概率互逆 互斥
“事件的互斥、互逆和独立性”的问题和思考
“事件的互斥、互逆和独立性”的问题和思考作者：王洪霞来源：《科教导刊》2014年第36期摘要事件的互斥、互逆和独立性是概率论中重要的基本概念，为了便于初学者很好地掌握这三个概念，本文力图从基本概念出发循序渐进地提出几个问题，以问答的形式展示出来。
关键词事件的互斥互逆独立性中图分类号：G642 文献标识码：AProblems and Thinking of "Events' Mutually Exclusive，Reciprocal and Independence"WANG Hongxia（Statistical Institute of He'nan University of Economics and Law， Zhengzhou， He'nan 450002）Abstract Mutually exclusive events， reciprocal and independence is an important basic probability theory concepts， in order to facilitate a good grasp of beginners these three concepts，this paper tries gradual departure from the basic concept raised several questions， in the form of quiz show come out.Key words mutually exclusive events； reciprocal； independence在概率论的教学实践中发现：很多初学者对“事件的互斥、互逆和独立性”的概念理解不透，经常将互斥和独立性搞混。
为了便于大家更好地学习这部分知识，笔者力图从基本概念出发循序渐进地提出了几个问题，以问答的形式展示出来。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
概率论笔记1
概率复习重点归纳 一、随机事件与概率 重点难点： 重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式 难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算 常考题型： （1）事件关系与概率的性质 （2）古典概型与几何概型 （3）乘法公式和条件概率公式 （4）全概率公式和Bayes 公式 （5）事件的独立性 （6）贝努利概型 概念辨析1，互不相容（互斥）事件同逆（对立）事件互不相容事件：AB =Φ 逆事件：,A B AB ⋃=Ω=Φ事件互逆指的是非此即彼，即事件之一必定发生；而不相容仅指不能同时发生，但是是可以同时不发生的。
2，独立与互不相容（互斥）对事件A 及B ，若P(A)P(B)>0，且P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 及B 互相独立；事件独立同事件互斥是两套不同的概念，不能进行比较；须知独立性针对的是事件概率存在上面的等式关系；而互斥是指事件的不可同时发生，两者之间不存在必然关系。
3、条件概率同乘积概率P(AB)是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而P(A | B)是在试验中增加了新条件B 发生 后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率。
虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用P(AB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用P(A | B) .例：袋中有9 个白球1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（ 2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个乘积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.4、全概率公式同贝叶斯公式 全概率公式：要求事件A 的概率（通常直接不太好求），将其分成几个比较容易计算的概率之和。
在分析问题的过程中，A 可视为B1∪B2∪B3∪…∪Bn 的子事件，或者把Bi 看成A 发生的原因，A 是结果，而及较易求出，从而可由“因”求出“果”。
概率论公式总结-都琳
第一章 随机事件及其概率随机事件A ，样本空间Ω，概率空间F ，A A ⊂Ω∈，F 一、随机事件间的关系和运算1、 包含：A ⊂B ，表示A 发生必有事件B 发生2、 相等： 若A ⊂B 且B ⊃A ，即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。
3、 互不相容（或互斥）：A ∩B=Ф，表示A 与B 不可能同时发生。
对立一定互斥。
4、 对立（或互逆）: A =Ω-A 。
表示A 不发生的事件。
互斥未必对立。
5、和事件/并：A ∪B ，或者A+B （A ∩B=Ø），表示A 、B 中至少有一个发生的事件。
6、 差事件：A B A AB AB −=−=,表示A 发生而B 不发生的事件。
7、 积事件/交：A ∩B 或者AB ，表示 A 、B 同时发生的事件。
二、运算定律1、交换律：A ∪B=B ∪A ；A ∩B =B ∩A 。
2、 结合律：A ∪（B ∪C ）=（A ∪B ）∪C ；A ∩（B ∩C ）=（A ∩B ∩ C3、分配律：A ∪（B ∩C ）=（A ∪ B ）∩（A ∪C ）； ()()()A B C A B A C =∩∪∩∪∩。
4、德摩根律（对偶率）：B A ∪=A ∩B ；B A ∩=A ∪B ；。
z 常用结论：A A =Φ； A ∪A =Ω； ()()AB A B AB A B B A AB =+−=−+−+∪第二章 随机变量及其分布一、一维随机变量及其分布 1、分布函数:(){}F x P X x =≤ 分布函数性质:(1)0()1,;F x x R ≤≤∈(2)()F x 是单调不减的；(3)()lim ()0;x F F x →−∞−∞==()lim ()1;x F F x →+∞+∞==(4)()F x 为右连续，即000lim ()(),.x x F x F x x R +→=∈分布函数重要公式:(1){}();P X b F b ≤=(2){}()();P a X b F b F a <≤=−(3){}1();P X a F a >=−(4){}();P X b F b −<=(5)()()(),.P X b F b F b b R −==−∈ 2、离散型随机变量: (){}{}()k kx xF x P X x P X x x R ≤=≤==∈∑¾ 典型离散型随机变量的分布：(1) 退化分布(单点分布)：()1P X C == (2) 两点分布B (1,p ) ：1{}(1)(0,1)k k P X k p p k −==−=(3) 离散型均匀分布：1{}(1,2,,)k P X x k n n=== (4) 二项分布(,)B n p ：{}(1)k k n k n P X k C p p −==− (5) 泊松分布()P λ：{}e (0,1,)!kP X k k k λλ−===(6) 几何分布：1{}(1)(1,2,)k P X k p p k −==−=(7) 超几何分布：{}(0,1,2,,min{,})k n k M N MnNC C P X k k M n C −−=== 3、连续型随机变量：()()d xF x p t t −∞=∫¾ 密度函数的性质：(1)()0,;p x x R ≥∈(2)()d 1;p x x +∞−∞=∫(3){}()()()d ;baP a X b F b F a p x x <≤=−=∫ (4){}0.P X c ==¾ 典型连续性随机变量的分布： (1) 均匀分布 X ~ U [a ,b ]1,,()0,,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=−⎨⎪⎩其它; 0,,(),,1,.x a x a F x a x b b a x b <⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪≥⎪⎩1{}{}0;P X a P X b <=>= 性质：2{}.d cP c X d b a−≤<=− (2) 正态分布 2~(,)X N μσ22()2(),.xμσp x x−−=−∞<<∞;22()2()dtμxσF x e t−−−∞=∫(3)标准正态分布~(0,1)X N22()xxφ−=;22()d.txx t−Φ=∫(1)()1(),x xΦ−=−Φ性质：(0)0.5Φ=；22(2)xe dx+∞−−∞=∫(4)指数分布~()X Expλ,0,()0,0.xe xp xxλλ−⎧>=⎨≤⎩;1,0,()0,0.xe xF xxλ−⎧−>=⎨≤⎩二、 二维随机变量及分布：1、联合分布函数：(,)F x y{,}P X x Y y=≤≤2、二维离散型随机变量的分布：{,},i j ijP X x Y y p===(,) ,i jijx x y yF x y p≤≤=∑∑3、二维连续型随机变量的分布：(,)(,)d dx yF x y p u v u v−∞−∞=∫∫¾联合密度函数性质：(1)(,)0;p x y≥(2)(,)d d(,)1;p x y x y F+∞+∞−∞−∞=+∞+∞=∫∫2(,)(3)(,)(,),(,);F x yp x y x y p x yx y∂=∂∂若在连续则有(4){(,)}(,)d d.GP X Y G p x y x y∈=∫∫¾典型二维随机变量的分布：(1) 均匀分布：1,(,),(,)0,.x y Dp x y S⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它(2) 二维正态分布221212(,)~(,,,,)X Y Nμμσσρ：2211222221212()2()()()12(1)(,)xμρxμyμyμσσρσσp x y⎡⎤−−−−−−+⎢−⎢⎥⎣⎦=(,),x y−∞<<∞−∞<<∞4、边缘分布：()(,){,}{}XF x F x P X x Y P X x=+∞=<≤+∞=≤；()(,){,}{}YF y F y P X Y y P Y y=+∞=<+∞≤=≤(1) 离散型随机变量：边缘分布函数 1()(,),i X ij x x j F x F x p ∞≤==+∞=∑∑1()(,).j Y ijy y i F y F y p ∞≤==+∞=∑∑边缘分布律 1{},1,2,,i ij i j p p P X x i ∞•=====∑ 1{},1,2,,j ij j i p p P Y y j ∞•=====∑(2) 连续型随机变量：边缘分布函数 {}()(,)(,)d d xX F x F x p x y y x +∞−∞−∞=+∞=∫∫边缘密度 ()(,)d ;X p x p x y y +∞−∞=∫()(,)d Y p y p x y x +∞−∞=∫(3) 结论：二元正态分布的边缘分布是一元正态分布．221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ即若，则221122~(,),~(,).X N Y N μσμσ5、独立性：(,)()().X Y X Y F x y F x F y ⇔=和相互独立(1):{,}{}{}i j i j X Y P X x Y y P X x P Y y ⇔=====、离散型与相互独立(2):(,)()()X Y X Y p x y p x p y ⇔=、连续型与相互独立常用结论：(1)()().X Y f X g y 若和相互独立，则与也相互独立 1212(2)(,),,X Y N u u σσρ∼（,,），0X Y ρ⇔=与相互独立 6、条件分布（1）离散型：条件分布律{;}{|};{}i j ij i j j j P X x Y y p P X x Y y P Y y p ⋅======= {,}{|}{}i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x P X x p ⋅=======（2）连续型：条件概率密度 (,)();()X Y Y p x y p x y p y =|(x,)(|)()Y X X p y p y x p x = 条件分布函数 ||(|)(|)d (x,)/()d xx X Y X Y Y F x y p x y x p y p y x −∞−∞==∫∫||(|)(|)d y Y X Y X F y x p y x y −∞=∫(x,)/()d yX p y p x y −∞=∫（3）常用结论：二元正态分布的条件分布仍为正态分布。
概率论复习知识点总结
? P( Ai B) ?
P(Ai )P( B Ai ) ?
n
P(Ai )P( B Ai )
P(Ai )P( B Ai ) ? P(B)
,i
? 1,2,?
,n
i?1
?例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B)
?注意几对概念的区别： ?互不相容与互逆 ?互不相容与相互独立 ?相互独立与两两相互独立 ?作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ?古典概型概率计算公式：
P( A) ? 事件A中所包含样本点的个数 ? k
? 中所有样本点的个数 n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ?若P(A)>0
p
p(1? p)
np
np(1 ? p)
?
?
( a ? b) 2 (b ? a )2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ?定义式：Cov( X,Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)]
? XY ?
Cov( X ,Y) ( D( X ) ? 0, D(Y ) ? 0) D( X ) D(Y)
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ?事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为 事件，则有 ?交换律：A? B ? B ? A, AB ? BA ?结合律：( A ? B ) ? C ? A ? (B ? C ), ( AB)C ? A(BC ) ?分配律：( A ? B)C ? ( AC) ? (BC ),
概率论与数理统计疑难解答
第一章 概率论基本概念1．什么是统计规律性？什么是随机现象？答 在一定条件下发生，其结果是多样的，因而在现象发生前不能预知确切结果的不确定现象，其结果在大量重复试验中呈现出一种规律性. 由于这种规律是根据统计数据分析出来的，因而称为统计规律性。
在一次试验或观察中结果不能预先确定，而在大量重复试验中结果具有统计规律性的现象称为随机现象. 随机现象是概率论与数理统计的主要研究对象.2．如何理解互逆事件与互斥事件？ 答 如果两个事件A 与B 必有一个发生，且至多有一个发生，则、A B 为互逆事件. B A =.如果两个事件A 与B 不能同时发生，则、A B 为互斥事件.如考试及格与不及格是互逆也是互斥的，但考试70分和80分互斥却不互逆.区别互逆与互斥的关键是，当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆. 而互斥适用于多个事件的情形. 互斥事件的特征是，在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且至多发生一个. 3．如何用已知事件来表达与其有关的其它事件？答 首先要了解所讨论试验中事件的构成，所需表达事件与已知事件的关系，然后运用这些关系与运算法则将事件表达出来.例如，设S 为事件05x ≤≤，A 为事件12x ≤≤，B 为事件02x ≤≤，则02x ≤≤为事件B 或A B ， 12x ≤≤为事件A 或BA ， 25x <≤为事件S B -或B ，01x ≤<为B A -.4．样本空间与必然事件之间有什么关系？答 样本空间是随机试验E 的所有可能结果的集合，而必然事件是指随机试验中一定会出现的结果. 虽然在一次试验中只有样本空间的一个元素发生，但在把样本空间视作一个整体时，我们说它在每次试验中都发生了. 因此，可以说样本空间是必然事件.5．在什么情况下，随机事件A 的频率可以作为它的概率的近似值？答 随机事件A 的频率()n f A 反映事件A 在多次重复试验中发生的频繁程度. 当n 增大时，频率在概率()P A 附近摆动. 因此，每一个从独立重复试验中测得的频率，都可以作为概率()P A 的近似值. 而且，一般n 越大，近似程度越好.事实上，当n 增大时，频率大量集中于包含()P A 的一个小区间. 任选区间中一值作为概率的近似值，称为统计概率. 在解题时，当n 较大时，可取统计概率为()/A P A n n ≈. 6．概率是否可以看做频率的极限？答 这样理解是不恰当的. 因为如上题所述，当n →∞时，()n f A 在()P A 附近摆动，与高等数学中极限的N ε-概念是不同的. 由于概率是随机现象的可能性的赋值，对于任给的0ε>，存在偶然的因素，可能找不到()N ε，从而得不到|()()|n f A P A ε-<.7．怎样理解古典概型的等可能假设？答 等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便. 但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的. 例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等. 因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识——对称性特征而确认的. 8．概率为0的事件是否为不可能事件？概率为1的事件是否为必然事件？ 答 有关概念：不可能事件φ的概率为0，即()0P φ=，但其逆不真；同样，必然事件Ω的概率()1P Ω=，但其逆也不真。
概率论知识点整理及习题答案
概率论知识点整理及习题答案1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。
（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。
（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。
而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。
特别地，=A、AU= 、AI=φ。
2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。
我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。
而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。
3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。
其中基本事件也称为样本点。
而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。
通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。
在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。
而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。
为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。
这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。
条件发生变化，事件的性质也发生变化。
例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。
而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的.。
例如：（1）={3，4，5，L，18}。
（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。
ch1-4 全概率公式和逆概率公式
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但总可以 适当地构造一组两两互斥的Ai ，使B伴随着某个Ai的出 现而出现，且每个 P ( Ai B) 容易计算。可用所有 P ( Ai B) 之和计算P(B)。
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式。
某 一 事 件 B 的 发 生 有 各 种 可 能 的 原 因 Ai (i=1,2,…,n)，如果 B 是由原因 Ai 所引起，则 B 发生 的概率是 P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故B发 生的概率是各原因引起B发生概率的总和， 即全概率公式。
1
2
3
B发生总是伴随着A1，A运用加法公式得 2，A3 之一同时发生，
即 且 B= A1B+A2B+A3B， A1B、A2B、A3B两两互斥。 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
对求和中的每一项 运用乘法公式得
P ( A ) P ( B｜A ),
j 1
n
i 1,2,, n。
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。 它是在 观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每 个原因的概率。 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助 人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.
例 2 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种 试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验 反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验 反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?
i 1 i i
3
代入数据计算得：P(B)=8/15。
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概率互逆互斥
概率是数学中一个重要的概念，它描述了事件发生的可能性大小。
而在概率论中，概率互逆和互斥是两个重要的概念。
本文将围绕这两个概念展开讨论，并探讨它们之间的关系。
我们来理解一下概率互逆的含义。
概率互逆是指两个事件的概率之和等于1。
换句话说，如果事件A的发生概率为P(A)，那么事件A 不发生的概率就是1-P(A)。
同样地，如果事件B的发生概率为P(B)，那么事件B不发生的概率就是1-P(B)。
如果事件A和事件B是互逆的，那么P(A)+P(B)等于1，即P(A)+P(B)=1。
接下来，我们来讨论互斥事件。
互斥事件是指两个事件不能同时发生。
如果事件A发生了，那么事件B就不能发生；反之亦然。
换句话说，事件A和事件B是互斥的，当且仅当它们的交集为空集，即A∩B=∅。
在互斥事件中，两个事件同时发生的概率为0。
那么，概率互逆和互斥之间有什么关系呢？我们可以通过一个例子来说明。
假设有一枚硬币，正面朝上的概率是P(H)，反面朝上的概率是P(T)。
根据概率互逆的定义，P(H)+P(T)=1。
而根据互斥事件的定义，如果硬币正面朝上，那么反面朝上的概率就是0，即P(T|H)=0；反之亦然，即P(H|T)=0。
可以看出，在这个例子中，概率互逆和互斥是相互关联的。
在实际应用中，概率互逆和互斥常常用于描述随机事件的发生情况。
例如，在一次投掷硬币的实验中，正面朝上和反面朝上是互斥事件，它们的概率之和等于1。
又例如，在一次掷骰子的实验中，出现奇数点数和出现偶数点数是互斥事件，它们的概率之和等于1。
除了概率互逆和互斥，还有一些其他的概率相关概念。
例如，概率的加法法则和乘法法则。
概率的加法法则指的是，对于两个互不相容的事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法法则指的是，对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
总结起来，概率互逆和互斥是概率论中的两个重要概念。
概率互逆指的是两个事件的概率之和等于1，而互斥指的是两个事件不能同时发生。
在实际应用中，我们可以借助这两个概念来描述随机事件的发生情况。
此外，概率的加法法则和乘法法则也是概率论中常用的计算方法。
通过对这些概念的了解和运用，我们可以更好地理解和分析随机事件的概率性质。