案例三 年金终值与现值新的

案例三年金终值与现值
—利民公司年金终值与现值的计算
分析要点及要求
1.根据资料（1）计算系列租金的现值和终值？如果年租金改按每年年初支付
一次，再计算系列租金的现值和终值？
年末支付时S=A(S/A,5%,6)=5600×6.802=38091.20（元）
P=A×(P/A,5%,6)=5600×5.076=28425.60（元）
年初支付时S＝A×[(S/A,5%,7)－1]－5600×(8.142－1)＝39995.20（元）或：S＝A×(S/A,5%,6)×（1+5%）＝5600×6.802×1。

05＝39995.76（元）
P＝A×[(P/A,5%,5)＋1]＝5600×(4.329＋1)＝29842.4（元）或：P＝A×(P/A,5%,6)×（1＋5%）＝5600×5.076×1.05＝29846.88（元）
2.根据资料（2）分析利民公司为设此项奖学基金，应一次性存入银行多少钱？A＝10000+10000+9000+4000＝33000（元）
P＝33000/4%＝825000（元）
3. 根据资料（3）分析利民公司当初向工行沈阳分行借入多少本金？至2000年12月31日共向工行沈阳分行偿还本息是多少？
P＝20000×（P/A，6%，5）＝20000×4.212＝84240（元）
S＝20000×（S/A，6%，5）＝20000×5.637＝112740（元）
问题探讨
1.利用已掌握的数学基础，推导出各种年金终值、现值的计算公式。

推导出普通年金终值、现值的一般计算公式
普通年金终值指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值例如：每年存款1元，年利率为10%，经过5年，逐年的终值和年金终值，可计算如下：
1元1年的终值=1000元
1元2年的终值=(1+10%)1=1100(元)
1元3年的终值=(1+10%)2=1210(元)
1元4年的终值=(1+10%)3=1331(元)
1元5年的终值=(1+10%)4=1464(元)
1元年金5年的终值=6105(元)
如果年金的期数很多，用上述方法计算终值显然相当繁琐由于每年支付额相等，折算终值的系数又是有规律的，所以，可找出简便的计算方法设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的年金终值S 为：
S=A+A×(1+i)+…+A×(1+i)n-1，(1)
等式两边同乘以(1+i)：
S(1+i)=A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+l)n，（n等均为次方）（2)
上式两边相减可得：
S(1+i)-S=A(1+l)n-A,
S=A[（1+i）n-1]/i
式中[（1+i）n-1]/i的为普通年金、利率为i，经过n期的年金终值记作(S/A，i,n),可查普通年金终值系数表
年金现值通常为每年投资收益的现值总和，它是一定时间内每期期末收付款项的复利现值之和每年取得收益1元，年利率为10%，为期5年，上例逐年的现值和年金现值，可计算如下：
1年1元的现值==0909(元)
2年1元的现值==0826(元)
3年1元的现值==0751(元)
4年1元的现值==0683(元)
5年1元的现值==0621(元)
1元年金5年的现值=3790(元)
计算普通年金现值的一般公式为：
P=A×(1+i)-1+A×(1+i)-2…+A×(1+i)-n，(1)
等式两边同乘(1+i)
P(1+i)=A+A(1+i)－1+…+A(1+i)－(n－1)，(2)
(2)式减(1)式
P(1+i)-P=A-A(1+i)－n，
剩下的和上面一样处理就可以了。

普通年金1元、利率为i，经过n期的年金现值，记作(P/A，i,n)，可查年金现值系数表
另外，预付年金、递延年金的终值、现值以及永续年金现值的计算公式都可比照上述推导方法，得出其一般计算公式。

即付年金的终值：F=A{[（1+i）^（n+1）-1]/i -1}或：A[（F/A，i，n+1）-1]
即付年金的现值：P=A{[1-(1+i)^-（n+1）]/i+1} 或：A[（P/A，i，n-1）+1]
递延年金现值：
第一种方法：P=A{[1-(1+i)^-n]/i-[1-(1+i)^-s]/i}
或：A[（P/A，i，n）-（P/A，i，s）]
第二种方法：P=A{[1-(1+i)^-(n-s)]/i*[（1+i）^-s]}
或：A[（P/A，i，n-s）*（P/F，i，s）]
永续年金现值：P=A/i
A 代表年金
i 代表利率
n 代表计息期数
2.通过上述推导总结出各种年金内在的联系。

年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金，预付年金）、递延年金(延期年金)、永续年金等类型。

1．普通年金
普通年金是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额收付的系列款项，又称为后付年金。

2．即付年金
即付年金是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金。

即付年金与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。

3．递延年金
递延年金是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而是隔若干期（m）后才开始发生的系列等额收付款项。

它是普通年金的特殊形式。

4．永续年金
永续年金是指无限期等额收付的特种年金。

它是普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金
3．列举出现实经济中的年金现象。

如分期付款赊购，分期偿还贷款、发放养老金、支付租金、提取折旧等。