分式方程的应用 - 专题复习
分式方程及应用复习教案
分式方程及应用复习教案一、教学目标1. 理解分式方程的概念和性质。
2. 掌握解分式方程的方法和技巧。
3. 能够应用分式方程解决实际问题。
二、教学内容1. 分式方程的概念和性质分式方程的定义分式方程的解法分式方程的解的性质2. 解分式方程的方法和技巧去分母法移项法合并同类项法化简法3. 分式方程的应用线性分式方程的应用非线性分式方程的应用分式方程在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：分式方程的概念和性质解分式方程的方法和技巧分式方程的应用2. 教学难点：解分式方程的方法和技巧的灵活运用分式方程在实际问题中的应用四、教学方法与手段1. 教学方法：讲授法：讲解分式方程的概念和性质、解分式方程的方法和技巧、分式方程的应用案例分析法：分析实际问题中的分式方程练习法：让学生通过练习题来巩固所学知识和技巧2. 教学手段：投影仪：展示分式方程的图像和实际问题练习题：提供给学生进行练习和巩固五、教学安排1. 第一课时：分式方程的概念和性质讲解分式方程的定义讲解分式方程的解法讲解分式方程的解的性质2. 第二课时：解分式方程的方法和技巧讲解去分母法讲解移项法讲解合并同类项法讲解化简法3. 第三课时：分式方程的应用讲解线性分式方程的应用讲解非线性分式方程的应用讲解分式方程在实际问题中的应用4. 第四课时：练习题讲解和总结讲解练习题总结分式方程的概念、方法和应用5. 第五课时：综合练习和拓展提供综合练习题给学生进行练习讲解拓展问题，引导学生思考分式方程在其他领域的应用六、教学评价1. 课堂参与度评价：观察学生在课堂上的积极参与程度，提问和回答问题的积极性。
2. 练习题完成情况评价：评估学生在练习题中的表现，包括解题的正确性、速度和思路。
3. 小组讨论评价：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及对分式方程的理解和应用。
4. 课后作业评价：评估学生课后作业的完成质量，包括解题的正确性、思路和书写规范。
七、教学反思在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和效果，根据学生的反馈和表现调整教学策略，以提高教学效果。
《分式方程的应用》 知识清单
《分式方程的应用》知识清单一、分式方程的定义分式方程是指分母中含有未知数的方程。
例如：＼（＼frac{1}｛x} ＋ 2 ＝ 3\）就是一个简单的分式方程。
二、分式方程的解法1、去分母将分式方程两边同乘各分母的最简公分母，化为整式方程。
例如，对于方程＼（＼frac{x}｛x 1} ＝＼frac{2}｛x 1}＼），最简公分母是＼（x 1\），两边同乘＼（x 1\）得到：＼（x ＝ 2\）。
2、解整式方程按照解整式方程的方法求解。
3、验根将求得的解代入原分式方程的分母中，若分母不为零，则该解是原分式方程的解；若分母为零，则该解不是原分式方程的解，应舍去。
例如，对于上面求出的解＼（x ＝ 2\），代入＼（x 1\）中，＼（2 1 ＝ 1\neq 0\），所以＼（x ＝ 2\）是原方程的解。
三、分式方程的应用类型1、行程问题行程问题中，基本公式为：路程＝速度×时间。
例如：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。
甲的速度为＼（x\）千米/小时，乙的速度为＼（y\）千米/小时，经过＼（t\）小时相遇，A、B 两地相距＼（s\）千米。
可列出方程：＼（xt ＋ yt ＝ s\）。
如果已知路程和其中一人的速度，求另一人的速度，就可能用到分式方程。
2、工程问题工程问题中，基本公式为：工作总量＝工作效率×工作时间。
例如：一项工程，甲单独完成需要＼（x\）天，乙单独完成需要＼（y\）天，两人合作需要＼（t\）天完成。
可列出方程：＼（＼frac{t}｛x} ＋＼frac{t}｛y} ＝ 1\）。
3、销售问题销售问题中，涉及到利润、成本、售价、销售量等。
例如：某商品进价为＼（a\）元，售价为＼（b\）元，销售量为＼（x\）件，利润为＼（y\）元。
根据利润＝售价进价，可列出方程：＼（y ＝（b a)x\）。
如果已知利润、进价和售价，求销售量，可能会用到分式方程。
4、浓度问题浓度问题中，基本公式为：浓度＝溶质质量÷溶液质量。
数学北师大版八年级下册九年级专题复习之《分式方程的应用》
《分式方程的应用》专题复习导学案一、学习目标1、能根据具体问题中的数量关系列出方程；2、能根据具体问题中的实际意义，检验方程的解是否合理。
二、学前准备1.解分式方程的基本思想:通过 把分式方程转化为 方程；2.列分式方程解应用题时，一定要对分式方程的根进行 ，一方面看是否 ,另一方面看是否 。
3.某市为治理污水，需要铺设一段全长600m 的污水排放管道，铺设120m 后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m ，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度。
如果原计划每天铺设ｘm 管道，那么根据题意，可列方程 。
4.甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用时间比乙搬运8000kg 所用时间相等。
设甲每小时搬运ｘkg 货物，可列方程为（ ） A x x 80006005000=- B 60080005000+=x x C x x 80006005000=+ D 60080005000-=x x 5.某工程队修建一条长1200米的道路。
(1)修建了600米后，该工程队将每天的工作量增加为原来的2倍，结果9天完成任务，则该工程队原计划每天修建道路多少米？解:设 则可列方程：（2）安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天修建道路的长度是乙队的1.5倍，如果要独立完成1200米的道路修建，甲队比乙队少用4天。
求甲、乙两队每天修建道路多少米？ 解:设 则可列方程：三、尝试练习1、一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两辆车合运，10天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天。
（1）甲乙两车单独完成任务分别需要多少天？（2）已知两车合运共需租金6500元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元。
试问：租甲，乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少？请说明理由。
2、东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍。
分式方程篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。
3.解分式方程。
具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。
把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。
若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。
若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
八年级数学暑假专题辅导-分式方程及其应用
暑假专题——分式方程及其应用知识要点：1. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2. 分式方程的解：使分式方程的最简公分母不为零的根是分式方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,原方程无解。
3。
解分式方程的步骤:(1）去分母（2）去括号（3）移项(4）合并同类项（5）系数化为1（6）检验4. 分式方程的应用——列分式方程解应用题步骤：（1）审题;（2）设未知数(3）找相等关系列分式方程（4）解分式方程（5）验根（6)写答案【典型例题】例1. 填空题：（1）下列方程中是分式方程的是_________（填序号）()①②③④⑤ax b x x m x a m x ax x x x x +=++=+++=--+=+=-251432431221121122 答案:③④⑤()（）如果方程的解是，则22135a x x a -===.答案：16 解（一)：()方程去分母得：231=-a x233=-ax a323ax a =+x a a=+233把代入得：x 5=+=2335a a 2315+=a a122a =a =16解（二）：243a= 212=aa =16（）分式方程去分母时，方程两边都乘以31111112x x x --+=-. 答案：()()x x +-11（）如果与互为倒数，则，如果与互为相445424314x x x x x x x ----=- 反数，那么x 的值是_________.答案：3；47解：①·x x x x ----=454241 ∴--=4251x x 去分母得：425-=-x x -=-39xx =3②3140x x-+= ()去分母得：3410x x +-= 3440x x +-=74x =x =47检验：与是所列方程的根。
x x ==347（5)学校包车到企业参观生产线，按原定人数估计共需车费400元，后因部分学生另有任务，少去20人，如果设原定人数为x 人，那么原来每人平均车费_________元，减少20人后，每人平均车费__________元.答案:400x ；40020x -（6）某商场降价销售一批服装，打8折后的售价是120元，则这种服装原来的售价是_________元。
专题09分式方程(2大考点4种题型)(原卷版)
专题09分式方程（2大考点+4种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：分式方程及其解法考点二：分式方程应用题题型一：分式方程的解法题型二：根据分式方程解的情况求值题型三：分式方程无解问题题型四：分式方程的实际应用考点一：分式方程及其解法1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．考点二：分式方程应用题列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．题型一：分式方程的解法题型二：根据分式方程解的情况求值题型三：分式方程无解问题值．题型四：分式方程的实际应用【例4】．（2022下·上海·八年级上海市田林第三中学校考期中）5G的速度很快，比4G速度每秒多95MB，一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G的速度．【变式1】．（2022下·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？【变式2】．（2022下·上海普陀·八年级校考期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？【变式3】．（2023下·上海静安·八年级统考期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元．(1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______；(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．A．1-B．3C．1-或3D．无法确定22．（2023下·上海黄浦·八年级校考阶段练习）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．23．（2022下·上海·八年级期末）学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车的平均速度与自行车的平均速度的比是3:1，问：汽车与自行车的平均速度分别是多少？24．为庆祝“六一”活动,镇活动中心需要600个环保纸袋,原计划由初二(1)班全体同学制作完成、在实际制作时,又有初二(2)班10名同学自愿加入参与制作,这样,实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划少5个,那么初二(1)班共有多少名同学?25．（2021下·上海·八年级上海市西南模范中学校考期中）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？26．（2022下·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A 地到B 地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x （小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y 和行驶时间x ()13x ≤≤之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B 地，求A 、B 两地之间的距离．。
分式方程应用题专题
分式方程应用题一、工程问题（1）某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？（2）现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。
求原来每天装配的机器数.（3）某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的212倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？（4）打字员甲的工作效率比乙高%25，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？二、路程问题（1）某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？（2）某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.（3）供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.三、水流问题轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度.分式方程应用题（拓展题）（1）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.（2）大小两部抽水机给一块地浇水，两部合浇2小时后，由小抽水机继续工作1小时完成.已知小抽水机独浇这块地所需时间等于大抽水机独浇这块地所需时间的211倍，求单独浇这块地各需多少时间？（3）一船自甲地顺流航行至乙地，用5.2小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.（4）假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度.（6）有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？（7）甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的81；如果甲走32小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？（8）总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵5.0元，求甲、乙两种糖果每千克各多少元？综合应用1、玉树地震后，有一段公路急需抢修．此项工程原计划由甲工程队独立完成，需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天，为抗震救灾赢得了宝贵时间．求乙工程队独立完成这项工程需要多少天．2、某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．3、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.。
初三数学专题复习 分式方程
初三数学专题复习 分式方程【基础知识回顾】 一、分式方程的概念分母中含有 的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】 二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即分式方程 ﹥整式方程2、解分式方程的一般步骤：①、 ②、 ③、 3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：131=---xx a x 有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。
】 三、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】 【重点考点例析】A ．a≤-1B ．a≤-1且a≠-2C ．a≤1且a≠-2D ．a≤1点评：本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为转化 去分母点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 对应训练考点三：由实际问题抽象出分式方程例3 （2013•深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）A ．1440144010100x x -=-B ．1440144010100x x =++ C ．1440144010100x x =+-D ．1440144010100x x-=+思路分析：首先表示出爸爸和小朱的速度，再根据题意可得等量关系：小朱走1440米的时间=爸爸走1440米的时间-10分钟，根据等量关系，表示出爸爸和小朱的时间，根据时间关系列出方程即可．对应训练4．（2013•锦州）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等，如果设第一次捐款人数是x 人，那么x 满足的方程是（ ）A ．4800500020x x =- B ．4800500020x x =+ C ．4800500020x x=- D ．4800500020x x=+ 考点四：分式方程的应用例4 （2013•湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校20km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．对应训练5．（2013•三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价-进价） 【聚焦山东中考】1．（2013•莱芜）方程2402x x -=-的解为（ ）A ．-2 B ．2 C ．±2 D ．-122．（2013•泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x 个，根据题意可得方程为（ ）A ．331.3x x +=B ．331.3x x x +=+ C ．23004600331.3x x x+=+D ．46002300331.3x x x+=+3．（2013•威海）若关于x 的方程15102x mx x -=--无解，则m= ．4．（2013•潍坊）方程201x xx +=+的根是 ． 5．（2013•临沂）分式方程2111x x x +--=3的解是 ． 6．（2013•济宁）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题：A ．x=2B ．x=1C ．x=2D ．x=-23．（2013•铁岭）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为（ ）A ．2010154x x +=+B ．2010154x x -=+C ．2010154x x +=-D ．2010154x x -=-4．（2013•乐亭县一模）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x 套运动服，根据题意可列方程为（ ） A．16040018(120%)x x +=+ B ．16040016018(120%)x x -+=+ C ．1604001820%x x+= D ．40040016018(120%)x x -+=+ 二、填空题三、解答题。
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分式方程的应用题专题复习
一、背景题
1、、某校文艺演出队到离校15km的某地慰问演出.先遣对与演出队伍同时出发，行进速度是演出队伍的1.2倍，以便提前到达半小时做好准备工作.求先遣队与演出队伍的行进速度.
2、在5月份举行的“爱心捐款”活动中，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天参加捐款的人数一共是多少？人均捐款多少元？
二、方案决策型
3、某项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲对单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独做好也正好如期完成.
在不耽误施工情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
三、阅读理解型
3、小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用的2B 铅笔，请根据下面对话解决问题：
售货员：一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包含300支），只能按零售价付款.
小明：若给八年级学生每人购买1支，只能按零售价付款，需要120元；若多购买60支，则可按批发价付款，同样需要120元。
问题：（1）这个学校八年级学生总数在什么范围内？
（2）若按照批发价购买6支与按零售价购买5支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
四、信息给予型
4、在某次捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息； 信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元； 信息二：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的
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4； 信息三：甲班比乙班多2人.
请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？。