考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷4 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内
A．有极值点，无零点．
B．无极值点，有零点．
C．有极值点，有零点．
D．无极值点，无零点．
正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学
2． 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则
A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．
B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．
C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．
D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．
正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3． 设曲线y=ax2(a>0，x≥0)与y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?
正确答案：[*] 涉及知识点：一元函数积分学
4． 设函数f(x)在求f(x)．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
曲线与直线x=0，x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)．
5．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
6．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
7． 设f(x)是区间[0,1]上的单调、可导函数，且满足其中f-1是f的反函数，求f(x)．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域．
8． 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
9． 当a为何值时，y(a)最小?并求此最小值．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
10． 比较的大小，说明理由。
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
11．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成。
12． 求容器的容积；
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
13． 将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103g／m3)
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
14． 过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成．求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编10 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (87年)设，其中f(x)连续，s＞0，t＞0，则I的值
A．依赖于s，t．
B．依赖于s,t,x．
C．依赖于t,x不依赖于s．
D．依赖于s不依赖于t．
正确答案：D
解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选(D)． 知识模块：一元函数积分学
2． (88年)设f(x)与g(x)在(一∞，+∞)上皆可导．且f(x)＜g(x),则必有
A．f(-x)＞g(一x)
B．f’(x)＜g’(x)
C．
D．∫0xf(t)dt＜∫0xg(t)dt
正确答案：C
解析：由于f(x)和g(x)在(-∞，+∞)上皆可导，则必在(一∞,+∞)上连续，则
知识模块：一元函数积分学
3． (88年)由曲现(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析： 知识模块：一元函数积分学
4． (89年)曲线y=cosx与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为
A．
B．π
C．
D．π2
正确答案：C
解析： 知识模块：一元函数积分学
5． (90年)设函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，则d[∫f(x)dx]等于
A．f(x)
B．f(x)dx
C．f(x)+C
D．f’(x)dx
正确答案：B
解析：d[∫f(x)dx]=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx 知识模块：一元函数积分学
6． (90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)等于
A．一e-xf(e-x)一f(x)
B．一e-xf(e-x)+f(x)
C．e-xf(e-x)一f(x)
D．e-xf(e-x)+f(x)
正确答案：A
解析：由于F(x)=-∫0xf(t)dt则 F’(x)=一f(e-x)e-x一f(x)，故应选(A)． 知识模块：一元函数积分学
考研数学二(填空题)模拟试卷107(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷107 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =__________。
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
2． =__________。
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
3． 已知Dn=，若Dn=anDn－1+kDn－2，则k=________．
正确答案：1
解析：从而k=1． 知识模块：行列式
4． 设y＝sinχ2，则＝_______．
正确答案：
解析：用微分之商来求． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
5． 设y=(1＋sinx)x，则dy｜x=π=__________。
正确答案：一πdx
解析：运用等价转换y=(1+sinx)x=exln(1＋sinx)，于是y’=exln(1＋sinx)．[ln(1+sinx)+x．]，因此dy｜x=π=y’(π)dx=一πdx。 知识模块：一元函数微分学
6． 设f(x)连续，则=_______
正确答案：f(x)
解析： 知识模块：一元函数微分学
7． 函数f(x)=｜4x3一18x2+27｜在区间[0，2]上的最小值为___________，最大值为_________．
正确答案：0；27
解析：令φ(x)=4x3一18x2+27，则所以φ(x)在[0，2]单调递减，φ(0)=27，φ(2)=一13，利用介值定理知，存在唯一x0∈(0，2)，φ(x0)=0．且
f(0)=27,f(0)=0,f(2)=13．因此f(x)在[0，2]上的最小值为0，最大值为27． 知识模块：一元函数微分学
8． 设f(χ)＝，则f(n)(χ)＝_______．
正确答案：
解析：令f(χ)＝ 解得A＝3，B＝－2，即 知识模块：导数与微分
9． 设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx=_____.
正确答案：
考研数学二(填空题)模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷100 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 若f(x)=是(-∞，+∞)上的连续函数，则a=_______．
正确答案：1
解析： 知识模块：函数、极限、连续
2． [x]表示不超过x的最大整数，则=______。
正确答案：2
解析：因为，所以当x＞0时，；当x＜0时，。又由，利用夹逼准则可知，。 知识模块：函数、极限、连续
3． 设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(5)+∫05f(t)dt=______．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
4． 求由方程2χ2＋2y2＋z2＋8χz－z＋8＝0所确定的函数z＝f(χ，y)的极值点_______．
正确答案：(－2，0)为极小点，(，0)为极大点 涉及知识点：多元函数微积分
5． 设y=sinx2．则=________．
正确答案：
解析：用微分的商来求． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
6． 设f(u)可导，y=f(x2)在x0=-1处取得增量△x=0．05时，函数增量△的线性部分为0．15，则f’(1)=_________．
正确答案：
解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)= 知识模块：一元函数微分学
7． =__________.
正确答案：2
解析：运用洛必达法则， 知识模块：一元函数微分学
8． 设y=则y’=___________．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数微分学
9． =________．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
10． =_______
正确答案：ln︳2x+3︳+5ln︳x-3︳+C
解析：因为 知识模块：一元函数积分学
11． 设f(x)连续，且f(1+x)一3f(1一x)=8x(1+|x|)，则f’(1)=________．
考研数学二(选择题)高频考点模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3－t3)dt，g(x)=，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )
A．低阶无穷小。
B．高阶无穷小。
C．等价无穷小。
D．同阶但非等价无穷小。
正确答案：D
解析：先改写 知识模块：函数、极限、连续
2．
A．0．
B．－∞．
C．＋∞．
D．不存在但也不是∞．
正确答案：D
解析：因为＝＋∞，＝0，故要分别考察左、右极限．由于 因此应选
D． 知识模块：极限、连续与求极限的方法
3． 设向量β可由向量组α1，α2，...，αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...，αm-1线性表示，向量组(Ⅱ):α1，α2，...，αm-1,β，则
A．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B．αm不能由(I)线性表示，也可能由(Ⅱ)线性表示．
C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．
D．αm可由(I)线性表示，也不可由(Ⅱ)线性表示．
正确答案：B 涉及知识点：向量
4． 设函数f(x)=则f(x)在x=0处( )
A．极限不存在。
B．极限存在但不连续。
C．连续但不可导。
D．可导。
正确答案：C
解析：显然f(0)=0，对于极限是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，=0。因此f(x)在x=0处连续，排除A、B。又因为不存在，所以f(x)
在x=0处不可导，故选C。 知识模块：一元函数微分学
5． f(x)=则f(x)在x=0处( )
A．极限不存在。
B．极限存在，但不连续。
C．连续但不可导。
D．可导。
正确答案：C
解析：由f＋’(0)，f－’(0)都存在可得，f(x)在x=0右连续和左连续，所以f(x)在x=0连续；但f＋’(0)≠f－’(0)，所以f(x)在x=0处不可导。所以选C。 知识模块：一元函数微分学
考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(χ)可导，则当△χ→0时，△y－dy是△χ的( )．
A．高阶无穷小
B．等价无穷小
C．同阶无穷小
D．低阶无穷小
正确答案：A
解析：因为f(χ)可导，所以f(χ)可微分，即△y＝dy＋o(△χ)，所以△y－dy是△χ的高阶无穷小，选A． 知识模块：一元函数微分学
2． 设函数f(χ)＝则在点χ＝0处f(χ)( )．
A．不连续
B．连续但不可导
C．可导但导数不连续
D．导数连续
正确答案：D
解析：因为f(χ)＝0，f(χ)＝f(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0处连续； 由 得f(χ)在χ＝0处可导，且f′(0)＝0； 当χ＞0时，f′(χ)＝3χ2sin－χcos；当χ＜0时，f′(χ)＝2χ， 因为＝f′(0)，所以f(χ)在χ＝0处导数连续，选
D． 知识模块：一元函数微分学
3． 设f(χ)＝则在χ＝1处f(χ)( )．
A．不连续
B．连续但不可导
C．可导但不是连续可导
D．连续可导
正确答案：D
解析：因为(χ2＋χ＋1)＝3＝f(1)，所以f(χ)在χ＝1处连续． 因为＝3，所以f(χ)在χ＝1处可导． 当χ≠1时，f′(χ)＝2χ＋1，因为f′(χ)＝3＝f′(1)，所以f(χ)在χ＝1处连续可导，选
D． 知识模块：一元函数微分学
4． 若f(－χ)＝－f(χ)，且在(0，＋∞)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则在(－∞，0)内( )．
A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0
B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0
C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0
D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0
正确答案：C
解析：因为f(χ)为奇函数，所以f′(χ)为偶函数，故在(－∞，0)内有f′(χ)＞0．因为f〞(χ)为奇函数，所以在(－∞，0)内f〞(χ)＜0，选
考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷61(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷61 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设，则( )
A．I1＞I1＞。
B．I1＞＞I2。
C．I2＞I1＞。
D．I2＞＞I1。
正确答案：B
解析：因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有，从而可见有I1＞I2，又由，I2＜知，故选B。 知识模块：一元函数积分学
2． 设f(x)=∫0π(ecost—e—cost)dt，则( )
A．f(x)=f(x+2π)。
B．f(x)＞f(x+2π)。
C．f(x)＜f(x+2π)。
D．当x＞0时，f(x)＞f(x+2π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+2π)。
正确答案：A
解析：由题意f(x+2π)一f(x)=∫xx+2π(ecost一e—cost)dt，被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得f(x+2π)一f(x)=∫—ππ(ecost—e—cost)dt=2∫0π(ecost—e—cost)dt 2∫0π(ecosu+e—cosu)du，因此f(x+2π)—f(x)=0。故选A。 知识模块：一元函数积分学
3． 设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )
A．∫0xtf(t)一f(一t)dt
B．∫0xtf(t)+f(一t)dt。
C．∫0xf(t2)dt。
D．∫0x[f(t)]2dt。
正确答案：B
解析：取f(x)=x，则相应的∫0xt[f(t)—f(—t)]dt=∫0x2t2dt=x3，∫0xf(t2)dt=∫0xt2dt=x3，∫0x[f(t)]2dt=∫0xt2dt=x3，均为奇函数，故选B。 知识模块：一元函数积分学
4． 曲线y=e—xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为( )
考研数学二(解答题)模拟试卷97(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷97 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 证明cosnχdχ＝0．
正确答案：先对积分∫01cosnχdχ建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法
2． 求极限
正确答案：由洛必达法则可知 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 求极限：．
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
4． 求曲线r=的斜渐近线．
正确答案：写为参数方程形式 涉及知识点：一元函数微分学
5． 设f(x)在x0处n阶可导，且f(n)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n＞2)，证明：当n为奇数时，(x0，f(x0))为拐点．
正确答案：n为奇数，令n=2k+1，构造极限当f(2k+1)(x0)＞0时，，但x→x0+时，f”(x)＞0；x→x0-时，f”(x)＜0，故(x0，f(x0))为拐点． 涉及知识点：一元函数微分学
6． ＝5，求
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
7． 设f(x)在[a，b]上连续，f(x)≥0且∫abf(x)dx=0，求证：在[a，b]上f(x)≡0．
正确答案：由定积分的性质0≤∫axf(t)dt≤∫abf(x)dx=0(∈[a，b])∫axf(t)dt=0(∈[a，b])[∫axf(t)dt]=f(x)=0(∈[a，b])． 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
8． 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
正确答案：令φ(x)=，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=
解析：由 知识模块：一元函数积分学
9． 设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且＝0，又f(2)＝2f(χ)dχ，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．
考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷17(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷17 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设ψ(x)在[a，b]上连续，且ψ(x)＞0，则函数y=φ(x)=∫ab|x一t|ψ(t)dt的图形 ( )
A．在(a，b)内为凸
B．在(a，b)内为凹
C．在(a，b)内有拐点
D．在(a，b)内有间断点
正确答案：B
解析：先将φ(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有 φ(x)=∫ax(x一t)ψ(t)dt+∫xb(t一x)ψ(t)dt=s∫axψ(t)dt一∫axtψ(t)dt+∫xbtψ(t)dt—x∫xbψ(t)dt． 因为ψ(t)在[a，b]上连续，所以φ(x)可导，因而答案不可能是(D)．为讨论其余三个选项，只需求出φ”(x)，讨论φ”(x)在(a，b)内的符号即可．因 φ’(x)=∫axψ(t)dt一∫xbψ(t)dt， φ”(x)=2ψ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=φ(x)的图形为凹．直选(B)． 知识模块：一元函数积分学
2． f(x)= F(x)=∫-1xf(t)dt，则 ( )
A．F(x)为f(x)的一个原函数
B．F(x)在(一∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函数
C．F(x)在(一∞，+∞)上不连续
D．F(x)在(一∞，+∞)上连续，但不是f(x)的原函数
正确答案：D
解析：请看通常的解法： 求积分并用连续性确定积分常数，可得 所以F’+(0)≠F’-(0)． 根据原函数定义，F(x)不是f(x)在(-∞，+∞)上的原函数． 请考生看看，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于f(x)有第一类间断点，所以F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D)． 知识模块：一元函数积分学
考研数学二(填空题)高频考点模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷100 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 求极限＝_______．
正确答案：1 涉及知识点：函数、极限、连续
2． 如果β=(1，2，t)T可以由α1=(2，1，1)T，α2=(一1，2，7)T，α3=(1，一1，一4)T线性表示，则t的值是__________。
正确答案：5
解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得，而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此t一5=0，即t=5。 知识模块：向量
3． 对充分大的一切x，给出以下5个函数：100x，log10x100，e10x，，则其中最大的是__________．
正确答案：
解析：当x充分大时，有重要关系：eax＞＞xβ＞＞lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填 知识模块：函数、极限、连续
4． 设A，B是3阶矩阵，满足AB=A一B，其中则｜A+E｜=_________。
正确答案：
解析：由题设，AB=A—B，则(A+E)(E—B)=E，因此 知识模块：矩阵
5． 设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则=______。
正确答案：1
解析：将x=0代入原方程可得y=0。方程x2一y+1=ey两端同时对x求导，有将x=0，y=0代入上式，可得式(*)再次对x求导得将x=0，y=0，代入上式，可得 知识模块：一元函数微分学
6． ＝________．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
7． ＝_______．
正确答案：1
解析： 知识模块：函数、极限、连续
8． ＝_______．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
9． 微分方程=y(xy—x+y—1)的通解为_______．
正确答案： 涉及知识点：常微分方程
考研数学二(填空题)模拟试卷31(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷31 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设a＞0，b＞0都是常数，则
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2．
正确答案：2
解析： 知识模块：函数、极限、连续
3． ＝________．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
4． 设y＝且f′(χ)＝arctanχ2，则＝_______．
正确答案：
解析：y＝f(u)，u＝，u｜χ＝0＝－1． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
5． ＝_______．
正确答案：e
解析： 知识模块：函数、极限、连续
6． 对数螺线r＝eθ在点(r，θ)＝处的切线的直角坐标方程为______．
正确答案：y＝－χ．
解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为 当θ＝时χ＝0，y＝．因此该切线方程为y＝－χ． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
7． f(x)=g(x)为奇函数且在x=0处可导，则f’(0)=__________。
正确答案：2g’(0)
解析：由g(x)在x=0处可导可知，g(x)在x=0处连续。又因为g(x)是奇函数，所以g(0)=0。根据导数的定义可得 知识模块：一元函数微分学
8． 已知xy=ex+y，则=____________.
正确答案：
解析：在方程两端分别对x求导，得其中y=y(x)是由方程xy=ex+y所确定的隐函数． 知识模块：一元函数微分学
9． 曲线上对应于t=1点处的法线方程为_________。
正确答案：y+x一=0
解析：当t=1时，，=1，由此可得法线的斜率为一1，因此可得法线方程为 知识模块：一元函数微分学
10． 设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx=_____.
正确答案：e-1-e
解析：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π-∫0πf’(x)sinxdx=-∫0πecosxsinxdx=e｜0π=e-1-e. 知识模块：高等数学