120以内的素数有多少个

容斥原理

Rn | A1 A2 An | 并称子集A1 , A2 , , An具有对称性质.
21
定理4.2.4 (对称原理、对称筛) 若子集A1 , A2 , , An 具有对称性质, 则有
| A1 A2
n n
An
|
1
R1
2
R2
(1)n1
n n
Rn
n n
N [0]
R0
1
R1
2
R2
18
例2 设某班共有学生30名,本学期开设日、德、法三门外语供学生选修. 班里选修日语的有15 名, 选修德语、法语的各14名, 同时选修德语和日语的有7名, 同时选修日语和法语的有6名, 同时选修法语和德语的有6名, 三门全选修的有3 名, 问该班选修外语恰好k门的学生各有多少? 解令S {a1 , a2 , , a30 },用A1 , A2 , A3分别表示 S中的学生选修日、德、法各种外语的学生集合.则
N[1]
q1
C21q2
C
1 3
q3
43 2 19
33
14
N[2] q2 C32q3 19 3 3 10
N[3] q3 3
20
如果性质P1 , P2 , , Pn是对称的,即具有k个性质的事物的个数总是等于同一个数值, 则称这个值为公共数, 记作Rk , 即 R1 | A1 || A2 | | An | R2 | A1 A2 || A1 A3 | | An1 An | R3 | Ai Aj Ak |, 1 i j k n
这说明计算一个集合的元素个数时,有时间接计算比直接计算更为简单.
2
预备知识 - -集合论知识初步: 设A, B,C, S是集合,集合主要有以下运算: (1) 集合的并(和): A B或A B; (2)集合的交(积): A B或AB; (3) 集合的差: A B, A B A B A AB; (4) 集合的非 : A S A (S为全集) 集合的运算满足下列定律: (1) 交换律 : A B B A, AB BA; (2) 结合律 : ( A B) C A (B C ),

高中数学竞赛讲义-容斥原理新人教A 版

§24容斥原理相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。

容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。

n阶集合的全部子集数目为。

例题讲解1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。

那么，对于n=7。

求所有子集的“交替和”的总和。

2．某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。

化学数学都优秀8人。

这个班有5人任何一科都不优秀。

那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。

3．计算不超过120的合数的个数4．1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。

5．把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。

6．给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。

7．在个元素组成的集合中取个不同的三元子集。

证明：其中必有两个，它们恰有一个公共元。

例题答案：1．分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。

质数

质数质数(又称为素数）1.只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。

还可以说成质数只有1和它本身两个约数。

2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。

例如，15＝3×5，所以15不是素数；又如，12 ＝6×2＝4×3，所以12也不是素数。

另一方面，13除了等于13×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。

质数的概念一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又称素数。

例如（1 0以内）2，3，5，7 是质数，而4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。

特别声明一点，1既不是质数也不是合数。

为什么1不是质数呢?因为如果把1也算作质数的话,那么在分解质因数时,就可以随便添上几个1了。

比如30，分解质因数是2*3*5，因为分解质因数是要把一个数写成质数的连乘积，如果把1算作质数的话，那么在这个算式中，就可以随便添上几个1了，分解质因数也就没法分解了。

从这个观点可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。

（1不是质数，也不是合数）著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。

可以写成一串质数相乘的积。

质数中除2是偶数外，其他都是奇数。

2000年前，欧几里德证明了素数有无穷多个。

既然有无穷个，那么是否有一个通项公式？两千年来，数论学的一个重要任务，就是寻找一个可以表示全体素数的素数普遍公式和孪生素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。

希尔伯特认为，如果有了素数统一的素数普遍公式，那么这些哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都可以得到解决。

质数的奥秘质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。

如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。

有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。

高中数学竞赛讲义-容斥原理

§24容斥原理相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。

容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。

n阶集合的全部子集数目为。

例题讲解1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。

那么，对于n=7。

求所有子集的“交替和”的总和。

2．某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。

化学数学都优秀8人。

这个班有5人任何一科都不优秀。

那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。

3．计算不超过120的合数的个数4．1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。

5．把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。

6．给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。

7．在个元素组成的集合中取个不同的三元子集。

证明：其中必有两个，它们恰有一个公共元。

例题答案：1．分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。

组合数学第三章答案

3.1题（宗传玉）某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议解:设A i为甲与第i个朋友相遇的会议集，i＝1，…，6．则故甲参加的会议数为:28+5=33.3.2题（宗传玉）求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数.解:设A3：被3整除的数的集合A5：被5整除的数的集合A7：被7整除的数的集合所以3.3.题（宗传玉）n个代表参加会议，试证其中至少有2人各自的朋友数相等。

解:每个人的朋友数只能取0，1，…，n－1．但若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n－2．故这n个人的朋友数的实际取数只有n－1种可能．，所以至少有２人的朋友数相等．3.4题（宗传玉）试给出下列等式的组合意义.解:(a) 从n 个元素中取k 个元素的组合，总含有指定的m 个元素的组合数为)()(kn m n mk m n --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m ,Ai 为不含a i 的组合（子集），i=1,…,m.()∑∑∑==∈⊄==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ml l m l l m i i lj i lk l n k m A k n k n m n k l n l j 01),(),...,(1m1i i i i i 1)1(A A A A 111213.5题（宗传玉）设有三个7位的二进制数：a1a2a3a4a5a6a7，b1b2b3b4b5b6b7，c1c2c3c4c5c6c7．试证存在整数i 和j，1≤i≤j≤7，使得下列之一必定成立：a i=a j=b i=b j，a i=a j=c i=c j，b i=b j=c i=c j．证：显然，每列中必有两数字相同，共有种模式，有０或１两种选择．故共有·2种选择．·2=6．现有7列，．即必有２列在相同的两行选择相同的数字，即有一矩形，四角的数字相等．3.6题（宗传玉）在边长为1的正方形内任取5个点试证其中至少有两点，其间距离小于证：把１×１正方形分成四个(1/2)×(1/2)的正方形．如上图.则这５点中必有两点落在同一个小正方形内．而小正方形内的任两点的距离都小于．3.7题（王星）在边长为1的等边三角形内任取5个点试证其中至少有两点，期间距离小于1/2．证：把边长为１的三角形分成四个边长为1/2的三角形，如上图：则这５点中必有两点落在同一个小三角形中．小三角形中任意两点间的距离都小于1/2．3.8题（王星）任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。

6-容斥原理

5.1 容斥原理引论
容斥原理研究若干个有限集合的交或并容斥原理研究若干个有限集合的交或并研究若干个有限集合的的计数问题。的计数问题。 [DeMorgan定理论域，补集定理] 论域U，定理有 A = {x | x ∈U且x ∉ A} ,有
A
(a) A∪ B = A∩ B (b) A∩ B = A∪ B
A = B = C = 3n
A∩ B = A∩C = C ∩ B = 2n
A∩ B ∩C =1
5.3 例题
a，b，c都至少出现一次的n位符号串集合即为
A∩ B ∩C
A∩ B ∩ C = 4 − ( A + B + C ) + ( A∩ B
n
+ A∩ C + C ∩ B ) − A∩ B ∩ C = 4 −3•3 + 3• 2 −1
5.3 例题
) 例5 欧拉函数ψ (n是求小于n且与n互素的数的个数。
解：若n分解为素数的乘积则有 n = p
a 1 1
n = p p ... pk
a 1 1 a2 2
ak
设1到n的n个数中为 pk 倍数的集合为 Ai， i =1,2,..., k.
p
a2 2
... pk pi
ak
A =n i
p
被3或5除尽的数的个数为
A ∪ B = A + B − A∩ B =166 +100 − 33 = 233
5.3 例题
例3 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中， a,b,c都至少出现一次的符号串数目。解：令A、B、C分别为n位符号串中不出现a，b， c符号的集合。由于n位符号串中每一位都可取a，b，c，d四种符号中的一个，故不允许出现a的n位符号串的个数应是 3n，即

湖南大学离散数学第三章习题一解答

第三章习题一解答一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。

1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：(1) 阅读全部三种杂志的人数。

(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。

解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。

由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。

已知|A|=25，|B|=26，|C|=26|A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8（1）由包含排斥原理可知|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|，故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有| A ∩B ∩C|=3，所以同时读三种杂志的人为3 人。

（2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故只读《每周新闻》的人数为：|)()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ⋂⋃⋂-=⋃⋂-=⋃⋂=⋂⋂ =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8；只读《时代》人数为：=⋂⋂||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ；只读《财富》的人为：=⋂⋂||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。

杨圣洪第三章习题一解答

第三章习题一一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}P({杨,李,石})={A000, A001, A010, A011, A100, A101, A110, A111 }={{},{石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只有一个元素，其幂集只有2个元素P={{},{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。

1、对60人调查，25读《每周新闻》，26读《时代》，26人读《财富》，9人读《每周新闻》和《财富》，11读《每周新闻》和《时代》，8人读《时代》与《财富》，还有8人什么都不读，请计算：(1)阅读全部三种杂志的人数。

(2)分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。

解：令A={每周新闻的读者}，B={时代的读者}，C={财富的读者}。

由于8人什么都不读，故只有52人读杂志，即|A∪B∪C|=52|A|=25，|B|=26，|C|=26|A∩C|=9，|A∩B|=11，|B∩C|=8由包含排斥原理可知|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩C|-|A∩B|-|B∩C|+| A∩B∩C|，故52=25+26+26-9-11-8+| A∩B∩C|故| A∩B∩C|=3即同时读三种杂志的人为3人|A-B-C|=|A|-|A∩B|-|A∩C|+| A∩B∩C|=25-9-11+3=8人只读每周新闻的人|B-A-C|=|B|-|B∩A|-|B∩C|+| A∩B∩C|=26-11-8+3=10人只读时代的人|C-A-B|=|C|-|C∩A|-|C∩B|+| A∩B∩C|=26-9-8+3=12人只读财富的人财富2、某班25个学生，14人会打篮球，12人会打排球，6人会篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，已知6人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。