江苏省高三上学期期末数学试卷
高三数学上学期期末考试试题扫描版
江苏省扬州市高三数学上学期期末考试试题（扫描版）扬州市2021—2021学年度第一学期期末调研测试试题 高 三 数 学 参 考 答 案 第一部分1. {}0 2．12-3. R x ∈∃,0322<-+x x 4. 13 5. 156.7. -2 8. 17 9. 221412x y -= 10.(][)12-∞-+∞，，11.112.12 13. [2,3] 14. e 14.解：点(0,1)A ，(1,0)B ，设(,log )a P x x ，则()()1,1,log 1log 1a a AB AP x x x x ⋅=-⋅-=-+．依题()f x log 1a x x =-+在(0,)+∞上有最小值2且(1)2f =，故1x =是()f x 的极值点，即最小值点．1ln 1'()1ln ln x a f x x a x a -=-=，若01a <<，'()0f x >，()f x 单调增，在(0,)+∞无最小值；故1a >，设'()0f x =，则log a x e =，当(0,log )a x e ∈时，'()0f x <，当(log ,)a x e ∈+∞时，'()0f x >，从而当且仅当log a x e=时，()f x 取最小值，所以log 1a e =，a e=．15⑴由图，212,()1433T A ==--=，得4T =，2πω=，则()2sin()26f x x ππ=+， ……3分 由22()2sin()2323f πϕ=⋅+=，得sin()13πϕ+=，所以2()32k k Z ππϕπ+=+∈， 又02πϕ<<，得6πϕ=，所以()2sin()26f x x ππ=+； ……7分⑵(1)()2sin()2cos()sin()2626212y f x f x x x x ππππππ=-+=+-+=-， ……10分 因为15[,]22x ∈，故762126x ππππ≤-≤，则1sin()12212x ππ-≤-≤，即()f x ≤≤， 所以函数(1)()y f x f x =-+的值域为[． ……14分16⑴解：E 为AC 中点．理由如下： 平面PDE 交AC 于E ，即平面PDE平面ABC DE =，而//BC 平面PDE ，BC ⊂平面ABC ，所以//BC DE ， ……4分PACDE在ABC ∆中，因为D 为AB 的中点，所以E 为AC 中点； ……7分 ⑵证：因为PA PB =，D 为AB 的中点，所以AB PD ⊥， 因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD平面ABC CD =，在锐角PCD ∆所在平面内作PO CD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABC ，…10分 因为AB ⊂平面ABC ，所以PO AB ⊥ 又POPD P =，,PO PD ⊂平面PCD ，则AB ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥． ……14分 17.解⑴因为BC 过椭圆M 的中心，所以22BC OC OB ==，又,2AC BC BC AC ⊥=，所以OAC ∆是以角C 为直角的等腰直角三角形， ……3分则(,0),(,),(,),2222a a a a A a C B AB --=，所以2222()()221a a a b -+=，则223a b =，所以222,c b e ==； ……7分⑵ABC ∆的外接圆圆心为AB 中点(,)44a aP，半径为4a ，则ABC ∆的外接圆为：2225()()448a a x y a -+-= ……10分 令0x =，54a y =或4a y =-，所以5()944a a--=，得6a =，92=得6a =）所以所求的椭圆方程为2213612x y +=． ……15分18⑴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立坐标系．设(,)P m n ，PABCD O∵02πθ<<，tan θ=cos 14θ=，sin 14θ=，则9sin 2m OP θ=⋅=，cos n OP θ=⋅=， ……4分 依题意，AB ⊥OA ，则OA=92，OB=2OA=9，商业中心到A 、B 两处的距离和为13.5km ． ……7分⑵方式1：当AB 与x 轴不垂直时，设AB：9()2y k x =-，①令0y =，得92A x =；由题意，直线OB的方程为y =，②解①②联立的方程组，得B x =，∴2B OB x ===∴92y OA OB =+=++0A x >，0B x >，得k >0k <． ……11分'y =='0y =，得k =，当k <时，'0y <，y是减函数；当0k <<时，'0y >，y 是增函数，∴当k =时，y 有极小值为9km；当k>'0y <，y 是减函数，结合⑴知13.5y >km ． 综上所述，商业中心到A 、B 两处的距离和最短为9km ，此时OA=6km ，OB=3km ，方式2：如图，过P 作PM//OA 交OB 于M ，PN//OB 交OA 于N ，设∠BAO=α，△OPN 中sin(90)sin(30)sin120PN ON OPθθ︒==--，得PN=1，ON=4=PM ，△PNA 中∠NPA=120°-α∴sin sin(120)PN NA αα︒=-得sin(120)sin NA αα︒-= 同理在△PMB 中，sin sin(120)BM PM αα︒=-，得4sin sin(120)MB αα︒=-， sin(120)4sin 1459sin sin(120)y OA OB αααα︒︒-=+=+++≥+=-， ……13分当且仅当sin(120)4sin sin sin(120)αααα︒︒-=-即sin(120)2sin αα︒-=即tan α=时取等号．方式3：若设点()B m ，则AB9292y x m -=-，得4(4,0)21A m +-，∴4424211492121OA OB m m m m +=++=-+++≥--， ……13分 当且仅当42121m m -=-即32m =时取等号．方式4：设(,0)A n ，AB：92x nn -=-，得2142Bx n =+-， 442441(4)5944B OA OB n x n n n n +=+=-+++=-++≥--， ……13分当且仅当444n n -=-即6n =时取等号．答：A 选地址离商业中心6km ，B 离商业中心3km 为最佳位置． ……15分19⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a+++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， ……1分 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--， ……3分故12015201520152014(1)2a a =+⨯⨯-，即112014(1)2a a =+⨯-，得1a =； ……4分（没有过程，直接写1a =不给分）⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q aa ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=， ……6分①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112mm m a aa -+=+，解得：1a =，不合题意；②若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-（舍1）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m ma a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……9分综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ……10分⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+，211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n na a a a a a ++++++=-+=+， ……12分当n 是偶数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+，当n 是奇数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式， ……15分综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数． ……16分20.⑴解: (0)1f =，'()xf x e =，'(0)1f =， (0)g c =，'()2g x ax b =+，'(0)g b =， ……2分依题意：⎧⎨⎩(0)(0)'(0)'(0)1f g f g ==-，所以⎧⎨⎩1,1c b ==-； ……4分⑵解: 1a c ==，0b =时，2()1g x x =+， ……5分 ①0x =时，(0)1f =，(0)1g =，即()()f x g x = ②0x <时，()1f x <，()1g x >，即()()f x g x <③0x >时，令2()()()1x h x f x g x e x =-=--,则'()2xh x e x =-. 设()'()=2x k x h x e x =-，则'()=2xk x e -， 当ln 2x <时, '()0,()k x k x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()k x k x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()k x 取得极小值, 且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 40k e =-=->因此,当0x >时, ()(0)0h x h >>,即()g()f x x >. ……9分 综上，当0x <时,()()f x g x <；当0x =时, ()()f x g x =；当0x >时, ()g()f x x >． ……10分 ⑶证法一：①若01a <≤，由⑵知，当0x >时, 21xe x >+.即22xe x ax >≥， 所以，01a <≤时，取0m =，即有当()x m ∈+∞，，恒有2x e ax >.②若1a ≥,()g()f x x >即2x e ax >，等价于2ln()x ax >即2ln ln x x a >+ 令()2ln ln t x x x a =--,则22'()1x t x x x -=-=.当2x >时,'()0,()t x t x >在(2,)+∞内单调递增. 取20x ae =,则202x e ≥>，所以()t x 在0(,)x +∞内单调递增.又2220()2ln ln 43ln 743ln t x e a e a a e a a a a =--=-->--4(1)3(ln )0a a a =-+->即存在2m ae =,当()x m ∈+∞，时，恒有()()f x g x >. ……15分综上，对任意给定的正数a ，总存在正数m ，使得当()x m ∈+∞，，恒有()()f x g x >. ……16分证法二：设2()x e h x x =，则3(2)'()x e x h x x -=，当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调减，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调增，故()h x 在(0,)+∞上有最小值，2(2)4e h =， ……12分 ①若24e a <，则()2h x >在(0,)+∞上恒成立， 即当24e a <时，存在0m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >； ②若24e a =，存在2m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >； ③若24e a >，同证明一的②， ……15分 综上可得，对任意给定的正数a ，总存在m ,当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >. ……16分第二部分（加试部分） 21．A ．设(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点(,)P x y '''则有10102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥' ⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩……5分 又因为点(,)P x y '''曲线222:14x C y +=上， 故22()()14x y ''+=，从而22()()142x y +=所以曲线1C 的方程是 224x y +=． ……10分B．由cos()4πρθ-=，得曲线1C 的直角坐标系的方程为10x y ++=, ……3分由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的普通方程为21(11)x y x +=-≤≤, ……7分 由2101x y x y ++=⎧⎨+=⎩，得220x x --=，即2x =（舍去）或1x =-，所以曲线1C 与曲线2C 交点的直角坐标为(1,0)-． ……10分22．在甲靶射击命中记作A ,不中记作A ；在乙靶射击命中记作B ,不中记作B ，其中221331(),()1,(),()1333444P A P A P B P B ==-===-=……2分 ⑴ξ的所有可能取值为0,2,3,4，则1111(0)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=，(2)())()()()()()()P P ABB P ABB P A P B P B P A P B P B ξ==+=+(131113634434448=⨯⨯+⨯⨯=，2(3)()3P P A ξ===，1339(4)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=．ξ的分布列为：1629023434848348E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ……7分⑵射手选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ,12931(3)34848P P ξ=≥=+=；21333133327(3)()()()4444444432P P P BBB P BBB P BB ξ=≥=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=, ……9分因为21P P >，所以应选择方案2通过测试的概率更大． ……10分23⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =，故满足条件的x 共有4个，分别为：004x =++，024x =++，104x =++，124x =++,它们的和是22． ……4分 ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；na 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -的分歧取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)nn n -个， ……6分 当a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，na 有1n -种取法，故nA 中所有含a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn --++++--=；同理，nA 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n--++++--⋅=⋅；nA 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n--++++--⋅=⋅；…… nA 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n nn----++++--⋅=⋅；当na 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故nA 中所有含na 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n+-+++-⋅=⋅； 所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n nn n n n n n nn+---+++++⋅；21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-． ……10分。
江苏省南通市2022-2023学年高三上学期期末考试 数学含答案
2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学（答案在最后）(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．1一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1. 已知集合A ＝{x ∈N |－1<x <3}，B ＝{x |x 2≤3}, 则A ∩B ＝( )A. {x |－1<x ≤3 }B. {x |0≤x ≤3 }C. {0，1}D. {1}2. (3 ＋i)(cos 60°－isin 60°)＝( ) A. －i B. 2C. 1－3 iD. 3 －i3. 已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(m ，1)，若|a ＋2b |＝|a －2b |，则m ＝( ) A. 32 B. －32 C. 23 D. －234. 已知一个正四棱台形油槽可以装煤油200 L ，若它的上、下底面边长分别为60 cm 和40 cm ，则它的深度约为( )A. 115 cmB. 79 cmC. 56 cmD. 26 cm5. 某城市地铁1号线从A 站到D 站共有6个站点．甲、乙二人同时从A 站上车，准备在B ，C ，D 站中的某个站点下车．若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为( )A. 14B. 13C. 23D. 346. 已知定义在R 上的函数f (x )的图象连续不间断，有下列四个命题： 甲：f (x )是奇函数； 乙：f (x )的图象关于点(2，0)对称； 丙：f (22)＝0; 丁；f (x ＋6)＝f (x ).如果有且仅有一个假命题，则该命题是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁7. 已知双曲线：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为M .若△MOF 的重心G 在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. 22B. 7C. 6D. 5 8. 已知a ＝e －1.1, b ＝12，c ＝1－ln (e －1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <a <bB. a <b <cC. a <c <bD. c <b <a二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是( )A. 数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的众数和第60百分位数都为5B. 样本相关系数r 越大，成对样本数据的线性相关程度也越强C. 若随机变量ξ服从二项分布B (8，34 )，则方差D (2ξ)＝6D. 若随机变量X 服从正态分布N (0，1)，则P (|X |＜12 )＝2P (X ＞12 )10. 已知函数f (x )＝sin ωx －3 cos ωx (ω>0)的最小正周期为π，则( )A. ω＝2B. 点(－5π6 ， 0)是f (x )图象的一个对称中心C. f (x )在(π3 ，11π12)上单调递减D. 将f (x )的图象上所有的点向左平移π3 个单位长度，可得到y ＝cos (2x －π6 )的图象11. 过直线l ：2x ＋y ＝5上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A, B ，则( ) A. 若直线AB ∥l ，则|AB |＝5 B. cos ∠APB 的最小值为35C. 直线AB 过定点(25 ，15 )D. 线段AB 的中点P 的轨迹长度为510π 12. 已知在三棱锥P ABC 中，P A ⊥PB, AB ⊥BC ，P A ＝PB ＝1, AB ＝BC, 设二面角P ABC 的大小为θ，M 是PC 的中点．当θ变化时，下列说法正确的是( )A. 存在θ，使得P A ⊥BCB. 存在θ，使得PC ⊥平面P ABC. 点M 在某个球面上运动D. 当θ＝π2 时， 三棱锥P ABC 外接球的体积为43 π三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. (x 2－x －2)5的展开式中含x 项的系数是________．14. 若抛物线x 2＝12y 上的一点P 到坐标原点O 的距离为27 ，则点P 到该抛物线焦点的距离为________．15. 已知直线y ＝ kx ＋b 是曲线y ＝ln (1＋x )与y ＝2＋ln x 的公切线，则k ＋b ＝________．16. 已知数列{a n }满足a n ＋1>a n >0，a 2n ＋1 ＝a n ＋1＋a n ，则首项a 1的取值范围是________；当a 1＝65 时，记b n ＝（－1）n a n －1 ，且k < i ＝12 023b i <k ＋1，则整数k ＝________．四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝3n －4. (1) 求证：{a n ＋3n －1}是等比数列； (2) 设数列{a n } 的前n 项和为S n ，求S n .18. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且3cos C ＝2sin A sin B. (1) 求sin Csin A sin B的最小值；(2) 若A ＝π6，a ＝7 ，求c 及△ABC 的面积．19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PBC.(1) 求证：AB ⊥BC ；(2) 若PA ＝AB ，M 为PC 上的点，当PC 与平面ABM 所成角的正弦值最大时，求PMPC 的值．20. (本小题满分12分)2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分7∶5战胜法国，夺得冠军，根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：① 两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；② 如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢(例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2∶0，则不需要再踢第5轮)；③ 若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．(1) 假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有35 的可能性将球扑出．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数X 的分布列和数学期望．(2) 现有甲、乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方0∶0战平，需要通过“点球大战”来决定冠军．设甲队每名队员射进点球的概率均为34 ，乙队每名队员射进点球的概率均为23，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．① 若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率； ② 求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以6∶5获得冠军的概率．21.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞1≥b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l(与x 轴不重合)交C 于M ，N 两点，且当M 为C 的上顶点时，△MNF 1的周长为8, 面积为837.(1) 求C 的方程；(2) 若A 是C 的右项点，设直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，k 1，k 2，求证：k(1k 1 ＋1k 2)为定值．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x －a （x ＋1）x －1 .(1) 当a ＝－1时，求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，求a 的取值范围，并证明1ln x 1＋a ＋1ln x 2＋a＜0.2022～2023学年高三年级模拟试卷(南通)数学参考答案及评分标准1. C2. D3. A4. B5. C6. D7. B8. C9. AC 10. ABD 11. BC 12. ACD 13. －80 14. 5 15. 3－ln 2 16. 0＜a 1＜2 －517. 解：(1) 由a n ＋1－2a n ＝3n －4，得a n ＋1＋3n ＋2＝2(a n ＋3n －1).(2分) 因为a 1＝1，所以a n ＋3n －1≠0，所以a n ＋1＋3（n ＋1）－1a n ＋3n －1 ＝2，(4分)所以{a n ＋3n －1}是等比数列，且公比为2.(5分) (2) 由a 1＝1，得a 1＋3×1－1＝3，所以a n ＋3n －1＝3×2n －1，即a n ＝3×2n －1－(3n －1).(7分) 所以S n＝3(1＋21＋22＋…＋2n －1)－[2＋5＋8＋…＋(3n －1)]＝3×1－2n1－2－n [2＋（3n －1）]2 ＝3(2n －1)－n （3n ＋1）2.(10分)18. 解：(1) 因为3cos C ＝2sin A sin B ，所以－3(cos A cos B －sin A sin B )＝2sin A sin B ，即sin A sin B ＝3cos A cos B . 因为cos A cos B >0，所以tan A tan B ＝3.(2分) 所以sin C sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin A sin B ＝tan A ＋tan B tan A tan B ＝1tan A ＋1tan B≥21tan A ·1tan B ＝233，(4分) 当且仅当tan A ＝tan B ＝3 时，等号成立，所以sin C sin A sin B 的最小值为233 .(6分)(2) 因为A ＝π6 ，由(1)得，tan B ＝3tan A ＝33 .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝32114 ，cos B ＝714 ，(8分)所以sin C ＝sin (B ＋π6 )＝32 sin B ＋12 cos B ＝5714 .由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin Csin A＝5，(10分)所以△ABC 的面积为12 ac sin B ＝12 ×7 ×5×32114 ＝1534 .(12分)19. 解：(1) 如图，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E .因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB ⊂平面PBC ＝PB ，AE ⊂平面P AB ，AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC .(2分)因为BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BC .又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BC . 因为AE ∩P A ＝A ，AE ，P A ⊂平面P AB ， 所以BC ⊥平面P AB .(4分)又AB ⊂平面P AB ，所以AB ⊥BC .(6分)(2) 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由底面ABCD 是菱形，且AB ⊥BC ，得底面ABCD 为正方形， 设P A ＝AB ＝1，则B (1，0，0)，C (1，1，0)，P (0，0，1)， 所以AB → ＝(1，0，0)，PC →＝(1，1，－1)，设PM → ＝λPC → ＝(λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，则AM → ＝AP → ＋PM →＝(λ，λ，1－λ). 设平面ABM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AB →，n ⊥AM →， ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝x ＝0，n ·AM →＝λx ＋λy ＋（1－λ）z ＝0，当0≤λ<1时，取n ＝(0，1，－λ1－λ ).(8分)设PC 与平面ABM 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，PC →〉|＝|1＋λ1－λ|3×1＋（λ1－λ）2＝13×2λ2－2λ＋1，(10分)当λ＝12 时，sin θ的最大值为63 .当λ＝1时，sin θ＝33 ＜63， 所以PC 与平面ABM 所成角的正弦值为63 ，此时PM PC ＝12 .(12分) 20. 解：(1) 根据题意，门将每次扑中点球的概率p ＝13 ×35 ＝15 .(2分)(解法1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.P (X ＝0)＝C 04 p 0(1－p )4＝256625 ；P (X ＝1)＝C 14 p 1(1－p )3＝256625 ； P (X ＝2)＝C 24 p 2(1－p )2＝96625 ；P (X ＝3)＝C 34 p 3(1－p )＝16625 ； P (X ＝4)＝C 44 p 4(1－p )0＝1625.(4分)所以X 的概率分布列为数学期望E (X )＝0×256625 ＋1×256625 ＋2×96625 ＋3×16625 ＋4×1625 ＝45 .(5分)(解法2)X ～B (4，15 )，所以X 的概率分布列为(4分)数学期望E (X )＝4×15 ＝45.(5分)(2) ① 甲队先踢点球，第三轮结束时甲队踢进了3个球，并获得冠军，则乙队没有进球，所以甲队获得冠军的概率为(34 )3×(1－23 )3＝164.(7分)② 点球在第7轮结束，且乙队以6∶5获胜，所以前5轮战平，且第6轮战平，第7轮乙队1∶0胜甲队. 当前5轮两队为4∶4时，乙队胜出的概率为[C 45 (34 )4×14 ×C 45 (23 )4×13 ]×(34 ×23 )×(14 ×23 )＝252 304.(9分) 当前5轮两队为5∶5时，乙队胜出的概率为[C 55 (34 )5×C 55 23 )5]×(14 ×13 )×(14 ×23 )＝12 304.(11分) 因为上述两个事件互斥，所以乙队胜出的概率为252 304 ＋12 304 ＝131 152.(12分) 21. 解：(1) 由题意得4a ＝8，即a ＝2，所以椭圆C ：x 24 ＋y 2b2 ＝1.(1分)当M 为C 的上顶点时，直线l 为：x c ＋y b ＝1，联立方程组x 24 ＋y 2b 2 ＝1，解得x ＝8cc 2＋4 ，y ＝b （c 2－4）c 2＋4.(3分)又△MNF 1的面积为837 ，所以12 b ·2c ＋12 b （4－c 2）c 2＋4 ·2c ＝837 ，即7bc ＝3 (c 2＋4)， 所以7c ·4－c 2 ＝3 (c 2＋4)，解得c 2＝3或c 2＝413 ，于是b 2＝1或b 2＝4813 .(5分)因为0<b ≤1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(6分)(2) 椭圆C 的右焦点为F 2(3 ，0)，直线l 的方程为y ＝k (x －3 )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －3）， 消y 得(1＋4k 2)x 2－83 k 2x ＋12k 2－4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2 ，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，(8分)所以1k 1 ＋1k 2 ＝x 1－2y 1 ＋x 2－2y 2 ＝x 1－2k （x 1－3） ＋x 2－2k （x 2－3） ＝1k ·(x 1－2x 1－3 ＋x 2－2x 2－3 )＝1k·2x 1x 2－（2＋3）（x 1＋x 2）＋43x 1x 2－3（x 1＋x 2）＋3＝1k ·2（12k 2－4）－（2＋3）×83k 2＋43（1＋4k 2）（12k 2－4）－3×83k 2＋3（1＋4k 2）＝1k (8－43 )，所以k (1k 1 ＋1k 2 )＝8－43 为定值．(12分) 22. 解：(1) f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞).当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋1x －1 ，导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋1x （x －1）2.(2分)令f ′(x )>0，得0<x <2－3 或x >2＋3 ；令f ′(x )<0，得2－3 <x <2＋3 且x ≠1；所以f (x )的单调递增区间为(0，2－3 )和(2＋3 ，＋∞)，单调递减区间为(2－3 ，1)和(1，2＋3 ).(4分)(2) 当a ＝0时，f (x )只有1个零点，不符合题意；当a <0时，若0<x <1，则f (x )<0； 若x >1，则f (x )>0，不符合题意，所以a >0.当a >0时，f ′(x )＝1x ＋2a（x －1）2＞0，所以f (x )在(0，1)和(1，＋∞)上均单调递增．当x >1时，由f (e a )＝－2ae a －1 <0，f (e3a ＋1)＝ln e3a ＋1－a （e 3a ＋1＋1）e 3a ＋1－1 ＝（3a ＋1）（e 3a ＋1－1）－a （e 3a ＋1＋1）e 3a ＋1－1＞3a （e 3a ＋1－1）－a （e 3a ＋1＋1）e 3a ＋1－1 ＝2a （e 3a ＋1－2）e 3a ＋1－1 ＞0， 所以f (x )在(1，＋∞)内有一个零点； 当0<x <1，同理f (e －a )＝2a e a－1＞0，f (e －3a －1)＜0， 所以f (x )在(0，1)上有一个零点， 所以a 的取值范围是(0，＋∞).(8分) 因为f (x )的两个零点为x 1，x 2，所以ln x 1＝a （x 1＋1）x 1－1 ，即ln x 1＋a ＝2ax 1x 1－1 ，所以1ln x 1＋a ＝x 1－12ax 1 .同理，1ln x 2＋a＝x 2－12ax 2 ，所以1ln x 1＋a ＋1ln x 2＋a＝x 1－12ax 1 ＋x 2－12ax 2 ＝12a [2－(1x 1 ＋1x 2 )].(10分)若f (x )＝0，即ln x －a （x ＋1）x －1 ＝0，则ln 1x －a （1x ＋1）1x－1 ＝－ln x ＋a （x ＋1）x －1＝－f (x )＝0，所以f(x)的两个零点x1，x2互为倒数，即x2＝1x1，所以1x1＋1x2＝x1＋1x1>2(等号不成立)，所以2－(1x1＋1x2)<0，所以1ln x1＋a ＋1ln x2＋a＝x1－12ax1＋x2－12ax2＝12a[2－(1x1＋1x2)]＜0.所以得证．(12分)。
2024届江苏省南京市、盐城市高三上学期期末调研数学及答案
盐城市、南京市2023—2024学年度第一学期期末调研测试高 三 数 学 2024.01注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第 Ⅰ 卷(选择题 共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2＋3i)(2－3i)＝A ．5B ．－1C ．1D ．72．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x )，则A ∩B ＝A ．{0，1，2}B ．{1}C ．{0}D ．(0，2)3．已知x ＞0，y ＞0，则x ＋y ≥2是xy ≥1的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．下列函数中是偶函数的是A ．y ＝e x ＋eB ．y ＝e x －eC ．y ＝e ＋e e －eD ．y ＝(e x ＋e )(e x －e )5．从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有A ．140种B ．44种C ．70种D ．252种6．已知反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象是双曲线，其两条渐近线为x 轴和y 轴，两条渐近线的夹角为π2，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y ＝±x ，由此可求得其离心率为2．已知函数y ＝33x ＋1x的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y ＝33x 和y 轴，则该双曲线的离心率是A ．3 B ．23 C ．233 D ．4337．已知直线l 与椭圆x 9＋y 3＝1在第二象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若|AM |＝|BN |，则l 的倾斜角是A ．π6B ．π3C ．π4D ．5π128．平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝2，|a ＋b ＋c |＝1，则(a ＋c )·(b ＋c )的最小值是A ．－3B ．3－23C ．4－23D ．－23二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动．某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”．经统计发现甲村的评分X 和乙村的评分Y 都近似服从正态分布，其中X ~N (70，σ12)，Y ~N (75，σ22)，0＜σ1＜σ2，则A ．X 对应的正态曲线比Y 对应的正态曲线更扁平B ．甲村的平均分低于乙村的平均分C ．甲村的高度满意率与不满意率相等D ．乙村的高度满意率比不满意率大10．已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，满足a 3＝2a 1＋a 2，则下列说法中正确的有A ．若{a n }是正项数列，则{a n }是单调递增数列B ．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 一定是等比数列C ．若存在M ＞0，使|a n |≤M 对n ∈N *都成立，则{|a n |}是等差数列D ．若存在M ＞0，使|a n |≤M 对n ∈N *都成立，则{S n }是等差数列11．设M ，N ，P 为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象上三点，其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，已知M ，N 是函数f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2＋2MN ·NP ＝0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是(－12，0)，则A ．A ＝2B ．ω＝π2C ．φ＝π4D ．函数f (x )在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ·QN ＜012．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝2，四棱锥P －ABCD 的外接球为球O ，则A ．AB ⊥BC B ．V P －ABCD ＞2V P －ACDC ．V P －ABCD ＝2V O －ABCD D ．点O 不可能在平面PBC 内第 Ⅱ 卷(非选择题 共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．满足f (xy )＝f (x )＋f (y )的函数f (x )可以为f (x )＝ ▲ ．(写出一个即可)14．tan π8－1tan π8＝ ▲ ．15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞1)的焦点，从点F 出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点(10，1)，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E ：(x －116)2＋y 2＝1相切，则p 的值是 ▲ ．16．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝n 2(n ∈N *)，则a 100＝ ▲ ．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)17．(本小题满分10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋S n ＝1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足a n b n ＝cos n π2，求{b n }的前50项和T 50．18．(本小题满分12分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AB ＝AA 1＝2，∠A 1AB ＝π3，侧面CDD 1C 1⊥底面ABCD ．(1)求证：平面A 1BC ⊥平面CDD 1C 1；(2)求直线AB 1和平面A 1BC 1所成角的正弦值．(第18题图)19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c tan B＝(2a－c)tan C．(1)求角B的大小；(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝23，求BD长的最大值．20．(本小题满分12分)春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是14，项目B和C中奖的概率都是25．(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券．求每位顾客获得奖券金额的期望；(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e－ln xx(m∈R)．(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：1＋ln2＜m＜2＋ln6．22．(本小题满分12分)已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点是F1，F2，顶点A(0，－2)，点M是双曲线C上一个动点，且|MF12－MF22|的最小值是85．(1)求双曲线C的方程；(2)设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点．若O，A，G，H四点共圆，求点P 的坐标．。
江苏省苏北四市(徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市)高三上学期期末数学试卷(解析版)
江苏省苏北四市（徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市）2022届高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．（1，2）B．（1，2〗C．（2，4）D．〖2，4）2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝4i，则|z|＝（）A．1B．C．2D．23．（5分）不等式成立的一个充分条件是（）A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜0D．0＜x＜14．（5分）某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（）A．12种B．24种C．72种D．120种5．（5分）已知向量＝（x，1），＝（2，y），＝（1，﹣2），且∥，⊥，则|2﹣|＝（）A．3B．C．D．6．（5分）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆C2：＝1（a＞b＞0）的右焦点，且C1与C2的公共弦经过F，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（）A．15πB．36πC．45πD．48π8．（5分）记〖x〗表示不超过实数x的最大整数，记a n＝〖log8n〗，则的值为（）A．5479B．5485C．5475D．5482二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（5分）已知的展开式中共有7项，则（）A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第4项D．有理项共4项10．（5分）将函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位长度后得到y＝g（x）的图象如图，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）在区间上单调递增C．方程f（x）＝1在（0，2π）内有4个实数根D．f（x）的解析式可以是11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若对于曲线y＝f（x）上的任意点P，都存在曲线y＝f（x）上的点Q，使得＝0成立，则称函数f（x）具备“⊗性质”．则下列函数具备“⊗性质”的是（）A．y＝x+1B．y＝cos2x C．y＝D．y＝e x﹣212．（5分）如图，一张长、宽分别为，1的矩形纸，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．则（）A．在该多面体中，B．该多面体是三棱锥C．在该多面体中，平面BAD⊥平面BCDD．该多面体的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省苏州市高三上学期期末数学试卷及答案
2022-2023学年江苏省苏州市高三上学期期末数学试卷及答案注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回．2、答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数b 的值为（{}220,A x x x x =-<∈Z{}0,B b =A B ⋂≠∅） A. B. 0C. 1D. 21-【答案】C 【解析】【分析】求出集合，根据，可得答案.A AB ⋂≠∅【详解】化简得，，由，A {}{}{}(2)0,02,1A x x x x x x x =-<∈=<<∈=Z Z {}0,B b =且，故.A B ⋂≠∅1b =故选：C2. 已知（，i 为虚数单位）（ ） ii 2ix y =--,x y ∈R =A.15【答案】B 【解析】 【分析】根据（，i 为虚数单位），利用复数相等求得，代入ii 2ix y =--,x y ∈R ,x y求解.【详解】解：因为（，i 为虚数单位）， ii 2ix y =--,x y ∈R 所以， ()()()i 2i i 12i==i 2i 2i 2i 55x y +-=-+--+所以， 12,=55x y =-，==故选：B 3. 设，，，则（ ） a =52b =2log 6c =A.B.C.D.a b c <<b a c <<b c a <<c a b <<【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数以及对数函数的单调性，结合关键无理数的估计值，可得答案. 【详解】，22512log 22log 22b ==+=+，22222333log 6log 4log 4log 2log 222c ⎛⎫==⨯=+=+ ⎪⎝⎭，则， 225322log 2log 22<=<=+<+a b c <<故选：A.4. 已知通过某种圆筒型保温层的热流量，其中，分别为保温层的内()12212πln ln l t t Φr r λ-=-1r 2r 外半径（单位：mm ），，分别为保温层内外表面的温度（单位：℃），l 为保温层的长度1t 2t （单位：m ），为保温层的导热系数（单位：）．某电厂为了减少热损失，准备λW/(m )⋅℃在直径为120 mm 、外壁面温度为250℃的蒸汽管道外表面覆盖这种保温层，根据安全操作规定，保温层外表面温度应控制为50℃．经测试，当保温层的厚度为30 mm 时，每米长管道的热损失为300 W ．若要使每米长管道的热损失不超过150 W ，则覆盖的保温层厚度至少Φl Φl为（ ）A. 60 mmB. 65 mmC. 70 mmD. 75 mm【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得，然后代入不等式求得的范围即Φl2πλ2π(25050)150ln(60)ln 60d λ-≤+-d 可．【详解】由题意可得，()12212πln ln t t Φl r r λ-=-，，2π(25050)300ln 90ln 60λ-=-332πln 22λ=设覆盖的保温层厚度至少为，(mm),0>d d 则，，2π(25050)150ln(60)ln 60d λ-≤+-33ln322ln(60)ln 604d ≤+-整理可得，即，解得， 960ln ln 460+≤d 960460+≤d 75d ≥故选：D ．5. 若的展开式中的系数为60，则的最小值为（ ）6a bx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 22a b +A. 2C. 3D. 51+【答案】C 【解析】【分析】由二项式定理求得的关系,然后由均值不等式求得最小值． ,a b 【详解】，令，，6626166C ()()C rrr r r r r r aT bx a b x x---+==262r -=4r =所以，∴，4246C 60a b=244a b =，当且仅当 ，即22222444411322a b b b b b b +=+=++≥=24412b b =时等号成立，b =故选：C ．6. 在平面直角坐标系中，已知双曲线C ：（，）的左顶点为xOy 22221x y a b-=0a >0b >，右焦点为F ，过点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足A 为Q ．若，，成等差数列，则C 的离心率为（ ）OQ QF OA B.C. 232【答案】B 【解析】【分析】不妨设渐近线方程为，计算点坐标得到，，b y x a =P 2a OQc =2a QF c c=-，根据等差数列性质得到，解得答案.OA a =321e e=+【详解】，，不妨设渐近线方程为，则直线为：(),0A a -(),0F c by x a=PF ，()ay x c b=--，解得，故，，， ()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2a OQ c =2a QF c c =-OA a =，，成等差数列，故，整理得到，OQ QF OA 222a a c a c c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭321e e =+解得或（舍）. 32e =1e =-故选：B7. 已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平ABCD 1P AB A B P 面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为αAB αAP x =S x 的函数，则的图象大致为（ ）()f x ()S f x =A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，分析可知平面AB O OC OD AB ⊥OCD 与平面平行或重合，分、、三种情况讨论，计算出αOCD 102x <<12x =112x <<OCD 的面积，利用三角形相似可得出的表达式，即可得出合适的选项. ()f x 【详解】取线段的中点，连接、，AB O OC OD 因为、为等边三角形，为的中点，则，，ABC ABD △O AB OC AB ⊥OD AB ⊥，、平面，平面，OC OD O ⋂= OC OD ⊂OCD AB ∴⊥OCD 因为平面，所以，平面与平面平行或重合， AB ⊥ααOCD且 OD OC ===取的中点，连接，则， CD M OM OM CD ⊥且OM ==12OCD S CD OM =⋅=△①当时，平面平面，平面平面， 102x <<//αOCD α ABC PE =平面平面，，同理可知，，， OCD ABC OC =//PE OC ∴//PF OD //EF CD 所以，，故， PE AE EF AF PFOC AC CD AD OD====PEF OCD △∽△如下图所示：则，则； 224OCD S AP x S AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭△()2S f x ==②当时，； 12x=12S f ⎛⎫== ⎪⎝⎭③当时，平面平面，平面平面， 112x <<//αOCD α ABC PE =平面平面，，同理可知，，， OCD ABC OC =//PE OC ∴//PF OD //EF CD 所以，，故， PE BE EF BF PFOC BC CD BD OD====PEF OCD △∽△如下图所示：则，则. ()2241OCD S BP x S BO ⎛⎫==- ⎪⎝⎭△())21S f x x ==-综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象. ())221,0211,12x S f x x x <≤==-<<()f x 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的识别，解题的关键对分类讨论，求出函数x ()f x 的解析式，进而辨别出函数的图象.()f x 8. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数.记函数()f x R (1)f x +(2)f x +，则（ ）()2(21)1g x f x =++3112k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑A. 25 B. 27C. 29D. 31【答案】D 【解析】【分析】由已知条件得函数的图象点对称也关于直线对称，由此求得其是周()f x (1,0)2x =期函数，周期是4，由中心对称得，然后求得，(2)(4)0f f +=(2)(3)(4)(5)0+++=f f f f 代入计算可得．【详解】为奇函数，是由向左平移1个单位得到， (1)f x +(1)f x +()f x 则的图象关于点对称，所以，，()f x (1,0)(2)()f x f x -=-(1)0f =为偶函数，是由向左平移2个单位得到，(2)f x +(2)f x +()f x 则的图象关于直线对称，所以，则， ()f x 2x =(2)(2)f x f x -=+(3)0f =所以，从而，(2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=是周期函数，且周期为4，所以，()f x (21)0,Z f k k -=∈因为的图象关于直线对称，也关于点对称， ()f x 2x =(1,0)所以的图象关于点对称，所以， ()f x (3,0)(2)(4)0f f +=所以，(2)(3)(4)(5)0+++=f f f f 所以[][]3117(2)(3)(4)(5)(2)(3)(4)0(1)==+++++=++∑k f f f f f k f f f 因为，，()2(1)12=++k g f k Z k ∈所以，313111231(3121)==+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑k k f k k g 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知向量，的夹角为60°，，，则与向量的夹角为锐角的向量有a b2a = 1b = a b - （ ）A.B.C.D.b a b + 2a b - 2b a - 【答案】BC 【解析】【分析】显然不可能平行，因此只要计算出数量积为正即可．【详解】由已知各选项中向量与向量不平行， a b -，21cos 601a b ⋅=⨯⨯︒=， 2()110a b b a b b -⋅=⋅-=-= ，22()()4130a b a b a b -⋅+=-=-=> ， 22()(2)324312130a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+⨯=> ，22()(2)232431160a b b a a a b b -⋅-=-+⋅-=-⨯+⨯-=-< 只有BC 选项符合题意． 故选：BC ．10. 已知函数，则（ ） π()sin cos 6f x x x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭A. 的周期为B. 直线()f x 2π32y x =+()y f x =的切线C. 在上单调递增D. 点是曲线的对()f x R ππ,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭()y f x =称中心 【答案】BCD 【解析】【分析】判断是否相等即可判断A ；根据导数的几何意义即可判断B ；利()()2π,f x f x +用导数计算即可判断C ；构造函数，再判断函数的奇偶性即可()ππ33g x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 判断D.【详解】解：对于A ，因为， ()()π2πsin cos 2π6f x x x x f x ⎛⎫+=++++≠ ⎪⎝⎭所以不是函数的周期，故A 错误；2π()f x对于B ，， ππ()sin cos cos 66f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设切点为，()()00,x f x ，()πsin 16f x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭令，则， ()032f x '=0π1sin 62x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可取，则， 00x =()0f =所以过点的切线方程为 ⎛ ⎝32y x =所以直线的切线，故B 正确； 32y x =+()y f x =对于C ，， ()πsin 16f x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭因为，所以， []πsin 1,16x ⎛⎫--∈- ⎪⎝⎭()πsin 106f x x ⎛⎫'=--+≥ ⎪⎝⎭所以在上单调递增，故C()f x R 对于D ，令，()πππcos sin 332g x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， ()()sin g x x x g x -=--=-所以函数是奇函数，关于原点对称， ()g x 又因函数是由函数先向右平移个单位，再向上平移个单位所得的， ()g x ()f x π3π3所以函数点是曲线的对称中心，故D 正确. ππ,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭()y f x =故选：BCD.11. 已知正方体的棱长为，，，其中1111ABCD A B C D -11BP BD λ= 1CQ CC μ=，，则下列说法中正确的有（ ）[]0,1λ∈[]0,1μ∈A. 若平面，则B. 若平面，则PQ ⊂1AB C 13λμ+=//PQ ABCD 12λμ==C. 存在，，使得D. 存在，使得对于任意的，都有λμ35PQ =λμPQ BD ⊥【答案】AD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，根据共面向量定理可判断选项A ，利用直线方向向量和面法向量垂直可判断线面平行，可判断选项B ，通过向量求得模长，根据条件判断方程是否有解，可判断C ，向量数量积为，可判断D.0【详解】以为原点，所在直线为建立空间直角坐标系. D 1,,DA DC DD ,,x y z 因为正方体的棱长为，1111ABCD A B C D -11(1,1,1)BD =--面为点，.11,,Q CC CQ CC PQ μ∈=⊂1,AB C Q ∴C 0μ∴=设， 1(1,0,0)(1,1,1)(0,1,0)(,,)DP xDA yDB zDC x y z x y y z y =++=++=++又,1(1,1,0)(1,1,0)(,,)(1,1,)DP DB BP BD λλλλλλλ=+=+=+--=--1112,,12,x y y z x y z y λλλλλλ+=-⎧⎪∴+=-∴=-==-⎨⎪=⎩又因为点面， P ∈1,AB C 113x y z λ∴++=∴=所以若平面，则，故A 正确. PQ ⊂1AB C 13λμ+=面的法向量，ABCD (0,0,1)m =,1(,,),(1,1,0)BP BD B λλλλ==--(1,1,),P λλλ∴--,1(0,0,),(0,1,0)CQ CC C μμ==,(0,1,)Q μ∴(1,,)PQ λλμλ∴=--平面,， //PQ ABCD PQ m ∴⊥，故B 错误.0μλμλ∴-==，, 222222(1)()32(1)1PQ λλμλλλμμ=-++-=-+++ 若,,35PQ =2925PQ ∴=22932(1)125λλμμ∴-+++=,221632(1)025λλμμ∴-+++=,[]1112(1),0,1,(1),3333λμμμ⎡⎤=+∈+∈⎢⎥⎣⎦令， 2216()32(1)25g λλλμμ=-+++易得，(0)0,(1)0g g >>， 2211116((1))3(1)2(1)(1)39325g μμμμμ+=⨯+-++++，22222321231()0337532756μμμ=-+=-+->在无解，故C 错误.()0g λ∴=[]0,1λ∈,,(1,,)PQ λλμλ=--(1,1,0)BD = ,故D 正确.1,0,2PQ BD PQ BD λ⊥⋅=∴= 故选：AD12. 中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ） 13A. 四支球队的积分总和可能为15分B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为523C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况D. 丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 583【答案】ACD 【解析】【分析】举例比赛的各种得分情况判断AC ，由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断BD ．【详解】四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，AC 均正确； 每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为13，B 错； 31251124(C 3333⨯⨯⨯=丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与丙比赛，丙输，，例如是丙甲， 131C 3⨯若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意，若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场21(3比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率， 1221C (323两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，21(3两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是21()313综上概率为，D 正确．12122232511121118C ()[C (()()33333333⨯⨯⨯⨯⨯++⨯=故选：ACD ．【点睛】难点点睛：本题考查独立的概率与互斥事件的概率公式，难点在于分析丙在输第一场的情况下如何才能使得分超过其他三人，方法是结合列举法对六场比赛结果分步分析，确定每人的得分使之合乎题意．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知圆台的上、下底面半径分别为4和5，高为2，则该圆台的侧面积为________．【答案】 【解析】【分析】直接利用侧面积公式计算得到答案.【详解】圆台的侧面积为.()()πππ9S r l R r =+=+=⨯=故答案为：14. 在平面直角坐标系中，已知圆C ：，过点的直xOy 22((2)4x y -+-=(0,1)M -线l 交C 于A ，B 两点，且，请写出一条满足上述条件的l 的方程：MA AB =________________．【答案】（答案不唯一，也满足） 0x =1y x =-【解析】【分析】分别讨论直线l 斜率存在、不存在的情况，设C 到直线的距离为d ，由MA AB =得.-【详解】由题意得，半径，，故在圆)2C 2r =2MC ==>(0,1)M -外，设C 到直线的距离为d ， 由得MA AB =，解得，=d =当直线l 斜率不存在时，即，此时0x =d =当直线l 斜率存在时，设为，即，则1y kx =-10kx y --=d，解得.3=k =1y x =-故答案为：（答案不唯一，也满足） 0x =1y =-15. 记函数（）的最小正周期为T ，给出下列三个命题： π()sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>甲：；3T >乙：在区间上单调递减；()f x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭丙：在区间上恰有三个极值点．()f x (0,3)若这三个命题中有且仅有一个假命题，则假命题是________（填“甲”、“已”或“丙”）；ω的取值范围是________． 【答案】 ①. 甲 ②. 7π10π,99⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】甲，利用三角函数的周期性求出；乙，利用三角函数的单调性求出2π3ω<；丙，利用函数的极值点定义求出，结合已知可知甲是假命题，2π4π33ω≤≤7π10π99ω<≤进而求解.【详解】对于甲，，即，解得； 3T >2π3ω>2π3ω<对于乙，，，112x << π62ππ66x ωωω∴<<+++由正弦函数的单调性得，解得， ππ2π262,Z π3π2π62k k k ωω⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩2π4π4π2π,Z 33k k k ω+≤≤+∈又，故，又，则，故，且0ω>2π4π03k +>Z k ∈0k ≥2π2π4π33k ω≥+≥， 2π4π4π4π,033k x k k +≤≤+≥对于丙，，， 03x << πππ6636x ωω<++∴<由正弦函数的极值点得，解得； 35ππ7π262ω+≤<7π10π99ω<≤由这三个命题中有且仅有一个假命题，假设乙是假命题，则甲、丙是真命题，但显然甲、丙矛盾，故该假设不成立； 假设丙是假命题，则甲、乙是真命题，但显然甲、乙矛盾，故该假设不成立； 所以假命题是甲，则乙、丙是真命题，取交集的取值范围是. ω7π10π,99⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：甲，. 7π10π,99⎛⎤⎥⎝⎦16. 若对任意，关于x 的不等式恒成立，则实数a 的最,m n ∈R 2()e x n m n x m a --≤-+-大值为________． 【答案】##0.75 34【解析】【分析】不等式化为恒成立，22()e ()()e ()x n x n a x m m n x m x m x n --≤-+-+=-+-+--由于都是任意实数，因此不等式右边相当于两个函数相加：,,m n x 2()()y x m x m =-+-和，后者设，由导数求得其最小值，前者由二次函数性质得e ()x n y x n -=--e ()x x f x =-最小值，两者相加即得最小值，从而得的范围，得出结论．a 【详解】原不等式化为恒成22()e ()()e ()x n x n a x m m n x m x m x n --≤-+-+=-+-+--立，由于是任意实数，也是任意实数，∴与是任意实数，它们之间没有任何,m n x x m -x n -影响，，当且仅当时等号成立，22111()()()244-+-=-+-≥-x m x m x m 12x m -=-设，则，e ()x xf x =-()e 1xf x '=-时，，单调递减，时，，单调递增，0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x 所以， min ()(0)1f x f ==所以的最小值是1，e ()x n x n ---所以的最小值是， 2()()e ()x n x m x m x n --+-+--13144-+=从而，的最大值是．34a ≤a 34故答案为：．34【点睛】关键点点睛：不等式恒成立求参数范围问题，一般可采用分离参数法转化为求函数的最值，本题分离参数后，关键是对变量的理解，本题中由于都是任意实数，因此,,m n x 题中与可以看作是两个不同的变量，因此不等式右边转化为两个函数的和，分x m -x n -别求出其最小值后得出结论．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，．ABC cos 2b B =c =（1）求A ；（2）若，点D 在边BC 上，，求AD ． tan 2C =2ADB BAC ∠=∠【答案】（1）； π4（2. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求解作2222b a b +-=答.（2）利用（1）的结论，结合同角公式及和角的余弦公式求出三角函数值，再利用正弦定理求解作答. 【小问1详解】在中，由，，由余弦定理得ABC cos 2b B +=c =cos 2ac B b =-，2222cos a c b ac B =+-即，整理得，由余弦定理得，22224b a b -=-+2222b a b +-=222cos 2b c aA bc+-=， cos A ===(0,π)A ∈所以. π4A =【小问2详解】因为，即，而，则tan 2C =sin 2cos 0C C =>22sin cos 1C C +=sin C =cos C=所以，cos cos()(cos cos sin sin )B A C A C A C =-+=--=-=又，则显然是锐角三角形，由（1）知，(0,π)B ∈sin B ==ABC ，π22ADB BAC∠=∠=点D是边BC 上的高所在直线与BC 的交点，在边BC 上，符合题意， 在中，， Rt △ABD sin AD AB B ===所以． AD =18. 记为数列的前n 项和，已知，． n S {}n a 212a a =12n n S a n +=（1）求的通项公式；{}n a （2）若数列满足求中的最大项与最小项．{}n b 1,1,,2,21n n a n b a n n =⎧⎪=⎨≥⎪+⎩{}n b 【答案】（1）()*n a n n =∈N（2）最大项为，最小项为 11b =225b =【解析】【分析】（1）两种方法解，方法一：先利用已知条件求出，然后根据已知条件建立方程，1a 相减后变形构造数列利用递推公式求得数列的通项公式；方法二：利用数列和与项的递推公式构造项和项的递推公式，然后，根据项和项的递推公式进而求得数列的通项公式； （2）由（1）写出的表达式，作差法比较数列的单调性，分析最大项和最小项即可. n b 【小问1详解】 法一： 在中， 12n n S a n +=令，得， 1n =11a =故， 2122a a ==因为，① ()21n n S n a =+所以，②()()11211n n S n a ++=++，得，②①-112(1)1n n n a n a na ++=+-+即，③1(1)1n n n a na +-=-当时，将③式两边同时除以，2n ≥(1)n n -得， 11111n n a a n n n n +=+---所以， 121111121n n a a a n n +---====-- 所以当时，， 2n ≥n a n =又因为，所以；11a =()*n a n n =∈N 法二：因为①， ()21n n S n a =+所以②()()11211n n S n a ++=++，得，②①-112(1)1n n n a n a na ++=+-+即③， 1(1)1n n n a na +-=-从而④，21(1)1n n na n a ++=+-得，-④③211(1)(1)n n n n na n a n a na +++--=+-即， 212n n n a a a +++=所以为等差数列． {}n a 在中， 12n n S a n +=令，得，故， 1n =11a =2122a a ==又因为为等差数列，所以；{}n a ()*n a n n =∈N 【小问2详解】由（1）得，1,1,221n n b n n n =⎧⎪=⎨≥⎪+⎩当时，2n ≥， 11102321(23)(21)n n n n b b n n n n ++-=-=>++++且，1112122n n b n n ==<++所以，2341112b b b b <<<<<= 所以中的最大项为，最小项为． {}n b 11b =225b =19. 新能源汽车作为战略性新兴产业，代表汽车产业的发展方向，发展新能源汽车，对改善能源消费结构、减少空气污染、推动汽车产业和交通运输行业转型升级具有积极意义，经过十多年的精心培育，我国新能源汽车产业取得了显著成绩，产销量连续四年全球第一，保有量居全球首位．（1）已知某公司生产的新能源汽车电池的使用寿命（单位：万公里）服从正态分布ξ，问：该公司每月生产的2万块电池中，大约有多少块电池的使用寿命可以超过(60,16)N 68万公里？参考数据：若随机变量，则，(,)N ξμσ~()0.683P μσξμσ-≤≤+≈，．(22)0.955P μσξμσ-≤≤+≈(33)0.997P μσξμσ-≤≤+≈（2）下表给出了我国2017~2021年新能源汽车保有量y （单位：万辆）的数据．年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x 1 2 3 4 5 新能源汽车保有量y153260381492784经计算，变量的样本相关系数，变量与的样本相关系数． ,x y 10.946r ≈2x y 20.985r ≈①试判断与哪一个更适合作为与之间的回归方程模型？ y bx a =+2y bx a =+y x ②根据①的判断结果，求出关于的回归方程（精确到0.1），并预测2023年我国新能源y x 汽车保有量． 参考数据：令（），计算得，，，2i i t x=1,2,3,4,5i =414y =517704i i i x y ==∑5132094i i i t y ==∑．52979iit=∑参考公式：在回归方程中，，． y bta =+ 1221ni ii nii t y nt yb tnt==-=-∑∑ a y bt=- 【答案】（1）450块（2）①更适合作为y 与x 之间的回归方程模型；②. 2y bx a =+ 224.9140.1y x =+【解析】【分析】（1）根据正态分布计算概率；（2）相关系数绝对值越大相关性越强，根据给出公式，代入数据计算可得回归方程. 【小问1详解】因为新能源汽车电池的使用寿命，()260,4N ξ~所以， ()12210.955(68)0.022522P P μσξμσξ--≤≤+->===所以块．200000.0225450⨯=答：每月生产的万块电池中，使用寿命超过万公里的大约有块； 268450【小问2详解】①因为，所以更适合作为y 与x 之间的回归方程模型．21r r >2y bx a =+②因为，2222212345115t ++++==，122213209451141424.9979511ni ii ni i t y nt ybt nt==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑ ， 41424.911140.1a y bt=-=-⨯= 所以． 224.9140.124.9140.1y t x =+=+当时，万辆． 7x = 24.949140.11360.2y =⨯+=答：年我国新能源汽车保有量约为万辆．20231360.220. 如图1，在长方形ABCD 中，已知，，E 为CD 中点，F 为线段EC 上（端2AB =1BC =点E ，C 除外）的动点，过点D 作AF 的垂线分别交AF ，AB 于O ，K 两点．现将折起，DAF △使得（如图2）．DK AB ⊥（1）证明：平面平面； ABD ⊥ABC （2）求直线DF 与平面所成角的最大值． ABC 【答案】（1）证明见解析 （2）π6【解析】【分析】（1）先证平面，得平面，所以，再证AF ⊥ODK DK ⊂ODK AF DK ⊥DK ⊥平面，从而得证面面垂直；ABC（2）直线DF 与平面所成角为，记，设（），ABCF DFK ∠DFK θ∠=DF x =12x <<由，得，计算，利用基本不等式得最大值，从而得角的最大FDA DAK !!1AK x=sin θ值．【小问1详解】因为，，，平面，， AF OK ⊥AF OD ⊥OD OK ⊂ODK OD OK O = 所以平面．AF ⊥ODK 因为平面，所以．DK ⊂ODK AF DK ⊥又因为，，平面，， DK AB ⊥AB AF ⊂ABC AB AF A = 所以平面．DK ⊥ABC 因为平面，所以平面平面． DK ⊂ABD ABD ⊥ABC 【小问2详解】连结FK ，由（1）可知，直线DF 与平面所成角为，记． ABCF DFK ∠DFK θ∠=在图1中，因为，所以， DK AF ⊥90DFA FDK ︒∠+∠=又因为，所以． 90FDA FDK ADK ∠︒=∠+∠=DFA ADK ∠=∠又因为，所以． 90FDA DAK ︒∠=∠=FDA DAK !!设（），由，得，解得． DF x =12x <<DF DA AD AK =11x AK =1AK x=在图2中，因为，所以 DK AB ⊥DK ==所以， 1sin 2DK DF θ===≤当且仅当时等号成立，x =又因为，所以的最大值为，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦θπ6即直线DF 与平面所成角的最大值为． ABC π621. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点与椭圆：xOy 1C 22x py =2C 22143x y+=的右焦点关于直线对称． y x =（1）求的标准方程；1C （2）若直线与相切，且与相交于A ，B 两点，求面积的最大值．l 1C 2C AOB （注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点） 【答案】（1） 24x y =（2 【解析】【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，根据的焦点与的右焦点关于直线对称，可求1C 2C y x =得抛物线焦点坐标，进而求得抛物线方程.（2）根据直线与相切，设出直线方程与椭圆方程联立，求得弦长和点到直线的l 1C AB O 距离，写出面积，化简利用重要不等式求最值. AOB 【小问1详解】因为的右焦点为，的焦点与的右焦点关于直线对称， 2C (1,0)1C 2C y x =所以的焦点为， 1C (0,1)所以，即，所以的标准方程为． 12p=2p =1C 24x y =【小问2详解】 设与相切于点（），因为，所以，l 1C ()22,P t t 0t ≠214y x =2x y '=所以的斜率，所以的方程为． l 22tk t ==l 2y tx t =-由得，222,1,43y tx t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22343484120t x t x t +-+-=因为，所以（*）．()()624Δ644344120t tt=-+->42430t t --<设，，由韦达定理可知，，()11,A x y ()22,B x y 3122834t xx t +=+412241234t x x t -=+所以：AB===．==又因为点O 到直线l 的距离d =所以的面积AOB 1122S ABd =⋅⋅=， ()424432t t t -+++=≤=当且仅当，即时等号成立， 2t =2t =此时满足（*）， 42340t t --<所以AOB (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；(2)强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22. 已知函数． ()ln(1)2axf x x x =+-+（1）若时，，求实数a 的取值范围； 0x ≥()0f x ≥（2）讨论的零点个数． ()f x 【答案】（1） 2a ≤（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，求导，得到，对进行分类讨论，可22(42)(1)()(1)(2)x a x f x x x '+-+=++a得的单调性，进而求得的时候，实数a 的取值范围.()f x ()0f x ≥（2）通过分类讨论，可得函数的单调性，进而得到的图像，根据数形结合，可a ()f x ()f x 得的零点个数. ()f x 【小问1详解】的定义域是，．()f x (1,)-+∞22212(42)(1)()1(2)(1)(2)a x a x f x x x x x +'-+=-=++++①当时，，所以在上单调递增， 2a ≤()0f x '≥()f x (1,)-+∞又因为，所以当时，，满足题意； (0)0f =0x ≥()(0)0f x f ≥=②当时，令， 2a >22()(42)(1)(42)(42)g x x a x x a x a =+-+=+-+-由，得，． ()0g x =1(2)0x a =--<2(2)0x a -=+>当时，，，所以在上单调递减， ()20,x x ∈()0g x <()0f x '<()f x ()20,x 所以，不满足题意． ()()200f x f <=综上所述，． 2a ≤【小问2详解】①当时，由（1）可得在上单调递增，且， 2a ≤()f x (1,)-+∞(0)0f =所以在上存在1个零点；()f x (1,)-+∞②当时，由（1）可得必有两根，，2a >()0g x =1x 2x 又因为，所以，．(1)10g -=>(0)420g a =-<1(1,0)x ∈-2(0,)x ∈+∞x()11,x -1x()12,x x2x()2,x +∞()f x '＋0 －0 ＋()f x 单调递增 极大值()1f x 单调递减 极小值()2f x 单调递增当时，因为，所以在上存在1个零点， ()12,x x x ∈(0)0f =()f x ()12,x x 且，；()()100f x f >=()()200f x f <=当时，因为，()11,x x ∈-()()e 12ee 1ln e 0e 1e l---------=-=<++a aa a aaa a f ，而在单调递增，且，而，故1e 10--<-<a ()f x 1(0,)x 1()0f x '=(e 1)0a g -->，所以在上存在1个零点；11e 1a x --<-<()f x ()11,x -当时，因为， ()2,x x ∈+∞()()e 12e 1ln e 0e 1e 1a a a a aa af --=-=>++，而在单调递增，且，而， e 10a ->()f x 2(,)x +∞2()0f x '=(e 1)0ag ->所以，所以在上存在1个零点．2e 1ax ->()f x ()2,x +∞从而在上存在3个零点．()f x ()1,-+∞综上所述，当时，存在1个零点；当时，存在3个零点．2a ≤()f x 2a >()f x 【点睛】思路点睛：通过求导，得到，通过分析导数，得到的图像，通过数形结()f x '()f x 合，可求得不等式恒成立时，参数的取值范围，以及相应的的零点个数()f x。
江苏省海安市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷含答案
2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．1一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1. 已知全集U ＝{x |－2＜x ＜3}，集合A ＝{x |－1＜x ≤1}，则∁U A ＝( ) A. (－1，1] B. (－2，－1]∪(1，3) C. [－1，1) D. (－2，－1)∪[1，3)2. 若复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝1上，且z ＝i z ，则z ＝( )A. 1－iB. 1＋iC. －1＋iD. －1－i3. (x －1x)6的二项展开式中的常数项是( )A. －20B. －15C. 15D. 204. 经验表明，树高y 与胸径x 具有线性关系，为了解回归方程的拟合效果，利用下列数据计算残差，用来绘制残差图．胸径x /cm 18.2 19.1 22.3 24.5 26.2 树高的观测值y /m 18.9 19.4 20.8 22.8 24.8 树高的预测值y /m 18.6 19.3 21.5 23.0 24.4A. 0.4，－1.8B. 1.8，－0.4C. 0.4，－0.7D. 0.7，－0.4 5. 为测量河对岸的直塔AB 的高度，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，测得∠BCD 的大小为60°，点C ，D 的距离为200 m ，在点C 处测得塔顶A 的仰角为45°，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30°，则直塔AB 的高为( )A. 100 mB. 1003 mC. (2003 －200)mD. 200 m 6. 已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为r 1，r 2(r 1＜r 2)，若两圆的一条公切线的方程为y ＝24 (x ＋3)，则r 2r 1 ＝( )A. 43B. 2C. 54D. 3 7. 设G 为△ABC 的重心，则GA → ＋2GB → ＋3GC →＝( )A. 0B. AC →C. BC →D. AB →8. 设a ＝110 e 19 ，b ＝19 ，c ＝2ln 32，则( )A. a ＜b ＜cB. a ＜c ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜a ＜c 二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AE → ＝13 AA 1，CF →＝23CC 1，则 ( )A. EF ⊥BDB. EC 1∥平面ABFC. EF ⊥平面B 1CD 1D. 直线EF 与直线BD 1异面10. 已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，点M ，N 均在C 上，若△FMN 是以F 为直角顶点的等腰三角形，则MN ＝( )A. 2－12B. 2 －1C.2＋12D. 2 ＋1 11. 已知等差数列{a n }中，当且仅当n ＝7时，S n 取得最大值．记数列{S nn}的前k 项和为T k ，则下列结论正确的是( )A. 若S 6＝S 8，则当且仅当k ＝13时，T k 取得最大值B. 若S 6＜S 8，则当且仅当k ＝14时，T k 取得最大值C. 若S 6＞S 8，则当且仅当k ＝15时，T k 取得最大值D. 若∃m ∈N *，S m ＝0，则当k ＝13或14时，T k 取得最大值12. 将样本空间Ω视为一个单位正方形，任一事件均可用其中的区域表示，事件发生的概率为对应区域的面积．在如图所示的单位正方形中，区域Ⅰ表示事件AB ，区域Ⅱ表示事件A B ，区域Ⅰ和Ⅲ表示事件B ，则区域Ⅳ的面积为( )A. P (AB )B. P (A ＋B )C. P (A |B )P (B )D. P (A )P (B )三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin(π－x )＝13 ，x ∈(0，π2)，则tan x ＝________．14. 已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，若△PF 1F 2是以F 1为顶点的等腰三角形，且cos ∠F 1PF 2＝34，则C 的离心率e ＝________．15. 设过直线x ＝2上一点A 作曲线y ＝x 3－3x 的切线有且只有两条，则满足题设的一个点A 的纵坐标为________．16. 已知球O 的表面积为100π cm 2，P 是球O 内的定点，OP ＝10 cm ，过P 的动直线交球面于A ，B 两点，AB ＝45 cm ，则球心O 到AB 的距离为________cm ；若点A ，B 的轨迹分别为圆台O 1O 2的上、下底面的圆周，则圆台O 1O 2的体积为________cm 3.四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知数列{a n }中，a 1，a 2，a 3，…，a 6成等差数列，a 5，a 6，a 7，…成等比数列，a 2＝－10，a 6＝2.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 记数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＞0，求n 的最小值．已知四边形ABCD内接于圆O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝120°，AC平分∠BAD.(1) 求圆O的半径；(2) 求AC的长．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 翻折使点D 至点D ′.(1) 求证：平面BD ′E ⊥平面ABC ；(2) 若三棱锥D ′ABC 的体积为223，求二面角D ′ABC 的余弦值．20. (本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为13 ，甲赢丙的概率为13 ，乙赢丙的概率为12.(1) 若甲、乙两人打第一局，求丙成为优胜者的概率； (2) 求恰好打完2局结束比赛的概率．已知双曲线C过点(3，2)，且C的渐近线方程为y＝±33x.(1) 求C的方程；(2) 设A为C的右顶点，过点P(－23，0)的直线与圆O：x2＋y2＝3交于点M，N，直线AM，AN与C的另一交点分别为D，E，求证：直线DE过定点．已知0＜a＜1，函数f(x)＝x＋a x－1，g(x)＝x＋1＋log a x.(1) 若g(e)＝e，求函数f(x)的极小值；(2) 若函数y＝f(x)－g(x)存在唯一的零点，求a的取值范围．2022～2023学年高三年级模拟试卷(海安)数学参考答案及评分标准1. B2. D3. C4. C5. A6. B7. B8. D9. AB 10. BD 11. BD 12. BC13. 24 14. 25 15. 2(答案不唯一，－6也正确) 16. 5 65103 π17. 解：(1) 设等差数列a 1，a 2，a 3，…，a 6的公差为d .因为a 2＝－10，a 6＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－10，a 1＋5d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝3，所以a n ＝－13＋(n －1)×3＝3n －16(1≤n ≤5，n ∈N *).(3分)设等比数列a 5，a 6，a 7，…的公比为q ，则q ＝a 6a 5 ＝2－1＝－2，所以a n ＝－(－2)n －5(n ≥6，n ∈N *).综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －16，1≤n ≤5，－（－2）n －5，n ≥6， n ∈N *.(5分) (2) 由(1)知，当n ≤5时，a n ＜0，要使S n ＞0，则n ≥6，(6分)此时S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 6＋…＋a n )＝5×(－13)＋5×42 ×3＋2[1－（－2）n －5]1－（－2）＝－35＋2[1－（－2）n －5]3.(8分)由S n ＞0，得(－2)n －5＜－1032，所以(n －5)必为奇数，此时2n －5＞1032，所以n －5的最小值为7，所以n 的最小值为12.(10分)18. 解：(1) 设圆O 的半径为R .在△ABD 中，由余弦定理BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ，得BD 2＝32＋52－2×3×5×(－12)＝49，所以BD ＝7.(3分)在圆O 的内接△ABD 中，由正弦定理，得2R ＝BD sin ∠BAD ＝7sin 120°＝1433 ，故R ＝733 ，所以圆O 的半径为733.(6分)(2) 因为四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠BAD ＋∠BCD ＝180°. 又∠BAD ＝120°，故∠BCD ＝60°.因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝60°.(8分)(解法1)因为AC 平分∠BAD ，所以BC ＝CD ，所以BC ＝CD .又因为∠BCD ＝60°，所以△BCD 为正三角形，所以BC ＝BD ＝7.(10分)(解法2)在圆O 的内接△ABC 中，由正弦定理，得BCsin ∠BAC＝2R .所以BC ＝2R ·sin 60°＝1433 ×32＝7.(10分)在△ABC 中，由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ， 得72＝32＋AC 2－2×3×AC ×cos 60°，即AC 2－3AC －40＝0，解得AC ＝8或AC ＝－5， 因为AC ＞0，所以AC ＝8，所以AC 的长为8.(12分)19. (1) 证明：由菱形ABCD 知，D ′A ＝D ′C ，又E 为AC 的中点，所以D ′E ⊥AC ， 同理，可得BE ⊥AC .(2分)因为D ′E, BE ⊂平面BD ′E, D ′E ∩BE ＝E ，所以AC ⊥平面BD ′E . 因为AC ⊂平面ABC ，所以平面BD ′E ⊥平面ABC .(4分)(2) 解：过点D ′作D ′H ⊥BE 交BE 于点H ，由(1) 知，平面BD ′E ⊥平面ABC .又平面BD ′E ∩平面ABC ＝BE ，D ′H ⊂平面D ′BE, 所以D ′H ⊥平面ABC .(6分)因为三棱锥D ′ABC 的体积为223 ，所以13 ×34 ×22×D ′H ＝223 ，解得D ′H ＝263 .(8分)在Rt △D ′EH 中，D ′E ＝3 ， 所以EH ＝33 ，于是BH ＝BE －EH ＝233. (解法1)如图，以E 为坐标原点，EA ，EB 分别为x 轴、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (0，3 ，0)，D ′(0，33 ，263)，所以AB →＝(－1，3 ，0)，BD ′→＝(0，－233 ，263).设平面D ′AB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB → ＝0，n ·BD ′→＝0，即－x ＋3 y ＝0，－233y ＋263z ＝0，令x ＝6 ，得y ＝2 ，z ＝1，所以n ＝(6 ，2 ，1).(10分)又平面ABC 的一个法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈n ，m 〉＝n·m|n |×|m | ＝19×1 ＝13，所以二面角D ′ABC 的余弦值为13.(12分)(解法2)过点H 作HF ⊥AB 交AB 于点F ，连接D ′F .因为D ′H ⊥平面ABC ，根据三垂线定理，得AB ⊥D ′F ， 所以∠D ′FH 是二面角D ′ABC 的平面角．(10分)在Rt △BFH 中，HF ＝BH sin 30°＝33.在Rt △D ′HF 中，D ′F ＝D ′H 2＋HF 2 ＝3 ，所以cos ∠D ′FH ＝HF D ′F ＝13 ，所以二面角D ′ABC 的余弦值为13.(12分)20. 解：(1) 记“第i 局甲胜、乙胜、丙胜”分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1，2，3，4，记“丙成为优胜者”为事件D ，则D ＝A 1C 2C 3＋B 1C 2C 3，(2分)所以P (D )＝P (A 1C 2C 3＋B 1C 2C 3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3) ＝P (A 1)P (C 2|A 1)P (C 3|A 1C 2)＋P (B 1)P (C 2|B 1)P (C 3|B 1C 2)(4分) ＝13 ×(1－13 )×(1－12 )＋(1－13 )×(1－12 )×(1－13 )＝19 ＋29 ＝13， 所以丙成为优胜者的概率是13.(6分)(2) 记“甲、乙打第一局“为事件A ，“甲、丙打第一局”为事件B ，“乙、丙打第一局”为事件C ，“恰打完2局比赛结束”为事件E ，其中A ，B ，C 两两互斥，且和为样本空间，依题意，P (A )＝P (B )＝P (C )＝13.所以P (E |A )＝P (A 1A 2＋B 1B 2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2|A 1)＋P (B 1)P (B 2|B 1) ＝13 ×13 ＋23 ×12 ＝49. 同理可得，P (E |B )＝13 ×13 ＋23 ×12 ＝49 ，P (E |C )＝12 ×23 ＋12 ×23 ＝23.(9分)根据全概率公式知，P (E )＝P (AE )＋P (BE )＋P (CE )＝P (E |A )P (A )＋P (E |B )P (B )＋P (E |C )P (C )＝49 ×13 ＋49 ×13 ＋23 ×13 ＝1427， 所以恰好打完2局结束比赛的概率为1427 .(12分)21. (1) 解：当x ＝3时，代入y ＝33x ，得y ＝3 ＞2 ，所以双曲线C 的焦点在x 轴上．(2分)不妨设双曲线C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ＞0)，将点(3，2 )代入，得λ＝1，所以C 的方程为x 23－y 2＝1.(4分)(2) 证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，由(1)知A (3 ，0).(5分)因为P ，M ，N 三点共线，所以y 1x 1＋23 ＝y 2x 2＋23(不妨记为k ).则(x 1＋23 )y 2－(x 2＋23 )y 1＝0，即x 1y 2－x 2y 1＝23 (y 1－y 2).(6分)设直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－3(x －3 ).由⎩⎨⎧y ＝y 1x 1－3（x －3），x23－y 2＝1 消去y 并整理，得(2x 21 －3 x 1－3)x 2＋33 y 21 x ＋3(x 21 ＋3 x 1－6)＝0.则3 x 3＝3（x 1－3）（x 1＋23）（x 1－3）（2x 1＋3） ，故x 3＝3（x 1＋23）2x 1＋3 ，y 3＝－3y 12x 1＋3.(8分)同理可得，x 4＝3（x 2＋23）2x 2＋3 ，y 4＝－3y 22x 2＋3.所以直线DE 的斜率＝－3y 12x 1＋3＋3y 22x 2＋33（x 1＋23）2x 1＋3－3（x 2＋23）2x 2＋3＝2（x 1y 2－x 2y 1）＋3（y 2－y 1）33（x 2－x 1）＝43（y 1－y 2）＋3（y 2－y 1）33（x 2－x 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1 ＝－k .(10分)所以直线DE 的方程为y ＋3y 12x 1＋3 ＝－k [x －3（x 1＋23）2x 1＋3]，即y ＝－kx ＋3k （x 1＋23）2x 1＋3 －3y 12x 1＋3.又因为y 1＝k (x 1＋23 )，所以y ＝－kx .所以直线DE 过定点(0，0).(12分)22. 解：(1)由g (e)＝e ，得e ＋1＋log a e ＝e ，即log a e ＝－1，所以a ＝1e.(1分)所以f (x )＝x ＋e 1－x ，则f ′(x )＝1－e 1－x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.(3分) 当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝2.(5分)(2) 记p (x )＝f (x )－g (x )＝a x －1－log a x －1，因为0＜a ＜1，所以ln a ＜0，则p ′(x )＝a x －1ln a －1x ln a ＝xa x －1ln 2a －1x ln a.记q (x )＝xa x －1ln 2a －1，则q ′(x )＝(a x －1＋xa x －1ln a )ln 2a ＝(1＋x ln a )a x －1ln 2a .令q ′(x )＝0，得x ＝－1ln a，记其为t (t ＞0)，此时a ＝e －1t .当x ∈(0，t )时，q ′(x )＞0，故q (x )在(0，t )上单调递增；当x ∈(t ，＋∞)时，q ′(x )＜0，故q (x )在(t ，＋∞)上单调递减，所以q (x )在x ＝t 处取得极大值q (t )＝t (e －1t )t －1(－1t )2－1＝1te 1t －1－1.(7分)不难发现函数y ＝1t e 1t －1－1在t ∈(0，＋∞)上单调递减，且正数零点为1.当t ≥1，即1e≤a ＜1时，有q (t )≤0，故p ′(x )≥0, 所以p (x )单调递增．又p (1)＝0，所以函数p (x )有唯一的零点，所以1e≤a ＜1.(9分)当0＜t <1，即0<a ＜1e时，有q (t )>0，因为q (1)＝ln 2a －1＞0，q (1a )＝1a ·a 1a －1·ln 2a －1＜0(*)，所以q (x )在区间(1，1a)内存在唯一零点，记为x 0， 所以p (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，1a)上单调递增．因为p (x 0)＜p (1)＝0，p (1a )＝a 1a －1＞0，所以函数p (x )在区间(x 0，1a)内存在唯一的零点，记为x ′0(x ′0＞x 0＞1)，这与p (1)＝0矛盾，所以0＜a ＜1e 不符合题意，故舍去．综上，a 的取值范围是[1e，1).(12分)附(*)：q (1a )＝1a ·a 1a －1·ln 2a －1＝a 1a －2·ln 2a －1＝(a 12a －1·ln a －1)(a 12a －1·ln a ＋1).易知a 12a －1·ln a －1＜0，又a 12a －1·ln a ＋1＝－(1a )1－12a ln 1a＋1.若－(1a )1－12a ln 1a ＋1＞0，则(1a )1－12a ln 1a ＜1.令t ＝1a，t ＞e ，则t 1－t 2 ln t ＜1，即ln (t 1－t2ln t )＜0，从而(1－t 2 )ln t ＋ln (ln t )＜0，又(1－t 2 )ln t ＋ln (ln t )＜(1－t 2 )ln t ＋ln t －1＝(2－t2)ln t－1.令φ(t )＝(2－t 2 )ln t －1，t ＞e ，则φ′(t )＝－12 ln t ＋(2－t 2 )1t ＝－12 ln t ＋2t －12 ，又φ″(t )＝－12t －2t2 ＜0，故φ′(t )在(e ，＋∞)上单调递减，所以φ′(t )＜φ′(e)＝－1＋2e ＜0，所以φ(t )在(e ，＋∞)上单调递减，所以φ(t )＜φ(e)＝1－e 2 ＜0，所以q (1a)＜0.注：缺少(*)式证明，扣1分。
2023-2024学年江苏省连云港市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足（1+i ）•z ＝i ，则此复数z 的虚部为（ ） A ．12B ．−12C ．12iD ．−12i2．已知集合S ＝{x |x ＝k −12，k ∈Z }，T ＝{x |x ＝2k +12，k ∈Z }，则S ∩T ＝（ ）A ．SB ．TC ．ZD ．R3．随机变量X ～N （2，σ2），若P （X ≤1.5）＝m ，P （2≤X ≤2.5）＝1﹣3m ，则P （X ≤2.5）＝（ ） A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.854．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ∠ASB ＝（ ）A ．√22B ．√32 C ．13D ．2√235．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A ．108种B ．90种C ．72种D ．36种6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点，若∠AMB 为锐角，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．（1，√3）B ．（1，2）C ．（√3，+∞）D ．（2，+∞）7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，A =π3，且BE 为边AC 上的高，AD 为边BC 上的中线，则AD →•BE →的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣68．已知a ＝ln 3，b ＝log 2e ，c =6(2−ln2)e，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省各地高三数学第一学期期末考试试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞2．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．23．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1D ．2e e - 4．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．905．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．164816．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．231,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(1,3⎤⎦7．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．128．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1009．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．156010．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．411．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α 12．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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江苏省高三上学期期末数学试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)
1. （1 分） (2019 高三上·通州月考) 已知集合
，
，则
=________.
2. （1 分） (2020·桂林模拟) 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一
人、高二
人、高三 人中，抽取 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 ，那么高三被抽取的人数为________．
3. （1 分） (2020 高一下·胶州期中) 设复数
，则
________．
4. （1 分） (2019 高一上·阜阳月考) 已知
5. （1 分） 执行右侧的程序框图，若输入
，则输出
，则 ________.
________
6. （1 分） 从 2 男和 2 女四个志愿者中，任意选择两人在星期一、星期二参加某公益活动，每天一人，则星 期一安排一名男志愿者、星期二安排一名女志愿者的概率为________
7. （1 分） (2019·广西模拟) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 a5=7，则 S9=________．
8. （1 分） (2019 高一下·衢州期中) 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生 成函数”.给出下列函数：
⑴
；
⑵
；
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⑶ 其中与
；
⑷
.
构成“互为生成函数”的有________.（把所有可能的函数的序号都填上）
9.（1 分）(2020 高三上·温州期末) 在
中，
，
，且
，
，
其中
，且
________.
，若 ， 分别为线段 ， 中点，当线段
取最小值时
10. （1 分） (2019 高二上·随县期中) 已知圆 ： ， 分别为圆 ， 上的动点，点 是 轴上的动点，则
，圆 ：
，
的最小值为________．
11. （1 分） 要制作一个容器为 4m3 ， 高为 1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元， 侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________ （单位：元）
12. （1 分） (2018 高一下·金华期末) 已知公差不为零的等差数列 中，
等比数列， 的前 项和为 ，
.则数列 的前 项和
，且 ， ， 成 ________．
13. （1 分） (2016 高三上·定州期中) 已知方程 ln|x|﹣ax2+ 范围是________．
=0 有 4 个不同的实数根，則实数 a 的取值
14. （1 分） (2019 高二下·南宁期中) 已知向量 上存在增区间，则 t 的取值范围为________.
，若函数
在区间
二、 解答题 (共 6 题；共 45 分)
15. （5 分） (2017·嘉兴模拟) 在锐角△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 A 满足 2cos2A+cos
（2A+ ）=﹣ ．
（Ⅰ）求 A 的值；
（Ⅱ）若 c=3，△ABC 的面积为 3 ，求 a 的值．
16. （5 分） (2020·江西模拟) 如图，直三棱柱
中，
，
，为
的中点.
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（I）若 E 为
上的一点，且
与直线
垂直，求
的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，设异面直线
与
所成的角为 45°，求直线
与平面
值.
成角的正弦
17. （10 分） (2020 高二上·长春月考) 已知椭圆的焦点在 轴上，长轴长为 6，焦距为
圆上的一点， ， 是该椭圆的两个焦点，若
，求：
（1） 椭圆的标准方程；
，设 P 为椭
（2）
的面积．
18. （5 分） 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的 一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 ， 已知到今年为止，森林剩余面
积为原来的 ， （1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
19. （10 分） (2018 高二下·青铜峡期末) 已知函数
.
（1） 求函数
的单调区间；
（2） 若
恒成立，试确定实数 的取值范围.
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20. （10 分） (2018 高二上·莆田月考) 已知等比数列 项和为 .
满足
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 数列 的通项公式为
，求数列
的前 项和 .
，数列 的前
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一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)
答案：1-1、 考点：
参考答案
解析： 答案：2-1、 考点：
解析： 答案：3-1、 考点：
解析： 答案：4-1、
第 5 页 共 18 页
考点： 解析：
答案：5-1、 考点： 解析：
答案：6-1、 考点： 解析：
第 6 页 共 18 页
答案：7-1、 考点：
解析： 答案：8-1、 考点： 解析：
第 7 页 共 18 页
答案：9-1、 考点： 解析：
第 8 页 共 18 页
答案：10-1、 考点： 解析：
第 9 页 共 18 页
答案：11-1、 考点： 解析：
第 10 页 共 18 页
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
二、解答题 (共6题；共45分)
答案：15-1、考点：
解析：
考点：
解析：
答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：。