单项式与多项式
第二章 第一节 单项式和多项式
第一节 单项式和多项式知识结构导图知识点一：单项式1.概念：式子x 3,m t xy a ---,6.2,,32它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
注意：单项式是一种特殊的式子，它包含一种运算、三种类型。
一种运算是指数与字母、字母与字母之间只能是乘法的一种运算，不能有加、减、除等运算符号；三种类型是指：一是数字与字母相乘组成的式子，如ab 2;二是字母与字母组成的式子，如3xy ;三是单独的一个数或字母，如m a ,2-，2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。
如42x 的系数是2；3ab 的系数是31，2.7m 的系数是2.7。
（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－()xy 2的系数是－2（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－2xy 的系数是－1；2xy 的系数是1。
（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。
如2πxy 的系数就是2π3单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。
如单项式z y x 342的次数是字母z y x ,,的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母Z 的指数是1而不是0.（2）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。
（3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。
如单项式－43242z y x 的次数是2＋3＋4=9而不是13次。
（4）单项式通常根据单项式的次数进行命名。
如x 6是一次单项式，xyz 2是三次单项式。
例题：下列说法正确的是( )A ．单项式23x -的系数是3-B ．单项式3242π2ab -的次数是7 C ．1x是单项式 D ．单项式可能不含有字母检测：1、判断下列各代数式是不是单项式？若是，写出它的系数与次数。
单项式与多项式_代数式
单独一个数或一个字母也是单项式．
单项式中的数字因数叫做它的系 数，单项式中所有字母的指数的和叫做 它的次数 .
几个单项式的和叫做多项式.例如 n-2、0.55a+0.35b、ab+πR2-πr2等都是多项式．
多项式中，每个单项式叫做多项式的一个项，次 数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
Байду номын сангаас项式和多项式统称整式．
注意：
1.含有等号或不等号的式子一定 不是代数式.
2.单独的一个数或字母也是单 项式.
3.一般分母含有字母的式子不是 整式.
单项式和多项式区分
页眉内容
单项式:
a，－5，1X，2XY都是单项式，而0.5m+n不是单项式
单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式。
这个名词是清代数学家李善兰译书时根据原词概念汉化的。
1，单项式中只含有乘法和乘方运算，不能含有加减运算；
2，单项式中可以含有除以数的运算，但不能含有除未知数的运算。
多项式:
若干个单项式的代数和组成的式子。
多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
不含字母的项叫做常数项。
只含一个变元的多项式叫做一元多项式，含两个（或两个以上）变元的多项式叫做多元多项式。
整式:
单项式和多项式统称为整式。
代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。
页脚内容1。
单项式和多项式课件
01
在单项式之间进行加减法时，只需对系数进行加减运算，变量
保持不变。
运算优先级
02
在进行单项式之间的加减法时，应遵循数学中的运算优先级规
则，先进行乘除运算，再进行加减运算。
括号的作用
03
当单项式中包含括号时，应先计算括号内的内容，再进行加减
法运算。
多项式之间的加减法
逐项相加减
多项式之间的加减法需要逐项进 行，即对每个单项式分别进行加
单项式和多项式课件
• 单项式的定义和性质 • 多项式的定义和性质 • 单项式和多项式的加减法 • 单项式和多项式的乘除法 • 单项式和多项式的因式分解 • 单项式和多项式的应用
01
单项式的定义和性质
单项式的定义
单项式是数学中一个基本的代数 概念，它是由数字、字母通过有
限次乘法运算得到的代数式。
十字相乘法
适用于二次多项式的因式分解，通过十字相乘法 找到两个数，它们的和等于一次项系数，它们的 积等于常数项，从而将二次多项式分解为两个一 次多项式的乘积。
06
单项式和多项式的应用
在代数方程中的应用
单项式和多项式是代数方程的基 础，可以用来表示方程中的未知
数和已知数。
通过合并同类项，可以将代数方 程化简为更简单的形式，便于求
在实际生活中的应用
单项式和多项式可以用来描述实际生活中的各种现象，如时间、速度、距离等之间的关系。
在物理学中，单项式和多项式可以用来描述物理量之间的关系，如力、质量、加速度等。
在经济学中，单项式和多项式可以用来描述成本、收益、利润等之间的关系，以及建立经济 模型。
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多项式的定义和性质
多项式的定义
单项式与多项式
单项式与多项式数或字母的积，叫做单项式．特别地，单独的一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数注意：(1)圆周率π是常数；(2)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．(3)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如321x 写成27x （4）“系数”包括前面的“+”或“-”号练习：1、判断下列各代数式哪些是单项式？21+x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5 2、下面各题的判断是否正确？①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2；④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥31πr 2h 的系数是31。
3、填表格：单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项； 多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数单项式和多项式统称整式．注意：（1）多项式的每一项都包括它前面的符号；（2）多项式的次数不是所有项的次数之和升（降）幂排列：如1+x+x 2； x 2+x+11、判断下列各式是不是整式?如果是整式，那么它是单项式还是多项式?2、指出下列多项式的项和次数：(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2。
3、写出下列多项式是几次几项式。
(1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 24、已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式，求m 、n 的条件。
5、指出下列多项式的次数与项，并把它按字母a 的升幂排列：①3a 2+5-3a+a 3； ②2a 3b-4b 3+5a 2．6、判断下列说法是否正确．正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”：①单项式a 既没有系数，也没有次数( ) ②单项式5×lO 5x 的系数是5． ( )③-2011是单项式． ( ) ④单项式232x π的系数是32，次数是3． ( ) 7、填空：－45a 2b －34a b ＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 。
单项式,多项式,整式
单项式,多项式,整式
单项式、多项式和整式是代数学中的重要概念，它们与我们日常生活中的计算密切相关，也被广泛应用于科学研究和工程设计中。
本文简要介绍了单项式、多项式和整式的概念和性质，并着重讨论了它们在数学计算中的应用。
单项式是一种简单的数学表示，由一个或多个常量的乘积的形式表示，如$ a^{3}+8a^{2}+9a+3 $，其中a是一个自变量，它们可以用任意的多项式来表示。
单项式可以用来求解方程，如一元一次方程的解就是一个单项式。
在坐标轴上，单项式可以表示为一个曲线，称为单项曲线，通过它可以研究图像和曲线之间的联系。
多项式是由一个或多个单项式乘积或相加而成，如
$ 4x^{3}-7x^{2}+2 $，其中x是自变量，因此可以将多项式看作一个单项式的“组合”。
常见的多项式可以表示为一个曲线，称为多项曲线。
它们广泛用于函数的拟合，如多项式回归法就使用多项式来拟合函数。
另外，多项式也可以用来分析多元函数，如多项式展开法可以帮助我们分析函数的性质。
整式是一种由多项式乘积或相加而成的复合表达式，它可以由一个或多个多项式组成，如$ (x+1)^{2}+2(x+1)+3 $，它们可以用来分析函数的行为，如多项式分解法可以帮助我们求解函数的根。
整式也可以用来求解积分，如整数积分法可以用整式来求解定积分问题。
此外，整式也可以用来分析向量，由整式表示的向量可以用来求解向量问题。
从上文可以看出，单项式、多项式和整式是数学中重要的基础概念，并被应用于许多不同的领域，如科学研究、工程设计和数学计算等。
它们的技术应用范围极广，因此学习和掌握它们的表达式和性质及其在计算中的应用将为我们日常工作和生活带来更大的便利。
《单项式与多项式》
单项式与多项式的区别
形式不同
单项式是由数字与字母的乘积 组成的代数式，而多项式是由 若干个单项式按照加减法组合
而成。
运算性质不同
单项式在进行四则运算时，只 能直接进行乘除运算，而多项 式在加减运算时需要遵循分配
律和结合律。
表达式形式不同
单项式通常可以写成简单的商 的形式，而多项式则是由若干 个单项式按照加减法组合而成
03
单项式与多项式的异同点
异同点概述
定义不同
单项式是由数字与字母的乘积 组成的代数式，而多项式是由 若干个单项式组成的代数式。
表达式形式不同
单项式通常可以写成简单的商的 形式，而多项式则是由若干个单 项式按照加减法组合而成。
运算性质不同
单项式在进行四则运算时，只能直 接进行乘除运算，而多项式在加减 运算时需要遵循分配律和结合律。
《单项式与多项式》
2023-11-05
目 录
• 单项式 • 多项式 • 单项式与多项式的异同点 • 单项式与多项式的应用 •
定义：单项式是由数字与字母 的积组成的代数式，如3x，-2y
，4z等。
数字与字母的积：单项式中的 数字称为系数，字母称为未知 数，如3x^2的系数为3，未知
多项式的项和次数
项
在多项式中，每个单项式称为多项式的项。例如，在多项式2x^3 + 3x^2 4x + 5中，2x^3、3x^2、-4x和5都是它的项。
次数
多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。例如，在多项式2x^3 + 3x^2 - 4x + 5中，它的次数是3，因为它的最高次项是2x^3，次数为3。
数据拟合
在数据拟合中，单项式和多项式也经常被一起使用，比如用单项式来拟合数据的趋势，用多项式来拟合数据的 波动情况。
单项式和多项式知识点+例题讲解
整式代数式代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数：单项式中的数字因数单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和多项式：几个单项式的和叫做多项式。
每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
常数项的次数为0。
整式：单项式和多项式统称为整式。
注意：分母上含有字母的不是整式。
代数式书写规范：①数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；②出现除式时，用分数表示；③带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；④若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
合并同类项同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
合并同类项的步骤：（1）准确的找出同类项；（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并后的结果。
去括号的法则（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；（2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。
整式的加减：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。
整式加减的步骤：（1）列出代数式；（2）去括号；（3）合并同类项。
知识点一：单项式的意义单项式：由数字或字母乘积组成的式子是单项式．6a、3a、－n的系数分别是4、1、6、单项式中的数字因数叫作单项式的系数（4x、vt、26a、3a、－n的次1、－1）；单项式中所有字母的指数和是这个单项式的次数（4x、vt、2数分别是1、2、2、3、1）．注意：单独的一个数或一个字母也是单项式。
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第六讲 单项式和多项式
一、
单项式：
1、概念：数字与字母的乘积统称为单项式
2、系数：单项式中的数字因数称为单项式
3、次数：单项式中所有字母指数之和称为单项式的次数 特别注意：π属于数字，也就是单项式 例如：2R π系数是_____，次数是_____。
π
2
R 系数是_____，次数是_____。
372ab 系数是_____，次数是_____。
23b a -系数是_____，次数是_____ 5
3ab
-
系数是_____，次数是_____ 4、注意：
（1） 书写单项式时数字写在字母的前面，而字母则一般按照字母表顺序排列 （2） 书写单项式相乘时，只写∙或不写，但不写× （3） 当单项式的系数是1或-1的时候，系数要省略不写 （4） 在单项式中只能写假分数，不能写带分数
（5） 单独的一个数或字母也是单项式，如8，a 均为单项式 二、
多项式
1、概念：若干项单项式的和称为多项式
2、项数：组成多项式的单项式的数量，称为项数
3、次数：多项式中次数最大的单项式的次数称为多项式的次数
例如：3263ab b a ab -+-项数是_____，各项分别是______________,次数是______
4、常数项：多项式中数字项称为常数项
5、同类项：所有字母相同，相同字母的指数也相同的两项称为同类项。
例如：b a 25-与27ba ，xyz 6与xyz 8-
6、注意：
（1） 每项组成多项式的单项式（也就是项）要包括前面的符号 （2） 注意多项式的次数与单项式的次数区别 （3） 多项式中没有了系数的概念 （4） 同类项并没有要求字母的顺序也相同 三、
整式：单项式和多项式统称为整式。
基础题：
1、找出73756243
10332232+++--+-y x y xy y x x xy 中的同类项。
（1）24xy 与_____________是同类项； （2）32x 与_____________是同类项； （3）37y 与_____________是同类项。
2、一个数减少它的10%得到n ，则这个数是（ ）
A 、()110%n +
B 、()110%n -
C 、
110%n
-
D 、
110%
n
+
3、下列代数式中，是单项式的是（ ）
A 、
1
2
x +
B 、
1x
C 、 2-
D 、1a -
4、判断题
（1）单项式m 既没有系数，也没有次数。
（ ） （2）单项式5105t ⨯的系数是5。
（ ） （3）2001-也是单项式。
（
）
（4）单项式23x
-
的系数是2
3-。
（ ）
5、22223327
5438
x y x xy x y ---是_______________次_______________项式，次数
最高的项是_______________。
6、对于整式31x -，下列说法中错误的是（ ）
A 、是二项式
B 、是二次式
C 、是多项式
D 、是一次式
7、多项式21
12x x -
-的各项分别是（ ） A 、 21,,12x x - B 、21
,,12x x --
C 、21,,12x x
D 、21
,,12
x x --
8、在代数式3222112
,3,1,,,,,4,,443
x xy x x y m n x ab x x --+---+中，单项式有
____________________________，多项式有_____________________________。
9、单项式223
x y
-的系数是_______________，次数是_______________。
10、下列说法中，正确的是（ ）
A 、单项式2
5
xy -的系数是5-，次数为2；
B 、单项式a 的系数为1，次数为0；
C 、
1
2
xy -是二次单项式 D 、单项式67ab -的系数为6
7
-，次数为2
11、下列语句正确的是（ ） A 、x 的次数是0
B 、x 的系数是0
C 、1-是一次单项式
D 、1-是单项式
12、下列各组整式中，不属于同类项的是（ ）
A 、1-和2
B 、y x y x 252104⨯和
C 、a b b a 225
4
54和
D 、y x y x 2233-和
13、下列式子中，单项式的个数为（
）
①21 ②y ③28+x ④74- ⑤0 ⑥π
x 3 ⑦x 5 ⑧13+x ⑨()b a a 323+ A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 14、下列各式中，与y x 2是同类项的是（
） A 、 2xy
B 、xy 2
C 、223y x
D 、2yx -
15、多项式2532--x x 是__________________次__________________项式，一
次项系数是__________________，常数项是__________________。
16、请你写出523y x -的两个同类项__________________ 17、多项式222232y y x x +-的项分别是__________________。
18、下列各组单项式中，不是同类项的是（
）
A 、5x
x 与
B 、2244xy y x -与
C 、 556677
x y x 与
D 、4与4-
19、下面四组整式，不是同类项的是（
）
A 、222yx y x 与-
B 、3378
1
ab b a 与
C 、56和-
D 、23322m n n m 和
提高题：
20、下列说法中，正确的是（
）
A 、单项式23102abc ⨯的系数为2，次数为7
B 、多项式c bx ax ++2是二次三项式
C 、x ab 2,5
3
2--都是单项式，也都是整式
D 、5,3,22ab b a -是多项式5322-+-ab b a 的项
21、若m ab 5与24b a n -是同类项，则m=_____________, n=_____________。
22、若y x a 3与b y x 25.0-是同类项，那么=+b a _____________。
23、若213m xy -是四次单项式，则m 的值是（ ） A 、4
B 、2
C 、-4
D 、-2
24、某市出租车收费标准为：起步价为7元，3千米后每千米价为1.5元，那么乘坐出租车x 千米()3x >的收费（y 元）的公式y =_______________，如果某人乘坐出租车5千米，那么应付费________________元。
25、单项式63310ab -⨯的系数是_______________，次数是_______________。
26、m 、n 为自然数，则多项式2m n m n x y +--的次数是（
）
A 、m
B 、 n
C 、m n +
D 、m 、n 中较大的数
27、x 是最大的负整数，多项式1n n x x ++的值为（其中n 为自然数）（ ）
A 、 2-
B 、2
C 、0
D 、不能确定
课后思考题：
34、若234ky 是关于y 的单项式，则系数_____，次数______ 35、已知32)5(b a k k --是关于a 、b 的6次单项式，则k 为多少？
36、已知代数式3(1)1n x m x --+是关于x 的三次二项式，求m 、n 。
37、已知()||232243m m x y x y --+是五次二项式，则m 是多少？。