椭圆的第一定义与基本性质的练习题

1.椭圆2x 2

+3y 2

=6的焦距是

A.2

B.2(3－2)

C.25

D.2(3+2)

2.方程4x 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是

A.R >0

B.0

C.0

D.2

3.方程x 2

sin α+y 2

cos α=1（0<α<2

）表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是：（）

4（5. A 、6.7.2

1，则

（A ）8.9.，求椭

10.）

（A ）11.AB 12.

14.与椭圆

=具有相同的离心率且过点（2，_____

15.椭圆

=1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是

__________.

椭圆的第二定义与性质的练习题

16.点M 到一个定点F (0，2)的距离和它到一条定直线y =8的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是__________. 17.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的

A.4倍

B.9倍

C.12倍

D.18倍

18.设点A (－2，3)，椭圆16

=1的右焦点为F ，点P 在椭圆上移动.当|P A |+2|PF |取最小值时,P 点的坐

标是__________. 19.设椭圆

x +

y =1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0),左准线l 1与x 轴交于点N (－3,0),过点N 且倾斜角为30°

的直线l 交椭圆于A 、B 两点.

(1)求直线l 和椭圆的方程；

(2)求证:点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上.

20.已知椭圆的两焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是椭圆的一条准线.

(1)求椭圆方程；

(2)设点P 在椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|=1，求tan ∠F 1PF 2的值.

21.设椭圆的中心为坐标原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于83，求椭圆方程.

高中数学椭圆讲义及例题

7.椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆1 22 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=, b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

习题课：椭圆第二定义的应用(精)

人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课班级姓名自我学习评价 :优良还需努力【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题； 2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。【学习过程】一、学习准备（知识准备）请独立完成下列填空： 1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的；常数等于椭圆的； 2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条. 常数，（）是的离心率。e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。 3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。设为椭圆上任意一点，对于标准方程的焦半径；；对于标准方程的焦半径； .

椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。 1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D. 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A B C. D. 3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15 4 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=； 5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为你是用什么方法求解的？。二、典型例析【探究一】利用椭圆第二定义解题

椭圆的常见题型及解法(一).

椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导设P （，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。证法1：。因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴，证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所以，而。

∴，。 2.公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为，则、、。 ∵ ，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。解：设，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。解：由已知可得，所以直线AB 的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为

椭圆的第二定义及简单几何性质

二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 )10(<<= e a c e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． e d MF =| |∴ 准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2 =．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆122 22=+b x a y 的准线方程是c a y 2 ±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2 ===右；左焦半径公式为ex a c a x e ed MF +===|)-(-|||2 左二、典型例题例1、求椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，

离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________. 例2、已知椭圆方程136 1002 2=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离. 例3、已知点M 为椭圆116 252 2=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求 ||3 5 ||1MF MA +的最小值. 变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13 42 2=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMAT MF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。

椭圆的讲义

海豚教育个性化简案海豚教育个性化教案（真题演练）

海豚教育个性化教案

A . 45 B .23 C .22 D .2 1 例2：已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为例3：在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e = ．【变式训练】 1. 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. 63 B.33 C.2 3 D. 不确定 2. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（） 3. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。 2：求离心率的取值范围例1：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3 221π =∠PF F ，求其离心率e 的取值范围。例2：已知椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ，求椭圆离心率的取值范围。例3：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程02 =++c bx ax 无实根，求其离心率e 的取值范围。题型四：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1：已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值

椭圆定义及应用

一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例例1.已知点 1(3,0) F-,2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。

例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用解决例4.P 是椭圆2 2 145 20 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点, 若则12PF PF -的值为( ) A. D. 3 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程. 练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

椭圆经典解题思路

椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为(０,2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ,根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值．解:方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ．又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合.故5=m . 例２已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ,b a 3=,求椭圆的标准方程．分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b (或2 a 和2 b )的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ．由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a .又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ,故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ．由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ,92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹. 分析：(１)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解． (2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程. 解： (1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ，故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x . (2）设()y x A ，，()y x G ''，,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x . ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．

椭圆及其性质

第十章圆锥曲线本章知识结构图第一节椭圆及其性质考纲解读 1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质 3. 了解椭圆的简单应用 4. 理解数形结合的思想命题趋势研究椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型预测2019年高考对本节考查内容为：（1）利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题. （2）利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分. 知识点精讲曲线与方程轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义及标准方程性质范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）离心率对称性问题中心对称轴对称点(x 1，y 1) ───────→关于点(a ，b )对称点(2a －x 1，2b －y 1 ) 曲线f (x ，y ) ───────→ 关于点(a ，b )对称曲线f (2a －x ，2b －y ) ? ????A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 2 2＋C ＝0y 2－y 1x 2－x 1·(－A B )＝－1 特殊对称轴 x ±y ＋C ＝0 直接代入法点(x 1，y 1)与点(x 2，y 2)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0对称

椭圆的第二定义应用

椭圆的第二定义应用班级姓名基础梳理 1.椭圆第二定义：___________________________距离之比是常数 e c a e M = <<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-212 0() ②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。自测自评 1、椭圆125 92 2=+y x 的准线方程是（ ) A 、425± =x B 、516±=y C 、516±=x D 、4 25±=y 2、椭圆的一个焦点到相应的准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（） A 、2 5 B 、5 C 、52 D 、1 3、设P 为椭圆136 1002 2=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距离为（） A 、6 B 、 8 C 、 10 D 、15 4、已知P 是椭圆2100x + 2 36 y =1上的点，P 到右准线的距离是8.5，则p 到左焦点的距离是______

5、已知动点M 到定点（3,0）的距离与到定直线x= 253，的距离之比是35，则动点M 的轨迹方程是_________________。 6、.已知P 点在椭圆225x +2 16 y =1上，且P 到椭圆左、右焦点距离的比是1:4，则P 到两准线的距离分别为_________________。 7、求中点在原点、焦点在x 轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1，与相近的一条准线距离是53 的椭圆标准方程。 8、一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 9、已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612 122 |MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。 10、已知A,B 是椭圆192522 22=+a y a x 上的两点，2F 是右焦点，若a BF AF 5822=+，AB 的中点P 到左准线的距离为23，求椭圆的方程。

椭圆的第一定义与基本性质的练习题

椭圆的第一定义与基本性质的练习题 1.椭圆2x 2 +3y 2 =6的焦距是 A.2 B.2(3－2) C.25 D.2(3+2) 2.方程4x 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是 A.R >0 B.0

椭圆的第二定义与性质的练习题 16.点M 到一个定点F (0，2)的距离和它到一条定直线y =8的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是__________. 17.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的 A.4倍 B.9倍 C.12倍 D.18倍 18.设点A (－2，3)，椭圆16 2 x + 12 2 y =1的右焦点为F ，点P 在椭圆上移动.当|P A |+2|PF |取最小值时,P 点的坐标是__________. 19.设椭圆 2 2a x + 2 2b y =1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0),左准线l 1与x 轴交于点N (－3,0),过点N 且倾斜角为30° 的直线l 交椭圆于A 、B 两点. (1)求直线l 和椭圆的方程； (2)求证:点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上. 20.已知椭圆的两焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是椭圆的一条准线. (1)求椭圆方程； (2)设点P 在椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|=1，求tan ∠F 1PF 2的值. 21.设椭圆的中心为坐标原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于83，求椭圆方程.

第一讲椭圆的定义及其练习题(精)

中心在坐标原点的椭圆的标准方程和几何意义一、知识清单 1. 椭圆的定义：（1）把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于定长（大于F 1F 2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。符号表示： |PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2| a 2 (2平面内，到定点F(c,0的距离与到直线l ：x = c 的动点的轨迹叫做椭圆。2. 椭圆的简单几何性质：焦点在x 轴上标准方程的距离之比是常数 c (a >c >0 a 焦点在y 轴上 x 2y 2

+2=12a b x 2y 2 +2=12b a 图形，焦点坐标对称性顶点坐标范围长轴短轴离心率准线方程 F 1(?c , 0, F 2(c , 0 F 1(0, ?c , F 2(0, c 关于x 、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称椭圆点的焦距与长轴长的比e = c a x 2y 2 3. 点P (x 0, y 0 和椭圆2+2=1的关系： a b (1 P (x 0, y 0 在椭圆内 ?_______________________________________________________(2 P (x 0, y 0 在椭圆上?_______________________________________________________ (3 P (x 0, y 0 在椭圆外 ?_______________________________________________________ 二、例题讲解例1. 求下列椭圆的离心率：（1）已知一椭圆的短轴长与它的焦距相等，求椭圆的离心率；

椭圆性质总结及习题

椭圆一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集 M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个?Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜ B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ?? ?==θθ s i n c o s b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程：c a x 2± =；或c a y 2 ±= ⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0； |PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max ,

(完整)高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2）第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

椭圆标准方程及其性质知识点大全(供参考)

【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性：标准方程图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2.

2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定：（1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；（3）相离：0?>b a 相交于两点 11(,)A x y 、22(,)B x y ，把AB 所在直线方程y=kx+b ，代入椭圆方程122 22=+b y a x 整理得：Ax 2+Bx+C=0。 ●弦长公式： ① 212212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1（含M N F x y

巧用椭圆的第二定义解题

巧用椭圆的第二定义解题《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x=－22 3 ，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l 1：求椭圆的方程2：求证： d PQ 为定值 3：在l 上是否存在点R ，使?PQR 为正三角形若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程11 32 2=+y x 2：证明：如图，作PP / ⊥l 与P ，QQ / ⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得 e PP PF =/ ，e QQ QF =/；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ / =2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R ，使?PQR 分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/ /MM Q ∠的大小，而COS / / MM Q ∠=M Q MM //，由第2问的结论可得： COS / / MM Q ∠=M Q MM // = PQ PQ e 2 321= 2 231= e ，//MM Q ∠ 为45○ ，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x=－ 223

椭圆的几何性质讲义

8．1 椭圆方程及性质一、明确复习目标 1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程 2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a ,b ,c ,e 等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络 1．椭圆的两种定义： (1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集 M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 (2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2．标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个?Rt ）《（2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= （3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2 +By 2 =1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），这种形式用起来更方便。 3．性质：对于椭圆：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握： ①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点; ④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本)

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1) 第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2) 第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线l 的距离的比是常数e(0

(2)椭圆上一点P 与两焦点F1，F2构成△ PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距)．( )

典例 1】 (1)(2014 ·全国大纲卷改编 )已知椭圆 C ： x a 2＋ y b 2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点为 F 1 、F 2，离心率 (3) 椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆． ( ) (4) 已知点 F 为平面内的一个定点，直线 l 为平面内的一条定直线．设 d 为平面内一动点 P 到定直线 l 的 5 距离，若 d ＝ 4|PF |，则点 P 的轨迹为椭圆． ( ) ［解析］ (1)错误， |PA|＋|PB|＝|AB|＝4，点 P 的轨迹为线段 AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知 PF 1＋ PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△ PF 1F 2的周长为 2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁． (4)正确，根据椭圆的第二定义． [答案 ] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 3．椭圆的焦点坐标为 (0，－6)，(0,6)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 20，则椭圆的标准方程为 ___ x 2 y 2 ［解析］椭圆的焦点在 y 轴上，且 c ＝6,2a ＝20，∴ a ＝10，b 2 ＝a 2 －c 2 ＝64，故椭圆方程为 64＋ 100＝ 1. x 2 y 2 ［答案］ x ＋ y ＝1 64 100 x 2 y 2 4．(2014 无·锡质检 )椭圆4 ＋ 3 ＝1的左焦点为 F ，直线 x ＝m 与椭圆相交于点 A ，B ，当△ FAB 的周长最大时， △ FAB 的面积是 ______ ［解析］直线 x ＝m 过右焦点 (1,0)时，△ FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为 4a ＝8，此时， |AB|＝2× b a 2× 3 22 C ： x a 2＋b y 2＝1(a>b>0)相交于 A ，B 两点，若 M 是 y 1－y 2 b 2 x 1＋ x 2 ＝－ 2 · x 1－ x 2 a y 1＋ y 2 12 ，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－ a b 2＝－ 12， ∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴ a 2＝2c 2，∴a c ＝ 22.[答案 ] 考向 1 椭圆的定义与标准方程 2． (教材习题改编 )焦点在 x 轴上的椭圆 x ＋y ＝1 的离心率为 10，则 m ＝ 5 m 5 ［解析］由题设知 a 2＝ 5，b 2＝m ，c 2 ＝5－m ， 1 2 ＝3，∴S △FAB ＝2×2×3＝3.[答案 ] 3 5． (2014 ·江西高考 )过点 1 M(1,1) 作斜率为－ 12的直线与椭圆线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于［解析］设 A(x 1，y 1)， B(x 2， y 2)，则 x 1－x 2 x 1＋ x 2 y 1－ y 2 y 1＋y 2 ＝ 0， a 2 b 2 ∵ y 1－y 2＝ x 1－ x 2 5－ m 5 2 5 ，∴5－m ＝2，∴m ＝3.［答案］ b y 122 ＝1

椭圆的解题方法和技巧

椭圆的解题方法和技巧安徽省宿州市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。解析：∵ 、、成等差数列，∴ ，即，又，∴ 。根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。又∵ ，∴ ，即， ∴ ，∴ 。故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴ 。 ∴点的轨迹方程为。评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2 ，试判断的形状。分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。解析：由，解得。

又，故满足。 ∴为直角三角形。评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。例3 、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1（ 6,1）, P2 （ 3, 2）,求椭圆的方程. 【解析】设椭圆方程为mx 2ny21（m>0,n>0 且m≠n）. ∵椭圆经过P1，P2点，∴ P1，P2点坐标适合椭圆方程，则① 6m+n=1 ，② 3m+2n=1 ，①②两式联立，解得m= 1, n= 1. 93 22 ∴所求椭圆方程为x y 1 93 评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1 （m >0,n>0,m≠n），由题目所给条件求出m，n 即可.

椭圆的复习专题

椭圆一、椭圆的定义、基本性质 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程: ●椭圆定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 ,即___＿____＿＿___＿_______＿__＿_ 这个动点P 的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距．注意：①若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ；②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性: 标准方程 12 2 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点焦距范围 a x ≤,b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点轴长离心率（离心率越大，椭圆越_____＿） 1.方程中的两个参数a 与b,确定椭圆的形状和大小,是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置,是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型，常数a,ｂ,c 都大于零,其中a 最大且a 2 =b 2 +ｃ 2 .

2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是:AB Ｃ≠0,且A,B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A<Ｂ时,焦点在x 轴上。练习题型一椭圆的定义 1、已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为________ 2、已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则＝____＿_＿＿__． 3、在平面直角坐标中，椭圆的中心为原点,焦点,在轴上，离心率为，过的直线交Ｃ于，两点,且△ 的周长为，那么的方程为（ ) A. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 题型二椭圆的方程 1、已知 ,则椭圆的标准方程是( ) A.Ｂ. C ．或 D. 2、如果表示焦点在轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ） A. B ． C. D. 3、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,若其离心率为，焦距为，则该椭圆的方程是____＿＿____． 4、已知两点,动点满足 .求动点的轨迹方程. 5、求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程．

椭圆专题复习讲义

题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为（） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ，则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b ，解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系．