解析几何竞赛题求解的几种常见策略

解析几何竞赛题求解的几种常见策略 陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学322100）解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。

解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。

在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。

下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。

一、用函数(变量)的观点来解决问题函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。

抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。

在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。

【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把∆ABC 的面积表示成以AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。

【解析】设线段AB 的中点M 坐标为（0(2,)y ，则 则直线AB 的斜率：12122212121206366--====-+-y y y y k y y x x y y y 线段AB 的中垂线方程：00(2)3-=--y y y x ，易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点(5,0)C直线AB 的方程：003(2)-=-y y x y ，联立抛物线方程消去x 可得：220022120-+-=y y y y （1）， 由题意，12,y y 是方程（1）的两个实根，且12≠y y ，所以2200044(212)0∆=-->⇒-<<y y y弦长12|||=-==AB y y 点C(5，0)到直线AB的距离：||==h CM则1||2∆=⋅==ABCS AB h≤=当且仅当22009242+=-y y，即=y，点A B或A B时等号成立，所以∆ABC面积的最大值为。

【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积S表示为中点坐标y的函数，同时注意y的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也可设29,[9,21)+=∈y t t，转化为一个t的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。

【例2】（2009全国高中数学联赛试题）设直线:l y kx m=+（其中k，m为整数）与椭圆2211612x y+=交于不同两点A，B，与双曲线221412x y-=交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量0AC BD+=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的,k m,所以其余各量均可用,k m，所以我们这里可用一个二元函数(,)f k m来表示+AC BD，本题就转化为解二元方程(,)0=f k m.【解析】由2211612y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y化简整理得:()2223484480k x kmx m+++-=设()11A x y，，()22B x y，，则122834kmx xk+=-+,()()()222184344480km k m∆=-+->①由221412y kx mx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y化简整理得:()22232120k x kmx m----=设()34C x y，，()44D x y，，则34223kmx xk+=-,()()()2222243120km k m∆=-+-+>②因为0AC BD+=，所以()()4231x x x x-+-=，此时()()4231y y y y-+-=．由1234x x x x+=+得2282343km kmk k-=+-．所以20km=或2241343k k-=+-．由上式解得0k=或0m=．当0k=时，由①和②得m-<m是整数，所以m的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m=，由①和②得k<k是整数，所以1k=-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时，可先把这个因变量表示为一个两元函数，如题设中有其他条件能找到这两个变量间的关系，那只需用一个两来表示另一个量，这时就可转化为一元函数，这也体现了解析几何中“设而不求”的思想；如题设条件不能直接给出两变量者之间的关系，我们可直接对二元函数进行处理.二、用平面几何的知识来解决问题解析几何是用坐标法把几何问题代数化，用代数的方法来解决几何问题，但说到底解析几何还是几何。

在解决某些解析几何问题的时候，如果其平面几何背景非常明显的时候，我们往往可以借助平面几何知识来快速准确解决问题。

【例3】(2012全国高中数学联赛试题)抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是________【分析】根据梯形的中位线定理和抛物线的定义，|MN=|AF|+|BF|，结合3AFB π∠=，可用余弦定理得出等量关系。

【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得 2222cos3AB AF BF AF BF =+-⋅π2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1. 【评析】一些解析几何客观题，往往需要借助圆锥曲线的定义和平面几何的一些性质进行解题。

【例4】（2005全国高中数学联赛试题）过抛物线y=x 2一点A (1,1)作抛物线的切线交x 轴于D ，交y 轴于B ，C 在抛物线上，E 在线段AC 上，1λ=EC AE ，F 在线段BC 上，2λ=FCBF，且λ1+λ2=1，线段CD 与EF 交于P ，当C 在抛物线上移动时，求P 的轨迹方程。

【分析】通过初略计算可知D 为AB 的中点，而题设中有很多的线段比例关系，可考虑用三角形的面积之比来解决问题。

【解析】AB 的方程为),0,21(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. 令,1,1,2211λλγ+==+===CFCBt CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ∆的中线，.22CBD CAD CAB S S S ∆∆∆==∴ 所以,23,232)11(212212*********=∴=+=+=+==⋅⋅=∆∆∆∆∆∆γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ∆的重心.设),,(),,(200x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为,3311),32(,31310202000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(312-=x y故所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y 【评析】从函数的观点进行分析，易发现点C 的横坐标0x 为主变量，P 点的横坐标和纵坐标均表示成0x 的函数，在消去参数0x 就得到点P 的轨迹方程，思路虽然简单，但由于本题所含字母较多，进行代数运算时运算量大且容易出错。

如果我们能够分析其平面几何背景，运用平面几何的知识，就能比较快速准确的解决问题当解析几何题目。

三、用极坐标知识来解决解析几何问题解析几何中的坐标法是指建立直角坐标系，用这个点在两坐标轴上的射影,x y 来确定。

而极坐标是用角度和距离（很多时候就是长度）这两个量来确定一个点的位置，其几何意义很明显，如果在题目中涉及到的量能用角度和距离非常方便的表示出来，那么建立一个极坐标系进行运算，会比我们在直角坐标系下运算快速有效的多。

【例5】（2008江苏省数竞赛试题）A 、B 是椭圆22194x y +=上的两个动点，满足0OA OB ⋅=。

（1）求证：2211||||OA OB +为定值；（2）动点P 在线段AB 上，满足0OP AB ⋅=，求证：点P 在定圆上。

【分析】由0OA OB ⋅=可知OA OB ⊥,所以90AOB ∠=︒,而||,||OA OB 能用距离（长度）直接给表示出来，这里的问题都可以用角度和距离来表示，可以考虑建立极坐标系来解决。

【解析】（1）如图以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 设||,||,OA a OB b AOx ==∠=θ，则点(cos ,sin )A a a θθ， 则点(cos(),sin())(sin ,cos )22B b b b b ππθ+θ+=-θθ， 点A 、B 在椭圆上，把点坐标带入椭圆方程可得：222222cos sin 1cos sin ()19494a a θθθθ+=⇒=+同理可得： 2221sin cos 94b θθ=+，两式相加可得：221111139436a b +=+=为定值。

（2）由0O P A B ⋅=知OP AB⊥，所以||||||||||||||||OA OB OP AB OA OB OP AB ⋅⋅=⋅⇒====P 在以O【评析】本题也可利用OA OB ⊥，设他们的斜率分别为1,k k-，以k 为主变量进行运算，但||,||OA OB 用k 来表示比较麻烦。

如能观察到用角度和距离两个量非常简洁的表示||,||OA OB ，选用极坐标系，则解题可事半功倍。

【例6】(2012全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的边长为4，且6O B O D ==．（１）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹． 【分析】根据图中的菱形和等腰三角形的性质可知O 、A 、C 三点共线，结合菱形的对角线垂直可知边长关系，第（1）小题用平面几何方法可快速求解，由点O 、A 、C 三点共线知三点的角度是一样的，只有长度不一样，加上（1）的结论可知，|AO|与|OC|的长度之积为定值20，第（1）小题可以用极坐标(,ρθ)求解。