分式的加法和减法——通分
分式的加法和减法——通分
是平路,第二条有1km的上坡路, 2km的下坡路,你在上坡路上
的骑车速度为v km/h, 在平路上的骑车速度为2 坡路上的骑车速度为3vkm/h,
vkm/h,
在你下能对这个
(1)当走第二条路时, 你从你家到学校需要多长时间? 结果进一步
(2)你走哪条路花费时间少? 少用多长时间？
化简吗？
示意图
3v
v1 2
，1 x2 - x
；
解 最简公分母是 x(x-1).
1 x
=
x-1 ， x( x -1)
1 x2 -
x
=
x(
1 x - 1)
.
( 2)
x
1 2 -4
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.
最简公分母是 2(x+2)(x-2).
1 x2 -4
=
2(
x
2 +2)(
x
-
2)
，
x 4-2x
=
x -2( x - 2)
=
-
2(x
x( x + 2) + 2)( x - 2)
.
小结
1、把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
2、确定最简公分母的一般步骤
（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们 的最小公倍数。
（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母 的式子都要选取。
（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的 式子中指数最大的。
（4）当分母是多项时，应先将各分母分解因式，再确定 最简公分母。
（5）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号 提取到分式前面。
作业
必做：同步作业相关习题 选做：预习异分母分式的加法和减法
分式的运算技巧
分式概念形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：（A,B,C为整式，且B、C≠0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
分式的加法和减法通分.doc
分式的加法和减法---- 通分一、教学目标1 、知识与技能目标： 使学生会进行异分母分式的通分。
2、过程与方法目标： 使学生经历探索异分母分式通分的过程， 培养学生归纳、总结、类比的能力。
3、情感态度与价值观目标： 鼓励学生积极主动的参与到“教”与“学”的双边活动中，通过研究解决问题的方法，培养学生大胆猜想，积极探究的学习态度，发展学生的思维能力和表达能力。
二、教学重难点教学重点：会确定异分母分式的最简公分母并对其进行通分。
教学难点：异分母分式的通分。
三、教学过程第一阶段：创设情境，引入新课幻灯片出示一个学生比较熟悉的路程应用题，鼓励学生自主解决。
从你家到学校两条路 , 每一个条路都是 km 其中第一条是平路 , 第二条有 km 的上3 . 1坡路, 2 km 的下坡路, 你在上坡路上的骑车速度为v km h , 在平路上的骑车速度为2/vkm h在下坡路上的骑车速度为3 vkm h 那么: (1) 当走第二条路时 , 你从你家到学校/ ,/ ,需要多长时间 ? (2) 你走哪条路花费时间少 ? 少用多长时间？示意图3vv122v这样，学生就得到了两道异分母分式加减运算的式子：（ 1）12 (h) v 3v（2） (1 2 )3(h).v 3v 2v得到结果，教师反问学生：你能对这个结果进一步化简吗？学生发现现有的知识无法解决这个问题，这时教师引出新课内容，板书课题，这样既能激发学生的好奇心，又能调动学生的学习兴趣。
第二阶段：合作探索，学习新知这一阶段分为 3 个环节：1、想一想：（1）异分母的分数如何加减？目的是引导学生复习回顾小学学习的分数的加减法的法则：先通分，把异分母分数化为同分母的分数，然后再加减。
（2）类比分数的加减法则，你能归纳出分式的加减法则吗？让学生思考并小组讨论，先让学生概括总结，教师指导补充：先通分，变为同分母的分式后再加减。
2、议一议：在分式中如何通分呢？让学生做一做：+ = , -= , +=，小组讨论怎样找各分母的最小公倍数。
分式运算的八种技巧
分式运算的八种技巧分式运算是数学中的一项基础知识，通过巧妙地运用一些技巧，可以简化分式的计算过程，提高计算的效率。
下面将介绍分式运算的八种技巧。
一、分式的通分当两个或多个分式进行加减运算时，需要先进行通分。
通分的目的是使分母相同，从而方便进行分式的加减运算。
二、分式的化简对于分子和分母同时包含因式的分式，可以通过因式分解进行化简。
化简后的分式通常更简洁、易于计算。
三、分式的约分对于分子和分母有公因式的分式，可以通过约分将其化简为最简形式。
约分可以简化计算过程，并且可以减小分子和分母的数字的大小，便于观察和把握。
四、分式的乘法和除法分式的乘法和除法相对简单，只需要将分子与分子相乘，分母与分母相乘即可。
当进行分数的除法运算时，可以将除法转化为乘法，将除法运算转化为分数的倒数，再进行乘法运算。
五、分式的加法和减法分式的加法和减法需要进行通分。
通分后，先对分子进行加减运算，再保持分母不变。
最后结果的分子分母可以进一步进行约分，化简为最简分数形式。
六、分式的分数化整数当分子大于分母时，可以进行分数化整数的运算。
将分子除以分母，得到一个整数，再将余数定为新的分子，保持分母不变，即可将分数化为带分数的形式。
七、小数转分数将小数转化为分数可以更方便地进行运算和比较。
通过将小数的小数位数与整数的数量级相匹配，将小数乘以适当的十的幂，然后化成最简分数即可。
八、分式的比较大小对两个分式进行比较大小的时候，可以化为相同分母的分数，然后比较分子的大小。
若分子相同，再比较分母的大小。
通过掌握这些分式运算的技巧，可以更加熟练地进行分式的计算，提高计算的准确性和效率。
同时，可以将复杂的分式化简为简单形式，便于理解和运算。
八年级下册数学分式的加减法
八年级下册数学分式的加减法摘要：一、分式的基本概念1.分式的定义2.分式的组成部分3.分式的基本性质二、分式的加减法1.分式加法的规则2.分式减法的规则3.分式加减混合运算的顺序三、分式的加减法实际应用1.实际问题中的分式加减法2.利用分式的加减法解决实际问题正文：一、分式的基本概念分式是数学中一种常见的表达形式，它由分子和分母组成，用斜杠“/”表示。
分式的定义是：如果A 和B 是两个整式，并且B 不等于零，那么我们用A 除以B 所得到的商A/B 就叫做分式。
分式的组成部分包括分子、分母和分数线，其中分子和分母都是整式，分数线表示分式的开始和结束。
分式的基本性质有：分子和分母同时乘以或除以一个非零数，分式的值不变；分子和分母同时加上或减去一个相同的数，分式的值不变。
二、分式的加减法分式的加减法是数学中常见的运算，其规则如下：1.分式加法：对于两个分式A/B 和C/D，如果它们的分母相同，那么它们的和就是(A+C)/B；如果分母不同，需要将它们通分，然后将分子相加，分母保持不变。
2.分式减法：对于两个分式A/B 和C/D，如果它们的分母相同，那么它们的差就是(A-C)/B；如果分母不同，需要将它们通分，然后将分子相减，分母保持不变。
3.分式加减混合运算的顺序：在没有括号的情况下，先进行乘除运算，再进行加减运算。
如果有括号，先进行括号内的运算。
三、分式的加减法实际应用分式的加减法在实际问题中有很多应用，例如在物理、化学、地理等学科中，常常需要用分式的加减法来解决问题。
例如，在化学中，可能会遇到需要将两种物质的摩尔质量相加或相减的问题，这时候就需要用到分式的加减法。
在解决实际问题时，我们需要先将问题抽象成数学模型，然后根据问题中给出的条件，选择合适的数学方法，包括分式的加减法，来解决问题。
以上就是八年级下册数学分式的加减法的内容。
分式的加减法是数学中重要的基本概念和基本运算，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
分式运算公式
分式运算公式分式是数学中常见的一种表示形式，由分子和分母组成的比值。
在运算中，我们常常需要对分式进行加减乘除等操作。
下面将介绍分式运算的公式以及具体的计算方法。
1. 分式加法公式：a/b + c/d = (ad + bc) / bd这个公式表示了两个分式相加后的结果。
要进行分式的加法，首先将两个分式的分母进行通分，然后将分子相加，最后将得到的结果的分子和分母写在一个新的分式中即可。
2. 分式减法公式：a/b - c/d = (ad - bc) / bd与分式加法公式类似，分式的减法也需要先通分，然后将分子相减，最后得到的结果写在一个新的分式中。
3. 分式乘法公式：(a/b) * (c/d) = ac / bd分式的乘法只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘，然后将结果写在一个新的分式中。
4. 分式除法公式：(a/b) / (c/d) = ad / bc分式的除法可以转化为乘法，即将除法转化为被除数乘以倒数的形式，然后按照分式乘法的计算方法进行运算。
在进行分式运算时，我们还需要注意以下几点：1. 通分：在分式加法和减法中，通分是必要的。
要通分，需要找到两个分数的最小公倍数作为新分数的分母，并将分子按比例扩大或缩小。
2. 约分：在分式的结果中，如果分子和分母有公因数，可以进行约分化简，将它们的最大公因数约去。
3. 分母为零：在运算时，分母不能为零，否则分式将无意义。
下面通过一些例子来演示分式运算的具体过程：例题1：计算 1/2 + 1/3解：首先将两个分数进行通分，分母取2和3的最小公倍数6，将分子按比例扩大或缩小，得到 3/6 和 2/6。
然后将分子相加，得到 5/6，所以结果为 5/6。
例题2：计算 3/4 * 2/5解：将分子相乘，分母相乘，得到 6/20。
然后可以进行约分，将分子和分母同时除以它们的最大公因数2，得到 3/10，所以结果为 3/10。
通过以上的分式运算公式和例子，我们可以看到，掌握了分式的运算方法，就能够轻松地进行分式的加减乘除等运算。
分式的四则运算
分式的四则运算分式是数学中常见的一种表达形式，可以用于表示一部分与整体的比例关系。
在数学运算中，我们同样可以对分式进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分式的四则运算进行详细介绍。
一、分式的加法分式的加法可以通过以下步骤进行：步骤1：将两个分式的分母相同，如果分母不同，则需要进行通分。
通分的方法是将两个分母的最小公倍数作为共同的分母。
步骤2：将通分后的两个分式的分子相加，并保持分母不变。
步骤3：将相加后的分子化简为最简形式，即求分子与分母的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
举例说明：假设有两个分式：a/b 和 c/d。
首先判断分母是否相同，如果不同，则需要进行通分。
假设最小公倍数为lcm(b, d)。
通分后的分式为：a*lcm(d/b) / b*lcm(d/b) 和 c*lcm(b/d) / d*lcm(b/d)。
将通分后的分子相加，得到：(a*lcm(d/b) + c*lcm(b/d)) /(b*lcm(d/b))。
最后化简为最简形式。
二、分式的减法分式的减法与加法类似，可以通过以下步骤进行：步骤1：将两个分式的分母相同，如果分母不同，则需要进行通分。
步骤2：将通分后的两个分式的分子相减，并保持分母不变。
步骤3：将相减后的分子化简为最简形式。
举例说明：假设有两个分式：a/b 和 c/d。
首先判断分母是否相同，如果不同，则需要进行通分。
假设最小公倍数为lcm(b, d)。
通分后的分式为：a*lcm(d/b) / b*lcm(d/b) 和 c*lcm(b/d) / d*lcm(b/d)。
将通分后的分子相减，得到：(a*lcm(d/b) - c*lcm(b/d)) / (b*lcm(d/b))。
最后化简为最简形式。
三、分式的乘法分式的乘法可以通过以下步骤进行：步骤1：将两个分式的分子相乘，同时将两个分式的分母相乘。
步骤2：将相乘后的分子和分母化简为最简形式。
举例说明：假设有两个分式：a/b 和 c/d。
分式的加法和减法运算
分式的加法和减法运算分式是数学中常见的表示形式，它由两个数的比值构成，其中一个数称为分子，另一个数称为分母。
在分式的运算中，我们需要掌握分式的加法和减法运算规则。
下面将详细介绍分式的加法和减法运算。
一、分式加法运算两个分式的加法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相加，分母保持不变。
例如，计算1/3 + 2/3 = 3/3，即分子相加得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相加得到结果。
例如，计算1/4 + 2/3，首先找到4和3的最小公倍数为12，然后将1/4乘以3/3得到3/12，将2/3乘以4/4得到8/12，最后3/12 + 8/12 = 11/12。
在分式加法运算中，需要注意分子相加，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
二、分式减法运算两个分式的减法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相减，分母保持不变。
例如，计算5/6 - 2/6 = 3/6，即分子相减得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相减得到结果。
例如，计算3/5 - 1/3，首先找到5和3的最小公倍数为15，然后将3/5乘以3/3得到9/15，将1/3乘以5/5得到5/15，最后9/15 - 5/15 =4/15。
在分式减法运算中，需要注意分子相减，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
综上所述，分式的加法和减法运算需要根据分母是否相同来进行不同的处理。
如果分母相同，直接将分子相加或相减；如果分母不同，需要进行通分操作，然后将分子相加或相减。
掌握了分式的加法和减法运算规则，我们就可以灵活运用分式进行数学计算，解决实际问题。
通过以上对分式的加法和减法运算规则的解释，相信您已经掌握了相关知识，并能够熟练进行分式的加减运算。
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分式的加法和减法
---- 通分
一、教学目标
1、知识与技能目标：使学生会进行异分母分式的通分。
2、过程与方法目标：使学生经历探索异分母分式通分的过程，培养学生归纳、总结、类比的能力。
3、情感态度与价值观目标：鼓励学生积极主动的参与到“教”与“学”的双边活动中，通过研究解决问题的方法，培养学生大胆猜想，积极探究的学习态度，发展学生的思维能力和表达能力。
二、教学重难点
教学重点：会确定异分母分式的最简公分母并对其进行通分。
教学难点：异分母分式的通分。
三、教学过程
第一阶段：创设情境，引入新课
幻灯片出示一个学生比较熟悉的路程应用题，鼓励学生自主解决。
从你家到学校两条路,每一个条路都是 3km . 其中第一条是平路,第二条有1km 的上坡路, 2km 的下坡路,你在上坡路上的骑车速度为v km /h , 在平路上的骑车速度为2 vkm /h , 在下坡路上的骑车速度为3vkm /h , 那么: (1)当走第二条路时, 你从你家到学校需要多长时间?
(2)你走哪条路花费时间少? 少用多长时间？
这样，学生就得到了两道异分母分式加减运算的式子：
（1）
（2） 得到结果，教师反问学生：你能对这个结果进一步化简吗？
)(32h v
v +1).(23321(h v
v v -+
学生发现现有的知识无法解决这个问题，这时教师引出新课内容，板书课题，这样既能激发学生的好奇心，又能调动学生的学习兴趣。
第二阶段：合作探索，学习新知
这一阶段分为3个环节：
1、想一想：
（1）异分母的分数如何加减？
目的是引导学生复习回顾小学学习的分数的加减法的法则：先通分，把异分母分数化为同分母的分数，然后再加减。
（2）类比分数的加减法则，你能归纳出分式的加减法则吗？
让学生思考并小组讨论，先让学生概括总结，教师指导补充：先通分，变为同分母的分式后再加减。
2、议一议：
在分式中如何通分呢？
让学生做一做：+= , - = , + = ，小组讨论怎样找各分母的最小
公倍数。
再自学课本25页”动脑筋”：如何把分式，通分？并理解如何找最简公分母。
让学生在讨论中体会怎样在运算中通分，通过交流讨论找到解决问题的策略和方法。
从而引出最简公分母的定义：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母。
3、练一练：
通分：（1），
（2），
学生自主完成，教师引导学生总结概括通分的一般步骤：
1.找最简公分母。
2.分别将原来的各分式的分子和分母同乘一个适当的整式。
第三阶段：例题练习，应用新知
让学生在知识的及时运用中，初步体验学习的快乐。
例题分为2个层次：
例题讲解:
例1：通分（1），
（2），，
教师引导学生口述过程,让学生进一步理解怎样找最简公分母，怎样将各分式通分。
巩固练习一
学生自主完成课本27页练习第1题
先让学生独立尝试，在学生解决问题的过程中教师进行巡视，并找出有代表性解法的同学板书。
例2：通分（1），
（2），
教师引导学生怎样找分母是多项式的分式的最简公分母，怎样将各分式通分。
巩固练习二
做课本27页练习第2题，提升学生实际运用的能力。
第四阶段：全课总结，畅谈收获
让学生小组讨论，再次归纳总结本节课的重点：
（1）本节课的主要内容是：异分母分式的通分。
（2）通分前先确定最简公分母，然后分别将原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，将其化为同分母的分式。
第五阶段：布置作业
根据学生的个体差异，采用分层的方法，必做与选做相结合，以满足不同层次学生学习的需要。
而且通过选做题，让学有余力的学生提前预习满足他们对知识的需求，并为下节课“异分母分式的加法和减法”的学习奠定基础。
必做：同步作业相关习题
选做：预习异分母分式的加法和减法。