2016届高三下学期第二次全国大联考(新课标Ⅱ卷)数学(文)试卷
2016年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{1，2，3}D．{1，2}2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π5．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（）A．B．1C．D．26．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．27．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7B．12C．17D．3410．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4B．5C．6D．712．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0B．m C．2m D．4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．21．（12分）已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|=|AN|时，证明：＜k＜2．请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．[选项4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{1，2，3}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C．【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答的关键．4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5U：球．【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．5．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（）A．B．1C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，代入C得：P点纵坐标为2，故k=2，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．6．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．2【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7B．12C．17D．34【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值．【专题】11：计算题；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【考点】HW：三角函数的最值．【专题】33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx （﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0B．m C．2m D．4m【考点】&2：带绝对值的函数；&T：函数迭代；3V：二次函数的性质与图象．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，故x i=×2=m，故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=﹣6．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】11：计算题；29：规律型；5A：平面向量及应用．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，4）．化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【考点】HU：解三角形．【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑．【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；（Ⅱ）根据b n=[a n]，列出数列{b n}的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得：，∴a n=；（Ⅱ）∵b n=[a n]，∴b1=b2=b3=1，b4=b5=2，b6=b7=b8=3，b9=b10=4．故数列{b n}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．【考点】B2：简单随机抽样．【专题】11：计算题；29：规律型；5I：概率与统计．【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．【解答】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保，P（A）的估计值为：=；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为：=；（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为==1.1925a．【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，∴EF∥AC，且EF⊥BD将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，则D′H⊥EF，∵EF∥AC，∴AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=，AD=AB=5，∴DE=5﹣=，∵EF∥AC，∴====，∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4﹣3=1，∵HD′=DH=3，OD′=2，∴满足HD′2=OD′2+OH2，则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，又OD′⊥AC，AC∩OH=O，即OD′⊥底面ABCD，即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．底面五边形的面积S=+=+=12+=，则五棱锥D′﹣ABCFE体积V=S•OD′=××2=．【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．考查学生的运算和推理能力．20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【考点】66：简单复合函数的导数．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=1++lnx﹣a，∴f″（x）=，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，即为a＜，由y=的导数为y′=，由y=x﹣﹣2lnx的导数为y′=1+﹣=＞0，函数y在x＞1递增，可得＞0，则函数y=在x＞1递增，则==2，可得＞2恒成立，即有a≤2．【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．21．（12分）已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|=|AN|时，证明：＜k＜2．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】33：函数思想；49：综合法；4M：构造法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）依题意知椭圆E的左顶点A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E上，可得3（a﹣2）2+4a2=12，解得：a=，从而可求△AMN的面积；（II）设直线l AM的方程为：y=k（x+2），直线l AN的方程为：y=﹣（x+2），联立消去y，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|=|x M﹣（﹣2）|=，|AN|==，结合2|AM|=|AN|，可得=，整理后，构造函数f（k）=4k3﹣6k2+3k ﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．【解答】解：（I）由椭圆E的方程：+=1知，其左顶点A（﹣2，0），∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：7a2﹣12a=0，∴a=或a=0（舍），∴S△AMN=a×2a=a2=；（II）设直线l AM的方程为：y=k（x+2），直线l AN的方程为：y=﹣（x+2），由消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴x M﹣2=﹣，∴x M=2﹣=，∴|AM|=|x M﹣（﹣2）|=•=∵k＞0，∴|AN|==，又∵2|AM |=|AN |，∴=，整理得：4k 3﹣6k 2+3k ﹣8=0，设f （k ）=4k 3﹣6k 2+3k ﹣8，则f′（k ）=12k 2﹣12k +3=3（2k ﹣1）2≥0，∴f （k ）=4k 3﹣6k 2+3k ﹣8为（0，+∞）的增函数，又f （）=4×3﹣6×3+3﹣8=15﹣26=﹣＜0，f （2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0，∴＜k ＜2．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F ．（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题．【分析】（Ⅰ）证明B ，C ，G ，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；（Ⅱ）在Rt △DFC 中，GF=CD=GC ，因此可得△GFB ≌△GCB ，则S 四边形BCGF =2S △BCG ，据此解答．【解答】（Ⅰ）证明：∵DF ⊥CE ，∴Rt △DFC ∽Rt △EDC ，∴=，∵DE=DG ，CD=BC ，∴=，又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF ，∴△GDF ∽△BCF ，∴∠CFB=∠DFG ，∴∠GFB=∠GFC +∠CFB=∠GFC +∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB +∠GCB=180°，∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为AD 中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，∴在Rt △DFC 中，GF=CD=GC ，连接GB ，Rt △BCG ≌Rt △BFG ，∴S 四边形BCGF =2S △BCG =2××1×=．【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．[选项4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x +6）2+y 2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交与A ，B 两点，|AB |=，求l 的斜率．【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，圆心到直线的距离d=．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（﹣1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．。
(新课标Ⅱ卷)届高三数学第二次全国大联考卷理【含答案】
12016年第二次全国大联考【新课标Ⅱ卷】理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知2,{|lg(2)},{|UA x y x xB x y ===-=R ，则()U A B ð表示的集合为( )A ．{|2}x x ≥B ．{|0}x x ≤C ．{|01}x x ≤<D ．{|1}x x ≤ 2．复数z 满足i izz =-，则z 在复平面上对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．高考在即，某学校对2016届高三学生进行考前心理辅导，在高三甲班50名学生中，男生有30人，女生有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列说法： （1）男生抽到的概率比女生抽到的概率大；（2）一定不是系统抽样； （3）不是分层抽样；（4）每个学生被抽取的概率相同. 以上说法正确的是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（4） 4．执行如图所示的程序框图，若输出S =55-，则k 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．115．某几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形，侧(左)视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的侧面积是（ ）A． B．．．86．已知函数f (x )的部分对应值如表所示. 数列{}n a 满足11,a =且对任意*n ∈N ，点1(,)n n a a +都 在函数()f x 的图象上，则2016a 的值为（ ）A .0 B.1 C. -1 D. 20167．已知,[0,2],x y ∈满足对于任意的,{1,2,3}m n ∈，||m -n > 成立的概率为（ ）A ．14B ．14π-C ．4πD ．16π8．已知变量,x y 满足约束条件2303010x y x y k y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，，且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为（ ）A ．3-B ．3C ．1-D ．1 9．定积分1(2e )d e x ax x +=⎰，则6()a x x+展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．1- C ．20 D ．20-10．双曲线2213x y -=的右焦点F ，过点F 的直线l 与圆C ：22450x y y +--=相交于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)(1)4x y -+-=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)(1)2x y -+-= 11．在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，11a =，201620151201620152S S =+，设nT 是数列{}n b 的前n 项和，1lgn n na b a +=，则99T 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．4俯视图侧（左）视图正（主）视图212.已知抛物线C 的顶点为原点，对称轴为x 轴，与椭圆22128x y +=交于M ，N 两点，M ，N 两点关于x 轴对称，其中M （1,2），过抛物线C 焦点F 的直线与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点，且||3||AF BF =．则OAB △的面积为（ ）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设43log ,0()12,03x x x f x x a x >⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，若11((4))3f f =，则a = . 14．已知,a b 是平面内两个单位向量，满足0⋅=a b ，若向量c 满足=1⋅=⋅a c b c ，则++c a b = .15．已知点A 、B 、C 、D 在同一个球O的球面上，2,AB BC ===若球心O 恰好在侧棱DA 上，且DC=___________．16．已知函数()h x 是定义在（2-,2）上，满足()()h x h x -=-，且(0,2)x ∈时，()2xh x =-，当(2,0)x ∈-时，不等式[]2()2()1h x h x m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos a B b A c B ⋅+⋅=⋅． （1）若3a =，b =，求c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．18. （本小题满分12分）国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x ）和化学成绩（y ）进行回归分析，求得回归直线方程为 1.535y x =-．由于某种原因，成绩表（如下表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．（1）请设法还原乙的物理成绩m 和化学成绩n ；（2）在全市物理、化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．19.（本小题满分12分）已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD △为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点..（1）求证：BCE DCE ⊥面面； （2）求二面角C BE F --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的一焦点与2y =的焦点重合，3点1)2在椭圆C 上．直线l 过点(1,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）点M 满足AM MB =,点O 为坐标原点，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求出此时直线l 的方程，若不能，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2ln ()x f x x bx a=++(,)a b ∈R . （1）若()f x 在点(1,f(1))的切线为1y x =+，求)(x f 的单调性与极值； （2）若1-=b ，函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22. （本题满分10分） 选修41-：几何证明选讲如图，ABC △内接于⊙O ，弦AE 交BC 于D ，已知2AD BD DC =⋅，60ADC ∠=，OD=1，BC OE ⊥.（1）求ODG ∠；（2）求ABC △中BC 边上的高．23. （本题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：221512cos ρθ=+，直线l为2sin()3πρθ+=（1）判断曲线C 与直线l 的位置关系，写出直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，求||AB 的值.24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设()|1||2|f x x x =-+-．（1）求函数()lg(()2)g x f x =-的定义域；（2）若()f x 的最小值为m ，,,,a b c a b c m ∈++=R ，证明：22213a b c ++≥．。
2016年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{}1,2,3A =，{}2|9B x x =<，则A B = （ ）（A ）{}210123--,,,,, （B ）{}21012--,,,, （C ）{}1,2,3 （D ）{}12,【答案】D【解析】由29x <得33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{}1,2,3A =，所以{}1,2A B = ，故选D ．【点评】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．（2）【2016年全国Ⅱ，文2，5分】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i -【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C ．【点评】复数()i ,a b a b +∈R 的共轭复数是()i ,a b a b -∈R ，据此先化简再计算即可．（3）【2016年全国Ⅱ，文3，5分】函数()=sin y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（ ）（A ）2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（B ）2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C ）2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题图知，2A =，最小正周期ππ2[()]π36T =--=，所以2π2πω==，所以2sin(2)y x ϕ=+． 因为图象过点π,23⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以π22sin 23ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，所以2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以 ()2ππ2π32k k ϕ+=+∈Z ，令0k =，得π6ϕ=-，所以π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选A ． 【点评】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．（4）【2016年全国Ⅱ，文4，5分】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）（A ）12π （B ）323π （C ）8π （D ）4π 【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径24π12π⋅=，故选A ．【点评】与棱长为a 的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，、2a． （5）【2016年全国Ⅱ，文5，5分】设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0k y k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥ 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2 【答案】D【解析】因为F 是抛物线24y x =的焦点，所以(1,0)F ，又因为曲线(0)k y k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以,A C ，所以2k =，故选D ．【点评】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置． 对于函数()0k y k x=≠，当0k >时，在(),0-∞，()0,+∞上 是减函数，当0k <时，在(),0-∞，()0,+∞上是增函数．（6）【2016年全国Ⅱ，文6，5分】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）（A ）43- （B ）34- （C （D ）2 【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得()()22144x y -+-=，所以圆心为()1,4，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A ． 【点评】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离．已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．（7）【2016年全国Ⅱ，文7，5分】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为212π248π2S =⋅⋅⋅=，圆柱 的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C ．【点评】以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．（8）【2016年全国Ⅱ，文8，5分】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )（A ）710 （B ）58 （C ）38（D ）310 【答案】B【解析】因为红灯持续时间为40秒，所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B ． 【点评】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．（9）【2016年全国Ⅱ，文9，5分】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的2,2,x n == 依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ）（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34【答案】C【解析】由题意，2,2,0,0x n k s ====，输入2a =，则0222,1s k =⋅+==，循环；输入2a =，则2226,2s k =⋅+==，循环；输入5a =，62517,32s k =⋅+==>，结束循环．故输出的17s =，故选C ．【点评】识别算法框图和完善算法框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景．（10）【2016年全国Ⅱ，文10，5分】下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y x = （B ）lg x = （C ）2x y = （D ）y=【答案】D【解析】lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ． 【点评】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解．（11）【2016年全国Ⅱ，文11，5分】函数π()cos 26cos 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】B 【解析】因为22311()12sin 6sin 2sin 22f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值5，故选B ． 【点评】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112sin 22y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭取得最大值． （12）【2016年全国Ⅱ，文12，5分】已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图像的交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ，则1=mi i x =∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【答案】B【解析】因为2(),|23|y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=；当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，故选B ． 【点评】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a b x +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭． 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2016年全国Ⅱ，文13，5分】已知向量(),4a m =，()3,2b =-，且//a b ，则m = ______．【答案】6-【解析】因为//a b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．【点评】如果()11,a x y =，()()22,0b x y b ≠，则//a b 的充要条件是12210x y x y =－．（14）【2016年全国Ⅱ，文14，5分】若x ，y 满足约束条件10,30,30,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最小值为__ ____．【答案】5-【解析】由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2Α；由1030x y x -+=⎧⎨-=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,4Β；由3030x x y -=⎧⎨+-=⎩得30x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C ．分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【点评】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．（15）【2016年全国Ⅱ，文15，5分】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =_______．【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，sin sin[π()]B AC =-+，63sin()sin cos cos sin 65A C A C A C =+=+=，又因为sin sin a b AB =，所以sin 21sin 13a B b A ==． 【点评】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（16）【2016年全国Ⅱ，文16，5分】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3． 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_______．【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2．【点评】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2016年全国Ⅱ，文17，12分】等差数列{}n a 中，34574,6a a a a +=+=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=． （2）由（1）知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当1,2,3n =时，2312,15n n b +≤<=；当4,5n =时，2323,25n n b +≤<=； 当6,7,8n =时，2334,35n n b +≤<=；当9,10n =时，2345,45n n b +≤<=， 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】求解本题时常出现以下错误：对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错．（18）【2016年全国Ⅱ，文18，12分】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保（1（2）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”．求()P B 的估计值；（3）求续保人本年度的平均保费估计值．解：（1）事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60500.55200+=， 故()P A 的估计值为0.55．（2）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30300.3200+=，故()P B 的估计值为0.3． （3a ，因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a ．【点评】样本的数字特征常见的命题角度有：（1）样本的数字特征与频率分布直方图交汇；（2）样本的数字特征与茎叶图交汇；（3）样本的数字特征与优化决策问题交汇．（19）【2016年全国Ⅱ，文19，12分】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF 交BD 于点H ，将D E F △沿EF 折到D'EF △的位置． （1）证明：AC HD'⊥；（2）若55,6,,4AB AC AE OD'====D'ABCFE -的体积． 解：（1）由已知得，,AC BD AD CD ⊥=又由AE CF =得AE CF AD CD =，故//AC EF ． 由此得,EF HD EF HD '⊥⊥，所以//AC HD '．（2）由//EF AC 得14OH AE DO AD ==，由5,6AB AC ==得4DO BO ===，所以1,3OH D H DH '===，于是2222219OD OH D H ''+=+==，故OD OH '⊥由（1）知AC HD '⊥，又,AC BD BD HD H '⊥= ，所以AC ⊥平面BHD '，于是AC OD '⊥，又由,OD OH AC OH O '⊥= ，所以，OD '⊥平面.ABC 又由EF DH AC DO =得9.2EF = 五边形ABCFE 的面积11969683.222S =⨯⨯-⨯⨯=所以五棱锥D ABCEF '-体积16934V =⨯⨯． 【点评】立体几何中的折叠问题，应注意折叠前后线段的长度、角哪些变了，哪些没变．（20）【2016年全国Ⅱ，文20，12分】已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--．（1）当4a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞．当4a =时，1()(1)ln 4(1),()ln 3f x x x x f x x x'=+--=+-，()()12,10f f '=-=． 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220x y +-=． （2）当()1,x ∈+∞时，()0f x >等价于()1ln 01a x x x -->+． 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，则222122(1)1(),(1)0(1)(1)a x a x g x g x x x x +-+'=-==++， （i ）当2a ≤，()1,x ∈+∞时，222(1)1210x a x x x +-+≥-+>，故()()0,g x g x '>在()1,x ∈+∞上单调递增，因此()0g x >；（ii ）当2a >时，令()0g x '=得1211x a x a =-=-由21x >和121x x =得11x <，故当()21,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(1,)x x ∈单调递减，因此()0g x <．综上，a 的取值范围是(],2-∞．【点评】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数()y f x ''=；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内部分为单调递减区间．（21）【2016年全国Ⅱ，文21，12分】已知A 是椭圆22:143x y E +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（1）当AM AN =时，求AMN ∆的面积；（2）当2AM AN =2k <．解：（1）设11(,)M x y ，则由题意知10y >．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+．将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =．因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=． （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得()2222341616120k x k x k +++-=．由()2121612234k x k-⋅-=+得()21223434k x k -=+，故1||2|AM x +=．由题设，直线AN 的方程为()12y x k =-+，故同理可得||AN =． 由2||||AM AN =得2223443k k k =++，即3246380k k k -+-=． 设()324638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，()()22'121233210f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在()0,+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在()0,+∞有唯一的零点，且零点k 在)22k <． 【点评】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号．（22）【2016年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．（1）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（2）若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．解：（1）因为DF EC ⊥，所以,DEF CDF ∆~∆则有,,DF DE DG GDF DEF FCB CF CD CB∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠由此0180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆．（2）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =，故Rt Rt ,BCG BFG ∆~∆∴四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍， 即111221222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=． 【点评】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．通过相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，还可间接证明线段相等．（23）【2016年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y ．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t α,y t α,=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB l 的斜率． 解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=．（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=．于是121212cos ,11ρραρρ+=-=，12AB ρρ=-AB =23cos ,tan 8αα==所以l或． 【点评】极坐标与直角坐标互化时要注意：将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；将曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．（24）【2016年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b ab +<+．解：（1）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22x -<，解得1x >-；当1122x -<<时，()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <．所以()2f x <的解集{}|11M x x =-<<． （2）由（1）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|a b ab +<+．【点评】形如||||x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(),b +∞ （此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．。
2016年新课标全国卷Ⅱ文科数学
2016年新课标全国卷Ⅱ文科数学（含答案）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3}A =，2{|9}B x x =<，则A B =A ．{2,1,0,1,2,3}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,2,3}D ．{1,2} 2．设复数z 满足i 3i z +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 3．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则 A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin()6y x π=+D ．2sin()3y x π=+4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A ．12π B ．323π C ．8π D ．4π 5．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线(0)ky k x =>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =A ．12 B ．1 C ．32D ．2 6．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A ．43-B ．34- CD ．27．右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图， 则该几何体的表面积为 A ．20π B ．24π C ．28πD ．32π8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为A ．710 B ．58 C ．38D ．310 9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现 该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =A ．7B ．12C ．17D ．3410．下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是 A ．y x = B ．lg y x = C ．2x y = D．y 11．函数()cos26cos()2f x x x π=+-的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．712．已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1mi i x ==∑A ．0B ．mC ．2mD ．4m第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(,4)m =a ，(3,2)=-b ，且a ∥b ，则m = ． 14．若x ，y 满足约束条件10,30,30,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最小值为 ．15．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．16．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前1 0项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．18．（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（Ⅰ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求()P A 的估计值； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”．求()P B 的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费的估计值．19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF 交BD 于点H ，将DEF △沿EF 折到D EF '△的位置．（Ⅰ）证明：AC HD '⊥；D '（Ⅱ）若5AB =，6AC =， 54AE =，OD '=， 求五棱锥D ABCFE '-的体积．20．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--． （Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知A 是椭圆22:143x y E +=的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当||||AM AN =时，求AMN △的面积； （Ⅱ）当2||||AM AN =2k <．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4–1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．23．（本小题满分10分）选修4–4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；E DCBA（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B两点，||AB =，求l的斜率．24．（本小题满分10分）选修4–5：不等式选讲已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，|||1|a b ab +<+．参考答案一、选择题二、填空题13．6-． 14．5-． 15．2113． 16．1和3． 三、解答题17．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为345746,a a a a +=⎧⎨+=⎩所以112542106,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,2.5a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以数列{}n a 的通项公式为235n n a +=． （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，因为[]n n b a =，所以10123456789107911131517192123[][][][][][][][][][][1][][][][][][][][][]555555555S a a a a a a a a a a =+++++++++=+++++++++111223334424=+++++++++=．18．（Ⅰ）因为续保人本年度的保费为0.85a 时，频数为60，保费等于于基本保费a 时，频数为50，所以605011()20020P A +==． （Ⅱ）因为续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％，所以续保人的保费应为1.25a ，1.5a 共两种情况，对应的频数分别为30，30，所以30303()20010P B +==． （Ⅲ）设续保人本年度的平均保费为x ，则0.856050 1.2530 1.530 1.75202101.1925200a a a a a a x a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．19．（Ⅰ）略．．20．（Ⅰ）当4a =时，()(1)ln 4(1)f x x x x =+--，(1)0f =，切点坐标(1,0)．对()f x 求导，得1()ln 4x f x x x+'=+-，从而切线斜率(1)2f '=-，所以切线方程为02(1)y x -=--，即220x y +-=．（Ⅱ）对()f x 求导，得1()1ln f x x a x'=++-，再求导，得22111()x f x x x x-''=-+=． 当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''>，函数()f x '在区间内(1,)+∞单调递增，所以()(1)2f x f a ''>=-．（ⅰ）若2a ≤，则当(1,)x ∈+∞时，()(1)0f x f ''>≥，函数()f x 在区间内(1,)+∞单调递增，所以()(1)0f x f >=． （ⅱ）若2a >，则结合函数()f x '在区间内(1,)+∞单调递增，可知方程()0f x '=存在唯一零点，设为0x ，则0011ln a x x =++． 当0(1,)x x ∈时，0()()0f x f x ''<=，函数()f x 在区间内0(1,)x 单调递减，所以()(1)0f x f <=，()0f x >不成立． 综上，a 的取值范围是(,2]-∞． 21．（Ⅰ）椭圆22143x y +=的左顶点为(2,0)A -．因为||||AM AN =且AM AN ⊥，所以△AMN 为等腰直角三角形，所以MN x ⊥轴． 设MN 交轴与点D ，所以△ADM 为等腰直角三角形，所以得(2,)M a a -．因为点M 在椭圆E 上，所以223(2)412a a -+=，整理得27120a a -=，解得127a =或0a =（舍去）．所以△AMN 的面积211442249S a a a =⨯==． （Ⅱ）设直线AM 方程(2)y k x =+．联立椭圆直线方程，消去y 整理得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点00(,)M x y ，则 于是20216234k x k -+=-+，所以22022166823434k k x k k -=-=++，所以||AM ，因为0k >，所以2||3AN k+．因为2||||AM AN =，所以2，即3246380k k k -+-=． 设32()4638f x x x x =-+-，则22()121233(21)0f x x x x '=-+=-≥，所以函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递增，因为260f =<，(2)60f =>，所以函数()f x的零点k ∈，即k的取值范围是．22．（Ⅰ）在Rt △DEC 中，因为DF EC ⊥，所以90FDC DCE FCB ∠=︒-∠=∠，且DF CF DE DC =，因为DE DG =，BC CD =，所以DF FCDG CB=，所以△DFG ∽△CFB ． 所以DGF CBF ∠=∠．所以180FGC CBF ∠+∠=︒．所以B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）因为12DE AD =，DG DE =，所以12DG DC =．因为B ，C ，G ，F 四点共圆，所以90GFB GCB ∠=∠=︒．所以△GFB ≌△GCB ．所以△GCB 的面积1111224S =⨯⨯=． 23．（Ⅰ）由圆C 的标准方程22(6)25x y ++=，得221290x y x +++=，所以圆C 的极坐标方程为212cos 90ρρθ++=． （Ⅱ）将cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩代入22(6)25x y ++=，整理得212cos 110t t α++=．设A ，B 两点对应参数值分别为1t ，2t ，则1212cos t t α+=-，1211t t =．所以12||||AB t t =-，得23cos 8α=，解得cos α=，所以tan α或tan α=． 24．（Ⅰ）函数12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，则不等式()2f x <可化为1,222,x x ⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩或11,2212,x ⎧-<<⎪⎨⎪<⎩或1,222,x x ⎧≥⎪⎨⎪<⎩解得11x -<<． 所以不等式()2f x <的解集为(1,1)-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知(1,1)a ∈-，(1,1)b ∈-，所以210a ->，210b ->，于是22(1)(1)0a b -->，即22(1)()0ab a b +-+>，所以|1|||ab a b +>+．。
(完整word版)2016年文数高考试题全国卷2(含答案),推荐文档
2016年普通高等学校招生全国统一考试(卷2)文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =I D（A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，，（D ）{12}，（2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - (3) 函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则A（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A）12π（B）323π（C）8π（D）4π(5) 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（A）12（B）1 （C）32（D）2(6) 圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（A）−43（B）−34（C）3（D）2(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为学.科网（A）710（B）58（C）38（D）310(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a为2，2，5，则输出的s=（A）7（B）12（C）17（D）34(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（A）y=x（B）y=lg x（C）y=2x（D）1 yx =(11) 函数π()cos26cos()2f x x x=+-的最大值为（A）4（B）5 （C）6 （D）7(12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 二．填空题：共4小题，每小题5分.(13) 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.(14) 若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最小值为__________（15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 学.科网甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分)等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=（I ）求{n a }的通项公式； (II)设nb =[na ]，求数列{nb }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2（18）(本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：学科.网随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
2016年高考真题----文科数学(全国卷Ⅱ) Word版含解析
一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =I （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，【答案】D【解析】由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，所以{1,2}A B =I ，故选D. 2. 设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C【解析】由3z i i +=-得，32z i =-，故选C.3. 函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=【答案】A4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π （B ）323π （C ）8π （D ）4π 【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为，所以球面的表面积为2412ππ⋅=，故选A.5. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D【解析】(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k =，所以2k =，选D.6. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（A ）−43 （B ）−34（C （D ）2 【答案】A【解析】圆心为(1,4)，半径2r =1=，解得43a =-，故选A.7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为28S π=，故选C.8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ）710 （B ）58 （C ）38 （D ）310【答案】B【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B. 9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17（D ）34【答案】C【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n; 第二次运算，a=2，s=2226⨯+=，k=2，不满足k>n; 第三次运算，a=5，s=62517⨯+=，k=3，满足k>n ，输出s=17，故选C ．10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D ）y x= 【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．11. 函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答案】B【解析】因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.12. 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数 y =|x 2-2x -3| 与 y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B【解析】因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．14. 若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最小值为__________.【答案】5-15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a B b A ==. 16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+= （I ）求{n a }的通项公式；(II)设nb =[na ]，求数列{nb }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2【试题分析】（I ）先设{}n a 的首项和公差，再利用已知条件可得1a 和d ，进而可得{}n a 的通项公式；（II ）根据{}n b 的通项公式的特点，采用分组求和法，即可得数列{}n b 的前10项和．18． (本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
2016年新课标Ⅱ高考数学(文)试题(Word版,含答案)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð= （A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，，（D ）{0246810}，，，，， （2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i 55 （D ）43i 55-（3）已知向量BA u u u r =（12，BC uuu r =12），则∠ABC =（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A）815（B）18（C）115（D）130（6）若tan13θ=，则cos2θ=（A）45-（B）15-（C）15（D）45（7）已知4213332,3,25a b c===，则(A)b<a<c (B) a<b<c (C) b<c<a (D) c<a<b（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（9）在ABC △中，π4B =，BC边上的高等于13BC ,则sin A = (A)310 (B)1010 (C)55 (D)31010（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）545+ （C ）90 （D ）81（11）在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π （B ）9π2 （C ）6π （D ）32π3（12）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为________.（14）函数sin y x x =的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到. （15）已知直线l：60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =__________ .（16）已知f (x )为偶函数，当0x ≤时，1()x f x ex --=-，则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方程是____________三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式. （18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑721()0.55ii y y =-=∑，7≈2.646.参考公式：12211()()()(yy)niii n ni ii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑ 回归方程y a bt =+)))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑)，$ay bt =-$ （19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （I ）证明MN ∥平面PAB; （II ）求四面体N-BCM 的体积.（20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分） 设函数()ln 1f x x x =-+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
2016年文数高考真题全国Ⅱ卷
2016年文数高考真题全国Ⅱ卷答案组题人：李明辉1．已知集合A ={1,2,3}, B ={x|x 2<9}，则A ∩B =A ．{−2,−1,0,1,2,3}B ．{−2,−1,0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2} 2．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 3．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A ．12πB ．323π C ．8π D ．4π5．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x =>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1C ．32D ．26．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ） A ．43-B ．34-C ．3D ．27．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A ．710B ．58C ．38D ．3109．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）A ．7B ．12C ．17D ．3410．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝x11．函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 A ．4B ．5C ．6D ．712．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑A ．0B ．mC ．2mD ．4m13．已知向量a=（m,4），b=（3,−2），且a ∥b ，则m="___________."14．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___.16．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．17．等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.18．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P （A ）的估计值； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P （B ）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E,F 分别在AD,CD 上，AE =CF,EF 交BD 于点H ，将ΔDEF 沿EF 折起到ΔD′EF 的位置.（Ⅰ）证明：AC ⊥HD′；（Ⅱ)若AB =5,AC =6,AE =54,OD′=2√2，求五棱锥D′−ABCFE 的体积. 20．已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.21．已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN V 的面积（Ⅱ） 当2AM AN =时，证明：32k <<. 22．选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积. 23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．24．选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.答案第1页，总1页。
2016年文数高考真题全国Ⅱ卷答案
2016年文数高考真题全国Ⅱ卷答案组题人：李明辉未命名1．已知集合A ={1,2,3}, B ={x|x 2<9}，则A ∩B =A ．{−2,−1,0,1,2,3}B ．{−2,−1,0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2} 【答案】D 【解析】试题分析：由x 2<9得−3<x <3，所以B ={x|−3<x <3}，因为A ={1,2,3}，所以A ∩B ={1,2}，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.2．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 【答案】C【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C. 【考点】 复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.视频3．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=【答案】A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A ．12π B ．323π C ．8π D ．4π【答案】A 【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为2412ππ⋅=，故选A. 【考点】 正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为a 的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为2、2a和2.5．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】试题分析：由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.6．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ） A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A 【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，所以1=，解得43a =-，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．710B．58C．38D．310【答案】B【解析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（）A．7 B．12 C．17 D．34第一次循环：a =2,s =2,k =1 ；第二次循环：a =2,s =6,k =2 ；第三次循环：a =5,s =17,k =3>2 ；结束循环，输出s =17 ，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y【答案】D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】试题分析：因为22311()12sin 6sin 2(sin )22f x x x x =-+=--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值5，选B. 【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值.12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑A ．0B ．mC ．2mD ．4m试题分析：因为2(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22mm ⨯=；当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+.13．已知向量a=（m,4），b=（3,−2），且a ∥b ，则m="___________." 【答案】6- 【解析】试题分析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-． 【考点】平面向量的坐标运算 ，平行向量【名师点睛】如果a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2）（b≠0），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.14．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.【答案】5- 【解析】 【详解】 试题分析：由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,4Β；由30{30x x y -=+-=得3x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 【答案】1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.17．等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】（Ⅰ）235n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）求n b ，再求数列{}n b 的前10项和.试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意有112+54,+53a d a d ==. 解得121,5a d ==. 所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=； 当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=. 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=. 【考点】等差数列的通项公式，数列的求和【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错.18．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P （A ）的估计值；（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P （B ）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 【答案】（I ）1120；（Ⅱ）310；（Ⅲ）1.1925a ． 【解析】 【分析】（I ）求出A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P （A ）的估计值；（Ⅱ）求出B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P （B ）的估计值；（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值． 【详解】解：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A 的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保， P （A ）的估计值为：1101120020=； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B 的人数为：30+30＝60，P （B ）的估计值为：60320010=； （Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为0.856050 1.2530 1.530 1.7520210200a a a a a a x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==1.1925a ．【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E,F 分别在AD,CD 上，AE =CF,EF 交BD 于点H ，将ΔDEF 沿EF 折起到ΔD′EF 的位置.（Ⅰ）证明：AC ⊥HD′；（Ⅱ)若AB =5,AC =6,AE =54,OD′=2√2，求五棱锥D′−ABCFE 的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）23√22.【解析】试题分析：（1）由已知得，AC ⊥BD,AD =CD ，AE =CF ⇒AE AD=CF CD⇒ AC//EF ⇒EF ⊥HD,EF ⊥HD ′ ⇒ AC ⊥HD ′；（2）由EF//AC ⇒ OHDO =AEAD =14，由AB =5,AC =6 ⇒DO =BO =√AB 2−AO 2=4 ⇒ OH =1,D ′H =DH =3 ⇒ OD ′2+OH =(2√2)2+12=9=D ′H 2 ⇒ OD ′⊥OH ，可证OD ′⊥平面ABC ．又由EFAC =DHDO 得EF =92 ⇒五边形ABCFE 的面积S =12×6×8−12×92×3=694⇒以五棱锥D ′−ABCEF 体积V =13×694×2√2=23√22． 试题解析： （1）由已知得，AC ⊥BD,AD =CD ， 又由AE =CF 得AE AD=CF CD，故AC//EF ，由此得EF ⊥HD,EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′． （2）由EF//AC 得OH DO=AE AD=14，由AB =5,AC =6得DO =BO =√AB 2−AO 2=4， 所以OH =1,D ′H =DH =3，于是OD ′2+OH =(2√2)2+12=9=D ′H 2，故OD ′⊥OH ， 由（1）知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD,BD ∩HD ′=H ， 所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH,AC ∩OH =O ，所以，OD ′⊥平面ABC ． 又由EFAC =DHDO 得EF =92．五边形ABCFE 的面积S =12×6×8−12×92×3=694．所以五棱锥D ′−ABCEF 体积V =13×694×2√2=23√22． 考点：1、线线垂直；2、锥体的体积.20．已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.【答案】（1）220.x y +-=（2）(],2.-∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求()f x 的定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程的点斜式可求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1a x g x x x -=-+，对实数a 分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4a =时，1()(1)ln 4(1),()ln 3f x x x x f x x x=+--=+-'，(1)2,(1)0.f f =-=' 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （II ）当(1,)x ∈+∞时，()0f x >等价于(1)ln 0.1a x x x -->+ 设(1)()ln 1a x g x x x -=-+，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)a x a x g x g x x x x +-+=++'=-=， （i ）当2a ≤，(1,)x ∈+∞时，222(1)1210x a x x x +-+≥-+>，故()0,()g x g x >'在(1,)+∞上单调递增，因此()0g x >； （ii ）当2a >时，令()0g x '=得1211x a x a =-=-+由21x >和121=x x 得11x <，故当2(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(1,)x 单调递减，因此()0g x <.综上，a 的取值范围是(],2.-∞【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： （1）确定函数y ＝f （x ）的定义域； （2）求导数y′＝f′（x ）；（3）解不等式f′（x ）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式f′（x ）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．21．已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN V 的面积（Ⅱ） 当2AM AN =2k <<.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示AM ，同理用k 表示AN ，再由2AM AN =求k 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故1234AM x k =+=+. 由题设，直线AN 的方程为，故同理可得2121k k AN +=.由2AM AN =得222343+4kk k =+，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t +=-'=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增.又260,(2)60f f ==，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF △∽△再证,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）证明Rt Rt ,BCG BFG △△≌四边形BCGF 的面积S 是GCB △面积GCB S △的2倍.试题解析：（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF △△∽则有,,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB ∠=∠=∠==所以,DGF CBF △△∽由此可得,DGF CBF ∠=∠ 由此180,CGF CBF ∠+∠=︒所以,,,B C G F 四点共圆. （II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥.连结GB .由G 为Rt DFC △斜边CD 的中点，知GF GC =,故Rt Rt ,BCG BFG △△≌因此四边形BCGF 的面积S 是GCB △面积GCBS △的2倍，即111221.222GCB S S ==⨯⨯⨯=△【考点】 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．通过相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，还可间接证明线段相等．23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=.()221212124144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-由AB =23cos 8α=，tan α=. 所以l或.24．选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+. 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时，()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此1.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法： （1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．。
2016届高三下学期第二次全国大联考(新课标Ⅱ卷)语文试卷
资料概述与简介 绝密★启用前 2016年第二次全国大联考【新课标Ⅱ卷】 语文试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 阅读题 甲 必考题 一、现代文阅读（9分，每小题3分） 阅读下面的文字，完成1～3题。
我时常想做学问做事业在人生中都只能算是第二桩事。
人生第一桩事是生活。
我所谓生活是享受是领略是培养生机。
假若为学问为事业而忘却生活那种学问事业在人生中便失其真正意义与价值。
因此我们不应该把自己看作社会的机械。
一味迎合社会需要而不顾自己兴趣的人就没有明白这个简单的道理。
最怕谈专门的书呆子我把生活看做人生第一桩要事所以不赞成早谈专门；早谈专门便是早走狭路而早走狭路的人对于生活常不能见得面面俱到。
前天G君对我谈过一个故事颇有趣很可说明我的道理。
他说有一天一个中国人一个印度人和一位美国人游历走到一个大瀑布前面三人都看得发呆；中国人说自然真是美丽印度人说在这种地方才见到神的力量呢美国人说可惜偌大水力都空费了这三句话各不同各有各的真理也各有各的缺陷。
在完美的世界里我们在瀑布中应能同时见到自然的美丽神力的广大和水力的实用。
许多人因为站在狭路上只能见到诸方面的某一面便说他人所见到的都不如他的真确。
前几年大家曾煞有介事地争辩哲学和科学争辩美术和宗教不都是坐井观天诬天渺小么 我最怕和谈专门的书呆子在一起你同他谈话他三句话就不离本行。
谈到本行以外旁人所以为兴味盎然的事物他听之则麻木不能感觉。
像这样的人是因为做学问而忘记生活了。
我特地提出这一点来说因为我想现在许多人大谈职业教育而不知单讲职业教育也颇危险。
我并非反对职业教育我却深深地感觉到职业教育应该有宽大自由教育做根底。
倘若先没有多方面的宽大自由教育做根底则职业教育的流弊在个人方面常使生活单调乏味在社会方面常使文化肤浅褊狭。
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绝密★启用前
2016年第二次全国大联考【新课标Ⅱ卷】
文科数学试卷
考试时间：120分钟；满分150分
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
．设集合(){|},{|ln 2}A x y x B x y x ==∈==-N ，则A B 表示的集合为
（ ）
A ．{1}
B ．{|02}x x ≤<
C ．{0,1}
D ．{0,1,2} 2.若复数z 满足6
()(34i)55
z +-=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．高考在即，某学校对2016届高三学生学生进行考前心理辅导辅导，在高三甲班50名学生中，男生有有30人，女生有有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列说法： （1）男生抽到的概率比女生抽到的概率大；（2）一定不是系统抽样； （3）不是分层抽样；（4）每个学生被抽取的概率相同. 以上说法正确的是（ ）
A ．（1）（2）
B ．（2）（3）
C ．（3）（4）
D ．（2）（4）
4.抛物线2
23y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ） A .22(1)(1)5x y -++= B .22
(1)(1)4x y -+-= C .22(1)1x y -+= D .22
(1)2x y +-= 5．某几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形，
侧(左)视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的侧面
积是（ ）
A
． B
．+ C
． D ．8
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图
6.已知,[0,2],x y ∈满足对于任意的,{1,2,3}m n ∈
||m -n >成立的概率为（ ）
A .
14 B ．π
14
- C ．π
4 D ．π16
7.执行如图所示的程序框图，则输出的所有点(,)x y （ ）
A ．都在函数1y x =+的图象上
B ．都在函数2y x =的图象上
C ．都在函数2x y =的图象上
D ．都在函数12x y -=的图象上
8.已知变量,x y 满足约束条件230
3010x y x y k y +-≤⎧⎪
++≥⎨⎪-≤⎩
，且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为
（ ）
A ．-3
B ．3
C ．-1
D ．1 9.函数2
()(1)sin f x x x =-的图象大致是（ ）
A B
C D
10.已知,a b 是平面内两个单位向量，满足0⋅=a b ，若向量c 满足=1⋅=⋅a c b c ，则++c a b 为（ ）
A ．
B ．2
C
D ．1
11.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球O 的球面上，2,AB BC ===若球心O 恰好在侧
棱DA 上，且DC = ） A .
254
π
B .4π
C .8π
D .16π 12.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b
-=>>一焦点与抛物线2
8y x =的焦点F 相同，若抛物
线2
8y x =的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为1，P 为双曲线左支上一动点，Q （1,3），则|PF |+|PQ |的最小值为 （ ）
A.
B. C.4 D .+第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设2log 1
0()20
x
x x f x x x -+>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则a =_____.
14.已知函数2ln ()x
f x x bx a
=
++(,)a b ∈R ，若()f x 在点(1,f(1))处的切线为1y x =+，则a b += .
15.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 已知5
sin ,13
B =
且满足2sin sin sin B A C
=⋅，
cos 12,ac B a c =+则= .
16.已知线段AB 的长为4,以AB 为直径的半圆内有一内接
梯形ABCD ，若椭圆以、A B 为焦点，且经过点、C D ，那么当梯形的周长最大时， 椭圆的离心率为_____．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分） 已知数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，且242646246
1
1,6a a a a a a a a a ++==. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式; （Ⅱ）若(
)1n n n b a a n *
+=∈N ，数列{}n
b 的前n 项和为n
S
，对于整数m ，恒有n S m <成
立， 求m 的最小值.
18.（本小题满分12分）
2016年全国高考只有最后几十天，某省一重点中学对本届高三文科的1200名学生进行全国卷数学模拟适用测评.这1200人随机分为6组，每组200人，并把这6组随机编排在六天分别进行考察，最后把考察结果量化为分数，总分150分.现根据第一组200人的得分绘制出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）利用第一组200人的得分情况，估测一下 1200人中得分在105分以上的人数； （Ⅱ）根据频率分布直方图求出中位数和众数； （Ⅲ）如果本次参加测评的1200人平均分数不低于
100分，就符合期望，即说明学生已经顺利适用高考的题型，学校的文科数学教学是成功的，否则就
不符合期望，学生和老师要继续调整学习和教学.请你利用第一组200人得分的平均值（每组的平均数按照对应区间的中点来计算）来判断一下，这次测试是否符合期望.
19. （本小题满分12分）
0.0075
0.0200
0.02500.01750.01257585
95
115105125135
已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角
形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点. （Ⅰ）求证：平面平面BCE DCE ⊥； （Ⅱ）求B CDE 点到平面的距离.
20. （本小题满分12分）
设m ∈R ，已知直线0x my +=和直线240mx y m --+= 交于点P ． （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线0x my +=过定点A ，直线240mx y m --+=过定点B ，求||||PA PB ⋅的最大值.
21. （本小题满分12分） 已知函数1ln ()a x
f x x
-+=
，0a >. （Ⅰ）当1a =时，若不等式()0f x k -<在()0,+∞上恒成立，求k 的取值范围； （Ⅱ）已知120,0x x >>且12e x x +<，求证：1212x x x x +>.
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AE 交BC 于点D ，已知
2AD BD DC =⋅，°
60ADC ∠=，OD =1,BC OE ⊥.
（Ⅰ）求ODG ∠； （Ⅱ）求△ABC 中BC 边上的高．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
22
1512cos ρθ=
+，直线l
：2sin()3
ρθπ
+=. （Ⅰ）判断曲线C 与直线l 的位置关系，写出直线l 的参数方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A 、B ，求||AB 的值.
24． （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设()|1||2|f x x x =-+-． （Ⅰ）求函数()lg(()2)g x f x =-的定义域；
（Ⅱ）若()f x 的最小值为m,,,,a b c a b c m ∈++=R ，证明：222
13
a b c ++≥
．。