专题讲座8-电子在磁场中的运动
电子在磁场中的受力分析
电子在磁场中的受力分析磁场是我们生活中不可或缺的一部分，在电子学中更是起着重要的作用。
当电子在磁场中运动时，它会受到磁力的影响，产生特定的受力。
本文将对电子在磁场中的受力进行分析，并探讨其应用。
一、电子在磁场中的运动特点在进入磁场的影响下，电子的运动轨迹呈现出突出的特点。
根据右手螺旋定则，当电子速度的方向与磁感应强度的方向垂直时，电子将沿着磁力线运动，并形成一个螺旋轨迹。
这种运动是由于磁场对电子的偏转作用所致。
二、洛伦兹力的作用电子在磁场中的受力称为洛伦兹力，其表达式为F= q(v × B)。
其中，F代表洛伦兹力，q代表电子的电荷量，v代表电子的速度，B代表磁感应强度。
这个公式表明，洛伦兹力的大小与电子的电荷量、速度以及磁感应强度有关。
三、电子在电磁铁中的应用电磁铁是一种应用洛伦兹力的装置，常见于各种电子设备中。
它由导线和通电源组成，当电流通过导线时，产生的磁场会对附近的电子产生力的作用。
这种力可以使电子受控地进行偏转或运动，进而实现控制和操纵。
四、电子在医学成像中的应用电磁场在医学成像中拥有广泛的应用。
例如，核磁共振成像（MRI）利用磁场对电子的洛伦兹力进行测量，从而获得人体内部组织的图像。
通过改变磁感应强度和采集电子的信号，可以生成高质量的三维影像，对人体健康进行准确分析。
五、磁约束等离子体的应用磁约束等离子体是一种利用磁场控制等离子体运动的技术。
等离子体是一种带正电的离子和自由电子的气体状态，常见于核聚变反应和等离子体物理研究中。
通过精确控制磁场，可以限制离子和电子的运动轨迹，实现等离子体的稳定和控制。
六、电子束设备在科学研究中的应用电子束设备利用磁场对电子进行聚束，并在特定区域形成高速电子束。
这种设备在材料表征、表面科学等领域中广泛应用。
通过控制聚焦磁场的规模和形状，可以实现对电子束的精确操控和调整。
七、电子在磁场中的受力分析在电磁学研究中的意义对电子在磁场中受力的分析在电磁学研究中具有重要的意义。
电子在磁场中的运动与洛伦兹力
电子在磁场中的运动与洛伦兹力电子在磁场中的运动是一个精彩而有趣的物理现象。
在磁场的作用下，电子将受到洛伦兹力的影响，产生一种特殊的运动方式。
本文将探讨电子在磁场中的运动及洛伦兹力的作用。
首先，了解电子在磁场中的运动需要了解磁场的基本概念。
磁场是指存在于空间中的物质的特殊性质，能够对磁性物质产生力的作用。
我们可以通过将磁铁靠近铁屑，观察铁屑受到磁场作用而聚集的现象来直观地理解磁场的存在与作用。
当电子在磁场中运动时，将受到洛伦兹力的作用。
洛伦兹力是由磁场和电子的速度之间的相互作用而产生的力。
洛伦兹力的方向垂直于磁场方向和电子速度的平面，并且符合右手定则，即将右手的拇指指向电子运动方向，其他手指弯曲的方向即为洛伦兹力的方向。
了解了洛伦兹力的作用后，我们进一步讨论电子在磁场中的运动方式。
当电子静止时，它不受洛伦兹力的作用，因为洛伦兹力与速度成正比。
然而，一旦电子具有速度，洛伦兹力的作用就会引起其运动状态的变化。
当电子以垂直于磁场的速度进入磁场时，它将受到洛伦兹力的作用，产生一个垂直于速度和磁场的加速度。
这将导致电子偏离原来的运动方向，沿着圆弧轨迹运动。
这种运动方式被称为磁场中的霍尔效应。
除了圆弧轨迹运动之外，电子还可能沿直线运动。
当电子的速度与磁场方向平行时，洛伦兹力的方向将与速度方向垂直，使得电子沿直线运动。
通过调整磁场的方向，我们可以改变电子的运动方式，从而实现对电子运动的控制。
值得注意的是，磁场对电子的运动方式具有一定的限制。
当电子的速度足够大时，磁场将无法对其产生明显的影响，这种情况下电子将按照原来的运动方向继续前进。
这种现象被称为忽略洛伦兹力，或者说电子的惯性保持了其原始的运动状态。
此外，洛伦兹力的作用还可以应用于其他领域。
例如，磁共振成像技术利用了洛伦兹力的作用，通过测量组织中的微小磁场变化来获取医学影像。
这种技术在医学诊断中具有重要的应用价值。
总之，电子在磁场中的运动受到洛伦兹力的作用。
电子可能沿着圆弧轨迹或直线运动，其具体方式取决于电子的速度和磁场的方向。
电子在磁场中的运动轨迹分析
电子在磁场中的运动轨迹分析随着科技的进步，电子已经成为我们现代社会不可或缺的一部分。
电子的运动轨迹在不同的场景中都有着重要的作用，尤其是在磁场中。
本文将分析电子在磁场中的运动轨迹，并探讨其背后的原理。
首先，我们需要了解磁场对电子的影响。
磁场是由物体所带电荷的运动而产生的，具有方向和强度的特征。
当一个电子穿过磁场时，它将受到一个力的作用，该力被称为洛仑兹力。
洛仑兹力的方向垂直于电子的运动方向和磁场的方向，根据右手定则，我们可以确定洛仑兹力的方向。
接下来，我们来分析电子在磁场中的运动轨迹。
在一个均匀磁场中，电子的运动轨迹是一个圆形。
这是因为洛仑兹力始终垂直于电子的速度方向，使得电子的运动方向发生偏转。
电子受到洛仑兹力的作用后，将绕着一个中心点运动，形成一个圆形轨迹。
圆形轨迹的半径取决于磁场的强度和电子的速度。
然而，当磁场不均匀时，电子的运动轨迹将变得复杂。
这是因为洛仑兹力的大小和方向在不同位置上是不同的。
在强磁场区域，洛仑兹力较大，电子的偏转角度较大，因此轨迹会更加弯曲。
而在弱磁场区域，洛仑兹力较小，电子的偏转角度也较小，所以轨迹可能会更加接近直线。
在这种情况下，电子的运动轨迹将呈现出一条弯曲的曲线。
此外，如果将电子束束流引入磁场中时，我们将看到一种称为赛德尔效应的现象。
赛德尔效应是指由于洛仑兹力的作用，电子束束流会发生一种螺旋线的运动。
这是因为束流中的每个电子都受到相同的洛仑兹力，所以它们将呈现出类似螺旋线的运动。
通过以上分析，我们可以看出电子在磁场中的运动轨迹受到多种因素的影响，包括磁场的强度、电子的速度以及磁场的均匀性。
这些因素共同决定了电子的轨迹形状和特征。
了解这些轨迹的形式和特点对于磁场的应用和设计都至关重要。
总之，电子在磁场中的运动轨迹可以是圆形，也可以是复杂的弯曲曲线。
这种轨迹的形状和特点取决于磁场的强度、电子的速度以及磁场的均匀性。
通过研究和理解这些运动轨迹，我们可以更好地应用和设计磁场，进一步推动科技的进步。
电磁学中的电子在磁场中的运动轨迹解析
电磁学中的电子在磁场中的运动轨迹解析在电磁学的广阔领域中，电子在磁场中的运动轨迹是一个引人入胜且具有重要实际应用的研究课题。
当电子进入磁场时，其运动方式不再是简单的直线，而是遵循着特定的规律形成复杂而有趣的轨迹。
要理解电子在磁场中的运动，首先我们得清楚几个关键的概念。
磁场是一种由磁体或电流产生的物理场，它能够对处于其中的带电粒子施加力的作用。
对于电子来说，由于其带有负电荷，当它处于磁场中时，就会受到一个称为洛伦兹力的作用。
洛伦兹力的大小与电子的电荷量、速度以及磁场的磁感应强度有关。
具体来说，洛伦兹力的大小等于电子电荷量、速度大小以及磁感应强度大小的乘积，再乘以它们之间夹角的正弦值。
而洛伦兹力的方向则始终垂直于电子的速度方向和磁场方向。
当电子的初速度方向与磁场方向平行时，电子将不受洛伦兹力的作用，从而做匀速直线运动。
这就好比在一条笔直的道路上没有任何阻力，电子会一直保持原来的速度和方向前进。
然而，当电子的初速度方向与磁场方向垂直时，情况就变得有趣起来。
在这种情况下，电子将受到一个大小恒定、方向始终垂直于速度方向的洛伦兹力。
由于力的方向始终在变化，电子就会做匀速圆周运动。
其圆周运动的半径可以通过电子的速度、电荷量、质量以及磁场的磁感应强度来计算。
想象一下，电子就像一个在赛道上奔跑的运动员，而磁场就是那无形的赛道边界，始终给电子一个垂直于其运动方向的力，迫使它沿着圆形轨道奔跑。
而且，电子做圆周运动的周期也只与磁场的磁感应强度、电子的电荷量和质量有关，与电子的速度大小无关。
但实际情况往往更加复杂。
当电子的初速度方向与磁场方向既不平行也不垂直时，电子的运动轨迹就会是一个螺旋线。
这种螺旋线的形状就像是把直线运动和圆周运动结合在了一起。
为了更直观地理解电子的运动轨迹，我们可以通过一些实验来观察。
在一个真空的环境中，发射一束具有一定初速度的电子束进入磁场，然后通过特殊的探测器来观察电子的运动轨迹。
在科学研究和实际应用中，对电子在磁场中运动轨迹的研究具有重要意义。
电子在磁场中的运动规律
电子在磁场中的运动规律磁场是一种无形的力量，它对电子运动产生了重要的影响。
在磁场中，电子的运动规律既有着固定的模式，又呈现出一定的不确定性。
本文将探讨电子在磁场中的运动规律，并从不同角度剖析这一令人着迷的现象。
首先，我们需要了解磁场对电子的影响。
磁场可以通过磁感应线的分布来展示，其强弱决定了对电子运动的力量大小。
当一个电子进入磁场时，磁场力会垂直于电子运动方向产生作用。
这种作用力称为洛伦兹力，它的大小与电子的速度和磁场强度有关。
当电子以某一速度进入垂直于磁场方向的磁场中时，洛伦兹力会使电子的运动方向偏离原来的轨迹。
具体来说，当电子以与磁场垂直的方向运动时，洛伦兹力将使电子绕着磁场线旋转；而若电子存在一个与磁场平行的速度分量，洛伦兹力则将使电子在立体空间中形成一个螺旋运动。
这种现象称为电子的磁场偏转。
我们可以从电子的运动轨迹中观察到电子在磁场中的规律。
当磁场强度增加时，电子的轨迹弯曲的程度也随之增加。
当磁场强度达到一定值时，电子的轨迹将变为一条圆弧，电子将在磁场中绕着一个中心点运动。
这种运动称为磁场中的圆周运动。
在这种情况下，磁场力提供了向心力，使得电子能够保持在一个稳定的轨道上。
另外，电子的速度也会影响其在磁场中的运动规律。
根据洛伦兹力的方向，我们可以看出速度越大，电子受到的偏转力越大，运动轨迹也越偏离原来的路径。
特别是当电子的速度与磁场线方向平行时，洛伦兹力会变为零，电子则将沿直线运动而不受到偏转。
这种现象被称为洛伦兹力的塞曼效应，它对于理解电子在磁场中的运动规律具有重要的意义。
除了速度，电子带有的电荷也会影响其在磁场中的运动。
根据洛伦兹力的表达式F=qV×B，我们可以看出，电子带有的负电荷决定了它所受到的力的方向与正电荷相反。
即使电子以相同的速度和方向进入磁场，它也会受到一个与正电荷相反的偏转力。
这种效应被称为洛伦兹力的负电效应，它揭示了电子在磁场中的独特运动规律。
总结起来，电子在磁场中的运动规律具有一定的复杂性。
电子在电磁场中的运动规律
电子在电磁场中的运动规律电子是构成物质的基本粒子之一，其运动规律对于理解物质的性质和电磁场的相互作用至关重要。
本文将探讨电子在电磁场中的运动规律，并分析其在不同条件下的行为。
电子在电磁场中的受力是由洛仑兹力所引起的。
洛仑兹力是指电子在电磁场中受到的力，由于电子带有电荷，当其运动时会受到电磁场的作用。
根据洛仑兹力的表达式可以得知，力的方向垂直于电子的速度和磁场的方向，并且其大小与速度和磁场强度、电子电荷量之间的关系密切相关。
当电子在恒定磁场中运动时，其受力方向与速度方向垂直，从而导致电子在磁场中做圆周运动。
这种运动被称为磁场中的螺旋运动。
由于电子的受力方向始终垂直于速度方向，它们的角动量保持恒定，从而保证了电子在磁场中作圆周运动的稳定性。
然而，当电子在非恒定磁场中运动时，其运动轨迹将变得更加复杂。
在非恒定磁场中，电子将受到类似惯性力的作用，这种力被称为感应电场力。
感应电场力与电子在磁场中受到的洛仑兹力方向相反，其大小与磁场的变化率相关。
当磁场随时间变化时，感应电场力将导致电子偏离原来的运动轨道，使其产生辐射和能量损失。
除了在磁场中的运动之外，电子还可以在电场中受到力的作用。
电子在电场中受到的力与其电荷量以及电场的强度和方向有关。
当电场的方向与电子的运动方向相同时，电子将受到加速；当电场的方向与电子的运动方向相反时，电子将受到减速。
因此，电场可以用来控制电子的运动速度和方向。
综上所述，电子在电磁场中的运动规律受到洛仑兹力的影响。
在恒定磁场中，电子将做圆周运动；而在非恒定磁场中，电子的运动轨迹将更为复杂，可能发生偏离和辐射。
此外，电子在电场中受到的力也会影响其运动速度和方向。
这些运动规律对于理解电子在物质中的行为以及在电磁场中的相互作用都具有重要意义。
研究电子在电磁场中的运动规律不仅对物理学有着重要意义，对于应用领域也具有广泛的影响。
例如，理解电子在磁场中的运动规律，可帮助设计和制造粒子加速器和磁共振成像设备等高科技设备。
高中物理带电子在磁场中的运动知识点
高中物理带电子在磁场中的运动知识点一、概要高中物理中，电子在磁场中的运动是一个重要的知识点，涉及到电磁学的基本原理和应用。
这一知识点主要研究电子在磁场中受到洛伦兹力作用时的运动规律，包括电子的轨迹、速度、加速度以及磁场对电子的影响等。
掌握该知识点对于理解电磁现象、电子在科技领域的应用以及科学实验分析具有重要意义。
本文将对电子在磁场中的运动进行详细分析，帮助读者理解其基本原理和关键概念。
1. 介绍磁场与电子运动的重要性，说明电子在磁场中的运动规律是物理学中的重要课题在物理学中，磁场与电子的运动关系是一个极为重要且富有挑战性的课题。
磁场作为一种无形的力量，影响着周围物质的性质和行为，特别是在微观领域中对电子的影响更是显著。
电子作为物质的基本组成部分之一，其运动规律的研究对于理解物质的本质和性质至关重要。
因此电子在磁场中的运动规律研究，不仅关乎我们对物质世界的深入理解，也是物理学领域持续探索的热点。
从更广泛的角度来看，磁场和电子的运动关乎众多科学领域，如电磁学、量子力学、原子物理等。
它们在能源科技、信息技术等现代科技领域的应用也极为广泛。
例如电磁场理论在电动机、发电机、磁悬浮列车等领域的应用都离不开电子在磁场中的运动规律。
此外电子在磁场中的行为对于理解物质的磁性、半导体材料的性质等也有着重要意义。
因此电子在磁场中的运动规律研究具有重要的理论价值和实际应用价值。
从物理学的角度来看，电子在磁场中的运动受到洛伦兹力的影响，其轨迹呈现出复杂的曲线特性。
这些特性包括电子的运动方向、速度、加速度等的变化规律，以及磁场强度、方向对电子运动的影响等。
这些复杂而又精确的运动规律为我们提供了理解微观世界的重要线索，也为我们在纳米科技、微电子等领域的技术创新提供了理论基础。
因此研究电子在磁场中的运动规律是物理学研究的重要课题之一。
2. 简述本文目的，阐述本文内容将涵盖电子在磁场中的受力分析、运动轨迹、能量变化等方面电子在磁场中的受力分析。
电场与磁场的作用电子如何在磁场中运动
电场与磁场的作用电子如何在磁场中运动电场与磁场的作用：电子在磁场中的运动电场和磁场是我们日常生活中经常遇到的物理现象，它们对电子的运动具有重要影响。
本文将探讨电场和磁场如何影响电子在磁场中的运动。
既然题目是“电场与磁场的作用：电子在磁场中的运动”，那么本文将用科学的角度来解释电子在磁场中的运动过程。
电子在电场中的运动：首先，我们先来了解一下电场对电子的影响。
电场是由电荷带来的，它会对电子施加力。
根据库仑定律，两个电荷之间的力与它们的电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
电子在电场中的运动可以通过考虑电场力的方向和大小来描述。
当一个电子在电场中时，它会受到电场力的作用。
电子带有负电荷，所以电场力会使它受到一个与电场相反的力。
根据牛顿第二定律，电子在电场中的加速度与电场力成正比，与电子的质量成反比。
因此，电子在电场中受力越大，加速度也就越大，反之亦然。
电子在磁场中的运动：接下来我们来探讨磁场对电子的作用。
磁场是由磁性物质所激发的，也可以通过电流来产生。
磁场力的大小与电子的速度、电子的电荷量以及磁场的强度有关。
根据洛伦兹力的公式F = qvB，其中F是力，q是电子的电荷量，v是电子的速度，B是磁场的磁感应强度。
当一个电子在磁场中以一定速度运动时，它会受到洛伦兹力的作用。
洛伦兹力与电子的速度方向垂直，并且与速度的大小成正比。
如果电子的速度与磁场的方向垂直，那么洛伦兹力会导致电子在磁场中产生一个向圆心的向心力。
这个向心力会使得电子沿着一圆轨道运动。
这种运动方式被称为圆周运动。
在磁场中，电子的速度和磁场的方向有关，同时也取决于电子的初始速度和磁场的强度。
如果电子的速度与磁场平行，那么洛伦兹力为零，电子将继续以恒定速度直线运动。
如果电子的速度与磁场成任意角度，那么它会沿着螺旋线轨迹运动。
电子在磁场中的运动可以用以下几个因素来总结：电子的电荷量、电子的速度、磁感应强度以及电子初始运动方向与磁场的关系。
这些因素共同决定了电子在磁场中的运动方式。
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电子在磁场中的运动在经典理论中,电磁场中带电粒子的哈密顿为()212H q q ϕ=-+P A其中P 是正则(广义)动量, A 是矢势, ϕ是标势,, tϕ∂=--∇=∇⨯∂AE B A 过渡到量子力学,我们把正则动量改为算苻i =-∇P所以哈密顿算苻为212H q q ϕ∧∧⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭P A规范不变性电磁场具有规范不变性。
当做规范变换''f f t→=+∇∂φ→φ=φ-∂A A A 电场、磁场保持不变。
那么量子理论是否具有规范不变性？ 可以证明波函数只需做如下变换/'iqf eψ→ψ=ψ则薛定谔方程保持形式不变，()2'1'''2i q q t m ∂ψ⎡⎤=-+φψ⎢⎥∂⎣⎦P A 即量子力学具有规范不变性。
（波函数仅改变一个相因子，这不改变任何物理）证明：把',','ψφA 代入薛定谔方程，有()2//1'2iqf iqf f f ei qe i q q f q q t t m t ∂ψ∂∂⎡⎤-ψ=-∇--∇+φ-ψ⎢⎥∂∂∂⎣⎦A()2//12iqf iqf e i i q q f q e t m ∂ψ⎡⎤→=-∇--∇+φψ⎢⎥∂⎣⎦A()2//12iqf iqf ei e i q q t m ∂ψ⎡⎤→=-∇-+φψ⎢⎥∂⎣⎦A()212i i q q t m ∂ψ⎡⎤→=-∇-+φψ⎢⎥∂⎣⎦A对电子, 若考虑自旋212H e e μϕ∧∧→⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭P A B其中自旋磁矩e mμ→=-S2221()222e e H U m m m μ∧∧→⎛⎫=+⋅+⋅+-⋅+ ⎪⎝⎭P A P P A A B 注意一般情况下, A 与P 不对易,它们的对易关系为 [],i =-∇⋅P A A所以只有当∇⋅=A 0时, 它们才对易. 对均匀场矢势可以表示为12=⨯0A B r =∇⨯0B AA 与P 是对易的()()()2222222222222221()22112221()2221()2221(2)()228e e H Um m m e e U m m m e e U m m m e e e U m m m m e e U m m m μμμ∧∧→∧→∧→∧∧⎛⎫=+⋅+-⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+⨯⋅+-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+⨯⋅+-⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+⋅++⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫=++⋅+⨯+ ⎪⎝⎭P A P A B P B r P A B P r P B A B P L B A S B P L S B B r例题-1 设电子在均匀磁场中的运动，求能量本征值和波函数。
解：设磁场沿z 轴方向，可取 , 0x y z A B y A A =-==定态薛定鄂方程为222111222y z x z e P eBy P P S B E m m m m ψψ∧∧∧⎡⎤⎛⎫-+++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦这个哈密顿不显含坐标x 和z, 可以取 ()()x z i p x p z ey ψχ+=()2222211222x z z e p eBy p S B E m m m y m χχ⎡⎤∂-+-+=⎢⎥∂⎣⎦整理 ''22202211()022z z m e E S B p m y y m m χω⎡⎤⎛⎫+----= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中0//x y p e Be B mω=-=可以看出方程是一个谐振子方程,所以()211/222z e E n p B m mω=++±第一项给出的是分立能级, 对应垂直于磁场的平面内的运动,这些能级称为郎道能级, 第二项对应的是沿磁场方向的自由运动能量, 第三项是电子自旋与磁场的相互作用能. 波函数200()()2n n y y y y y H χαα⎡⎤--⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦其中α=n H 是厄密多项式.讨论在经典力学中, 电子在垂直与磁场的平面内(xy 平面)中作圆周运动(园心固定). 量子力学中守恒的0y 相当于经典的圆心坐标. 0y x p eB x =+也是一个守恒量(它与哈密顿对易), 它相当于经典的圆心坐标, 但是算苻0x ∧与0y ∧算苻是不对易的, 圆心坐标不能同时取确定值.,z n p 给定能级的简倂度由于能级表示式中不含x p ,假定它可以取连续值,能级是连续兼并的. 如果xy 平面内的运动是局限在一个很大的但是有限的面积x y S L L =内, 兼并度就成为有限的. x p ∆区间内x p 的可能值(现在是分立的)的数目为2xx L p π∆当0y 在S 内时, 所有这些x p 都是允许的. 从条件00y y L << 得到x y p eBL ∆=所以简倂度 (对应同样的,z n p 的态数)为 ,2zn p eBS D π=另外,由于自旋,还有附加的简倂度; 1,2z n S = 同11,2z n S +=- 的能量相同.例题 1 Larmor 进动: 假定一个自旋1/2的粒子静止在一个方向沿z 方向的均匀磁场中:0.B B k= 矩阵形式的哈密顿是0010.012H S z B B γγ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭H 的本征矢同S z 的一样:00,()/2,,()/2. E B E B χγχγ++--=-⎧⎨=+⎩ 能量能量 显然当偶极矩平行磁场时能量最低−如同它的经典情况一样。
由于哈密顿是不依赖时间的，含时薛定鄂方程H i tχχ∂=∂的一般解可以表示成定态的迭加：00/2///2().i B t iE t iE t i B t ae t a e b e be γγχχχ+---+--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭常数a 和b 由初始条件决定：(0),a bχ⎛⎫= ⎪⎝⎭（当然，221a b +=）不失一般性，令cos(/2)a α=，sin(/2)b α=，其中α是一个固定的角度，其物理意义随后说明。
这样00/2/2cos(/2)().sin(/2)i B t i B t e t e γγαχα-⎛⎫= ⎪⎝⎭为了对这样的态有一个感性认识，让我们计算S 期待值对时间的依赖关系：()00/2/2†/2/2()()cos(/2)sin(/2)10cos(/2)012sin(/2)sin cos().2S i B t i B tx xi B ti B tS t t e eeeB tγγγγχχαααααγ--==⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=类似有，†()()sin sin(),2Sy yS t t B tχχαγ==†()()cos.2Sz zS t tχχα==显然S与z-轴有一个常数倾斜角α,并且绕磁场方向以Larmor频率,Bωγ=进动，如同在经典情况中一样。
这里无需惊讶−Ehrenfest定理保证了S是按照经典规律演化的。
例题 2 斯特恩-革拉赫(Stern-Gerlach)实验：在一个非均匀磁场中，除了力矩，还有另外一个力作用在磁偶极子上：().F B=∇⋅μ这个力可以用来分离具有特定自旋指向的粒子。
假设一束较重的中性原子沿y 方向通过一个非均匀磁场区域−比如说(,,)(),B x y z xi B z k αα=-++ 其中0B 是一个较强的均匀场，而α描述对均匀性的一个小的偏离。
（实际上我们只需要z 方向上的小的偏离，但不幸的是这是做不到的−这将违背电磁规律0B ∇⋅=，不管喜欢不喜欢，必须有x 分量出现。
）作用在原子上的力为().F x z S i S k γα=-+但是由于绕0B 的拉莫尔进动，x S 快速振荡，且平均值为零；净力是沿z 轴方向：,z z F S γα=与自旋角动量的z 分量成正，原子束向上或向下偏转。
经典上，（由于z S 没有量子化）我们预期的是一个模糊带，但事实上原子束分成了21s +个分立的束，这完美地展示了角动量的量子化。
（例如，如果你用银原子，原子内层的所有的电子都是配对的，所以它们的轨道和自旋角动量都相互抵消。
净自旋就是最外层一个−非配对−电子的自旋，所以 1/2s =，因而原子束经过磁场后分为两束。
） 在最后一步之前，上述论述完全是经典的；在完全的量子计算中，没有“力”的位置，因此你们也许更喜欢下面对这个同样问题的探讨。
我们在随着原子束一同运动的参照系中来研究这个过程。
在这个参照系中，哈密顿的初值为零，当粒子经过磁场的一段时间T 内不为零，然后再归于零：00,0,()(),0,0,.z t H t B z S t T t T γα<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪>⎩（我们忽略了B 讨厌的x 分量−由前面所述原因−x 分量与这个问题无关。
）假定原子的自旋为12，初态为：(),0.t a b tχχχ+-=+≤当当哈密顿算符作用时，()t χ按通常方式演化：//(),0iE t iE t t a e b e tT χχχ+---+-=+≤≤ 当，式中0(),2E B az γ±=+因此（当t T ≥）它出现在态中/2/2(/2)(/2)()()(),TB TB i i T z i i T z t ae e be e γγαγαγχχχ--+-=+这两项含有沿z 轴方向的动量；自旋向上部分的动量为：,2z T p αγ=方向沿z 轴正方向；自旋向下部分的动量恰好相反，方向沿z 轴负方向。
因而，像先前一样，原子束经过磁场后分为两束。
斯特恩－革拉赫实验在量子力学的基本原理中举足轻重，它既是量子态制备的范例，又是一些量子测量的阐明模型。
我们习惯于假定某一系统的初始条件是已知的（薛定谔方程告诉我们它随后的演化）—但是，很自然会疑问，怎样让一个系统在开始时处于一个特定的状态。
可以这样，如果你想制备一束给定自旋态的原子束，可以先让未极化的粒子束通过一个斯特恩－革拉赫磁场，再从出射的粒子束中选择出你感兴趣的（可以通过适当的挡板或者遮光器）。
相反地，如果想测量一个原子自旋的z 分量，只需让该原子通过斯特恩－盖拉赫装置，记录它达到那个接受器上即可。
我并不是说这总是处理这类问题最实际的方法，但是它概念上十分清晰，因此是探讨态制备和测量的非常有用的内容。
习题3一电子静止在一振荡磁场0cos(),B B t kω= 中，其中0B 和ω为常数。
（a ）构造这个体系的哈密顿矩阵。
（b ）这个电子的初始态（0t =时）为处于x -轴方向上的上自旋态（即：()(0)x χχ+=）。
确定以后任意时刻的()t χ。
注意：这是一个与时间有关的哈密顿，所以你不能用通常从定态得到()t χ的方法。
（c ）如果测量x S ，求出得到2- 的几率。
(d) 迫使x S 完全翻转所需要的最小磁场（B 0）是多大？ 解: 我们在z S 的表象中讨论问题 (a)H γ=-⋅B S对于电子 e mγ=-若磁场沿z 轴方向0010cos()cos()012z e e H B t S B t m m γωω⎛⎫=-⋅== ⎪-⎝⎭B S (b) 设波函数为()()()a t t b t χ⎛⎫= ⎪⎝⎭它满足含时薛定鄂方程()()d t i H t dtχχ=即00/10()cos()/01()2()cos()()2da dt a t e i B t db dt b t m a t e B t b t m ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 00/cos()()2/cos()()2eida dt B t a t m eidb dt B t b t mωω==-解出00()exp sin()2eB a t a i t m ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭00()exp sin()2eB b t b i t m ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭波函数的初始条件是, x -轴方向上的上自旋态()(0)x χχ+=, 即x S 本征值为/2+ 的本征态. 在z S 表象这个态为111x χ+⎛⎫= ⎪⎝⎭所以00(0)11(0)(0)1a a b b χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭00exp sin()21()exp sin()2eB it m t eB it m ωωχωω⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(c) 测量x S ，求出得到2- 的几率()()222222011()111sin sin2sin sin()2ixii ie P tee e ieBtmξξξξχχξξωω---⎛⎫==- ⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫= ⎪⎝⎭(d) 迫使xS完全翻转所需要的最小磁场（B0）完全翻转测量xS，求出得到2- 的几率1P=所以0sin()22eBtmπωω⎛⎫=⎪⎝⎭最小磁场为0m B eωπ=。