20100319 第三讲：求导积分与微分方程数值解(2次课)
微分方程与数值解法
微分方程与数值解法微分方程是描述自然界中各种变化和发展过程的数学工具。
它是数学与物理学、工程学、生物学等学科的重要交叉点。
微分方程的求解对于理解和预测自然现象、设计各种工程和探索新的科学知识都起到至关重要的作用。
然而，有些微分方程的解析解并不容易得到，这时候就需要数值解法来近似求解微分方程了。
1.微分方程的基本概念微分方程根据方程中出现的未知函数的阶数以及出现的导数的最高阶数可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程只依赖于一个独立变量，而偏微分方程则依赖于多个独立变量。
微分方程的一般形式可以表示为$$F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0$$其中$x$是独立变量，$y$是未知函数，$y',y'',\ldots,y^{(n)}$是$y$的各阶导数。
2.数值解法的基本思想数值解法的基本思想是将微分方程转化成一个差分方程或者积分方程，从而利用计算机进行近似求解。
数值解法的核心在于离散化，将求解的区间等分为若干个小区间，然后在每个小区间上构造差分或积分公式，通过计算得到近似解。
数值解法有许多种，其中常见的有欧拉方法、改进欧拉方法、龙格-库塔方法等。
3.欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它基于微分方程的基本定义，通过在初始点处取切线的斜率来估计下一个点的函数值。
具体步骤如下：(1) 给定初始条件$y(x_0) = y_0$。
(2) 在区间$[x_0, x_n]$上均匀选取若干个节点$x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n$，其中$x_n$为所求解的终点。
(3) 根据微分方程的基本定义，用$y'(x) \approx \frac{y(x_{i+1}) -y(x_i)}{h}$近似代替微分方程中的导数部分。
(4) 将近似的导数代入微分方程得到差分方程，进而求解$y_{i+1} = y_i + hf(x_i, y_i)$，其中$f(x_i, y_i)$是微分方程右端的函数表达式。
第三章_数值积分与数值微分
f(x)=1时，上式左端=
∫
b
a
1dx = b − a
上式右端=
b−a [1 + 1] = b − a 2
即f(x)=1时上面求积公式准确成立。 当f(x) = x 时，上式左端=
∫
b
a
1 2 xdx = (b − a 2 ) 2
1 1 (b − a )(b + a ) = (b 2 − a 2 ) 上式右端= 2 2
∫
x1
x1
x0
f ( x) dx ≈ ∫ f ( x0 )dx = f ( x0 )( x1 − x0 )
x0
x1
同样，用一次多项式近似 (x), 取积分而得到梯形公式： 一次多项式近似f 一次多项式近似
可以设想，用更精确的插值多项式 p(x)近似 f (x), 更精确的插值多项式 近似
f (x1) − f (x0) f (x0) + f (x1) ∫x0 f (x)dx≈ ∫x0 [ f (x0) + x1 −x0 (x− x0)]dx= 2 (x1 − x0)
3
当 a≠b 时，左端≠右端 因此，由定义知梯形求积公式代数精度为m=1。 同理可证：矩形求积公式也具有 0 次代数精度。 n b 一般的，欲使求积公式 ∫a f ( x ) dx = ∑ Ak f ( xk ) 具有 m 次代数精度。
k =0
f ( x ) = 1, x, x 2 , L x m 都能准确成立 只要令它对于
x1
然后以
∫
b
a
p ( x ) dx 的值作为积分
∫
b
a
f ( x ) dx 的近似值 ,
或许会提高近似积分的精确度，这就是我们建立求积 公式的基本 思路。这样得到的公式一般可以写成: N
数值积分与微分方程数值解法
数值积分与微分方程数值解法数值积分和微分方程数值解法是数值计算中的重要组成部分，在科学计算、工程分析和实际问题求解中起着不可或缺的作用。
本文将介绍数值积分的基本概念和常用方法，以及微分方程数值解法的应用和实现过程。
一、数值积分的基本概念和常用方法数值积分是求解定积分近似值的方法，通过将连续函数的积分转化为离散形式的求和，以达到近似计算的目的。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
（1）矩形法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取点，用函数在相应点处的取值近似代替该子区间内的函数值，最后将所有子区间的函数值相加得到近似积分值。
（2）梯形法：与矩形法类似，但是将每个子区间近似为一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算积分值。
（3）辛普森法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取三个点，根据这三个点构造出一个二次函数，并用该二次函数的积分来近似计算积分值。
二、微分方程数值解法的应用和实现过程微分方程数值解法是对微分方程进行近似求解的方法，通过离散化微分方程来构造数值格式，然后通过数值计算来求解。
常用的微分方程数值解法包括常微分方程的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法，以及偏微分方程的有限差分法、有限元法等。
（1）常微分方程数值解法：- 欧拉法：根据微分方程的定义，将微分项近似为差分项，通过迭代逼近真实解。
- 改进欧拉法：在欧拉法的基础上，通过利用两个点的斜率来逼近解的变化率，提高精度。
- 龙格-库塔法：通过多次迭代，根据不同的权重系数计算不同阶数的近似解，提高精度。
（2）偏微分方程数值解法：- 有限差分法：将偏微分方程中的一阶和二阶导数近似为差分项，通过离散化区域和时间来构造矩阵方程组，然后通过求解线性方程组来获得数值解。
- 有限元法：将区域进行剖分，将偏微分方程转化为变分问题，通过选取适当的试函数和加权残差法来逼近真实解。
总结：数值积分和微分方程数值解法是数值计算中重要的工具，能够帮助我们处理实际问题和解决科学工程中的复杂计算。
微分方程数值解使用数值方法求解微分方程
微分方程数值解使用数值方法求解微分方程微分方程是描述自然现象中变化的数学模型，它是数学和科学研究中的重要工具。
然而，许多微分方程并没有精确的解析解，因此需要使用数值方法来近似求解。
本文将介绍一些常用的数值方法来求解微分方程，包括欧拉方法、改进的欧拉方法和龙格-库塔方法。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单、最基础的数值方法之一。
它基于微分方程解的定义，通过离散化自变量和因变量来逼近解析解。
假设我们要求解的微分方程为dy/dx = f(x, y)，初始条件为y(x0) = y0。
将自变量x分割成若干个小区间，步长为h，得到x0, x1, x2, ..., xn。
根据微分方程的定义，我们可以得到递推公式 yn+1 = yn + h*f(xn, yn)。
用代码表示即为：```def euler_method(f, x0, y0, h, n):x = [x0]y = [y0]for i in range(n):xn = x[i]yn = y[i]fn = f(xn, yn)xn1 = xn + hyn1 = yn + h*fnx.append(xn1)y.append(yn1)return x, y```二、改进的欧拉方法欧拉方法存在着局部截断误差，即在每个小区间上的误差。
改进的欧拉方法是对欧拉方法的改进，可以减小截断误差。
它的递推公式为yn+1 = yn + h*(f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1))/2。
用代码表示即为：```def improved_euler_method(f, x0, y0, h, n):x = [x0]y = [y0]for i in range(n):xn = x[i]yn = y[i]fn = f(xn, yn)xn1 = xn + hyn1 = yn + h*(fn + f(xn1, yn + h*fn))/2x.append(xn1)y.append(yn1)return x, y```三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种更加精确的数值方法，它通过计算多个递推式的加权平均值来逼近解析解。
微分方程的数值解法
微分方程是数学中的一种重要的方程类型，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
解微分方程有各种方法，其中数值解法是一种重要而实用的方法。
微分方程的数值解法是通过数值计算来求解微分方程的近似解。
它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，并用计算机进行迭代计算，从而求得微分方程的数值解。
数值解法的关键在于如何将微分方程转化为差分方程。
常见的方法有欧拉方法、改进欧拉方法、龙格－库塔方法等。
这些方法都是基于泰勒级数展开的原理进行推导的。
以欧拉方法为例，其基本思路是将微分方程中的导数用差商的方式近似表示，然后通过迭代计算，逐步逼近微分方程的解。
欧拉方法的具体步骤如下：首先确定微分方程的初始条件，即给定t0时刻的函数值y0，然后选取一定的步长ℎ，利用微分方程的导数计算差商y′=dy，进而根据差商dt得到下一个时刻的函数值y n+1=y n+ℎy′。
通过不断迭代计算，即可得到微分方程在一定时间区间内的数值解。
数值解法的另一个重要问题是误差控制。
由于数值计算本身的误差以及近似方法的误差，数值解法所得到的结果通常与真实解存在误差。
为了控制误差，常用的方法有缩小步长ℎ、提高近似方法的阶数等。
此外，还可以通过与解析解进行比较，评估数值解的准确性。
微分方程的数值解法具有以下几点优势。
首先，微分方程的解析解通常较难求得，而数值解法可以给出一个近似解，提供了一种有效的解决方案。
其次，数值解法可以利用计算机的高速运算能力，进行大规模复杂微分方程的求解。
此外，数值解法还可以在实际问题中进行仿真和优化，即通过调整参数来求解微分方程，从而得到最优解。
尽管微分方程的数值解法具有广泛的应用前景，但也存在一些问题和挑战。
首先，数值解法的稳定性和收敛性需要深入研究和分析。
其次，数值解法的计算量通常较大，对计算机运算能力和存储空间的要求较高。
此外，数值解法还需要对问题进行适当的离散化处理，从而可能引入一定的误差。
综上所述，“微分方程的数值解法”是一种重要而实用的方法，可以有效地求解微分方程的近似解。
求微分方程数值解
求微分方程数值解
微分方程数值解是一种数学方法，用于解决一些复杂的微分方程，特别是那些无法通过解析方法求解的微分方程。
通过数值解法，我们可以得到微分方程的近似解，并且可以在计算机上进行实现，以便更好地理解和分析问题。
我们需要将微分方程转化为差分方程，这样就可以利用数值方法进行求解。
差分方程是一种以离散形式表示微分方程的方法，通过近似替代微分表达式，将连续问题转化为离散问题，从而实现计算机求解。
常见的数值方法包括欧拉方法、龙格-库塔方法等，它们通过不断迭代求解差分方程，逼近微分方程的解。
在应用数值解法求解微分方程时，需要注意选择合适的步长和迭代次数，以确保数值解的准确性和稳定性。
步长过大会导致数值误差增大，步长过小则会增加计算量，影响计算效率。
因此，需要在准确性和效率之间寻找平衡点，选择合适的参数进行计算。
在使用数值解法时，还需要考虑边界条件和初值条件的设定。
这些条件对于微分方程的求解至关重要，不同的条件设定可能会导致不同的数值解，甚至无法得到有效的解。
因此，在进行数值计算之前，需要对问题进行充分的分析和理解，确定合适的条件，以确保数值解的准确性和可靠性。
总的来说，微分方程数值解是一种强大的工具，可以帮助我们解决
复杂的微分方程，探索未知的领域。
通过合理的数值方法和参数选择，我们可以得到准确的数值解，从而更好地理解和应用微分方程的理论。
希望通过不断的探索和实践，我们可以更深入地理解微分方程数值解的原理和方法，为科学研究和工程实践提供更多有益的帮助。
微分方程的解析与数值解法
微分方程的解析与数值解法微分方程既是数学分析的重要分支，也是许多学科领域的基础。
在实际问题的求解中，我们常常需要寻找微分方程的解析解或者数值解。
本文将围绕微分方程的解析和数值解法展开讨论。
一、微分方程的解析解解析解指的是通过代数计算得到的方程的解。
对于某些简单的微分方程，我们可以通过分离变量、变量代换等方法得到解析解。
下面以一阶线性常微分方程为例，讨论解的求解过程。
考虑一阶线性常微分方程形式如下：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$其中，$P(x)$和$Q(x)$为已知函数。
我们可以通过以下步骤求解该微分方程：1. 将方程改写为标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y - Q(x) = 0$2. 求解齐次线性微分方程：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0$。
记其解为$y_h$，即$y_h = Ce^{-\int P(x)dx}$，其中$C$为常数。
3. 利用常数变易法，假设原方程的解为$y = u(x)y_h$，其中$u(x)$为待定函数。
4. 将$y = u(x)y_h$代入原方程，得到关于$u(x)$的方程。
5. 求解$u(x)$的方程，得到$u(x)$的表达式。
6. 将$u(x)$代入$y = u(x)y_h$，得到原方程的解析解。
上述过程就是一阶线性常微分方程求解的一般步骤。
对于其他类型的微分方程，也有相应的解析解求解方法。
但并非所有微分方程都存在解析解。
二、微分方程的数值解法对于一些复杂的微分方程，无法找到解析解，此时我们需要借助数值方法求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是一种较为简单的数值解法，其基本思想是通过离散化微分方程，将微分方程转化为差分方程。
具体步骤如下：将求解区间$[a, b]$等分成$n$个小段，步长为$h = \frac{b-a}{n}$。
利用微分方程的导数定义，将微分方程转化为差分方程，即$y_{i+1} = y_i + h \cdot f(x_i, y_i)$，其中$f(x, y)$为微分方程右端的函数。
微分方程数值求解方法
4. 二阶微分方程的数值求解
对于二阶微分方程
2 x 2 n x n x F cos t
引入变量u1、u2分别表示位移和速度，则可以化成2个一阶微分方程组
u 1 u2
2 u u1 2 F cos t 2 nu2 n
上述方程可以看成以t为参数，在(u1,u2)平面上曲线的切线矢量(斜率)，就 能直接应用欧拉法或龙格库塔方法。
振动微分方程的数值方法 李 鹤 hli@
1. 数值求解微分方程的基本思想
每一个微分方程对应一条曲线。 微分方程的数值求解，实际上是计算一条未知曲线 的形状：它具有给定的起点并且满足一个给定的微 分方程。 “微分方程”可以看作能够通过曲线上任 意点的位置而计算出这一点的切线斜率的公式。 求解思路是，一开始只知道曲线的起点（假设为 A0），曲线其他部份是未知的，通过微分方程， A0 的斜率可以被计算出来，也就得到了切线。 顺着切线向前走一小步到点。如果我们假设是曲线 上的一点（实际上通常不是），那么同样的道理就 可以确定下一条切线，依此类推。在经过几步之后， 一条折线就被计算出来了。大部分的情况下，这条 折线与原先的未知曲线偏离不远，并且任意小的误 差都可以通过减少步长来得到。
在t1时刻，曲线上点 y t1 可以切线上的点代替，则
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程 数 值 解
第 三 讲
求极限,求导数与求积分...
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程 数 值 解
第 三 讲
极限,导数, 极限,导数,积分是我们在高等数学学习中接触 过的最基本也是最重要的概念. 最基本也是最重要的概念 过的最基本也是最重要的概念.一方面它们是很多 数学工具的基础(比如微分方程); );另一方面它们又 数学工具的基础(比如微分方程);另一方面它们又 是工程计算和科学研究直接面对的问题. 是工程计算和科学研究直接面对的问题. 微分(导数)运算比较简单, 微分(导数)运算比较简单,任何一个由基本初 等函数经过四则及复合运算构成的函数, 等函数经过四则及复合运算构成的函数,都可以用 导数公式和求导法则算出它们的导数. 导数公式和求导法则算出它们的导数. 积分运算则相对复杂得多,仍有许多函数" 积分运算则相对复杂得多,仍有许多函数"积 不出来" 不出来",由于它们的原函数无法由基本初等函数 经过四则及复合运算构成,计算这类定积分问题我 经过四则及复合运算构成,计算这类定积分问题我 定积分问题 们也只能采用数值方法 数值方法. 们也只能采用数值方法. 我们得以快速解决这些问题! 借助 MATLAB 我们得以快速解决这些问题!
syms a b x; y=(a*x+tan(3*x))^(1/2)+sin(x)*cos(b*x); d1y=diff(y), disp('***'), pretty(d1y), disp('***') d2y=diff(y,2), disp('***') , pretty(d2y),
求导数运算的调用格式[1] 不定积分 方法说明: 方法说明: int(f)对默认变量积分;int(f,v)对指定变量积分 对默认变量积分; 对默认变量积分 对指定变量积分 应用示例: 应用示例: 1 sin 2 x cos 2 xdx 例10 计算 ∫
syms x; y=1/(sin(x)^2*cos(x)^2); pretty(int(y))
求导数运算的调用格式
[3] 参数方程求导 方法说明: 方法说明: 对参数方程x=x(t);y=y(t);先求出 先求出dy/dt和dx/dt 对参数方程 先求出 和 然后代入公式dy/dx= dy/dt / dx/dt 即可 然后代入公式 应用示例: 应用示例: x = t (1 s i n t ) 例6 求参数方程 y = t c o s t
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程 数 值 解
第 三 讲
z = x 3 y 2 + sin( xy ), 求 3 z x 3 例8 对
syms x y; z=x^3*y^2+sin(x*y);diff(z,x,3)
求导数运算的应用示例
ax bx 为例验证罗必塔法则: 例9 以 lim 为例验证罗必塔法则: x→ 0 x
程 数 值 解 第 三 讲 syms a b x f=a^x-b^x; g=x; l1=limit(f/g,x,0) df=diff(f,x); dg=diff(g,x); l2=limit(df/dg,x,0) if l1==l2 disp('罗必塔法则得到验证!') 罗必塔法则得到验证 罗必塔法则得到验证! end
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程 数 值 解
第 三 讲
1 ( a 2 x 2 ) dx 例11 计算 ∫
syms a x; y=1/(a^2-x^2); pretty(int(y,x))
xexydxdy 例12 计算二重不定积分 ∫∫
syms x y; F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)
求定积分运算的调用格式
lim f ( x ) x→ 0 lim f ( x ) x→ a lim f ( x ) x→ ∞
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程 数 值 解
第 三 讲
注意: 注意: 默认x趋于 ; 默认 趋于0; 趋于 在左, 在左,右极限 不相等, 不相等,或有 一个不存在时, 一个不存在时, 默认为求右极 限;
lim f ( x ) x→ a+
例2 求极限
l i m (1 + 1 n ) n n→ ∞
syms n; y=(1+1/n)^n; limit(y,n,inf)
例3 求极限
lim [5 x + ln ( s in x + e s in x )] x→ 3
syms x; y=5*x+log(sin(x)+exp(sin(x))); limit(y,x,3,'left')
lim f ( x ) x→ a
求极限运算的应用示例
应用示例(熟悉应用类型): 应用示例(熟悉应用类型): 例1 求极限 l i m (1 + t a n x 1 + s i n
x→ 0 x 1 x3 )
4
程 数 值 解
第 三 讲 syms x; y=((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/x^3); limit(y)
第三讲 极限,导数,积分(补充)
内容:本讲针对高等数学一元微积分学补充极限, 内容:本讲针对高等数学一元微积分学补充极限, 导数,积分相关运算;介绍Funtool符号计算器; 符号计算器; 导数,积分相关运算;介绍 符号计算器 目的: 积分相关函数的指令实现, 目的:学习极限 / 导数 / 积分相关函数的指令实现, 为学习微分方程数值解作准备; 为学习微分方程数值解作准备; 要求:能够解决高等数学中的一类极限/导数 导数/积分 要求:能够解决高等数学中的一类极限 导数 积分 求解问题;了解并会使用Funtool符号计算器 符号计算器; 求解问题;了解并会使用Funtool符号计算器; 掌握极限(左 右极限 掌握极限 左,右极限) 函数 limit 掌握导数(1阶导 高阶导,偏导) 阶导, 掌握导数 阶导,高阶导,偏导 函数 diff 掌握积分(不定积分 定积分,数值积分) 不定积分, 掌握积分 不定积分,定积分,数值积分 函数 int trapz quad quadl quad8
第 三 讲
∫
a
b
f ( x ) dx
例14 对变上限函数
∫
0
(1 t 2 ) dt 求导
1 2
syms t x;f= sqrt(1-t^2);pretty(diff(int(f,t,0,x^2)))
求定积分运算的调用格式
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程 数 值 解
第 三 讲
[3] 定积分 数值解法 定积分-数值解法 方法说明: 方法说明: 当定积分-符号解法失效时 必须用定积分-数值解 符号解法失效时, 当定积分 符号解法失效时,必须用定积分 数值解 法来近似计算定积分的值.矩形公式sum,复合梯 法来近似计算定积分的值.矩形公式 , 形公式trapz,复合辛普森公式 形公式 ,复合辛普森公式quad/quad8的区别 的区别 在于替代等距曲边梯形的方式不同: 在于替代等距曲边梯形的方式不同:
dx=0.1; x=0:dx:10; y=-x.^2+115; sum(y(1:length(x)-1))*dx
10
(
的近似值) ( x 2 + 115) dx 的近似值 ∫
0
求定积分运算的调用格式
trapz(x,y)
程 数 值 解 第 三 讲
14
用复合梯形公式计算定积分, 为积分变量分点向 用复合梯形公式计算定积分,x为积分变量分点向 量,y为被积函数分点函数值向量 为被积函数分点函数值向量 quad('fun',a,b,tol,trace) 用复合辛普森公式计算定积分, 为被积函数表 用复合辛普森公式计算定积分,fun为被积函数表 达式字符串或m函数文件名 函数文件名, , 是积分下上限 是积分下上限, 达式字符串或 函数文件名,a,b是积分下上限, tol表示精度 缺省 表示精度(缺省 图示积分过程(默 表示精度 缺省0.001),trace=1图示积分过程 默 , 图示积分过程 不显示) 认=0不显示 不显示 %quadl采用 采用Lobatto算法,精度和速度要优于 算法, 采用 算法 精度和速度要优于quad %quad8采用 阶NewtonCotes算法,精度优于 采用8阶 算法, 采用 算法 精度优于quad
x=0:.1:8; y=cos(x).*log(3+x.^2+exp(x.^2)); p=polyfit(x,y,5), y2=polyval(p,x); plot(x,y,'b',x,y2,'r'); legend('y','y2',2); %产生数据点,拟合成5阶多项式函数,并作图比较 p1=polyder(p); p2=polyder(p1); ans1=polyval(p2,2), %利用多项式函数专用求导函数polyder求导,并代值 y2=poly2sym(p,'x'), y2d2=diff(y2,2), ans2=subs(y2d2,2), %利用通用求导函数diff求导,并代值
6
程 数 值 解
第 三 讲
[2] 多项式拟合求导(表达式未知或不易求导) 多项式拟合求导(表达式未知或不易求导) 方法说明: 方法说明: 先利用polyfit将函数拟合成多项式函数,然后利用 将函数拟合成多项式函数, 先利用 将函数拟合成多项式函数 多项式函数求导命令polyder求导或 求导或diff求导 多项式函数求导命令 求导或 求导 应用示例: 应用示例: 例5 用5阶多项式拟合函数 cos( x ) ln(3 + x 2 + e 2 x ) 阶多项式拟合函数 并求x=2处的二阶导函数值 并求 处的二阶导函数值
求定积分运算的应用示例
应用示例: 应用示例:
程 数 值 解 第 三 讲