不难求得大正六边形的面积．【解答】解：如图所示，将图分割成面积相等的小正三角形，显然，图中的空白部分的面积和等于3个小正六边形．而阴影部分由6个小正六边形组成，所以，大正六边形是由9个小正六边形组成的．一个小正六边形的面积为：180÷6＝30（平方厘米），大正六边形的面积为：30×9＝270（平方厘米），故选：B．2．（2014•迎春杯）如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是（）A．25 B．40 C．49 D．50【分析】按题意，将图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，不难求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如下图所示，图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，S＝142÷4＝49故选：C．3．（2006•创新杯）图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为10，6，则图中阴影部分面积为（）A．42 B．40 C．38 D．36【分析】由图意可知：阴影部分的面积就等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，利用正方形和三角形的面积公式即可求解．【解答】解：10×10+6×6﹣6×（10+6）÷2﹣10×10÷2＝100+36﹣48﹣50＝38答：阴影部分的面积是38．故选：C。
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5.
x1 x2 x3 x4 x5 7 有________组 2 页，共 4 页
学而思培优
10. 已知最简分数
a b a b , 满足 2.3 ，求 a b 的所有可能值之和． 5 7 5 7
第 3 页，共 4 页
第 4 页，共 4 页
29 2 cm ， 34
A G M B H
F O N
D
一、填空题． （每题 10 分，共 80 分）
1.
E
26 41 47 39 71 ________ ． 15 24 28 56 60
C
7.
在 1 至 2100 的所有自然数中，与 210 互质的数之和等于________．
2.
14. 是否存在连续若干个自然数，满足其立方之和等于： （1）2014？ （2） 20142015 ？ 12. 在一个圆周上等距离分布着 n 个点，将所有点连线形成若干个以圆周上的点为顶点的封闭图形，再任意将其中 某些点染成红色，使所有的封闭图形中存在以四个红点为顶点的正方形．已知当 n 取某数时，至少要将 400 个 点染成红色才能保证达成要求，请求出 n 的取值． 若存在，请说明这些自然数满足的条件；若不存在，请说明理由？
学而思培优
2015 年第五届“学而思杯”
六年级杯赛 命题人：邹家意
总分： 150 分 时间： 90 分钟
6.
下图中， E、F、G、H 为正方形 ABCD 四条边上的点，三角形 GBM 的面积比三角形 CNE 的面积多 且 CD 2DE 3DF 4 AG 5BH ．那么正方形 ABCD 的面积等于 ________ cm 2 ．
若干个体积为 1 cm3 的小正方体木块平堆在地面上，其俯视图如（ 1） ，侧视图如（2） ，那么这堆木块的表面积 最多等于________ cm2 ． 如图，六边形 ABCDEF 中， AE EC, BC EC ， EF 平行于 AC , AEF ECD 90 ，
2 AE 3BC, SFEC 2SECD 6 , S四边形ABCE 20 ,则 S四边形ABDE ________ ．
8.
F
（ 1） （ 2）
A
E
3.
甲、乙两只桶装有酒，甲桶有酒 800 斤，酒精占比 17.92% ；乙桶有酒 1200 斤，酒精占比 59.37% ；那么，两 桶互相交换________斤才能使两桶酒的酒精占比相等．
B C
D
二、解答题． （每题 10 分，40 分）
4. 将长为 15 厘米的木棒截成长度为整数厘米的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有________ 种． 9. 一次数学竞赛，某校有 200 多人参加，成绩都是整数，其中 到 90 分．那么得分在 80 分至 89 分的有多少人？
三、解答题． （每题 15 分，共 30 分）
13. 任给 50 个互不相等的非零自然数，每一个数都不大于 425．证明：把这 50 个数两两相减（大减小）所得的所 有差中至少有 4 个相等．
11. 两块手表显示时间都采用二十四小时制（即显示范围为 0 时 0 分 0 秒至 23 时 59 分 59 秒） ，走时一快一慢， 快表比标准表每 2 小时快 3 分钟， 慢表比标准表每 7 小时慢 4 分钟． 现在把快表指示时间调成 9 点 5 分 0 秒， 慢表指示时间调成 11 点 1 分 0 秒，那么两块表第一次指示相同的时刻是多少？