湖南省长沙一中2020-2021学年高一上学期第一次阶段性检测数学试卷 Word版含答案

长沙一中2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测数 学时间：120分钟 分值：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U =R ，201x A xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则UA =( )A.{}21x x -<<B.{}21x x x ≤-≥或C.{}21x x x ≤->或D.{}21x x -<≤2.函数()f x =+的定义域为( )A.[)3,1-B.[]3,1-C.[)3,-+∞D.(),1-∞3.下列函数为偶函数，且在()0,+∞单调递增的是( )A.1y x=B.2y x x =+C.22y x =-D.2y x =-4.命题“x ∀∈R ，321x x +≤”的否定是( )A.x ∀∈R ，321x x +>B.x ∀∈R ，321x x +≥C.x ∃∈R ，321x x +>D.x ∃∈R ，321x x +≥5.若P =+Q =()0a ≥，则P 、Q 的大小关系为( )A.P Q >B.P Q =C.P Q <D.由a 的取值确定6.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围为( )A.[]2,2-B.[]1,3-C.[]1,3D.[]1,1-7.已知()2x ϕ=()()2231x f x x ϕ=-，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A.15-B.15C.13-D.138.已知a ，b 都是正数，且3ab a b ++=，则2a b +的最小值为( )A.2B.3-C.2D.3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9.已知集合{}24P x x ==，N 为自然数集，则下列表示正确的是( )A.2P ∈B.{}2,2P =-C.{}P ∅⊆D.P N10.下列函数的最小值为4的有( )A.224y x x=+B.92y x x=+- C.2y =D.()1111y x x x =++>- 11.以下选项中，是0a <，0b <的一个必要条件的为( )A.0a b ->B.1ab<-C.0a b +<D.21a b +<12.设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是( )A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y ->-C.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦D.不等式[][]2230x x --≥的解集为{}02x x x <≥或三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知函数()21,12,1x f x x x x +<=+≥⎪⎩，则()()0f f =________.14.已知集合{}220A x x x =--=，{}1B x ax ==，若A B B =，则实数的所有可能的取值组成的集合为________.15.用{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 三个数中的最小值，则()()1241,4,0min f x x x x x ⎧⎫++>⎨⎬⎩⎭=的最大值为________.16.高二某班共有60人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有15人.这三门课程均选的有10人，三门中任选两门课程的均至少有16人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有________人.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22210B x x mx m =-+-≤.(1)若332AB x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，求实数m 的值；(2)x A ∈是x B ∈的________条件，若实数m 的值存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.(请在①充分不必要，②必要不充分，③充要；中任选一个，补充到空白处)18.(本小题满分12分)函数()f x =.(1)若()f x 的定义域为R ，求k 的取值范围； (2)当1k =-时，求()f x 的值域.19.(本小题满分12分)已知不等式2320mx x +->的解集为{}2x n x <<.(1)求m ，n 的值，并求不等式220nx mx ++>的解集；(2)解关于x 的不等式()20ax n a x m -+->(a ∈R ，且1a <)20.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 为正数.(1)若22a b ab +=，证明：922a b +≥； (2)若1a b c ++=，证明：22213a b c ++≥.21.(本小题满分12分)用清水洗一堆衣服上残留的污渍，用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，现作如下假定：用x 单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数()222f x x =+. (1)(ⅰ)试解释()0f 与()1f 的实际意义；(ⅱ)写出函数()f x 应该满足的条件或具有的性质；(写出至少2条，不需要证明)(2)现有()0a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由.22.(本小题满分12分)已知()f x x x=⋅.(1)若[)1,x ∃∈+∞，使()20f x a a --<成立，求实数a 的取值范围；(2)若()()10g x x x mx m =+->，在()1,x ∈-+∞上有最小值，求实数m 的取值范围.长沙一中2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学参考答案一、选择题二、填空题13.814.10,1,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭15.616.8三、解答题17.【解析】(1)对()()2:23013013A x x x x x --≤⇒+-≤⇒-≤≤即{}13A x x =-≤≤对()()22:210110B x mx m x m x m -+-≤⇔--⋅-+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦11m x m ⇒-≤≤+，即{}11B x m x m =-≤≤+332AB x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则312m -=-，即12m =-经检验满足题意.(2)选①，1131m AB m -≤-⎧⇒⎨≤+⎩，此时m 必无解.即不存在实数m ，使得题意成立 选②，110213m BA m m -≤-⎧⇒⇒≤≤⎨+≤⎩选③，1113m A B m -=-⎧=⇒⇒⎨+=⎩此时m 无解，即不存在实数m ，使得题意成立18.【解析】(1)即23208kx kx ++>，对x ∈R 恒成立 1 当0k =，满足；2°当0k ≠时，2030030k k k k >⎧⇒-<⇒<<⎨∆<⎩综上：03k ≤<时，函数()f x 的定义域为R(2)1k =-时，令2328y x x =--+21112422x ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭故02<≤∴()f x的值域为)+∞19.【解析】(1)由题意知0m <且321212n m mn n m ⎧+=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪⋅=-⎪⎩. 则2221722024nx mx x x x ⎛⎫++=-+=-+> ⎪⎝⎭即220nx mx ++>的解集为R(2)()()()211110ax a x ax x -++=-->1 当0a <，不等式()()11101x ax x x a⇔-+-<⇒<< 2 当0a =，不等式101x x -+>⇒< 3 当01a <<时，11a> 则()()1101ax x x -->⇒<或1x a>综上所述：1)当0a <时，不等式的解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2)当0a =时，不等式的解集为{}1x x <3)当01a <<时，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 20.【解析】(1)∵22a b ab +=，变形得122a b+= ∴()112222a b a b a b ⎛⎫+=⋅+⋅+ ⎪⎝⎭12252b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵224b a a b +≥，∴922a b +≥ 当且仅当22b a a b =，即23a b ==时，等号成立(2)212293a a +≥= 21293b b +≥ 21293c c +≥ ()2221233a b c a b c ⇒+++≥++.即22213a b c ++≥ 当且仅当13a b c ===时，等号成立 21.【解析】(1)(ⅰ)()01f =，表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变()213f =，表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的13(ⅱ)函数()f x 的定义域为[)0,x ∈+∞，值为()(]0,1f x ∈，在()0,+∞上单调递减(2)设清洗前衣服上的污渍为1，用a 单位量的水清洗1次后，残留的污渍为1W 则()12212W f a a =⨯=+ 如果用2a 单位的水清洗1次，则残留的污渍为28128a f a⎛⎫⨯= ⎪+⎝⎭ 然后再用2a 单位的水清洗1次后，残留的污渍为()22226428a W f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭+. 由于()()()()22122222222162642828a a W W a a a a --=-=++++，所以，12W W -的符号由216a -决定当4a >时，12W W >，此时，把a 单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的污渍较少 当4a =时，12W W =，此时，两种清洗方法效果相同 当4a <时，12W W <，此时，用a 单位的水清洗一次，残留的污渍较少22.【解析】(1)()220,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，易知()f x 在R 上递增 [)1,x ∃∈+∞，使()()min 2020f x a a f x a a --<⇔--< ()120f a a ⇒--<()12120a a a ⇒---<(ⅰ)当21a ≥，()12120a a a --≤<，满足题意(ⅱ)当()2221124510a a a a a <⇒--=-+< 114a ⇒<<，即1142a << 综上上述，当14a >时，满足题意 (2)()221,011,011,x mx x g x x mx x m x mx x m ⎧⎪--+≤⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩1 当12m m ≤，即0m <≤()g x 在21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，在2,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭递减 当()g x 有最小值，则需()21g m g ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭())22144144021m m m m m ⇒-+-=-+-≤⇒≤≤2 当12m m>，即m >对0x ≤，22m -≤-，此时()()min 01g x g == 对0x >，()g x 在0,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增.()min 2111g x g m m ⎛⎫==< ⎪⎝⎭ 存在最小值.综上，当)21m ≥时，()g x 在()1,-+∞上有最小值.。