2019学年高中数学 习题课2 函数及其表示练习 新人教A版必修1

习题课(二) 函数及其表示
(时间：45分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
b
a
，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射
到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1
解析：a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 答案：C 2．函数f (x )＝
1
2－x
的定义域为M ，g (x )＝x ＋2的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．[－2，＋∞) B ．[－2,2) C ．(－2,2)
D ．(－∞，2)
解析：函数f (x )的定义域M ＝{x |2－x ＞0}＝{x |x ＜2}，函数g (x )的定义域N ＝{x |x ＋2≥0}＝{x |x ≥－2}，
∴M ∩N ＝{x |－2≤x ＜2}．故选B. 答案：B 3．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ≠－32满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3
D ．5或－3
解析：f (f (x ))＝c ⎝
⎛⎭⎪
⎫
cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭
⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2
]＝0，所以
⎩⎪⎨⎪⎧
2c ＋6＝0，9－c 2＝0，
解得c ＝－3.故选B.
答案：B
4．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x ＞00，x ＝0
－1，x ＜0，则( )
A ．|x |＝x |sgn x |
B ．|x |＝x sgn |x |
C ．|x |＝|x |sgn x
D ．|x |＝x sgn x
解析：∵|x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ，x ＞00，x ＝0
－x ，x ＜0
，sgn x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x ＞00，x ＝0
－1，x ＜0
，∴|x |＝x sgn x .
答案：D
5．若一次函数的图象过点(1,6)和(2,8)，则该函数图象还可能经过的点的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，5
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，4 C ．(－1,3)
D ．(－2,1)
解析：本题主要考查一次函数．设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由该函数图
象过点(1,6)和(2,8)，可得⎩⎪⎨
⎪
⎧
k ＋b ＝62k ＋b ＝8
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＝2b ＝4
，所以函数解析式为y ＝2x ＋4，只
有选项A 的坐标符合该函数，故选A.
答案：A
6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x ，x ≤0，
x 2
，x ＞0，
若f (a )＝4，则实数a ＝( )
A ．－4或－2
B ．－4或2
C ．－2或4
D ．－2或2
解析：当a ＞0时，f (a )＝a 2
＝4，解得a ＝2或a ＝－2(舍去)；当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，解得a ＝－4.因此a ＝2或a ＝－4.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分) 7．函数y ＝
1
3x 2－5
＋
7－x 的定义域是________．
解析：由题意可得⎩⎨
⎧
x 2
－5≠0，
7－x ≥0，
解得⎩⎨
⎧
x ≠±5，x ≤7.
故函数的定义域为{x |x ≤7且x ≠±5}． 答案：{x |x ≤7且x ≠±5}
8．已知f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x ＋1，x ≥0，x ＋1，x ＜0，
则不等式f (x )≤0的解集是________．
解析：本题主要考查分段函数及解不等式．当x ≥0时，由f (x )≤0，得2x －1≤0，即
x ≤1
2，所以0≤x ≤12
；当x ＜0时，由f (x )≤0，得x ＋1≤0，即x ≤－1，所以x ≤－1.综上，f (x )≤0的解集是
⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫x ≤－1或0≤x ≤12.
答案：⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
x ≤－1或0≤x ≤12
9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y ＝x 2
，
x ∈[1,2]与函数y ＝x 2，x ∈[－2，－1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来
构造“同族函数”的是________．(填序号)
①y ＝1x 2；②y ＝|x |；③y ＝1x
；④y ＝x 2
＋1.
解析：本题主要考查函数的3要素．对于①②④，由于它们的图象都关于y 轴对称，故当x ∈[1,2]与x ∈[－2，－1]时，上述函数对应的值域相同，即它们能够被用来构造“同族函数”．
答案：①②④
10．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋12，x ∈A ，－x ，x ∈B ，若x 0∈A ，且
f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是________．
解析：∵x 0∈A 时，f (x 0)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，∴f (f (x 0))＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x 0∈A ，解得14＜
x 0＜1
2
.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，12 三、解答题
11．(本小题满分12分)作出函数y ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
1x
＜x ＜
x x
的图象，并求其值域．
解：当0＜x ＜1时，y ＝1
x
的图象是反比例函数图象的一部分；当x ≥1时，图象为直线
y ＝x 的一部分．
如图所示，由此可知，值域为[1，＋∞)．
12．(本小题满分13分)在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地
段内，车距d 是车速v (千米/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50千米/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．
解：根据题意可得d ＝kv 2
S .
∵当v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2
S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S 2时，可
解得v ＝25 2.
∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S
2， 0≤v ＜252，1
2 500v 2
S ， v ≥25 2.。