A5初中数学专题复习---分式及分式方程

初中数学专题复习---分式及分式方程
知识要点
一、认识分式
1、分式的定义：两个整数不能整除时，出现了分数；类似地，当两个整式不能整除时，就出现了分式. 定义：整式A 除以整式B ，可以表示成
B A 的形式，.如果除式B 中含有字母，那么称B
A 为分式，对于任意一个分式，分母都不能为零. ①分式
B
A 有意义的条件是：
B ≠0， ②分式B
A 无意义的条件是：B=0， ③分式
B A 的值为0的条件是：A=0，B ≠0， 2、整式和分式统称为有理式，即有：⎩⎨
⎧分式整式有理式 3、分数的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。

)0(,≠÷÷=⨯⨯=M M B M A B A M B M A B A
4、一个分式的分子、分母有公因式时，可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分。

一个分式的分子、分母没有公因式时，分式叫最简分子，通常情况下，分子化简的结果为最简分子或整式。

二、分式的乘除法
1、分式乘以分式：用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 即：BD AC D C B A =⋅, C
B D A
C
D B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 2、分式乘方 把分子、分母分别乘方，即：)(为正整数n B A B A n n n =⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 逆向运用n n n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=，当n 为整数时，仍然有n n n B A B A =⎪⎭
⎫ ⎝⎛成立. 3、分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
三. 分式的加减法
1、分式与分数类似，也可以通分，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
2、分式的加减法：分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减
(1)、同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减；上述法则用式子表示是：
C B A C B C A ±=± (2)、异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式,然后再加减
上述法则用式子表示是:
BD
BC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 3、概念内涵
通分的关键是确定最简分母，其方法如下：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积，如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解。

4、分工的混合运算：同分数一样。

四、分式方程
1、分式方程的定义：分母里含有未知数的有理方程叫做分式方程
2、解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程。

;
②解这个整式方程。

③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公母为零的根是原方程的增根，必须舍去.（分式方程必须验根）
3、列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意
②设未知数
③根据题意找相等关系,列出(分式)方程
④解方程,并验根
⑤写出答案.
五、典型例题 例1：（启航）已知：x2-5x-2010=0，则代数式
21)1()2(22-+---x x x 的值是多少？ 2014
例2：（启航）若m 等于它的倒数，则分式
224442
22-+÷-++m m m m m m 的结果为 ±1 。

例3：（启航）若
)
1)(1(311-+-=-++x x x x B x A ，求A 、B 的值。

例4：（启航）甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作，甲队有一半时间每天维修公路x 千米，另一半时间每天维修公路y 千米．乙队维修前1千米公路每天维修x 千米；维修后1千米公路时，每天维修y 千米（x≠y）．
（1）求甲、乙两队完成任务需要的时间（用含x 、y 的代数式表示）；
（2）问甲、乙两队哪队先完成任务？ （甲先）
例5：（启航）分式方程
)2)(1(11+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为多少？ （ 0、3）
例6：（启航）若分式方程
k x x +=-443有正根，求k 的取值范围 （k ＞-16/3且k ≠-4）
A ．-1.5
B ．1
C ．-1.5或2
D ．-0.5或-1.5
例9：（启航）如果关于x 的方程42212-=-+x m x x 的解也是不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≤---8
)3(2221x x x x 的一个解，求m 的取值范围。

（m ＞0）
例10：（启航）第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售A 、B 两种山娃纪念品，其中A 种纪念品的利润率为10%，B 种纪念品的利润率为30%．当售出的A 种纪念品的数量比B 种纪念品的数量少40%时，该零售商获得的总利润率为20%；当售出的A 种纪念品的数量与B 种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率为 17.5% ．（利润率=利润÷成本）
例11：（启航）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b 个月（a 、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？ （②⎪⎩⎪⎨⎧=+≤+115
10141915b a b a ，求得：a ≤4，b ≥9，所以：4、9或2、12）
例12：：已知abc =1，求a ab a b bc b c ac c ++++++++111
的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。

解：原式=++++++++a ab a ab abc ab a abc abc abc ab
1 =
++++++++=++++=a ab a ab ab a abc a ab
a a
b ab a 11111
1 例13：： 已知a 、b 、c 为实数，且ab a b bc b c ca c a +=+=+=131415，，，那么abc ab bc ca
++的值是多少？ 分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。

解：由已知条件得：
113114115a b b c c a +=+=+=，， 所以211112()a b c
++= 即1116a b c
++= 又因为ab bc ca abc c b a
++=++=1116 所以abc ab bc ca ++=16。