1.2整式、分式与二次根式
初中整式、分式、二次根式的总结
定义
A 的形式， B 形如 的式子叫二次根式，其中 叫 A 如果除以 B 中含有字母，那么称 为分式， B 被开方数，只有当 是一个非负数时， 才
其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母， 有意义． 对于任意的一个分式，分母 B 都不等于零。 1.分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 不为零的数，分式的值不变 ①
2 2 2
异分母
把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的 积作为积的分母， 即
运 算
乘法
b d bd a c ac
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
除法 乘方
1.单项式的除法： 2.多项式除以单项式：
把除式的分子和分母颠倒后再与被除式相 乘，即
(am bm cm) m am m bm m cm m a b c
性质
A 有意义的条件： B 0 ； B A 3. 分式 值为 0 的条件： A 0, B 0 B 4. 分式的符号，分母的符号，分子的符号三
2. 分式
② ③ ④ 把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次 根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开 方数不变。
者变两者，分式的值不变
同分母：
加法
合并同类项
1.单项式的乘法 2. 单项式乘以多项式：即 m(a b c) ma mb mc ( m, a, b, c 都是单项式) 3. 多项式与多项式相乘； 平方差公式： (a b)(a b) a 2 b 2 完全平方公式： (a b) a 2ab b
整式
1.单项式：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单项式 的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫 多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称整式
整式和分式二次根式
2015初三第一轮复习
---整式与分式二次根式
单项式 由数与字母的积或字母与字母的积
所组成的代数式叫做单项式.
系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 次数 一个单项式中,所有字母的指数的和
叫做这个单项式的次数.
多项式 由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式. 项
）
4、当 x
时，根式 2 3 x 3 x 1有意义 ?
5、若0 x 4，则化简 ( x 4) 2 ( x 1) 2
6、若最简二次根式 3a 8与 17 2a是同类根式 则要使 4a 2 x有意义，x满足
7、分母有理化 1 1 1 （ 1 ） ；（2） ；（3） a b a b a b
幂的乘方： (a m ) n a mn (m, n是正整数）
(1)a a a (a )
3 4 2
3 3
(2)( x) 2 ( x) 4 ( x 2 ) 3
积的乘方：
(ab) a b (n是正整数）
n n n
(1)( a ) 3 ( a ) 4 (2)3( x 2 y 2 ) 3 2( x 3 y 3 ) 2 (3)(3 x 3 ) 2 ( 2 x 2 ) 3
( x 1)( x 3)( x 3)
2
(3) x 8 x 9
4 2
自主学习
《考纲》P17
代数式部分的知识结构图
1、把分母的根号化去,叫做分母有理化.
2、有理化因式. ：两个含有二次根式的非零代数式相 乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个含有二次 根式的非零代数式互为有理化因式.
找出有理化因式并把下列各式分母有理 化:
(二)整式、分式、二次根式
3 整式与分解因式【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nnnb a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n aa 1=-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2∙a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x 2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =-=．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．4 分式与分式方程【知识梳理】1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =3．先化简11112-÷-+x xx ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．4．解下列方程（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【检测】1．当99a =时，分式211a a --的值是．2．当x 时，分式112--x x 有意义；当x 时，该式的值为0． 3．计算22()ab ab的结果为 ．4. ．若分式方程xxk x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-25．若分式32-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x yx 4y 5x y x 4xy5x y 2xy x 2222-+-+÷-++的值7．先化简，再求值：4xx 16x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x8.解分式方程． (1)22011xx x -=+- (2)x 2)3(x 22x x -=--；(3) 11322xx x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+--5 二次根式【知识梳理】 1.二次根式：(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：（1a 0b 0≥≥，）（2a 0b 0≥ ，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用【例题精讲】 【例1有意义，x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠B ．0x ≠C ．10x x >-≠且D ．10x x ≠≥-且【例2）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间【例3】 若实数x y ，2(0y =，则xy 的值是 ．【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有52π7-，，四个实数，从中任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．【例5】计算：（1）103130tan 3)14.3(27-+︒---）（π （2）101(1)52-⎛⎫π-+-+-- ⎪⎝⎭【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-⨯+--a a a ，其中33-=a ．【检测】1.计算：（1032tan 60(1--+-．（2）cos45°·(－21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋121-（3）023cos 304sin 60-++-．2.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简。
(中考考点梳理)分式与二次根式-中考数学一遍过
考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB＝0．学=科网2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C⋅=≠⋅或(0)A A CC B B C ÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则 （1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：((nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 二、根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0． （2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 （1）a ≥ 0（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)a b =≥≥；（50,0)a b ≥>． 3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥；0,0)a b ≥>． （3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一 分式的有关概念1．分式的三要素： （1）形如AB的式子； （2）,A B 均为整式；学科!网 （3）分母B 中含有字母． 2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B ≠． （2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1 x 的取值范围是 A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ＞﹣1且≠0D ．x ≥﹣1且x ≠0【答案】D【解析】根据题意得：100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥-1且x ≠0．故选：D ．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x 的取值范围是 A ．x ≠1 B ．x =1C ．x =0D ．x ＞1考向二 分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为 A ．扩大为原来2倍 B ．缩小为原来的12倍 C ．不变D ．缩小为原来的14倍【答案】B【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．不改变分式的值，下列变形正确的是A ．2233a ab b -=-- B ．33a ab b -=-- C ．55a a b b=--D ．7744a a b b=- 考向三 分式的化简与求值约分与通分的区别与联系：1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值； 2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 把分式x x y -，y x y +，222x y-的分母化为x 2-y 2后，各分式的分子之和是 A ．x 2＋y 2＋2 B ．x 2＋y 2-x ＋y ＋2 C ．x 2＋2xy −y 2＋2D ．x 2−2xy ＋y 2＋2【答案】C【解析】由平方差公式将x 2−y 2可化简为(x +y )(x −y )， 故将xx y-的分母化为x 2−y 2后可得()22x x y x y +-，将y x y+的分母化为x 2−y 2后可得()22y x y x y --， 所以分式的x x y -,y x y +,222x y-的分母化为x 2−y 2后,各分式的分子之和为 x (x +y )+y (x -y )+2，展开得x 2+xy +xy −y 2+2合并同类项,得x 2+2xy −y 2+2， 故选C.【名师点睛】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．求最简公分母的方法是： （i ）将各个分母分解因式； （ii ）找各分母系数的最小公倍数；（iii ）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的. 满足（ii ）（iii ）的因式之积即为各分式的最简公分母．3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyx B ．222x y -C ．22x yx y+- D ．22xx + 考向四 分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 计算(1－1x)÷221x x x -+的结果是A ．x －1B ．11x - C ．1xx -D ．1x x-【答案】B【解析】原式=（x x −1x ）÷()21x x -=1x x -. •()21x x -=11x -， 故选B ．4．先化简，再求值：2221()211x x x x x x+÷--+-，其中x =4．考向五 二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 下列各式： ①；②；③；；；．其中一定是二次根式的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【答案】B5的取值范围是 A ． B． C ．D ．典例6 下列二次根式是最简二次根式的是 ABCD【答案】Cx 1x ≠1x ≥>1x 0x ≥6；．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个考向六 二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较； （2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例7 下列计算正确的是A =B 6=C 5+=D 4=【答案】A【解析】A 、原式-B 、原式，错误；C 为最简结果，错误；D 、原式，错误， 故选：A ．7．已知x =，y =，则y xx y +=_____________．典例8 比较大小：______5（填“＞，＜，=”）． 【答案】＞【解析】因为2228,525==，28＞25，所以＞5．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a ，b －1，c ，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c ＞b ＞a B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c1．下列根式中属于最简二次根式的是A BCD 2．若分式24x x-的值为0，则x 的值是A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．03．如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值 A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍4A BCD5．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x-有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．若x 、y 为实数，且|2|0x +=，则2019x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2B ．−2C ．1D ．−17的被开方数相同，则a 的值为 A ．1B ．2C ．23D ．328．下列运算中，错误的是 A ．x y y xx y y x--=-++ B ．a ba b--+=−1C −1D a9．已知 1x <，则 化简的结果是A ．1x -B ．1x -C ．1x --D ．1x +10．下列分式是最简分式的是A BCD ．22121x x x --+11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1 B ．−1 C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y +-=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a =，则1x x +的值为A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15＝_____________． 16．当x =_____________时，分式323xx -+的值为零．17．比较大小：（填“＞、＜、或=”）18．当a =2_____________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++÷11a b ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为_____________．20．已知::2:3:4x y z =，则23x y zx y z+--+的值为_____________．21．计算：（1）|1|+（2018−π）0；（2+（（．22．先化简，再求值：221a b a b a b⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中1a =+，1b =-．23．先化简，再求值：2-，其中，．24．先化简，再求值：2212111121m m m m m -⎛⎫-÷- ⎪+--+⎝⎭，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根．1．（2018·德阳市）下列计算或运算中，正确的是A ．=B =C ．÷=D ．-=2．（2018·兰州市）下列二次根式中，是最简二次根式的是A BCD3．（2018·绥化市）若y =x 的取值范围是 A ．12x ≤且0x ≠ B ．12x ≠C ．12x ≤D ．0x ≠4．（2018·绥化市）下列运算正确的是A ．2235a a a +=B 5=-C ．3412a a a ⋅=D ．0(π3)1-=5．（2018·曲靖市）下列二次根式中能与合并的是ABCD6．（2018·上海市）的结果是A．4 B．3C．D7．（2018·日照市）计算：（12）−1+tan30°•sin60°=A．﹣32B．2C．52D．728．（2018·莱芜市）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是A．2xx y+-B．22yxC．3223yxD．()222yx y-9．（2018·陇南市）有意义的x的取值范围是____________．10．（2018·毕节市）观察下列运算过程：1========-……请运用上面的运算方法计算：+=____________．11．（2018____________．12．（2018·莱芜市）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是和2，则图中阴影部分的面积是____________．13．（2018·镇江市）=____________．14．（2018·梧州市）在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是____________．15．（2018·巴彦淖尔市）化简3m m ++269m -÷23m -的结果是____________． 16．（2018·绥化市）当2x =时，代数式211()x x x x x+++÷的值是____________．17．（2018·大连市）计算：+2）2+22-.18．（2018·百色市）已知a 2=19，求22211118a a a --+-的值．19．（2018·福建省b 卷）先化简，再求值：2211(1)m m m m+--÷，其中m ．20．（2018·锦州市）先化简，再求值： 233212,322x x x x x x +-+-÷=++（其中.21．（2018·毕节市）先化简，再求值：22214244aa a a a a ⎛⎫-÷⎪--++⎝⎭，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解．22．（2018·兰州市）计算：101()(π3)1tan452--+-+-.23．（2018·甘孜州）（1()03.144cos45--π- ；（2）化简：2211x xx x x ÷---.24．（2018·益阳市）化简：2()y x y x y x y x+-+⋅+.25．（2018·莱芜市）先化简，再求值：233(111a aa a a -+÷--+，其中a +1．26．（2018·曲靖市）先化简，再求值（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b --，其中a ，b 满足a +b ﹣12=0．27．（2018·梧州市）解不等式组36451102x xx x -≤⎧⎪++⎨<⎪⎩，并求出它的整数解，再化简代数式2321x x x +-+•（3x x +﹣239x x --），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．28．（2018·抚顺市）先化简，再求值：（1﹣x +31x +）÷2441x x x +++，其中x =tan45°+（12）−1．1．【答案】B 【解析】∵分式21xx-在实数范围内无意义， ∴1﹣x =0，即x =1， 故选：B ．3．【答案】D 【解析】A 、2xy x ＝yx，错误； B 、222x y -＝1x y -，错误；C 、22x y x y +-＝1x y -，错误；D 、22xx +是最简分式，正确． 故选D ．4．【答案】21x x -；163.【解析】2221()211x x x x x x+÷--+- =2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷-- =2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+ =21x x -， 当x =4时，原式=2416413=-． 5．【答案】B【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，要使．故选B ．6．【答案】B= =， =，∴. 故选：B .8．【答案】D【解析】a −1），b ，c ）， ＞1，∴a ＞b ＞c ．故选D ． 101x x -≥⇒≥【解析】A、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；B、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；C、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数4，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数9，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；故选A．【名师点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．【答案】A【解析】∵分式24xx-的值为0，∴x2﹣4=0，解得：x=2或﹣2．故选：A．3．【答案】B【解析】把分式xyx y+中的x和y都扩大2倍，则22222x y xyx y x y⋅=++，故选B．5．【答案】D【解析】A选项：当x=2时，该分式的分母20x-=，该分式无意义，故A选项错误．B选项：当x=0时，该分式的分母为零，该分式无意义．显然，x=0满足x≠3．由此可见，当x≠3时，该分式不一定有意义，故B选项错误．C选项：当x=0时，该分式的值为3，即当x=0时该分式的值为整数，故C选项错误．D选项：无论x为何值，该分式的分母x2+1>0，该分式的分子3>0．由此可知，无论x为何值，该分式的值总为正数，故D选项正确．故本题应选D．【名师点睛】本题考查了与分式概念相关的知识．分式有意义的条件是分式的分母不等于零，并不是分母中的x的值不等于零．分式的值为零的条件是分式的分母不等于零且分式的分子等于零．在分式整体的符号为正的情况下，分式值的符号由分子与分母的符号共同确定：若分子与分母同号，则分式值为正数；若分子与分母异号，则分式值为负数．【解析】由非负数的性质可得：x+2=0，y−2=0，即x=−2，y=2，∴2019xy⎛⎫⎪⎝⎭=（−1）2019=−1．故选C．7．【答案】D【解析】31+4,2a a a=-=解得，故选D．8．【答案】D【解析】A．x y y xx y y x--=-++，正确，故不符合题意；B．a ba b--+=−1，正确，故不符合题意；C−1，正确，故不符合题意；D=|a|，错误，故符合题意．故选D．9．【答案】B【解析】∵x＜1，∴x-1＜0x-1|=1-x．故选：B．10．【答案】C【解析】A选项：化简该分式，得()222a ba ab bam am m+++==，故A选项不符合题意．B选项：化简该分式，得623xy xya a=，故B选项不符合题意．C选项：对该分式的分子进行因式分解，得()()222111x xxx x+--=．由此可见，该分式的分子与分母没有公因式，符合最简分式的定义，故C选项符合题意．D选项：化简该分式，得()()()22211112111x xx xx x xx+--+==-+--，故D选项不符合题意．故本题应选C．11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ． 12．【答案】B（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ． 15==． 16．【答案】3【解析】依题意得：3﹣x =0且2x +3≠0．解得x =3，故答案为：3．17．【答案】＜【解析】将两式进行平方可得：(2=12，(2=18，因为12＜18，所以＜18．【答案】3- 【解析】∵()()2121214122121a a a a a a +--==-++，∴当a =2时，原式=1223-⨯=-．故本题应填写：3-．19．【答案】1 【解析】对待求值的代数式进行化简，得22211a ab b a b a b ++⎛⎫÷+ ⎪+⎝⎭()2a b a b a b ab ++⎛⎫=÷ ⎪+⎝⎭()ab a b a b =+⋅+ab =， ∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故本题应填写：1．20．【答案】411【解析】根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）解答．∵::2:3:4x y z =，∴可设234x k y k z k ===、、，∴226444323121111x y z k k k k x y z k k k k +-+-===-+-+， 故答案为：411．21．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式−1−+1=．（2）原式=3−−5=2−．22．【答案】化简见解析，结果为． 【解析】221a b a b a b ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ ()()a b a b a a b a b b+--+=⋅- ()()a b a b b a b b+-=⋅- a b =+，当1a =+，1b =时，原式11++-=23．【答案】8-+．【解析】原式2(2)x y x y =---+22x y x y =--+-2y =-．当34x y ==,时，原式=2−2×4=4 −8． 24．【答案】化简见解析，结果为13． 【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++=()()11m m m m --+ =()11m m + =21m m +． 由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=，所以原式=13． 【名师点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1．【答案】B【解析】A 、=，此选项错误； B ＝，此选项正确；C 、÷=D 、-=，此选项错误；故选：B ．2．【答案】B【解析】A =不是最简二次根式，错误；B 是最简二次根式，正确；C =不是最简二次根式，错误；D =不是最简二次根式，错误，故选B ．3．【答案】A【解析】由题意可知：1200x x -≥⎧⎨≠⎩，解得：12x ≤且0x ≠， 故选A ．4．【答案】D 【解析】A. 23a a +=5a ，故A 选项错误；B. =5，故B 选项错误；C. 347a a a ⋅=，故C 选项错误；D. 0(π3)1-=，故D 选项正确，故选D.5．【答案】B【解析】A ＝，不能与B 合并，故该选项正确；C ＝不能与D 3不能与故选B ．6．【答案】C【解析】，故选C ．7．【答案】C【解析】（12）−1+tan30°•sin60°=2+12 =52， 故选C ．9．【答案】x ＞3有意义， ∴x ﹣3＞0，∴x ＞3， ∴x 的取值范围是x ＞3，故答案为：x ＞3．10．【解析】原式=12﹣1）+12+12+ (12)+12=12…）． 11．【答案】6【解析】原式．故答案为：6．12．【答案】2【解析】设正三角形的边长为a ，则12a 2解得a ．则图中阴影部分的面积．故答案是2．13．【答案】2，故答案为2. 14．【答案】x ≥3【解析】由题意可得：x ﹣3≥0，解得：x ≥3，故答案为：x ≥3．15．【答案】1 【解析】3m m ++269m -÷23m - =()()63·3332m m m m m -+++- =333m m m +++ =1，故答案为1.16．【答案】3【解析】原式221()1x x x x x x +=+⋅+ =2(1)1x x x x +⋅+ 1x =+，当2x =时，原式213=+=，故答案为：3．17．【答案】294【解析】原式﹣14=294． 18．【答案】16- 【解析】原式=22121a a a ---（）﹣118 =221a ---118， ∵a 2=19，∴原式=2191--﹣118=﹣318=﹣16．19．【解析】2211(1)m m m m+--÷ =()()2111m m m m m m +-⋅+- =()()111m m m m m +⋅+- =11m -，当m +1时，原式==． 20．【答案】11;12x -- 【解析】原式=()23322)21x x x x ++-⨯+-（ ， ()()22433221x x x x x +--+=⨯+-，()()21221x x x x -+=⨯+-，11x =-， 当x =3时，原式=113-=12-. 21．【答案】13 【解析】22214244a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ =()()()()222222a a a a a a -++⋅+-=2222a a a a a--+⋅- =222a a a a-+⋅-， =2a a +，由a 2+a ﹣6=0，得a =﹣3或a =2，∵a ﹣2≠0，∴a ≠2，∴a =﹣3，当a =﹣3时，原式=32133-+=-． 22．1．【解析】101()(π3)1tan 2--+-+-45°=2111-++1=．（2）2211x x x x x ÷--- =()()211·1x x x x x+---x =x (x +1)-x=x 2.24．【答案】x 【解析】原式=222x y y x y x y x-++⋅+ =2x x y x y x+⋅+ =x ．25．【答案】【解析】当a +1时，原式=()()333111a a a a a a++-+⨯-+=()()4111a a a a a+⨯-+ =41a -. 26．【答案】原式=1a b+=2 【解析】（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b -- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+-- =1a b+， 由a +b ﹣12=0，得到a +b =12， 则原式=112=2． 27．【答案】原式=11x -，当x =2，原式=1． 【解析】解不等式 3x ﹣6≤x ，得：x ≤3， 解不等式4510x +＜12x +，得：x ＞0， 则不等式组的解集为 0＜x ≤3，所以不等式组的整数解为 1、2、3， 原式=()231x x +-•[()()2333x x x x --+- ()()333x x x -+-] =()231x x +-•()()()()1333x x x x --+- =11x -， ∵x ≠±3、1，∴x =2， 则原式=1．28．【答案】-1 5【解析】原式=（21311xx x-+++）÷()221xx++=()()()2 221·12x x xx x +-+++=22xx -+，当x=tan45°+（12）−1=1+2=3时，原式=231235-=-+。
2011中考数学代数式、整式、分式、二次根式知识点
2. 代数式（分类）2.1. 整式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.1.1. 整式的有关概念用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．2.1.2. 同类项、合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系；(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．2.1.3. 去括号法则去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．2.1.4. 整式的运算法则整式的加减法：整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．整式的乘法：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=⋅(n m ,都是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn nm a a =(n m ,都是正整数)． 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同． ②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．乘法公式：①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+；④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．整式的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)． 单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的．2.2. 因式分解（包含题目总数：14）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.2.1. 因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例如：23248a ab b a ⨯=； ()111+=+a aa a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：()cb ac b a ++=++222，不是因式分解．(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()b a b a b a 55522-++． 2.2.2. 因式分解的常用方法1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2222b a b ab a -=+-．立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．2.2.3. 因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．2.3. 分式（包含题目总数：16）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.3.1. 分式及其相关概念分式的概念：一般的，用B A ,表示两个整式，B A 就可以表示成B A 的形式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式． 注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．分式的相关概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分． 一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．2.3.2. 分式的性质分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如： BA B A B A B A --=--=--=． 2.3.3. 分式的系数化整问题分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n 10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小．(1)b a b a 41313121-+；(2)22226.0411034.0y x y x -+． 分析：第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第(2)题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．解：(1)b a b a b a b a b a b a 344612413112312141313121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+；(2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568y x y x -+=． 2.3.4. 分式的运算法则1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛(n 为整数)． 3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cb ac b c a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbc ad d c b a ±=±． 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的． 例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ．分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 解：原式7175********+++++++-+++-+++=x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=711511311111x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=71513111x x x x ()()()()752312++-++=x x x x()()()()()()()()7531312752++++++-++=x x x x x x x x ()()()()75316416+++++=x x x x x ． 点评：本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到． 2.4. 二次根式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.4.1. 二次根式及其相关概念2.4.1.1. 二次根式的概念式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：①含有二次根号“” ；②被开方数a 必须是非负数．如5，2)(b a -，)3(3≥-a a 都是二次根式．2.4.1.2. 最简二次根式若二次根式满足:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如a 5，223y x +，22b a +是最简二次根式，而b a ，()2b a +，248ab ，x1就不是最简二次根式． 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来． 2.4.1.3. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．2.4.1.4. 分母有理化把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131 )13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． 2.4.2. 二次根式的性质(1))0()(2≥=a a a ． (2)⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab ．(4))0,0(>≥=b a b ab a．2.4.3. 二次根式的运算法则二次根式的运算法则：二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘法法则： 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：ab b a =⋅(0,≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的除法法则： 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：ba b a=(0,0>≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．例1、计算：6321263212--+++--． 分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于6321+--分母有理化比较麻烦，我们应注意到6321+--()()1312--=；()()13126321-+-=--+，这样做起来就比较简便． 解：6321263212--+++-- ()()()()1312213122-+---= ()()()()213122213122+--++=()()131212++-+= ()132+= 232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-． 分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+=321+=23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a b a +-的值． 分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ，54<<∴x ．27427,4-=-+==∴b a ．()()()()()()272727762776274274-+--=+-=-+--=+-∴b a b a 31978-=．。
分式和二次根式2010-10-14
1.写出下列等式中的未知的分子或分母.
(a2+ab ) a+b = ab a2b
2 ab+b (2) = 2 ab +b
(1)
a+b
( ab+1 )
(3)
a -b a+b
a2+b2-2ab
=
(
)
a2 –b2
(4)
a+b = ab
2a2+2ab
(2a2b )
2.下列变形正确的是( a a2 = b b2 2-x X-2 = X-1 1-x
（２）
（３）
x 7．如果把分式 x＋y 中的x和y的值都扩大３倍， 则分式的值（ B ） Ａ 扩大３倍 Ｂ不变 Ｃ缩小１／３ Ｄ缩小１／６
8．如果把分式
则分式的值（
Ａ 扩大３倍
A
xy x＋y 中的x和y的值都扩大３倍， ） Ｂ不变 Ｃ缩小１／３ Ｄ缩小１／６
9．若x，y的值均变为原来的１／３ ，则分式 （ ）． C Ａ 是原来的１／３ Ｂ 是原来的１／９ Ｃ 保持不变 Ｄ 不能确定
=
5
,求
2x-3xy+2y -x+2xy-y
的值.
3.已知 x +
1
x
=3 , 求
x2
+
1
x2
的值.
变: 已知
x2
– 3x+1=0 ,求
x 2+
1
x2
的值.
1 变:已知 x+ =3 ,求 x
x2 x4+x2+1
的值.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
实数、整式、分式、二次根式教学目标
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专题1.2 因式分解、分式、二次根式(全国中考23个考点真题训练)(解析版)
2023年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）专题1.2 因式分解、分式、二次根式（全国中考23个考点真题训练）一．因式分解的意义（共1小题）1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2﹣x 1﹣＝x （x 1﹣）﹣1B ．x 21﹣＝（x 1﹣）2C ．x 2﹣x 6﹣＝（x 3﹣）（x +2）D ．x （x 1﹣）＝x 2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A 选项不是因式分解，故不符合题意；B 选项计算错误，故不符合题意；C 选项是因式分解，故符合题意；D 选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C ．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．二．因式分解-提公因式法（共1小题）2．（2022•青海）下列运算正确的是（ ）A ．3x 2+4x 3＝7x 5B ．（x +y ）2＝x 2+y 2C ．（2+3x ）（23﹣x ）＝9x 24﹣D ．2xy +4xy 2＝2xy （1+2y ）【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．【解答】解：A ．3x 2与4x 3不是同类项不能加减，故选项A 计算不正确；B ．（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2≠x 2+y 2，故选项B 计算不正确；C ．（2+3x ）（23﹣x ）＝49﹣x 2≠9x 24﹣，故选项C 计算不正确；D ．2xy +4xy 2＝2xy （1+2y ），故选项D 计算正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．三．因式分解-运用公式法（共1小题）3．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）A ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故选：A．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，把所给公式中的b换成﹣b是解题的关键．四．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）﹣xy2＝ 3x（x+2y）（x24．（2022•绵阳）因式分解：3x312﹣y） ．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．﹣y2）【解答】解：原式＝3x（x24﹣y）．＝3x（x+2y）（x2故答案为：3x（x+2y）（x2﹣y）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．五．因式分解-十字相乘法等（共1小题）﹣） ．﹣＝ （a2+1）（a+2）（a2﹣a245．（2022•内江）分解因式：a43【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），﹣）．故答案为：（a2+1）（a+2）（a2【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．六．因式分解的应用（共5小题）6．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 10 ．【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a 2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．﹣b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b22﹣＝0．从而得出原式的值．解，其中得到一因式a+b1【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9﹣b+1）+10＝a2﹣（b22﹣）2+10＝a2﹣（b1﹣）+10．＝（a﹣b+1）（a+b1又∵a+b＝1，∴原式＝10．【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．7．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：﹣b因式分解．﹣ab4+6将2a3【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：﹣b）解法一：原式＝（2a3﹣ab）﹣（46﹣b）＝a（23﹣b）﹣2（23﹣）﹣b）（a2＝（23﹣b）﹣）﹣（3ab6解法二：原式＝（2a4﹣）﹣）﹣3b（a2＝2（a2﹣b）﹣）（23＝（a2【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax +a 22﹣ab ﹣bx +b 2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和b （a ＞b ），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a 42﹣a 3b +2a 2b 22﹣ab 3+b 4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x 2﹣a 2+x +a 因式分解即可；（2）用分组分解法将ax +a 22﹣ab ﹣bx +b 2因式分解即可；（3）先将a 42﹣a 3b +2a 2b 22﹣ab 3+b 4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x 2﹣a 2）+（x +a ）＝（x +a ）（x ﹣a ）+（x +a ）＝（x +a ）（x ﹣a +1）；（2）原式＝（ax ﹣bx ）+（a 22﹣ab +b 2）＝x （a ﹣b ）+（a ﹣b ）2＝（a ﹣b ）（x +a ﹣b ）；（3）原式＝（a 4+2a 2b 2+b 4）﹣（2ab 3+2a 3b ）＝（a 2+b 2）2﹣2ab （a 2+b 2）＝（a 2+b 2）（a 2+b 2﹣2ab ）＝（a 2+b 2）（a ﹣b ）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a 和b （a ＞b ），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a 2+b 2＝32＝9，（a ﹣b ）2＝1，∴原式＝9．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．8．（2022•台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞．请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k 个绿藻细胞，则k 之值为何？（2）承（1），已知60亿介于232与233之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？【分析】（1）由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360小时，分裂成418个绿藻细胞，故k之值为18；（2）根据每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，60亿介于232与233之间，可得制作8公克的「绿藻粉」需要60×8亿个绿藻细胞，且235＜60×8亿＜236，又418＝（22）18＝2 36，即得418个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」．【解答】解：（1）15天＝15×24小时＝360小时，∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，∴从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，经过20×2＝40（小时），分裂成42个绿藻细胞，经过20×3＝60（小时），分裂成43个绿藻细胞，.....．经过20×18＝360（小时），分裂成418个绿藻细胞，∴k之值为18；（2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，∴制作8公克的「绿藻粉」需要60×8亿个绿藻细胞，∵60亿介于232与233之间，∴232×8＜60×8亿＜233×8，即235＜60×8亿＜236，而418＝（22）18＝236，∴60×8亿＜418，∴418个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」．【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是读懂题意，根据已知找到规律求出k的值．9．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），代入中，根据为整数可解答．【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，∴357不是“和倍数”；∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，∴441是9的“和倍数”；（2）由题意得：a+b+c＝12，a＞b＞c，由题意得：F（A）＝，G（A）＝，∴＝＝＝，∵a+c＝12﹣b，为整数，∴＝＝＝＝7+（1﹣b），∵1＜b＜9，∴b＝3，5，7，∴a+c＝9，7，5，①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，则A＝732或372；②当b＝5，a+c＝7时，，则A＝516或156；③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；综上，满足条件的所有数A为：732或372或516或156．【点评】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．﹣）会徽的主题图案有着丰富的数学10．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME14元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进﹣的举办年份．制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME14（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80＝1536+448+32+6＝2022．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去故n的值是9．【点评】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．七．分式的定义（共1小题）11．（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意π是数字．八．分式有意义的条件（共1小题）12．（2022•无锡）分式中x的取值范围是（ ）﹣D．x≤2 A．x≠2B．x≠2﹣C．x≤2【分析】由分母不等于0列式计算即可．【解答】解：∵分式有意义，∴2﹣x≠0，解得x≠2，故选：A．【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义时，分母不等于0．九．分式的值为零的条件（共1小题）13．（2022•广西）当x＝ 0 时，分式的值为零．【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x＝0且x+2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2x＝0且x+2≠0，﹣，∴x＝0且x≠2∴当x＝0时，分式的值为零，故答案为：0．【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．一十．分式的值（共1小题）14．（2022•湖州）当a＝1时，分式的值是 2 ．【分析】把a＝1代入分式计算即可求出值．【解答】解：当a＝1时，原式＝＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．一十一．分式的乘除法（共1小题）15．（2022•德阳）下列计算正确的是（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．＝1C．a÷a•＝a D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．【解答】解：A．（a﹣b）2＝a22ab+b2，故A选项错误，不符合题意；B.＝＝1，故B选项正确，符合题意；C．a÷a•＝1×＝，故C选项错误，不符合题意；D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故D选项错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算．一十二．分式的加减法（共2小题）16．（2022•天津）计算+的结果是（ ）A．1B．C．a+2D．【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝＝1．故选：A．【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．17．（2022•襄阳）化简分式：+＝ m ．【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝m，故答案为：m．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型．一十三．分式的混合运算（共218．（2022•威海）试卷上一个正确的式子（+）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（ ）A．B．C．D．【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可；【解答】解：（+）÷★＝，∴被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷＝•＝•＝；故选：A．【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．19．（2022•自贡）化简：•+ ．【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．【解答】解：•+＝+＝+＝，故答案为：．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．一十四．分式的化简求值（共7小题）20．（2022•玉林）若x是非负整数，则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是（ ）A．①B．②C．③D．①或②【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝＝＝1，则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．故选：B ．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2022•菏泽）若a 22﹣a 15﹣＝0，则代数式（a ﹣）•的值是 15 ．【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．【解答】解：（a ﹣）•＝＝＝a 22﹣a ，∵a 22﹣a 15﹣＝0，∴a 22﹣a ＝15，∴原式＝15．故答案为：15．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．22．（2022•内蒙古）先化简，再求值：（﹣x 1﹣）÷，其中x ＝3．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x＝3代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x＝3时，原式＝﹣＝﹣5．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．23．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝4时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．24．（2022•资阳）先化简，再求值．，其中a＝﹣3．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝，当a＝﹣3时，原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．25．（2022•黑龙江）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝2cos30°+1．【分析】利用分式的减法法则和除法法则对分式进行计算化简，把特殊角的三角函数值代入计算求出a的值，代入化简后的分式进行计算，即可得出答案．【解答】解：（﹣1）÷＝÷＝×＝，当a＝2cos30°+1＝2×+1＝时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握分式的混合计算及特殊角的三角函数值是解决问题的关键．26．（2022•黑龙江）先化简，再求值：（）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝•＝2x+8，分母不能为0，则x≠±2，除数不能为0，则x≠0，当x＝1时，原式＝2+8＝10．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．一十五．零指数幂（共2小题）27．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）A．5B．2C．1D．0【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【解答】解：原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．【点评】本题主要考查了定义运算，实际上是对数的运算，读懂题目意思是关键．28．（2022•百色）计算：32+（﹣2）017﹣．【分析】首先计算乘方、零指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．﹣【解答】解：32+（﹣2）017﹣＝9+117＝﹣7．【点评】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂的运算，解答此题的关键是要明确：a0＝1（a≠0）．一十六．负整数指数幂（共2小题）29．（2022•南充）比较大小：22﹣30．（选填＞，＝，＜）【分析】先分别计算22﹣和30的值，再进行比较大小，即可得出答案．【解答】解：∵22﹣＝，30＝1，∴22﹣＜30，故答案为：＜．【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂的意义，零指数幂的意义是解决问题的关键．﹣（）﹣1﹣（）2+20350．30．（2022•长沙）计算：|4|+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．﹣（）﹣1﹣（）2+20350【解答】解：|4|+﹣＝4+32+1＝6．【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．一十七．二次根式有意义的条件（共2小题）31．（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．﹣，【解答】解：∵3x6≥0∴x≥2，故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．32．（2022•菏泽）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x＞3 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．﹣＞0，【解答】解：由题意得，x3解得x＞3．故答案为：x＞3．【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．一十八．二次根式的性质与化简（共2小题）33．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v＝，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：v＝＝＝8×102（m/s），故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．34．（2022•桂林）化简的结果是（ ）A．2B．3C．2D．2【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．【解答】解：＝2，故选：A．【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．一十九．最简二次根式（共1小题）35．（2022•杭州）计算：＝ 2 ；（﹣2）2＝ 4 ．【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：＝2，（﹣2）2＝4，故答案为：2，4．【点评】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键．二十．二次根式的乘除法（共2小题）36．（2022•随州）已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 3 ，最大值为 75 ．【分析】先将化简为10，可得n最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则n越大，当＝2时，即可求解．【解答】解：∵＝＝10，且为整数，∴n最小为3，∵是大于1的整数，∴越小，越小，则n越大，当＝2时，＝4，∴n＝75，故答案为：3；75．【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词37．（2022•山西）计算：×的结果为 3 ．【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则＝（a≥0，b≥0）．二十一．二次根式的加减法（共1小题）38．（2022•哈尔滨）计算+3的结果是 2 ．【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．【解答】解：原式＝+3×＝＝2．故答案为：2．【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．二十二．二次根式的混合运算（共3小题）39．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（ ）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．40．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 18 ．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝（）212﹣＝191＝18，故答案为：18．【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．41．（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a2﹣b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2＝6ab，∵a＝﹣，b＝+，∴原式＝6ab＝6×（﹣）（+）＝6．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．二十三．二次根式的化简求值（共1小题）42．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y＝++，则．【分析】根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：∵y＝++，﹣，2﹣x≥0，∴x2≥0∴x＝2，y＝，则原式＝×＝＝，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
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1.2整式、分式与二次根式考点一、整式1．整式的有关概念（1）单项式和多项式统称整式．单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子，而多项式是指几个单项式的和．（2）单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数．（3）多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．2.整式的运算（1）整式的加减○1同类项与合并同类项所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．○2去括号与添括号A.括号前是“＋”号，去掉括号和它前面的“＋”号，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里的各项都改变符号．B.括号前是“＋”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．○3整式加减的实质是合并同类项．(2)幂的运算同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m、n都是整数)．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a m)n＝a mn(m、n都是整数)．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，即(ab)n＝a n b n(n为整数)．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n＝a m－n(a≠0，m、n都为整数)．(3)整式的乘法○1单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．○2单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.○3多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.(4)整式的除法○1单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．○2多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加．(5)乘法公式○1平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差， 即(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.○2完全平方公式:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍，即(a±b)2＝a 2±2ab＋b 2.【例1】(1)下列运算正确的是( )A ．a·a 2＝a 2B ．(ab)3＝ab 3C ．(a 2)3＝a 6D ．a 10÷a 2＝a 5(2)下列各选项的运算结果正确的是( )A ．(2x 2)3＝8x 6B ．5a 2b －2a 2b ＝3C ．x 6÷x 2＝x 3D ．(a －b)2＝a 2－b 2(3)下列运算中正确的是( )A ．3a ＋2a ＝5a 2B ．(2a ＋b)(2a －b)＝4a 2－b 2C ．2a 2·a 3＝2a 6D ．(2a ＋b)2＝4a 2＋b 2解析：(1)题考查幂的四种运算，正确掌握运算法则是关键；(2)、(3)题均从四个方面考查整式的运算，解答此题需要逐项检验．(1)C (2)A (3)B【例2】（1）如果3x 2n －1y m 与－5x m y 3是同类项，则m 和n 的取值是( )A ．3和－2B ．－3和2C ．3和2D ．－3和－2(2)已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)2－(y 2－4x)的值．解析：(1)题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得⎩⎨⎧ 2n －1＝m ，m ＝3，解得⎩⎨⎧ m ＝3，n ＝2. C(2)题考查求代数式的值，考虑整体代入思想．原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x ＝2y ＋4x ＋1＝2(y ＋2x)＋1.当y ＋2x ＝1时，原式＝2×1＋1＝3.考点二、因式分解1．因式分解的定义及与整式乘法的关系(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算就是因式分解．(2)因式分解与整式乘法是互逆运算．2．因式分解的常用方法(1)提公因式法：如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式．提公因式法用公式可表示为ma ＋mb ＋mc ＝m(a ＋b ＋c)，其分解步骤为：①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式．(2)运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式，这种方法叫做公式法，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2.3．因式分解的一般步骤(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；(3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止【例3】(1)下列各式中，能用公式法分解因式的是( )A．x2＋4y2B．a2＋a＋1 2C．－x2＋4y2 D．a2＋ab＋b2(2)若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是( )A．－5 B．7 C．－1 D．7或－1 (3)下列由左到右的变形，是因式分解的是( )A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．x2＋x－2＝x(x＋1)－2C．x2－2x＋1＝(x－1)2 D．x2＋5x＋4＝x(x＋5＋4x )解析：(1)、(2)题考查平方差公式和完全平方公式的特征；(3)题考查因式分解的概念，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．【例4】(1)分解因式：a2－a＝________；(2)分解因式：x3y－xy＝________；(3)分解因式：－x3＋2x2－x＝________；(4)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)＝______解析：在分解因式时，首先考虑用提公因式法，若不能再考虑用公式法，用公式法分解时一定要先化成标准形式，再灵活选用公式．(1)原式＝a(a－1)(2)原式＝xy(x2－1)＝xy(x＋1)(x－1)(3)原式＝－x(x2－2x＋1)＝－x(x－1)2(4)原式＝(x＋y)(x＋y－3)考点三、分式1.形如AB(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．(1)分式有无意义：B＝0时，分式无意义；B≠0时，分式有意义．(2)分式值为0：A＝0且B≠0时，分式的值为0.【例5】(1) 若分式2a＋1有意义，则a的取值范围是（）A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0解析： ∵分式有意义，∴a ＋1≠0，∴a ≠－1.(2) 若代数式2x －1－1的值为零，则x ＝________． 解析： 2x －1－1的值为零，则2x －1＝1，x －1＝2，所以x ＝3. 2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． ①a·m b·m ＝a b ，a÷m b ÷m ＝a b (m≠0)； －b a ＝b －a ＝－b a. ②通分的关键是确定n 个分式的最简公分母确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先因式分解，再取系数的最小公倍数，所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简公分母．③约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式.确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先因式分解，取系数的最大公约数，相同字母(因式)的最低次幂的积为最大公因式．【例6】下列计算错误的是( )A.0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －bB.x 3y 2x 2y 3＝x yC.a －b b －a ＝－1D.1c ＋2c ＝3c解析：利用分式的加减运算法则与约分的性质，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．选项A 的计算结果为2a ＋10b 7a －10b，故本选项错误． 方法点拨：(1)在应用分式基本性质进行变形时，要注意“都”，“同一个”，“不等于0”这些字眼的意义，否则容易出现错误．(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式时，则先要将这些多项式进行因式分解．3.分式的运算（1）分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即a c ±b c＝a±b c.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即a b ±c d ＝ad±bc bd. （2）分式的乘除法：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a b ·c d ＝ac bd.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a b ÷c d ＝a b ·d c ＝ad bc. （3）分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即(n m )k ＝n k m k (k 是正整数)． （4）分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．4.分式的求值分式的求值方法很多，主要有三种：①先化简，后求值；②由值的形式直接转化成所求的代数式的值；③式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中．解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简．只有双管齐下，才能获得简易的解法．【例7】先化简代数式⎝⎛⎭⎪⎫1－3a ＋2÷a 2－2a ＋1a 2－4，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a 的值代入求值．解析：原式＝a －1a ＋2×（a ＋2）（a －2）（a －1）2＝a －2a －1， 当a ＝0时，原式＝a －2a －1＝－2－1＝2. (提醒：此题原式中的分母为a ＋2，a 2－4，当a ＝±2时，原分式无意义，所以a 不能取±2)方法点拨：分式化简求值题的一般解题思路为：(1)利用因式分解、通分、约分等相关知识对原复杂的分式进行化简．(2)选择合适的字母取值代入化简后的式子计算得结果．注意字母取值时一定要使原分式有意义，而不是只看化简后的式子．【例8】对于正数x ，规定f (x )＝11＋x ，例如：f (4)＝11＋4＝15，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝11＋14＝45，则f (2012)＋f (2011)＋…＋f (2)＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12012＝__________.解析： ∵当x ＝1时，f (1)＝12；当x ＝2时，f (2)＝13；当x ＝12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝23；当x ＝3时，f (3)＝14；当x ＝13时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，… ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，… ∴f (n )＋…＋f (1)＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝f (1)＋(n －1)， ∴f (2012)＋f (2011)＋…＋f (2)＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12012＝f (1)＋(2012－1)＝12＋2011＝2011.5. 方法点拨：此类问题一般是通过观察计算结果变化规律，猜想一般性的结论，再利用分式的性质及运算予以证明．考点四、二次根式1.形如式子a(a ≥0)叫做二次根式．二次根式中被开方数一定是非负数，否则就没意义，并有a ≥0.2.最简二次根式必须同时满足条件：（1）被开方数的因数是正整数，因式是整式；（2）被开方数不含能开的尽方的因数或因式．3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．4.二次根式的性质：（1）a (a≥0)是非负数； （2）(a)2＝a (a≥0)；（3）a 2＝|a|＝⎩⎨⎧ a －a ＜；（4）ab ＝a ·b (a≥0，b≥0)；（5）a b ＝a b(a≥0，b ＞0)．5.二次根式的运算（1）二次根式的加减法：先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．（2）二次根式的乘除法○1二次根式的乘法：a ·b ＝ab (a≥0，b ≥0)； ○2二次根式的除法：a b ＝a b(a≥0，b ＞0)． 注：二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式6.把分母中的根号化去常用形式及方法(1)1a ＝1·a a ·a ＝a a(2)1a ＋b ＝a ＋b a ＋b【例9】使代数式x2x －1有意义的x 的取值范围是（）A ．x ≥0B ．x ≠12C ．x ≥0且x ≠12D ．一切实数 解析：由题意得x ≥0, 2x －1≠0,解得x ≥0且x ≠12，故选C 项． 此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．【例10】计算：12×(3－1)2＋12－1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1 解：原式＝4－232＋2＋1＋3－ 2 ＝2－3＋2＋1＋3－2＝3.方法点拨：利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查．【例11】先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1·x x 2＋2x ＋1()x ＋12－()x －12，其中x ＝12. 解：原式＝1x ()x ＋1·x ||x ＋14x ＝||x ＋14x ()x ＋1.①当x＋1＞0时，原式＝14x；②当x＋1＜0时，原式＝－14x.∵当x＝12时，x＋1＞0，∴原式＝12.方法点拨：此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．【例12】已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋15，乙＝3＋17，丙＝1＋19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确（）A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙解析：本题可先估算无理数15，17，19的整数部分的最大值和最小值，再求出甲，乙，丙的取值范围，进而可以比较其大小．∵3＝9<15<16＝4，∴8＜5＋15＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝16＜17＜25＝5，∴7＜3＋17＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝16＜19＜25＝5，∴5＜1＋19＜6，∴丙＜乙＜甲．故选A项．方法点拨：比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．【例13】已知实数x，y满足||x－4＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长( )A. 20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对解析：根据题意得x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8.(1)若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20.故选B.方法点拨：(1)常见的非负数有三种形式：|a|，a，a2.(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．。