解析几何同步练习(椭圆几何性质1AB)
椭圆的简单几何性质 姓名
一、选择题：
1.椭圆6x 2
+y 2
=6的长轴的端点坐标是
[ ]
A.（-1，0），（1，0）
B.（-6，0），（6，0）
C.（-6，0）
，（6，0）
D.（0，-6），（0，6）
2.已知点（3，2）在椭圆b 2
x 2
+a 2
y 2
=a 2
b 2
上，则
[ ]
A.点（-3，-2）不在椭圆上
B.点（3，-2）不在椭圆上
C.点（-3，2）在椭圆上
D.无法判断点（-3，-2），（3，-2），（-3，2）是否在椭圆上 3.椭圆3x 2
+2y 2
=1的焦点坐标是 [ ] A.（0，-66），（0，6
6
） B.（0，-1），（0，1） C.（-1，0），（1，0） D.（-
66，0），（6
6
，0） 4.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离是5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是
[ ]
A.191622=+y x 或116922=+y x
B. 19
252
2=+y x C. 1162522=+y x 或125
162
2=+y x D.椭圆的方程无法确定
5.椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则长轴是短轴长的 [ ] A.
3倍
B.2倍
C.2倍
D.3
2
倍 1.椭圆22
22a
y b x +=1（a ＞b ＞0）的准线方程[ ]
A .y =±
2
2
2b
a a +B .y =±
2
2
2b
a a - C .y =±
2
2
2b
a b +D .x =±
2
2
2b
a a -
2.椭圆4
92
2y x +=1的焦点到准线的距离是 [ ] A .554和559 B .559和5514 C .554和5514 D .5
514
二填空题：
6．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则它的离心率为 7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足2
3
0≤<e ，则长轴的最大值等于
8．写出满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴与短轴的和为18，焦距为6： （2）离心率为
2
3
，经过点（2，0）： （3）与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 有相同的焦点，短轴与上述椭圆的
长轴相等：
三、解答题：
9.求符合下列条件的椭圆标准方程： （1）焦距为8，离心率为0.8
（2）a =6 ,e =
3
1
,焦点在x 轴上
椭圆的简单几何性质（1）B 卷
一、选择题：
1.椭圆的一个焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 [ ] A.
23 B.43 C. 2
2
D. 21
2.椭圆12222=+b
y a x 和λ=+22
22b y a x （λ>0)具有 [ ]
A.相同的焦点
B.相同的顶点
C.相同的离心率
D.相同的长、短轴
3.已知椭圆1522=+m y x 的离心率 =5
10，则m 的值为 [ ] A.3 B.3或
325 C.15 D. 15或3
15
5 4．以椭圆的右焦点2F 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并
交椭圆于点M ，N ，若过椭圆左焦点1F 的直线M F 1是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．
13- B ．32- C ．
22 D ．2
3
二填空题：
5.对于椭圆x 2
+k y 2
=2（0<k <1），k 越接近 椭圆越扁，k 越接近 椭圆越接近圆.
6.由椭圆短轴的一个端点看长轴的端点的视角为1200
，则离心率为
7.若椭圆b 2
x 2
+a 2
y 2
=a 2
b 2
（a >b >0）的左焦点为F 1，上顶点A ，左
顶点为B ，且离心率为
2
1
5-，则∠A B F 1= . 8.中心在原点，焦点在x 轴，若长轴为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 . 三、解答题：
9.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴是6，且c o s ∠O F A =3
2
,求椭圆方程.
10．已知椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 的三个顶点),0(1b B -，),0(2b B ，
)0,(a A ，焦点)0,(c F ，且21AB F B ⊥，求椭圆的离心率。
参考答案
一、选择题： ACBA
二、填空题：
5、0；1；
6、36；
7、2π；
8、
172
812
2=+y x 。
三、解答题
9、15922=+y x 或19522=+y x 。
10、2
15-=e 。
椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)
椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ）123111,,r r r 成等差数列 （D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是 （A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。
(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案
椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是 （ ）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。
《解析几何》第11讲 椭圆及其标准方程椭圆的几何性质1
顶点 性 质
轴
焦距 离心率 a，b，c 的关系
椭圆中的基本元素 1.基本量:
几何意义： 相互关系：
半长轴 半短轴 半焦距 离心率
2 2 2
a
b
c
e
c a b
c e a
2.基本点：顶点、焦点、中心
3.基本线: 对称轴
2 2 例题1.已知椭圆为16x +25y =400, 则 它的长轴长是 10 .
当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清
它们之间的内在联系．
短轴长是
焦距是
8 6 3/5
(3, 0)
.
.
离心率等于
焦点坐标是
.
. 80
(0, 4) .
顶点坐标是 (5, 0) 外切矩形的面积等于
.
例题2. 已知F1(－1,0) ,F2(1,0)是椭圆C的
两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C
于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为 2 2 x y 是 . 1 4 3 2 b A 2 3 a
第11讲 椭圆几何性质(1)
椭圆的几何性质
标准 方程
x 2 y2 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a b
y x 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a b
2
2
图形
性 质
范 围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性
原点 坐标轴 ，对称中心：______ 对称轴：________
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 2a 长轴A1A2的长为_____ 短轴B1B2的长为_____ 2b 2c |F1F2|＝______ (0,1) e＝∈_______ a2－b2 c2＝________
高中 平面解析几何 椭圆的几何性质 练习 含答案
训练目标熟练掌握椭圆的几何性质并会应用. 训练题型 (1)求离心率的值或范围；(2)应用几何性质求参数值或范围；(3)椭圆方程与几何性质综合应用.解题策略(1)利用定义PF 1＋PF 2＝2a 找等量关系；(2)利用a 2＝b 2＋c 2及离心率e ＝c a找等量关系；(3)利用焦点三角形的特殊性找等量关系.1．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且AB ＝1，则该椭圆的离心率为________．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．3．在椭圆x 236＋y 29＝1上有两个动点P ，Q ，E (3,0)为定点，EP ⊥EQ ，则E P →·Q P →的最小值为________．4．已知焦点在x 轴上的椭圆的方程为x 24a ＋y 2a 2－1＝1，随着a 的增大，该椭圆形状的变化是越________圆(填“接近于”或“远离”)．5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________．6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为________． 7．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[π6，π4]，则该椭圆离心率e 的取值范围为________．9.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．10．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，直线y ＝－3x 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．11．已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则AM →·A N →的最大值为________．12．已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________． 14．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________．答案解析 1.32 2.(13，12)∪(12，1) 3．6解析 设P (x 0，y 0)，则有x 2036＋y 209＝1， 因为EP ⊥EQ ，所以E P →·Q P →＝E P →·(E P →－E Q →)＝(EP →)2－EP →·EQ →＝(E P →)2＝(x 0－3)2＋y 20＝(x 0－3)2＋9×(1－x 2036)， 即E P →·Q P →＝34x 20－6x 0＋18. 因为－6≤x 0≤6，所以当x 0＝4时，E P →·Q P →取得最小值6.4．接近于解析 由题意知e 2＝1－a 2－14a ＝1－(a 4－14a )， 而a 4－14a随着a 的增大而增大， 所以e 随着a 的增大而减小，即随着a 的增大，该椭圆的形状越接近于圆． 5.14解析 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 6.57 解析 在△ABF 中，由36＝100＋BF 2－20BF ×45，解得BF ＝8. 又在△BOF 中，由OF 2＝64＋25－80×45＝25，得c ＝5， 设椭圆右焦点是F ′，则由椭圆对称性可得BF ＝AF ′，所以2a ＝AF ＋AF ′＝14，a ＝7，则离心率e ＝c a ＝57. 7.3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a＝3－1. 8．[ 22，3－1] 解析 ∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上，设左焦点为F ′，根据椭圆定义AF ＋AF ′＝2a ，∵AF ′＝BF ，∴AF ＋BF ＝2a .①∵O 是Rt △ABF 的斜边AB 的中点，∴AB ＝2c ，又AF ＝2c sin α②BF ＝2c cos α，③②③代入①，得2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴c a ＝1sin α＋cos α＝12sin (α＋π4)， 即e ＝12sin (α＋π4). ∵α∈[π6，π4]， ∴5π12≤α＋π4≤π2， 6＋24≤sin(α＋π4)≤1， ∴22≤e ≤3－1. 9.62解析 F 1F 2＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1. ∵AF 2＋AF 1＝4，AF 2－AF 1＝2a ，∴AF 2＝2＋a ，AF 1＝2－a .在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°，∴AF 21＋AF 22＝F 1F 22， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62. 10.3－1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝－3x ，得x 2＝a 2b 23a 2＋b 2. 设A (x ，y )，则B (－x ，－y )，A F →＝(c －x ，－y )，B F →＝(c ＋x ，y )．由AF ⊥BF ，得A F →·B F →＝c 2－x 2－y 2＝c 2－4x 2＝0，∴c 2＝4a 2b 23a 2＋b 2. 化简，得c 4＋4a 4－8a 2c 2＝0，即e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4－23，又∵0<e <1，∴e ＝3－1.11．15解析 记圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，设A (x ，y )，x ∈[－3,3]，则AC 2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋5－59x 2＝49x 2－2x ＋6， 当x ＝－3时，(AC 2)max ＝16，AM →·A N →＝(A C →＋CM →)·(A C →－CM →)＝|AC →|2－|CM →|2＝|AC →|2－1≤15，故AM →·A N →的最大值为15.12．(0，－1)解析 设椭圆的右焦点为E ，PQ ＋PF ＝PQ ＋2a －PE ＝PQ －PE ＋2 2. 当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，PQ ＋PF 取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1，QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)．13．(2－1,1)解析 由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1， 得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2. 又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝PF 1PF 2， 所以PF 1PF 2＝c a， 即PF 1＝c aPF 2. 又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 2＝2a 2a ＋c ，PF 1＝2ac a ＋c， 因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2ac a ＋c， 即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．14．[38，34] 解析 由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38. 同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34. 数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.。
2020_2021学年高中数学同步课时作业12椭圆的简单几何性质含解析新人教A版选修1_1
（12）椭圆的简单几何性质1.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点.若AB的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ）A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y += D.221189x y += 2.若坐标原点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP ⋅的最大值为( )A.2B.3C.6D.83.已知椭圆22121,259+=x y F F 分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到点1F 的距离是2，N 是线段1MF 的中点，则ON 的长为( )A.1B.2C.3D.44.已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆与点,A B .若5AB =，则11AF BF +=( ) A.9B.10C.11D.125.已知点12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,点P (不在x 轴上)在椭圆上,且满足212PF PF c ⋅=,则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎫⎪⎪⎣⎭B.11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.⎣⎭D.⎛ ⎝⎦6.已知椭圆22221x y a b+=(0a b c >>>,其中c 为椭圆的半焦距)的左、右焦点分别为12,F F ,若以2F 为圆心,b c -为半径作圆2F ,过椭圆上一点P 作圆2F 的切线,切点为T ,若PT 的最小值不小于)a c -,则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.35⎡⎢⎣⎭C.3(0,)5D.7.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,焦距为2c .若直线)y x c =+与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则椭圆C 的离心率等于( )1 D.4-8.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ,且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,若1132k <<,则椭圆离心率的取值范围是( )A.14(,)49B.2(,1)3C.12(,)23D.1(0,)29.已知椭圆22142x y +=的两个焦点分别是12,F F ,点P 在椭圆上,若122PF PF -=,则12PF F △的面积是( )1110.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为( )A.1C.2D.11.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为___________.12.已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上，若点A 的坐标为(3,0)，1AM =,且0PM AM ⋅=,则PM 的最小值是____________.13.若分别过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点12,F F 所作的两条互相垂直的直线12,l l 的交点在椭圆上,则此椭圆的离心率的取值范围是_________.14.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点(2,0)F ,点(2,1)A -为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得8PA PF +=,则椭圆E 的离心率的取值范围是__________.15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,4),离心率为35.（1）求椭圆C 的方程; （2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标.答案以及解析1.答案：D解析：因为直线AB 过点(3,0)F 和点(1,1)-，所以直线AB 的方程为1(3)2y x =-，代入椭圆方程22221x y a b +=消去y ，得2222222390424a b x a x a a b ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，所以线段AB 的中点的横坐标为22232124a a b =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即222a b =.又222,3a b c c =+=，所以3,b c a ===.所以E 的方程为221189x y +=. 2.答案：C解析：由题设,知(1,0)F -.设点00(,)P x y ,则2200143x y +=,得22003(1)4x y =-.因为0000(,),(1,)OP x y FP x y ==+,所以22220000000001(1)(1)3(1)3(2)2444x x OP FP x x y x x x x ⋅=++=++-=++=++.又022x -≤≤,所以OP FP ⋅的最大值为21(22)264++=.故选C.3.答案：D解析：由椭圆定义得21210+==MF MF a .因为12=MF ,所以28=MF .因为N 是线段1MF 的中点，所以242==MF ON ,故选D4.答案：C解析：根据椭圆定义，1228AF AF a +==，1228BF BF a +==，所以1116AF BF AB ++=，所以111611AF BF AB +=-=,故选C 5.答案：C解析：由椭圆的定义,得122PF PF a +=,平方得222121224PF PF PF PF a ++=①. 又212PF PF c ⋅=,∴21212cos PF PF F PF c ⋅∠=②,由余弦定理,得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==③,由①②③,得22212122223,cos 23c PF PF a c F PF a c ⋅=-∠=-,∵2220123c a c <<-,a <,∴e .又01e <<,∴0e <<又122212()2PF PF PF PF a +⋅≤=,当且仅当12PF PF =时等号成立,∴2222223,3a c a a c -≤≤,∴e ≥.又01e <<,1e ≤<.综上,e ≤<,故选C. 6.答案：B解析：依题意可知圆2F 的圆心为(,0)c ,半径为b c -,设(,)P m n 在椭圆上,依题意有22222PT PF TF =-,当PT 取得最小值时,2PF 取得最小值,此时点P 位于椭圆的右顶点,即(,0)P a ,即2223()()()4a c b c a c ---≥-,化简得2a c b +≤,两边平方得22()2a cb +≤,即222224a ac c a c ++-≤,得25230e e +-≥,所以35e ≥.由于b c >,则22b c >,即22222,2a c c a c ->>,得c a <即e <,故椭圆离心率的取值范围是35⎡⎢⎣⎭. 7.答案：A解析：∵12(,0),(,0)F c F c -,∴直线)y x c =+过点1F .∴1260MF F ∠=︒,∴21121302MF F MF F ∠=∠=︒,∴1290F MF ∠=︒,∴12,MF c MF ==.由椭圆定义,知122MF MF c a +=+=,∴离心率1c e a ===.8.答案：C解析：由题意,知点B 的横坐标是c ,故B 的坐标为2(,)b c a ±,∵11(,)32k ∈,∴2(,)b B c a .又(,0)A a -∴直线AB 的斜率2222222111b b a c e a k e c a ac a ac a e --=====-++++.由1132k <<,解得1223e <<. 9.答案：D解析：由题意得124PF PF +=,焦距2c =∵122PF PF -=,∴123,1PF PF ==.∵22213+=,∴12PF F △是直角三角形,且212PF F F ⊥,∴12PF F △的面积为21211122PF F F ⨯=⨯⨯故选D. 10.答案：D解析：设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,则当三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点,∴222121222b c a S c b bc +=⨯⨯==≤=,∴22a ≥,∴a ≥,∴长轴长2a ≥故选D.11.答案：6解析：由22143x y +=可得(1,0)F -.设(,),22P x y x -≤≤，则22222211313(2)2444x OP FP x x y x x x x x ⎛⎫⋅=++=++-=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当2x =时，OP FP ⋅取得最大值6.12.解析：易知点(3,0)A 是椭圆的右焦点.∵0PM AM ⋅=,∴AM PM ⊥，∴22221PM AP AM AP =-=-.∵椭圆的右顶点到焦点A 的距离最小，故min2AP=，∴minPM=13.答案：⎫⎪⎪⎣⎭解析：设两直线的交点为M ,令12,MF m MF n ==.由椭圆的定义,可得2m n a +=.因为12MF MF ⊥,所以2224m n c +=.∵22222()22()m n m n mn m n +=++≤+,当且仅当m n a ==时等号成立,即2242(4)a c ≤,∴a ≤,∴c a ≥即e ≥.又1e <,1e ≤<.14.答案：44,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：记椭圆的左焦点为1(2,0)F -,则11AF =.∵11PF PA AF ≤+,∴112189a PF PF PA AF PF =+≤++=+=,即92a ≤.∵11PF PA AF ≥-,∴112817a PF PF PA AF PF =+≥-+=-=,即72a ≥.∵2c =,∴229722c a ≤≤,即4497e ≤≤,椭圆E 的离心率的取值范围是44,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦.15.答案：（1）将(0,4)代入C 的方程得2161b=, ∴4b =.又35c e a ==得222925a b a -=，即2169125a -=, ∴5a =.∴椭圆C 的方程为2212516x y += （2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为4(3)5y x =-, 设直线与椭圆C 的交点11(,)A x y ,22(,)B x y ,将直线AB 方程4(3)5y x =-代入C 的方程,得22(3)12525x x -+=, 即2380x x --=,解得123x x +=,∴121212326,(6)22255x x y y x x ++==+-=-， 即所截线段中点的坐标为36(,)25-.解析：。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。
对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。
若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。
同学们想一想 其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。
椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。
椭圆的简单几何性质第二课时同步练习2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)
3.1.2椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭2椭一、单选题1. 已知点(4,2)M 是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段AB 的中点，则直线l 的斜率为( )A. 2-B.12 C. 12-D. 22. 过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的直线交椭圆于,A B 两点，右焦点为2(,0)F c ，则2ABF ∆的最大面积是( )A. abB. acC. bcD. 2b3. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2AP PB =，则椭圆的离心率是( )A.B.C.13D.124. 过椭圆22143x y +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为( ) A.18B.16C. 1D.712二、多选题5. 已知椭圆的左、右焦点为12,F F ，O为坐标原点，直线y x =-过2F 交C 于,A B 两点，若1AF B 的周长为8，则( )A. 椭圆焦距为3；B. 椭圆方程为2214x y +=；C. 弦长；D. 46=.5OABS6. 已知直线l ：23y x =+被椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )A. 23y x =-B. 21y x =+C. 23y x =--D. 23y x =-+2222:1(0)x y C a b a b+=>>7. 画法几何的创始人-法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，A ，B 为椭圆上两个动点．直线l 的方程为220.bx ay a b +--=下列说法正确的是( )A. C 的蒙日圆的方程为2223x y b +=B. 对直线l 上任意点P ，0PA PB ⋅>C. 记点A 到直线l 的距离为d ，则2||d AF -的最小值为3D. 若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为26b三、填空题8. 已知点(2,0)A -，(0,1)B 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，则椭圆C 的方程为__________，若直线12y x =交椭圆C 于M ，N 两点，则||MN =__________. 9. 已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点A ，B 满足AP 2PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．10. 过点(1,1)P 的直线l 与椭圆22143x y +=交于点A 和B ，且.AP PB λ=点Q 满足AQ QB λ=-，若O 为坐标原点，则||OQ 的最小值为__________.11. 已知椭圆22+=12x y ，若此椭圆上存在不同的两点A ，B 关于直线=2+y x m 对称，则实数m 的取值范围是__________. 四、解答题12. 已知双曲线C 和椭圆22141x y += ()Ⅰ求双曲线C 的方程．()Ⅱ经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程并求弦长．13.设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：.OMA OMB ∠=∠14. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2(1)求椭圆C 的方程；(2)设过定点(0,2)T 的直线l 与(1)中的椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．15. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(,0)A a -，2(,0)A a ，(0,)B b ，12A BA 的面积为2.()Ⅰ求椭圆C 的方程;()Ⅱ设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M与直线2A B 交于点.Q 求证：BPQ 为等腰三角形.16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴长为4.过左顶点A 且倾斜角为4π的直线1l 与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ，且2.AB BC = (1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过点(1,0)H 且不与x 轴重合的直线2l 交椭圆Γ于点,M N ，连接NO 并延长交AM 于点.P 若AP AM λ=，求实数λ的取值范围.答案和解析1.【答案】C解：设直线l 与椭圆相交于两点11(,)A x y ，22(,).B x y代入椭圆方程可得22111369x y +=，22221369x y +=，两式相减得12121212()()()()0369x x x x y y y y +--++=，12248x x +=⨯=，12224y y +=⨯=，2121l y y k x x -=-，480369l k ∴+=，解得1.2l k =- 故选.C2.【答案】C解：设，则，2ABF ∆的面积是，当最大时，2ABF ∆的面积S 取最大值，所以直线AB 与x 轴垂直时，2ABF ∆的面积S 取最大值， 则2ABF ∆的面积的最大值为12.2b c bc ⨯⨯= 故选.C3.【答案】B解： 由题意，可设2(,)b B c a-，设(0,)P t ，(,0)A a ，，2(,)b PB c t a=--， 2AP PB =，2(,)2(,)b a t c t a∴-=--，2a c ∴=，c e a ∴==， 故选.B4.【答案】D解：由椭圆22143x y +=，得椭圆的右焦点为(1,0)F ， 当直线AB 的斜率不存在时，AB ：1x =， 则CD ：0.y =此时||3AB =，||4CD =， 则11117||||3412AB CD +=+=； 同理易得当直线AB 的斜率为0时，11117||||4312AB CD +=+=； 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB ：(1)(0)y k x k =-≠，则 CD ：1(1).y x k=-- 又设点11(,)A x y ，22(,).B x y 联立方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩， 消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=，221212228412,3434k k x x x x k k -∴+==++，||AB ∴==2212(1)34k k +=+， 由题知，直线CD 的斜率为1k-， 同理可得2212(1)||.43k CD k+=+ 22117(1)7||||12(1)12k AB CD k +∴+==+为定值． 故选.D5.【答案】BC解：直线3y x =-过2F ，得，即3c =，椭圆焦距为23，故A 错误；1AF B 的周长为8，根据椭圆定义得1AF B 的周长为4a ，所以48a =，得2a =，所以221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=，故B 正确； 联立得258380x x -+=，1212838,55x x x x +==， 所以，故C 正确；O 到直线3y x =-的距离3622d ==， 所以18626==.2525OABS⨯⨯故D 错误， 故选.BC6.【答案】ACD解：由于直线l ：23y x =+被椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>截得的弦长为7，根据对称性可得：23y x =-，23y x =--，2 3.y x =-+满足条件． 直线21y x =+被椭圆C 截得的弦长不为7.综上可得：下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有.ACD 故选.ACD7.【答案】AD解：.A 当1l 与2l 一个斜率为0，另一个斜率不存在时，易知交点(,)P a b ±±， 当1l 与2l 的斜率均不为0时，可设000()(P x y x a ≠±且0)y b ≠±， 因为过P 点的切线方程为100:()(0)l y y k x x k -=-≠，所以联立2222001()x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得2222222220000()2()()0a k b x ka kx y x a kx y a b +--+--=，因为l 与椭圆相切，所以0=，整理得222222200000()20(0)x a k x y k y b x a --+-=-≠①，而PA k 与PB k 即为①式的两根，222200222200,,1,1PA PBPA PBy b y b k k PA PB k k x a x a --∴⋅=⊥∴⋅=-∴=---又，222222220000y b x a x y a b ∴-=-++=+即，所以蒙日圆的方程为2222x y a b +=+，22222122b e a b a =-=∴=，所以蒙日圆的方程为2223x y b +=，故A 正确;B .直线22:0l bx ay a b +--=过定点，而刚好在蒙日圆2222x y a b +=+上，过 M 做椭圆的两条切线，切点为 A ， B ，由蒙日圆的定义知PA PB PA PB 0⊥∴⋅=，故 B 错误； C .点A 在椭圆上，，的最小值为到1F 到l 的距离，而1F 到l 的距离为，2222bc a b 43c b,3a b b++∴=∴=+， 的最小值为4323ba -，故 C 错误. D .因为矩形MNGH 的四条边均与C 相切，所以矩形MNGH 为C 的素日圆的内接矩形， 设长为m ，宽为n ，蒙日圆半径为R ，3Rb =，则，，当且仅当m n =时等号成立，故D 正确.故选.AD8.【答案】2214x y +=2||d AF -解：由题意可知：椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，由点(2,0)A -，(0,1)B ，焦点在x 轴上，则2a =，1b =，∴椭圆的标准方程：2214x y +=； ()Ⅱ设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y ，整理得224x =，则1x =2x =12y =，22y =-，则||MN == 故答案为：2214x y +=9.【答案】5解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由(0,1)P ，2AP PB =，可得122x x -=，1212(1)y y -=-， 即有122x x =-，1223y y +=， 又221144x y m +=，即为2221x y m +=，①又222244x y m +=，②①-②得1212(2)(2)3y y y y m -+=-， 可得122y y m -=-， 解得132m y -=，234my +=， 则2223()2m m x -=+， 即有2223()2m x m -=-22109(5)1644m m m -+---+==，即有5m =时，22x 有最大值4，即点B 横坐标的绝对值最大． 故答案为：5.10.【答案】125解：设1122(,),(,),(,)A x y B x y Q m n ， 由,AP PB AQ QB λλ==-， 得则22212()(1)x x m λλ-=-，同理22212()(1)y y n λλ-=-，于是2222221122()()(1)().434343x y x y m n λλ+-+=-+ 又1λ≠±，则143m n +=，所以点Q 的轨迹是直线143x y+=， min ||OQ 即为原点到直线的距离，所以min 112||.511169OQ ==+ 故答案为12.511.【答案】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,).M x y 此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线2y x m =+对称，∴直线AB 的方程可设为1.2y x t =-+ 联立，化为2234440.x tx t -+-=221612(44)0t t ∆=-->，解得23(*).2t < 1243x x t ∴+=， 023x t ∴=，012.33y t t t =-+= 22(,).33M t t ∴ 代入直线2y x m =+可得：2433t t m =+，解得3.2m t =- 代入(*)可得：233()22m -<，解得66.33m -<< m ∴的取值范围是66.33m -<< 故答案为12.【答案】解：()Ⅰ由题意得椭圆22141x y +=的焦点坐标分别为(和， 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>， 则2223c a b =+=，c e a==，c ∴=，解得21a =，22b =，∴双曲线方程为221.2y x -= ()Ⅱ设11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别代入双曲线可得2211112x y -=，2222112x y -=， 两式相减，得121212121()()()()02x x x x y y y y -+--+=， 点(2,1)M 为AB 的中点，可得124x x +=，122y y +=，则12124()()0x x y y ---=，12124AB y y k x x -∴==-，∴直线l 的方程为47y x =-，把47y x =-代入2212y x -=， 消去y 得21456510x x -+=，124x x ∴+=，125114x x =，4k =，||7AB ∴===13.【答案】解：(1)211c =-=，(1,0)F ∴， l 与x 轴垂直， ∴直线l 的方程为1x =，由，解得或，A ∴的坐标为2(1,)2或2(1,)2-， ∴直线AM 的方程为222y x =-+或222y x =-； (2)当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ︒∠=∠=，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，OMA OMB ∴∠=∠，当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x <，22x <，则121222MA MB y y k k x x +=+--， 由11y kx k =-，22y kx k =-，得12121223()4(2)(2)MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--， 将(1)y k x =-代入2212x y +=，整理可得2222(21)4220k x k x k +-+-=， 则0∆>，2122421k x x k ∴+=+，21222221k x x k -=+， 121223()4kx x k x x k ∴-++33321(441284)021k k k k k k =--++=+，从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，OMA OMB ∴∠=∠，综上，.OMA OMB ∠=∠14.【答案】解：(1)由已知得 22b =，c a = 又222a b c =+，解得a =1b = ∴椭圆C 的方程为22 1.3x y += (2)由题意知，直线l 斜率存在，可设直线l 方程为2y kx =+，将其代入2213x y +=， 得22(31)1290k x kx +++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(12)36(13)0k k ∴=-+>，解得21k >， 由根与系数的关系，得1221213k x x k +=-+，122913x x k =+ AOB ∠为锐角，0OA OB ∴⋅>，12120x x y y ∴+>，1212(2)(2)0x x kx kx ∴+++>，21212(1)2()40k x x k x x ∴++++>， 代入1221213k x x k +=-+，122913x x k=+， 化简得22133013k k->+， 解得2133k <，由21k >且2133k <，解得(1)k ∈-⋃15.【答案】解：()Ⅰ由题2222,.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += ()Ⅱ证明：由(1)知1(2,0)A -，2(2,0)A ，设0000(,)(2,1)M x y x y ≠±≠±，则220014x y +=， 212000200012244A M A M y y y k k x x x ⋅=⋅==--+-， 设直线2A M 方程为1(2)(0)2y k x k k =-≠≠±且，直线1A B 方程为112y x =+， 由(2),1 1.2y k x y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩解得点424(,).2121k k P k k +-- 由于2114A M A M k k ⋅=-， 于是直线1A M 的方程为1(2)4y x k =-+，直线2A B 的方程为1 1.2y x =-+ 由1(2)4112y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得点422(,).2121k Q k k +--- 于是P Q x x =，所以PQ x ⊥轴．设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为422121 1.2k k k -+--= 故PQ 中点在定直线1y =上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以||||BP BQ =， 所以BPQ 为等腰三角形．16.【答案】解：(1)由题意：2a =，(2,0)A -，所以直线1l 的方程为2y x =+，所以(0,2)C ，因为2.AB BC =所以，由B 在椭圆上可得：∴椭圆Γ的标准方程为：221.42x y += (2)设直线2l ：1x my =+，点，点，所以 12222m y y m +=-+，12232y y m =-+， 所以直线AM ：1122x x y y +=-，直线ON ：22x x y y =， 设点， 所以 ，，令12y t y =，，所以11(,)M x y 22(,)N x y所以，∴实数λ的取值范围为。
2020年高中数学 课堂小练《椭圆的简单几何性质》(含答案解析)
( ) 则―OP→·―FP→=x2＋x＋y2=x2＋x＋3
x2 1－
1
1
= x2＋x＋3= (x＋2)2＋2，
44
4
―→ ―→ 当且仅当 x=2 时， OP · FP 取得最大值 6.
15.解：
16 (1)将(0,4)代入 C 的方程得 =1，∴b=4.
b2
c 3 a2－b2 9
16 9
又 e= = 得
34
x2 13.椭圆 ＋y2=1 被直线 x－y＋1=0 所截得的弦长|AB|=________.
3
x2 y2 14.若点 O 和点 F 分别为椭圆 ＋ =1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，
43 则―OP→·―FP→的最大值为________.
三、解答题
x2 y2
3
15.设椭圆 C： ＋ =1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为 .
4
4
∵Δ=242－4×5×32=－64＜0，∴直线与椭圆相离.
6.答案为：C； x2 y2
解析：把 y=kx＋2 代入 ＋ =1 得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6=0， 32 6
因为直线与椭圆相切，∴Δ=(12k)2－4(3k2＋2)×6=0，解得 k=± . 3
7.答案为：D； 解析：∵直线 y=kx＋1 恒过(0,1)点，若 5＞m，则 m≥1， 若 5＜m，则必有公共点，∴m≥1 且 m≠5.
a2 b2
5
(1)求 C 的方程；
4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标.
5
x2 y2 16.椭圆 ＋ =1(a>b>0)的右顶点是 A(a,0)，其上存在一点 P，使∠APO=90°，求椭圆的离心
高中数学-椭圆的几何性质及针对性练习
高中数学-椭圆的几何性质与标准方程及针对性练习第一部分：椭圆知识点 一、椭圆的定义：（1）第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.（2）第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离. 椭圆定义的表达式：()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M 二、椭圆方程 1. 椭圆的标准方程:焦点在x 轴:()012222>>=+b a b y a x ； 焦点在y 轴:()012222>>=+b a bx a y .a 是长半轴长，b 是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满足.222c b a +=2. ()B AC B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件为：122=+CBy C Ax ，122=+BC y A C x . 所以只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B CA C >时，椭圆的焦点在x 轴上； 当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 三、椭圆的几何性质（以()012222>>=+b a by a x 为例）1. 有限性:b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称。
3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴、焦距：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 21F F 叫椭圆的焦距；为()c 2.5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ac e = （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。
3.1.2 椭圆的简单几何性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步练习
椭圆的简单几何性质同步练习一、选择题1.已知有相同两焦点F1、F2的椭圆x2m +y2=1(m>1)和双曲线x2n−y2=1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随m，n变化而变化2.已知椭圆：x24+y22=1，过点M(1,1)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为()A. x+2y−3=0B. 2x+y−3=0C. x+y−2=0D. 2x−y+1=03.若过椭圆x216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为()A. 3x+4y−13=0B. 3x−4y−5=0C. 4x+3y−15=0D. 4x−3y−9=04.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2−6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A. (−3,0)B. (−4,0)C. (−10,0)D. (−5,0)5.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2，a>b>c>0).如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A. 5，4B. √3，1C. 5，3D. √72，16. 如图，F 1F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2的面积为√3的正三角形，则b 2的值为（ ）A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√37. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0(O为坐标原点)，若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则椭圆的离心率为( )A. √6−√3B. √6−√32C. √6−√5D. √6−√528. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (0,12]C. (0,√22) D. [√22,1)9. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e1e 2的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 4√33D. 2√3310. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则k=（ ）A. 1B. √2C. √3D. 211. 已知F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为（ ）A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=112. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1,−1)，则弦长|AB|=( )A. 5√2B. 2√5C. 5√22D. √1013. 若椭圆C ：x 28+y 24=1的右焦点为F ，且与直线l ：x −√3y +2=0交于P ，Q 两点，则△PQF 的周长为（ ）A. 6√2B. 8√2C. 6D. 814. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上的点M满足：∠F 1MF 2=60°，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则b =( )A. 1B. √2C. √3D. 2二、填空题15. 已知抛物线C ：x 2=−2py(p >0)的焦点F 与y 28+x 24=1的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长|AB|=________． 16. 设M 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，以M 为圆心的圆与x 轴相切，切点为椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P ，Q ，若△PMQ 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为________． 17. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为_________． 18. 设F 1，F 2分别为椭圆x 23+y 2=1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的坐标是_________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）19. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)四个顶点中的三个是边长为2√3的等边三角形的顶点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +m 与圆O:x 2+y 2=2b 23相切且交椭圆E 于两点M,N ，求线段|MN|的最大值．20.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−a,0),B(a,0)，点P为椭圆上异于A，B的点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且．(1)求椭圆C的离心率；(2)若b=1，设直线l与x轴交于点D(−1,0)，与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点，求△OMN的面积．22.已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的焦距为2，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N为椭圆C上的两点(异于A，B)，连结AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线MN恒过定点．答案和解析1.【答案】B【解答】解：由题意，不妨设P 是双曲线右支上的一点，|PF 1|=x ，|PF 2|=y ，则x +y =2√m ，x −y =2√n ， ∴x 2+y 2=2(m +n)， ∵两曲线有相同的焦点， ∴m −1=n +1， ∴m =n +2， ∴x 2+y 2=4(n +1)， 即|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2， ∴△F 1PF 2是直角三角形， 故选B ．2.【答案】A【解答】解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 则x 124+y 122=1，①，x 224+y 222=1，②①−②，得(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)2=0．∴y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2．又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2． ∴直线AB 的斜率为y 1−y 2x1−x 2=−12．∴直线AB 的方程为y −1=−12(x −1)，即2y +x −3=0． 故选：A ．3.【答案】A【解答】解：设弦的两端点为A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)， P 为AB 中点得{x 1+x 2=6y 1+y 2=2，由A ， B 在椭圆上有{x 1216+y 124=1x 2216+y 224=1,两式相减得x12−x2216+y12−y224=0，即(x1+x2)(x1−x2)16+(y1+y2)(y1−y2)4=0，即3(x1−x2)8+y1−y22=0，即y1−y2x1−x2=−34，则斜率k=−34，且过点P(3,1)，有y−1=−34(x−3)，整理得3x+4y−13=0．故选A．4.【答案】D【解答】解：∵圆的标准方程为(x−3)2+y2=1，∴圆心坐标是(3,0)，∴c=3．又b=4，∴a=√b2+c2=5．∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(−5,0)．故选D．5.【答案】D【解析】解：由题意可得|OF2|=√b2−c2=12，|OF0|=c=√3|OF2|=√32，解得b=1，又a2=b2+c2=1+34=74，得a=√72，即a=√72，b=1．6.【答案】B 【解答】解：∵△POF2的面积为√3的正三角形，S=12×c×√32c=√34c2∴√34c2=√3，解得c=2．∴P(1,√3)代入椭圆方程可得：1a2+3b2=1，与a2=b2+4联立解得：b2=2√3．故选B．7.【答案】A【解答】解：设焦点坐标F 1(−c,0)，F 2(c,0)，|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ， |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ， 所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2a(√2−1)，|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a(√2−1)，由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，设线段PF 1的中点为M ，则OM ⊥PF 1, 则|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴PF 1⊥PF 2，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴(2√2a(√2−1))2+(2a(√2−1))2=4c 2， 可得c 2=(9−6√2)a 2，解得e 2=9−6√2， 则椭圆的离心率为√6−√3． 故选A ．8.【答案】C【解答】 解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ，椭圆上任一点P(x,y)，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，得x 2+y 2>c 2恒成立，代入椭圆方程化简得y 2<b 4a 2−b 2，又−b <y <b ，所以b 2<b 4a 2−b 2，化简得a 2<2b 2=2a 2−2c 2，得a 2>2c 2，可得e =ca<√22， 又0<e <1，∴0<e <√22， 故选C ．9.【答案】D【解答】解：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为第一象限的点，如图： 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a 1，|PF 1|−|PF 2|=2a 2， ∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2． 设|F 1F 2|=2c ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得，4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos π3，化简得a 12+3a 22=4c 2，即1e 12+3e 22=4，∴1e 12+3e 22=4≥2√3e 12e 22，∴1e1e 2≤2√33， 当且仅当e 1=√22,e 2=√62时，等号成立，则1e1e 2的最大值为2√33， 故选D ．10.【答案】B【解答】 解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2， 可得：b =1，ca =√32，解得：a =2，c =√3，b =1， 椭圆方程为x 24+y 2=1，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴y 1=−3y 2， 设直线AB 方程为y =k(x −√3)， 代入x 24+y 2=1，消去x ，可得(14k 2+1)y 2+√32k y −14=0， ∴y 1+y 2=−√32k 1+14k2=−2√3k1+4k 2，y 1y 2=−141+14k2=−k 24k 2+1，−2y 2=−2√3k 1+4k2，−3y 22=−k 24k 2+1，解得：k =√2． 故选：B ．11.【答案】C【解答】解：F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，可得c =1， 过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3， 令椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1中x =1，得y =±√b 2−b 2a 2，可得2√b 2−b 2a2=3， 化简得4a 4−17a 2+4=0， 解得a =2，则b =√3， 所求的椭圆方程为：x 24+y 23=1．故选：C ．12.【答案】A【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 代入椭圆方程得x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b 2=1②，相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， ∴x 1+x 2a 2+y 1−y2x 1−x 2⋅y 1+y 2b 2=0．∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=−2，k AB =−1−01−3=12．∴2a 2+12×−2b 2=0，化为a 2=2b 2，又c =3=√a 2−b 2，解得a 2=18，b 2=9． ∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．AB 的斜率为12，且过(1,−1)，∴直线AB 的方程为y +1=12(x −1)，即y =12x −32，代入椭圆方程，得3x 2−6x −27=0． ∴x 1+x 2=2.x 1x 2=−9．∴|AB|=√1+14⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=5√2． 故选：A ．13.【答案】B【解析】解：∵直线l 过椭圆C 的左焦点F′(−2,0)， 直线l ：x −√3y +2=0经过左焦点F′， ∴△PQF 的周长|PQ|+|PF|+|QF|=|PF′|+|PF|+|QF′|+|QF|=4a =8√2，14.【答案】C【解析】解：设|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n ，因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则mncos60°=2，⇒mn =4， 又m +n =2a ，(1)，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=m 2+n 2−2mncos60°=4(a 2−b 2)(2)， (1)式平方减去(2)式得：b 2=3，得：b =√3． 故选：C ．设|MF 1|=m ，|MF 2|=n ，由数量积及∠F 1MF 2的大小可得mn =4，再由椭圆的定义可得m +n =2a ，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得b 的值．本题考查椭圆的性质及数量积的运算性质，属于中档题．15.【答案】10【解答】解：由题意可得F(0,−2)，则p =4，抛物线方程为x 2=−8y ． 设直线AB 方程为y =kx −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其中y 1=−x 128，y 2=−x 228．由y =−x28得y′=−x4，所以在点A处的切线方程为y−y1=−x14(x−x1)，化简得y=−x14x+x128，①同理可得在点B处的切线方程为y=−x24x+x228.②联立①②得x M=x1+x22，又∵M的横坐标为2，∴x1+x2=4．将AB方程代入抛物线得x2+8kx−16=0，∴x1+x2=−8k=4，∴k=−12，∴y1+y2=k(x1+x2)−4=−12×4−4=−6，∴|AB|=p−y1−y2=10．故答案为10．16.【答案】√33【解答】解：如图，过M作MN⊥y轴于N，由△PMQ为等边三角形，可得|PQ|=2√33c，再由题意可得M(c,b2a )，则圆M为(x−c)2+(y−b2a)2=b4a2，取x=0，可得y1=b2a −√b4−a2c2a，y2=b2a+√b4−a2c2a，∴2√b4−a2c2a =2√33c，即3(e2)2−10e2+3=0，解得：e=√33．故答案为：√33．17.【答案】6【解答】解：由题意，F(−1,0)，设点P(x0,y0)，则有x024+y023=1，解得y02=3(1−x024)，因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+1,y 0),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+3(1−x 024)=x 024+x 0+3=14(x 0+2)2+2， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=−2，因为−2≤x 0≤2，所以当x 0=2时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值224+2+3=6， 故答案为6． 18.【答案】(0,1)或(0,−1)【解答】解：设A(m,n)．由F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得B (m+6√25,n 5)． 又A ，B 均在椭圆上，所以有{m 23+n 2=1,(m+6√25)23+(n 5)2=1,解得{m =0,n =1或{m =0,n =−1, 所以点A 的坐标为(0,1)或(0,−1)．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形， 所以a =√3b,b =√3，即a =3，所以椭圆E 的方程为x 29+y 23=1，(Ⅱ)圆O:x 2+y 2=2，因为直线y =kx +m 与圆O:x 2+y 2=2相切， 所以√1+k 2=√2，即m 2=2(1+k 2)； 联立{x 29+y 23=1y =kx +m得(1+3k 2)x 2+6kmx +3(m 2−3)=0，Δ>0， 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，所以x 1+x 2=−6km 1+3k 2,x 1·x 2=3(m 2−3)1+3k 2,由弦长公式得|MN|=√1+k 2·|x 1−x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2·√12(9k 2+3−m 2)1+3k 2， 将m 2=2(1+k 2)代入：|MN|=√6·√(2+2k 2)(7k 2+1)1+3k 2≤√6·(2+2k 2)+(7k 2+1)21+3k 2=3√62， 当且仅当2+2k 2=7k 2+1，即k 2=15时等号成立，故弦长|MN|最大值为3√62． 20.【答案】解：(1)设P(x 0,y 0)为椭圆上的点，则x 02a 2+y 02b 2=1，整理得：y 02=−b 2a 2(x 02−a 2)， 又k 1=y 0x 0+a ，k 2=y 0x 0−a ，∴k 1k 2=y 02x 02−a 2=−12， 联立两个方程则k 1k 2=−b 2a 2=−12， 解得e =c a =√1−b2a 2=√22． (2)由(1)知a 2=2b 2，又b =1，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．由题意，设直线l 的方程为：x =my −1，代入椭圆的方程有：(m 2+2)y 2−2my −1=0，则Δ=(−2m )2+4(m 2+2)=8(m 2+1)>0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，则△OMN 的面积S =12|OD |·|y 1−y 2| =12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12×√8m 2+8m 2+2=√2·√m 2+1m 2+2， 令√m 2+1=t ，(t ≥1)，则有m 2=t 2−1，代入上式有S =√2·√m 2+1m 2+2=√2t t 2+1=√2t+1t ≤√22， 当且仅当t =1，即m =0时等号成立，所以△OMN 面积的最大值为√22． 21.【答案】解：(Ⅰ)椭圆焦点坐标为(1,0)，则c =1，由椭圆C 上的点到F 的最大距离为a +c =3，则a =2， b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由已知可设直线MN 的方程为：y =√3(x −1)，联立方程组{y =√3(x −1)3x 2+4y 2=12消去x 得：5y 2+2√3y −9=0． y 1+y 2=−2√35，y 1⋅y 2=−95，⇒(y 1−y 2)2=(−2√35)2−4×(−95)=19225． ∴△OMN 的面积S =12×OF ×|y 1−y 2|=12×1×8√35=4√35 22.【答案】解：(1)∵{2c =2a 2=c 2+3, ∴{a =2c =1, 所以b 2=a 2−c 2=3∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)连结BM ，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则k AM ⋅k BM =y 1x 1+2⋅y 1x 1−2=y 12x 12−4，∵点M(x 1,y 1)在椭圆上，∴k AM ⋅k BM =y 12x 12−4=3−34x 12x 12−4=−34，∵k BN =3k AM ，∴k BN ⋅k BM =−94，①当MN 斜率不存在时，设MN:x =m ，不妨设M 在x 轴上方， ∴M(m,√12−3m 24),N(m,−√12−3m 24)， ∵k BN ⋅k BM =−94， ∴m =1；②当MN 斜率存在时，设MN:y =kx +t ，由{y =kx +t 3x 2+4y 2−12=0，整理，得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8kt 3+4k 2,x 1⋅x 2=4t 2−123+4k 2， ∵k BN ⋅k BM =y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+t)⋅(kx 1+t)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−94，∴化简可得2k2+3kt+t2=0，即t=−k或t=−2k，当t=−k时，y=kx−k，恒过定点(1,0)，当斜率不存在亦符合；当t=−2k，y=kx−2k，过点(2,0)与点B重合，舍去，∴直线恒过定点(1,0)．。