最新概率论与数理统计期中考试试题1

概率论与数理统计期中考试试题1

一．选择题（每题4分，共20分）

1.设,,A B C 为三个随机事件，,,A B C 中至少有一个发生，正确的表示是（ ） A. ABC B. ABC C. A

B C D. A B C

2.一个袋子中有5个红球，3个白球，2个黑球，现任取三个球恰为一红，一白，一黑的概率为 ( ) A.

12 B. 14 C. 13 D. 15

3.设,A B 为随机事件，()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===，则()P A

B =（ ）

A ．0.7 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.4

4. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为2的泊松分布，则某一分钟恰有4次呼唤的概率为（ ）

A.

423e - B. 223e - C. 212e - D. 312

e - 5.若连续性随机变量2

(,)X N μσ，则X Z μσ

-= （ ）

A ．2(,)Z

N μσ B. 2(0,)Z N σ C. (0,1)Z

N D. (1,0)Z N

二. 填空题（每题4分，共20分）

6. 已知1

()2

P A =，且,A B 互不相容，则()P AB =

7. 老张今年年初买了一份为期一年的保险，保险公司赔付情况如下：若投保人在投保后一年内因意外死亡，则公司赔付30万元；若投保人因其他原因死亡，则公司赔付10万元；若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他原因死亡的概率为0.0050，则保险公司赔付金额为0元的概率为 8. 设连续性随机变量X 具有分布函数

0,1()ln ,11,x F x x x e x e

=≤

则概率密度函数()f x = 9. 设连续型随机变量2(3,2)X

N ，则{}2<5P X ≤=

(注: (1)=0.8413,(0.5)=0.6915φφ)

10. 设离散型随机变量X 的分布律为10120.20.30.10.4X

-?? ?

??

，则2

(1)Y X =-的分布

律为

三．解答题（每题8分，共48分）

11. 将9名新生随机地平均分配到两个班级中去，这9名新生中有3名是优秀生。求 （1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？ （2）3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？

12. 甲乙两人独立地射击同一目标，击中目标的概率分别为0.6，0.7，求下列各事件的概率： （1）两人都击中目标， （2）目标被击中， （3）恰有一人击中。

13. 将一枚硬币连掷三次，随机变量X 表示“三次中正面出现的次数”，求 （1）X 的分布律及分布函数 （2）{}{}5.5,13P X P X ≥<≤

14. 设连续型随机变量X 的概率密度为

,01()2,120,kx x f x x x ≤

=-≤

其他

（1）求常数k （2）求分布函数()F x （3）求32P X ??≤????

15. 设随机变量X 在[]2,5上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观测，试求至少有两次

观测值大于3的概率。

16. 设二维随机变量(),X Y 的联合概率密度函数为

,0(,)0,y e x y

f x y -?<<=?

?其他

（1） 分别求,X Y 的边缘密度函数(),()X Y f x f y ； （2） 判断,X Y 是否独立。

四．应用题（每题12分，共12分）

17. 病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8。若浇水则树死去的概率为0.15。有0.9的把握确定邻居会记得浇水。

(1)求主人回来树还活着的概率； （2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。

参考答案

1. D

2.B

3.A

4.B

5.C

6. 12

7. 0.9948

8. 1

,1()0,x e f x x ?≤

9. 0.5328

10. 01

40.10.70.2Y

?? ???

11.解：记A : 每个班级各分配到一名优秀生

B : 2名优秀生分配在同一个班级 因此

（1） 222642333

9633!9

()28C C C P A C C C ==， …………………………………………..4分 （2） 22264233396339

()56

C C C P B C C C ==. …………………………………………..8分

12. 解：记A ：甲击中，

B ：乙击中。

（1）()()()0.60.70.42P AB P A P B ==?= ………………………………..2分 （2）()()()()0.60.70.420.88P A B P A P B P AB =+-=+-= ………..5分 （3）()()()()0.60.30.40.700.46P AB

AB P AB P AB P AABB =+-=?+?-=

………………8分 13. 解：{},,,,,,,S HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT

=

因此X 的分布律为

012313318888X

?? ? ? ???

。 …………………………2分 当0x <时，

{}()0F x P X x =≤=

当01x ≤<时

{}{}1

()08

F x P X x P X =≤=== ……………………………3分

当12x ≤<时

{}{}{}1

()012

F x P X x P X P X =≤==+== …………………………4分

当23x ≤<时

{}{}{}{}7

()0128

F x P X x P X P X P X =≤==+=+== …………….5分.

当3x ≥时

{}{}{}{}{}()01231F x P X x P X P X P X P X =≤==+=+=+== …….6分

即

0,0

1

,0181

(),1227

,2381,3

x x F x x x x

（2）

{}{}{}{}{}5.51 5.51 5.5 5.51(5.5) 5.50P X P X P X P X F P X ≥=-<=-≤+==-+==

……….. 7分

{}1

13(3)(1)2P X F F <≤=-=

…………… 8分 14. 解：（1）因为

()120111

()2122

f x dx kxdx x dx k +∞

-∞

=+-=+=?

??， ………………2分

故 1k = …………… 3分

（2）当0x <时

()()0x

F x f t dt -∞

==?

……………………………. 4分

当01x ≤<时

2001

()()()()2

x

x

x

F x f t dt f t dt f t dt tdt x -∞

-∞

==+==?

?

?? …………….5分

当12x ≤<时

()0

11201011

()()()()()221

2

x

x x F x f t dt f t dt f t dt f t dt tdt t dt x x -∞

-∞

==++=+-=--?

?

???? ……………… 6分

当2x ≥时

120

1

2

()()()()()()1x

x

F x f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt -∞

-∞

==+++=?

?

??? ……7分

即

220,01

,012()121,1221,2x x x F x x x x x

（3）333197()21222248

P X F ??≤

==?-?-=???? ……………………………8分

15. 解：X 的概率密度为

1

,25

()3

0,x f x ?≤≤?=???其他 ………………………2分

记A :“对X 的观测值大于3”，即{}3A X =>，故

{}5

312

()333

P A P X dx =>==?

……………….4分 记B ：3次独立观测中观测值大于3的次数，则2

(3,)3

B b ， ………………….5分

故

{}{}23

233321220(2)2=333327P B P B P B C C ????≥==+=+= ? ?

???? ……………8分

16. 解：（1）当0x >时

()(,)y x X x

f x f x y dy e dy e +∞

+∞

---∞

=

==?

?， ……………2分

即 ,0

()0,0x X e x f x x -?>=?≤? ………………………3分

同理 ,0

()0,0

y Y ye y f y y -?>=?≤? ……………………….6分

（2） 因为

()()()(,)x y y X Y f x f y ye e f x y -+-=≠= ………………………………… 8分

故X 与Y 不独立。

17.解：记A ：树还活着；

B ：邻居记得给树浇水。 …………………………………..1分 则由题意可得

()0.9,()0.1,(|)0.15,(|)0.8P B P B P A B P A B ==== …………………..3分

（1）()(|)()(|)()0.785P A P A B P B P A B P B =+= …………………………7分 (2) ()(|)()

(|)0.3721()()

P AB P A B P B P B A P A P A ==- ………………………12分