【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测：第9章 第2讲 等差数列]

第2讲 等差数列
1．(2012年福建)在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．(2013年重庆)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________.
3．(2012年广东)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.
4．(2012年北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12
，S 2＝a 3，则a 2＝________.
5．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 7＋a 13的值是一确定的常数，则下列各式：
①a 21；②a 7；③S 13；④S 14；⑤S 8－S 5.其结果为确定常数的是( )
A ．②③⑤
B ．①②⑤
C ．②③④
D ．③④⑤
6．(2013年新课标Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．(2012年浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )
A ．若d <0，则数列{S n }有最大项
B ．若数列{S n }有最大项，则d <0
C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N *，均有S n >0
D ．若对任意的n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列
8．已知等差数列{a n }的前项和为S n ，且S 10＝⎠⎛0
3(1＋2x )dx ，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20
C ．25
D ．30
9．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S n ＝12n －n 2.
(1)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|;
(2)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 10|；
(3)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.
10．(2012年四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？
第2讲 等差数列
1．B 2.72
3.2n －1
4.1 5．A 解析：由a 1＋a 7＋a 13是一确定的常数，得3a 7是一确定的常数，故②正确；S 13＝13(a 1＋a 13)2
＝13a 7是一确定的常数，故③正确；S 8－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＝3a 7是一确定的常数，故⑤正确．
6．C 解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，
∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，
a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.
∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.
∵S m ＝ma 1＋m (m －1)2×1＝0，∴a 1＝－m －12
. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴－m －12
＋m ＝3. ∴m ＝5.故选C.
7．C 解析：C 显然是错的，举出反例：0,1,2,3，满足数列{S n }是递增数列，但S n >0不成立．
8．A 解析：S 10＝⎠⎛0
3(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)| 30＝12， a 1＋a 2＋…＋a n ＝12，a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ＝5，a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ＝－2，所以S 30＝15.
9．解：∵S n ＝12n －n 2，
∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－1＝11；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(12n －n 2)－12(n －1)＋(n －1)2＝13－2n ； 当n ＝1时，13－2×1＝11＝a 1，∴a n ＝13－2n .
由a n ＝13－2n ≥0，得n ≤132
. ∴当1≤n ≤6时，a n >0；当n ≥7时，a n <0.
(1)|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝12×3－32＝27.
(2)|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 10|
＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋a 9＋a 10)
＝2S 6－S 10＝2(12×6－62)－(12×10－102)＝52.
(3)当1≤n ≤6时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12n －n 2，
当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝2S 6－S n ＝2(12×6－62)－(12n －n 2)＝n 2－12n ＋72.
所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
12n －n 2，1≤n ≤6，n 2－12n ＋72，n ≥7. 10．解：(1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，则a 1(λa 1－2)＝0.
若a 1＝0，则S 1＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0，∴a n ＝0；
若a 1≠0，则a 1＝2λ.当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2λ＋S n －1.相减，得a n ＝2a n －1，
∴数列{a n }是等比数列．
综上所述，若a 1＝0，则a n ＝0；若a 1≠0，则a n ＝2n λ
. (2)当a 1>0，且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n
，则b n ＝2－n lg2. ∴{b n }是单调递减的等差数列(公差为－lg2)，
则b 1>b 2>b 3>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064
>lg1＝0. 当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128
<lg1＝0. 故当n ＝6时，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大．。