第七讲 无理数与算术平方根
无理数及根号基础知识回顾
无理数及根号基础知识回顾无理数的解题方法一、无理数及根号1. 无理数为无限不循环小数。
（满足条件3个条件，小数无限不循环）判定方法：带“√”且无法分解的，带π 的。
其余均为有理数。
2. 读法：√x 读作“根号x ”，“x 的算数平方根” “x 的二次方根”。
√3读作“x 的立方根” “x 的三次方根”。
√x 4读作“x 的四次方根”。
√x 5读作“x 的五次方根”。
√x 6读作“x 的六次方根”。
√x n 读作“x 的n 次方根”。
注意：√=√2，当√2通常“根号”处的“2”不写。
3. 根号和无理数怎么来的？2×2=22=4 , 3×3=32=9，那么思考：A ×A =22=4，那么A= ; B ×B =32=9，那么B= C ×C =42=16，那么C= ; D ×D =52=25，那么D=再思考：E ×E =E 2=7，那么E=观察：2×2=22=4 , 3×3=32=9A ×A =22=4，那么A=√4=√22=2,即√4=2B ×B =32=9，那么B=√9=√32=3,即√9=3C ×C =42=16，那么C=√16=√42=4,即√16=4D ×D =52=25，那么C=√25=√52=5,即√25=5那么：E ×E =E 2=7，那么E=√7★无法计算的则直接用根号表示。
同理：2×2×2=23=8，那么F ×F ×F =F 3=23=8√83=√233=2那么：G ×G ×G =G 3=10，那么G=√1034. 无理数的简化计算基本数√4=2 √9=3 √16=4 √25=5 √36=6 √49=7 √64=8 √81=9 √100=10 √121=11 √144=12 √169=13 √196=14 √225=15√83=2 √273=3 √643=4 √1253=5 √2163=6 √3433=7 √5123=8 √164=2 √814=3 √325=√255=225=32，26=64，27=128，28=256，29=512，210=1024 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=22523=8 33=27 43=64 33=125 63=216 73=343 83=512 24=16 34=81 25=32简化计算√8=√4×2=√4×√2=2√2, √12=√4×3=√4×√3=2√3 √18=√9×2=√9×√2=3√2, √20=√4×5=√4×√5=2√5 √56=√4×14=√4×√14=2√14, √52=√4×13=√4×√13=2√13试试看：√24，√48，√72，√56，√108，√37535. 平方根与算数平方根，偶数次方根和奇数次方根√?2 √?32此情况不存在。
无理数与根号的运算技巧
无理数与根号的运算技巧无理数是指不能表示为两个整数之比的实数，它们的十进制表示是无限不循环的。
无理数常常涉及到根号的运算技巧。
根号是数学中表示平方根的符号，它代表一个数的平方根。
本文将讨论一些处理无理数和根号的常用运算技巧。
首先，让我们来看一些根号运算的基础知识。
例如，根号下9表示的是正负3，因为3的平方是9。
同样地，根号下16表示的是正负4，因为4的平方是16。
根号下25表示的是正负5，因为5的平方是25。
可以看出，根号运算是找到一个数的平方根。
但是，并不是所有的数都有有理数的平方根。
例如，根号下2，根号下3，根号下5等都是无理数，它们不能表示为两个整数之比。
这就使得在处理无理数和根号时需要运用一些特殊的技巧。
一种常见的技巧是有理化分母。
当我们遇到分母含有根号的分式时，经常需要进行有理化分母的操作。
有理化分母是指通过一些方法将根号从分母中去掉，使得分母变为有理数。
例如，对于分式1/根号2，我们可以通过乘以根号2的形式因式分解来有理化分母，即：(1/根号2)* (根号2/根号2) = 根号2/2。
这样，我们可以得到一个有理数作为分母，从而更容易进行相关计算。
另一个常用的技巧是整理根号的表达形式。
当遇到根号下一个复合数或多个数相乘的情况时，可以考虑将它们分解为一个简化的形式。
例如，根号下12可以写成根号下4乘以根号下3，即2乘以根号下3。
这样，我们可以简化根号表达式，从而更方便进行后续的运算。
除了基本的运算技巧之外，还有一些特殊的无理数和根号运算规则需要注意。
例如，根号下a乘以根号下b可以简化为根号下ab，根号下a除以根号下b可以简化为根号下(a/b)，a的根号次方可以表示为根号下(a的次方)等等。
这些运算规则可以帮助我们更好地处理无理数和根号的运算问题。
在实际应用中，无理数和根号的运算技巧经常出现在代数、几何、三角等各个数学领域。
例如，在代数中，我们经常需要对根号进行展开，合并同类项，进行消去和求解等操作。
第七讲 无理数与算术平方根
第七讲无理数及算术平方根知识要点：一、无理数1.无限不循环小数称为无理数。
2.判断一个数是无理数需满足三个条件：（1）是小数，（2）是无限小数，（3）是不循环小数。
三个条件，缺一不可。
3.有理数与无理数的主要区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
（2）任何有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能。
二、算术平方根1. 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a，那么这个正数x就叫作a的算术，读作“根号a”。
规定0的算术平方根是0.2.（1a是非负数，即a≥0；（20。
也就是说，正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
思维驿站：例题1、如图所示，（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为a，则a应满足什么条件？（3）a是有理数吗？变式练习：如图是由16个边长为1的正方形拼成的，连接这些小正方形的若干顶点，得到五条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度不是有理数的有条。
例题2、已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm。
（1）估计x在哪两个整数之间；（2）如果把x精确到十分位，估计x介于哪两个数之间。
变式练习：已知正整数m 满足条件239m =，则m 的整数部分为 。
例题3、下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0, ,2π4,- ..0.12, 11,7- 1.112111211,⋅⋅⋅ 3.1415927变式训练：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14, 3,4- ..1.34, 1,3 0.35,- 0,π 0.2020002000002,⋅⋅⋅ 2,π 18例题4、 求下列各数的算术平方根。
（1）1.69 （2）719 （3）()16-- （4）()210-变式练习：计算下列各数的算术平方根。
（1）0 （2）121- （3）2234+ （4）223⎛⎫- ⎪⎝⎭巩固训练一、选择题1. 面积为6的长方形中，长是宽的2倍，则宽为 （ ）A. 整数B. 分数C. 无理数D. 无法确定2. 一个面积为13cm ²的正方形，它的边长是 （ ）A. 一个整数B. 一个分数C. 一个有理数D. 一个无理数3. 面积为3的正方形，其边长为x ，则x 满足 （ ）A. 12x <<B. 23x <<C. 34x <<D. 45x <<4. 估计面积为11的正方形边长的值（精确到十分位）为（）A. 3.1B. 3.4C. 3.3D. 3.55. 下列说法中正确的是（）A. 有理数与无理数的差是有理数B. 无限小数都是无理数C. 有理数都是有限小数D. 两个无理数的和不一定是无理数6. 下列说法不正确的是（）A. 无限小数都是无理数B. 无理数都是无限小数C. 有理数不都是有限小数D. 有限小数都是有理数7. 下列说法中正确的是（）A. 无理数是无限不循环小数B. 有理数是有限小数C. 正数、0、负数统称为有理数D. 无限小数是无理数8. 在实数113-，1.732，..0.23， 1.424424442-⋅⋅⋅，2π，2 6.28π-中，无理数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个9. 16的算术平方根是（）A. 4B. 8C. －4D. ±410. 一个数的算术平方根是a，比这个数大2的数是（）A. 2a+ B. 2 C. 2 D. 22a+二、填空题1. 等边△ABC中，BC边上的高是AD，如果AB=6，则AD的长是介于整数和之间的无理数。
无理数的概念与平方根
无理数的概念与平方根一根本概念1.无理数的概念；2.无理数与有理数的主要区别⑴有理数是有限小数或无限循环小数，（2）任何有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能3平方根与算术平方根的概念；4平方根与算术平方根的区别与联系二典例分析3・・ 2 %+]1在数——，一1.42,π,3.1416,一，0,4%(一1)~"(〃为整数)，一1.424224222…中 4 3v7(1)写出所有有理数； (2)写出所有无理数；(3)把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.2.求以下各式中的X 值(1)9X 2=16；(2)X 2=50(x>O )；(3)>∕Λ=；(4)9(x 2+1)=10(x<0)；(5)3(x+l)2=27； (6)25(x+2)2-36=0；(7)J(X-I)?=5；(8)12x T=(Ja-3-2-2α+α-2)3如果一个正数的两个平方根为α+l 和2。
-7,请你求出这个正数:4(1)假设y]a-5+2>JlO-2a=b+2,求a 、b 的值；(2)假设x 2+4y 2+2x-4y+2=0,求y ∣5x 2÷16y 2的值5化简(1)J(x+1)~+J(x-2)2(其中一1VXv2)；(2)(J-a)~+J ，(4≠0)；(3)Ja 2+b 2+∖-a ∖(其中α=5,b=一依)；(4)√484-√2().25+√l -().75：7（中招展示）（1）（2010上海）以下实数中，是无理数的为（）A.3.14B.∣C.√3 ⑵(2012宁波)实数x,y 满足正E+(y+l)W),那么χ-y 等于()A.3B.-3C.1D.-1⑶（2012江苏盐城）4的平方根是（）A.2B.16C.±2D.±16⑷（2012广州市，6,3分），∣α-l ∣+j7+b=0那么a+b=（ ）A.-8B.-6C.6D.8（5）（2012温州）给出四个数，一1,0,05近其中为无理数的是（）A,-1B.0C.0.5D.√7(6) （2012贵州毕节）以下四个数中，无理数是（）A.JZB.-.C.0D.π3(7) （2012黔西南州）√Γ石在实数范围内有意义,那么a 的取值范围是（）.A.a23B.a≤3C.a≥-3D.a≤-3(3)假设JX-4+∣y + l ∣=0,求:r''的值：(4)巫五匚色血二0,求府的值, m+ 46 （1）对于代数式2α+4,当。
平方根与算术平方根立方根无理数PPT课件
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
第9页/共32页
立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方 根) 。
2.表示方法：
第10页/共32页
什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数： 无限不循环小数
含有 ～ 的数
有规律但不循环的数
第25页/共32页
按性质分类： 实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
第26页/共32页
你能在数轴上找到表示 的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点 表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
第21页/共32页
思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
第28页/共32页
第7讲-认识无理数、算术平方根(教案)
此外，学生在小组讨论中的表现让我深感欣慰。他们能够提出自己的观点，并与其他同学进行交流。这说明学生们在课堂上逐渐形成了良好的思考习惯和合作精神。然而，我也发现有些学生在讨论中过于依赖同学，缺乏独立思考。因此，我计划在接下来的教学中，加强培养学生的独立思考能力，让他们在讨论中发挥自己的优势。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的性质和算术平方根的概念这两个重点。对于难点部分，）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数、算术平方根相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量圆的周长和直径，计算圆周率π的近似值。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是不能表示为两个整数比的数，如圆周率π、√2等。无理数在数学和科学领域具有重要地位，它们帮助我们更准确地描述自然界和解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以圆周率π为例，探讨其在计算圆的周长和面积中的应用，了解无理数如何帮助我们更精确地解决问题。
2.无理数的性质：讨论无理数的运算规律，如加减乘除等；
3.算术平方根的定义：引入算术平方根的概念，解释其含义；
4.求算术平方根的方法：掌握求算术平方根的估算方法及计算方法；
5.无理数与算术平方根的关系：探讨无理数与算术平方根之间的联系，如√2是2的算术平方根，它是一个无理数。
无理数
学
过
程
一．无理数的认识 二．平方根（一）
教学过程 1.认识无理数
一、问题引入：
1、 数和无限 和 统称有理数，它们都是有限小 （填循环或不循环）小数。
2、(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的 面积是多少？
1
乐恩特文化传播有限公司
(2)设该正方形的边长为 b，则 b 应满足什么条件？ (3)b 是有理数吗？ 3、请你举出一个无限不循环小数的例子，并说出它的整数部分是 是 。 4、 称为无理数，请举两个例子
，小数部分 。
二、基础训练：
1、x2=8,则 x__ ____分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”) 2、在 0.351，－
2 ，4.969696„，0，－5.2333,5.411010010001„，6.751755175551„中， 3
不是有理数的数有_____ 。 3、长、宽分别是 3、2 的长方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？ 4、在-227，2，33，0，π，0.6，0、1010010001 中，无理数共有_______ 个．
4、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ Π、0.351，－
2 ,4.9 6 ，3.14159，－5.2323332„，0、0.1234567891011112131„（小数部分由相继的正整 3
数组成）在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.
5、如图，是面积分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的正方形
二、基础训练：
1、0 的算术平方根等于_________.2 的算术平方根等于_________. 2、9 的算术平方根是（ A.±3 B.3 ） C.± 3 D.
3
数学考点之平方根和无理数
数学考点之平方根和无理数初中数学知识点：平方根如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，如果x2=a，那么x叫做a的平方根，这里a是x的平方，它是一个非负数，即a≥0。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数;②0有一个平方根，是0本身;③负数没有平方根。
性质：①一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
②如果一个正数x的平方等于a，即x的平方等于a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。
③规定：0的平方根是0。
④负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平方根。
例如：-1的平方根为±1，-9的平方根为±3。
⑤平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
被开方数是乘方运算里的幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即正负根号a=正负x利用长式除法可以求平方根。
长式除法需要进行加法，减法，乘法，除法等四则运算。
一般计算机软件的运算精度小于20位数字，如要计算平方根到100位，四则运算的精度需100位以上。
1、概念：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根。
规定：0的算术平方根是0。
2、表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”。
注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。
平方根和算术平方根的区别于联系：它们之间的区别：(1)定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根;非负数a 的非负平方根叫做a的算术平方根。
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;而一个正数的算术平方根只有一个。
(3)表示方法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a。
初二上册数学第二章实数无理数、平方根和算术平方根讲义
无理数概念与平方根知识点1 算术平方根概念及性质22=x ,32=y ,42=z ,52=w ,已知幂和指数,怎么求求底数呢？我们知道：19614,16913,14412,121112222==== 那么请按照要求填写下表 1．已知边长求面积正方形边长 正方形面积 2.已知面积求边长正方形边长 正方形面积 11 121 13 169 0.3 0.09 12一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为“a ”,读作“根号a ”．特别地,我们规定0的算术平方根是0,即00=．由算术平方根的定义我们可知：a 的算术平方根a 是一个非负数;我们知道0²=0,正数x =a ＞0,所以a ≥0.即算术平方根定义中：a 中的a 是一个非负数,a 的算术平方根a 也是一个非负数,负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．例1.求下列各数的算术平方根：(1) 900; (2) 1; (3) 6449; (4) 14．例2.自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间？例3. 01)22=++++y x y （则xy =知识点2 平方根的概念及性质平方根的概念我们知道1²=（-1）²=1, 2²=（-2）²=4, 3²=（-3）²=9,……,a ²=（-a ）²=a ², 如果一个数x 的平方等于a ,即x ²=a .那么x 就叫做a 的平方根.正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示,其中a 表示a 的正的平方根（又叫算术平方根）,读作“根号a ”; －a 表示a 的负的平方根,读作“负根号a ”. ①一个正数a 的平方根有两个,记为a ± ,它们互为相反数.②0的平方根是0. ③负数没有平方根.知识点3 开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方,a 叫做被开方数.（开平方与平方互为逆运算）平方和开平方是互逆运算：2()a a (0)a ≥；2(0)(0)a a a aa a例1.如果x ²=a ,那么下列说法错误是（ ）A ．若x 确定,则a 的值是唯一的B ．若a 确定,则x 的值是唯一的C ．a 是x 的平方D ．x 是a 的平方根例2. a ±的意义是（ ）A ．a 的平方根B ．a 的算术平方根C ．当a ≥0时,a ±是a 的平方根 D ．以上都不正确例3.若1-x +（y +2）²=0,则2018)(y x +等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．20183D ．20183-例4.一个正数的平方根是2a ﹣3与a ﹣12,则这个正数为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．49例5.已知2-x 的平方根是2±,72++y x 的平方根是±3,求22y x +的平方根例6.已知2m +3和4m +9是一个正数的两个不同的平方根,求m 的值和这个正数的平方根.练习题：1.16的平方根是（ ）A ．±4B ．4C ．±2D ．22．4的平方根是 ;3的平方根是 16的平方根是 , 25）（-的平方根是________．3.下列运算正确的是（ ）A ．﹣213）（- =13 B ．26）（- =﹣6 C ．﹣25 =﹣5 D ．9 =±34.若正方形的边长为a ,面积为s ,则（ ）A ．s 的平方根是aB ．a 是s 的算术平方根C ．a =±D .s =5.如果将一个长方形ABCD 折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE ，已知正方形ABFE 的面积等于长方形CDEF 面积的2倍，求长方形ABCD 的长和宽．6.若（a －1）²＋|b －9|＝0,则a b 的平方根是 ．7..求下列各式的值：（1）44.1; （2）649; （3）25241 ． 8．在，3.1415926535，三个实数中，无理数的个数有（ ）A ．3B ．2C ．1D ．09．下列各数中，无理数是（ ） A ．2 B ．﹣C ．20%D ．π10．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．下列各数：﹣1，，0，，3.14，4.121121112……，其中无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，，0.1010010001…，（每两个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个13．在，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．在实数﹣，0.21，，，，0.20202中，无理数的个数为（）A．1B．2C．3D．415．下列各数，，π，0.2020020002…，，，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个16．下列各数中一定有平方根的是（）A．m2﹣1B．﹣m C．m+1D．m2+117．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（）A．4B．16C．3D．918．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（）A．25B．49C．64D．8119．16的平方根是（）A．16B．﹣4C．±4D．没有平方根20．若a，b（a≠b）是64的平方根，则+的值为（）A．8B．﹣8C．4D．021．若一个数的平方等于81，则这个数是（）A．9B．﹣9C．±9D．±8122．下列计算不正确的是（）A．B．2ab+3ba＝5abC．3x﹣2x＝1D．|﹣3|＝323．一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7B．10C．﹣10D．10024．有理数a2＝（﹣5）2，则a等于（）A．﹣5B．5C．25D．±525．求下列各式中的x：（）（1）9x2﹣25＝0；（2）4（2x﹣1）2＝36．A．x＝和x＝2B．x＝﹣和x＝2或x＝﹣1 C．x＝±和x＝﹣1D．x＝±和x＝2或x＝﹣1 26．平方根等于它自己的数是（）A．0B．1C．﹣1D．4 27．36的平方根是（）A．18B．6C．±6D．±18 28．下列说法正确的是（）A．0的平方根是0B．1的平方根是1C．1的平方根是﹣1D．﹣1的平方根是﹣129．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（）A．±（m+1）B．（m2+1）C．D．30．2a﹣1和a﹣5是某个正数的两个不等的平方根，则实数a的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2 31．一个正数的平方根是2m+3和m+1，则这个数为（）A．﹣B．C．D．1或32．一个正数m的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则m的值是（）A．2B．2或﹣2C．4D．4或36 33．（﹣10）2的平方根是（）A．﹣10B．10C．±10D．100 34．已知（x+1）2＝4，则x值为（）A．1B．±1C．1或﹣3D．3或﹣1 35．一个正数x的两个平方根分别是a﹣7和2a+1，则这个正数x＝（）A．2B．5C．16D．2536．下列说法：①0的平方根是0；②﹣1的平方根是﹣1；③（﹣4）2的平方根是﹣4；④0.01是0.1的平方根；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个37．已知一个正数的两个平方根分别为x+2和2x﹣5，则这个正数是（）A．1B．7C．9D．8138．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（）A．﹣3B．1C．﹣1D．﹣3或139．下列叙述中，不正确的是（）A．0的平方根是0B．﹣22的平方根是±2C．正数的平方根是互为相反数D．是一个无理数40．下面说法中错误的是（）A．6是36的平方根B．﹣6是36的平方根C．36的平方根是±6D．36的平方根是641．在（﹣）2，0.9，﹣23（﹣a2+2），0，17六个数中，一定有平方根的个数是（）A．2B．4C．3D．542．2.89的正的平方根是（）A．1.7B．﹣1.7C．±1.7D．±1743．a是有理数，在a2+2，3|a|+5，|a|﹣4，5a2+2a2中一定有平方根的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．下列各数中，没有平方根的数是（）A．﹣（﹣2）3B．﹣（﹣47）C．1﹣（﹣2）D．﹣|﹣3|45．下列说法正确的是（）A．9是3的算术平方根B．5是25的算术平方根C．0.1的平方根是0.01D．是的算术平方根46．﹣可以表示（）A．0.2的平方根B．﹣0.2的算术平方根C．0.2的负的平方根D．﹣0.2的平方根47．81的平方根是（）A．B．﹣9C．9D．±948．下列说法正确的是（）A．﹣7是49的算术平方根B．7是（﹣7）2的算术平方根C．±7是49的平方根，即＝±7D．7是49的平方根，即±＝749．根据以下程序，当输入时，输出结果为（）A．B．2C．6D．50．下列计算正确的是（）A．＝±3B．|﹣3|＝﹣3C．＝2D．﹣32＝9 51．实数9的算术平方根是（）A．3B．±3C．﹣3D．±952．下列说法错误的是（）A．4是16的算术平方根B．2是4的一个平方根C．0的平方根与算术平方根都是0D．（﹣3）2的平方根是﹣353．下列计算正确的是（）A．B．C．D．54．下列运算正确的是（）A．﹣2×（﹣3）＝﹣6B．（﹣4）2＝8C．﹣10﹣8＝﹣18D．＝±255．下列各式中，正确的个数是（）①＝4 ②＝③﹣32的平方根是﹣3 ④的算术平方根是﹣5 ⑤是的平方根A．1个B．2个C．3个D．4个56．＝（）A．﹣3B．3C．D．57．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8B．﹣48.58C．﹣153.6D．﹣1536 58．下列叙述中正确的是（）A．﹣2是4的平方根B．4的平方根是﹣2C．﹣2是（﹣2）2的算术平方根D．±2是（﹣2）2的算术平方根59．的平方根是（）A．9B．9或﹣9C．3D．3或﹣3 60．的平方根是（）A．16B．±16C．4D．±461．在1，，0，﹣四个实数中，最小数的是（）A．1B．C．0D．﹣62．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为16时，输出的y是（）A．B．C．4D．863．＝3，则a的值为（）A．±9B．9C．3D．。
平方根的概念与计算
平方根的概念与计算平方根是数学中一个重要的概念，它在解决各种实际问题以及数学推理中扮演着重要的角色。
本文将介绍平方根的概念以及如何计算平方根。
一、平方根的概念平方根是一个数学术语，它表示一个数的算术平方根，用符号√ 表示。
给定一个非负实数 a，如果存在一个非负实数 b，使得 b 的平方等于 a，那么 b 就是 a 的平方根。
例如，√4 = 2，因为 2 的平方等于 4。
同样地，√9 = 3，因为 3 的平方等于 9。
值得注意的是，平方根可以是一个整数，也可以是一个无理数，例如 2 的平方根就是一个无理数。
二、平方根的计算方法计算平方根有许多方法，以下介绍常用的两种方法：牛顿法和二分法。
1. 牛顿法牛顿法是一种迭代求解方程的方法，可以用于计算平方根。
牛顿法的具体步骤如下：- 选择一个初始近似解 x0；- 迭代计算 xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn) ，直到收敛（即 xn+1 与 xn 的差值小于给定的精度要求）。
对于求解平方根，我们可以将其转化为一个方程求解的问题。
假设需要计算 a 的平方根，我们可以将其转化为求解方程 x^2 - a = 0。
那么，我们可以选择初始近似解 x0 = a/2，然后使用牛顿法进行迭代计算，直到得到满足精度要求的解。
2. 二分法二分法是一种逐步缩小搜索范围的方法，也可以用于计算平方根。
二分法的具体步骤如下：- 初始化左边界 left 和右边界 right，使得 left^2 <= a，right^2 >= a；- 当 right - left 大于给定的精度要求时，不断迭代进行以下步骤：- 计算中间值 mid = (left + right) / 2；- 如果 mid^2 大于 a，则令 right = mid；- 如果 mid^2 小于 a，则令 left = mid；- 如果 mid^2 等于 a，则直接返回 mid。
通过不断缩小搜索范围，最终可以得到满足精度要求的平方根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4 1.96 1.5 2.25
2 2
又∵1.96 2 2.25 2 2 2 ∴ 1.4 a 1.5 ∴a的十分位为4.
试一试
• 若 a 5 ，求a的整数位和十分位各为多少？ （写清楚过程）
2
定义：
无限不循环小数 1)________________称作无理数 有限小数或无限循环小数 2)____0010001……是______(有限/无 不循环 限)______(循环/不循环)小数.
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方 根，记为“ a ”，读作“ 根号 a ”。a叫 做被开方数
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
“无理数”的由来
公元前 500 年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟 子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实， 一个正方形的 对角线与其一边的长度是不可通约的(若正方形边长是 1，则 对角线的长不是一个有理数)这一不可通约性与毕氏学派“万 物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领 导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。 希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡 的惩处。 毕氏弟子的发现， 第一次向人们揭示了有理数系的缺陷， 证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满 数轴上的点， 在数轴上存在着不能用有理数表示的 “孔隙” 。 而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数” 。于是，古 希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续性的设想彻底
请判断下列各数是有理数还是无理数 1)5.010101…… 2)5.01001…（两个1之间依次多1个0） 3)3.1415926 ……(即π的值) 5 4)
7
判断一个数是无理数的条件
• • • • 是小数 是无限小数 是无限不循环小数 （三者缺一不可）
对比与区别
无限 1)5.010101……是______(有限/无 循环 限)_____(循环/不循环)小数；
复习 所有的分数都是有理数。
什么是有理数？
正整数
整数 有理数
0 负整数 正分数
分数
负分数
有理数可以表示成小数吗？ 把下列各数转化成小数，你有什么发现呢？
4 5 8 2 3, , , , . 5 9 45 11
有理数总可以用有限小数或无 限循环小数表示。 反过来，任何有限小数或无限 循环小数也都是有理数。
2. 面积为2的正方形边长a究竟是多少？
a2 =2
估算a的整数部分是多少？
• 首先，距离2比较近的平方数有哪些？ ∵1<2<4 2 2 2 ∴1 a 2 ∴1 a 2 ∴a的整数部分是1.
a2 =2
估算a的十分位是多少？
∵ 1.1 1.21 1.2 1.44 1.3 1.69
是否所有的小数都是有理数呢？
有限小数
小数
无限循环小数 无限小数
无限不循环小数
1.怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大 正方形？
（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ （2）a可能是整数吗？说说你的理由。 （3）a可能是分数吗？说说你的理由。
归纳：在等式a2 =2中，a既不是整数， 也不是分数，所以a不是有理数。 那么a到底是一个怎么样的数呢？
例题2
地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称 为数学史上的第一次危机， 对以后 2000 多年数学的发展产生 了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明， 推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思 想萌芽。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不 到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理 喻的数。15 世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数” ， 17 世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而， 真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理” 。人 们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不 可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．
a ≥0
（a≥0）
非负数
算术平方根具有双重非负性
• 例题1. 如图所示 • （1）以直角三角形的斜边为边的正方形的 面积是多少？ • （2）设该正方形的边长为，则应满足什么 条件？ • （3）是有理数吗？
• 变式练习：如图是由16个边长为1的正方形 拼成的，连接这些小正方形的若干顶点， 得到五条线段CA，CB，CD，CE，CF， 其中长度不是有理数的有 条。