13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质
函数列与函数项级数一致收敛性解析
第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。
3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。
(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。
使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt
又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |
? lim
x x0
n1
un ( x)
n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)
lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数的一致收敛性是数学分析中的重要概念，对于研究函数项级数的性质和应用具有重要意义。
本文将从一致收敛性的定义开始，介绍一致收敛性的判别定理和具体的应用，希望读者通过本文的了解和学习，能够更好地理解和应用函数项级数的一致收敛性。
一、一致收敛性的定义在介绍一致收敛性的判别定理和应用之前，我们首先来了解一下一致收敛性的定义。
对于一般的数项级数来说，我们只需要关注级数的部分和序列是否收敛即可。
但对于函数项级数来说，因为级数的每一项都是函数，所以我们不仅需要考察级数的部分和序列的收敛性，还需要考察函数序列在定义域上的收敛性。
设对于定义在区间上的函数序列，对于给定的，如果对于任意，都存在一个自然数，使得当时，有∣∣fn(x)−f(x)∣∣<ε那么我们称函数序列在区间上一致收敛于函数，并记作。
换句话说，对于一致收敛的函数序列而言，不仅级数的部分和序列收敛于函数，且对于每一个自然数，其函数项序列在整个区间上都趋向于函数。
二、一致收敛性的判别定理对于函数项级数的一致收敛性，我们有一些判别定理可以帮助我们进行判断。
这里我们简要介绍几个重要的判别定理：1. 魏尔斯特拉斯判别定理（Weierstrass判别定理）魏尔斯特拉斯判别定理是判别函数项级数一致收敛性的重要定理之一。
该定理表述如下：若对于区间上的函数序列，存在一个数项级数使得对于任意和有∣∣fn(x)−an∣∣<bn，则级数在区间上一致收敛。
通过以上判别定理的介绍，我们可以看到，判别函数项级数一致收敛性的方法有多种多样，我们可以根据具体的情况选择不同的方法来进行判断，更好地理解和应用函数项级数的一致收敛性。
三、一致收敛性的应用函数项级数的一致收敛性不仅在理论上具有重要意义，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些函数项级数一致收敛性在实际问题中的应用。
1. 函数项级数的积分和微分操作在实际问题中，我们经常会遇到需要对函数项级数进行积分和微分操作的情况。
§13..2一致收敛性质
例1 设函数
1 2 n x , 0 x , n 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
y
n 1, 2, .
(其图象如图13－6所示). 显然 { f n ( x )}是 [0, 1] 上的 连续函数列, 且对任意
O
1 2n
1 n
1
x
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致 收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
2015年11月23日星期一
13
fn ( x)
f ( x ) 当且仅当 lim n 0.
n
1
0
f n ( x )dx
n
2n
,
0
1
f n ( x )dx f ( x )dx 0 当且仅当 l i m n 0. 0 n
如
I
f(x).
f n ( x ) x n , x ( 1,1],
0, x 1, 其极限函数：f ( x ) 1, x 1.
所以 在x=1不连续，
fn ( x)
I
f(x).
7
2015年11月23日星期一
定理13.9
若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
即极限号与求导符号可交换。 注：在本定理条件下，可推出
fn ( x)
f ( x)
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证
设f n ( x0 ) A,
数学分析13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质
第十三章 函数列与函数项级数 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质定理13.8：设函数列{f n }在(x,x 0)∪(x 0,b)上一致收敛于f(x)，且对每个n ，x n lim →f n (x)=a n ，则∞→n lim a n 和0x n lim →f(x)均存在且相等.证：∀ε>0，∵{f n }一致收敛于f(x)，∴∃N>0，当n>N 和任意自然数p ， 对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)有，|f n (x)-f n+p (x)|< ε，∴|a n -a n+p |=0x n lim →|f n (x)-f n+p (x)|≤ε，∴{a n }是收敛数列. 设∞→n lim a n =A ，则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)同时有， |f n (x)-f(x)|<3ε和|a n -A|<3ε. 特别取n=N+1，有|f N+1(x)-f(x)|<3ε和|a N+1-A|<3ε. 又0xn lim →f N+1(x)=a N+1，∴∃δ>0， 当0<|x-x 0|<δ时，|f N+1(x)-a N+1|<3ε，从而当x 满足0<|x-x 0|<δ时，有 |f(x)-A|≤|f N+1(x)-f(x)|+|f N+1(x)-a N+1|+|a N+1-A|<3ε+3ε+3ε=ε， 即0xn lim →f(x)=A ，得证！注：定理13.8指出：∞→→n x n lim lim 0f n (x)=0xn n lim lim →∞→f n (x).定理13.9：(连续性)若函数列{f n }在区间I 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f 在I 上也连续.证：设x 0为I 上任一点，∵0xn lim →f n (x)=f n (x 0)，由定理13.8知， 0x n lim →f(x)存在，且0x n lim →f(x)=∞→n lim f n (x 0)=f(x 0)，∴f(x)在I 上连续.注：定理13.9指出：各项为连续函数的函数列在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列在区间I 上不一致收敛. 如： 函数列{x n }各项在(-1,1]上都连续，但其极限函数f(x)=⎩⎨⎧=< 1x 11|x |0，，在x=1时不连续，所以{x n }在(-1,1]上不一致收敛.推论：若连续函数列{f n }在区间I 上内闭一致收敛于f ，则f 在I 上连续.定理13.10：(可积性)若函数列{f n }在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则⎰∞→b an lim f n (x)dx=⎰∞→ban n (x )f lim dx.证：设f 是{f n }在[a,b]上的极限函数. 由定理13.9，f 在[a,b]上连续， ∴f n (n=1,2,…)与f 在[a,b]上都可积. ∵在[a,b]上f n (x)⇉f(x) (n →∞), ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]都有|f n (x)-f(x)|<ε. 根据定积分的性质，当n>N 时，有⎰⎰-baban f(x)dx (x)dx f =f(x))dx (x)(f ban -⎰≤dx f(x )(x )f ban ⎰-≤ε(b-a).∴⎰∞→ban n(x )f lim dx=⎰ba f(x )dx =⎰∞→ba n lim f n (x)dx. 得证！例1：举例说明当{f n (x)}收敛于f(x)时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件.解：如f n (x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<≤<≤ 1x n 10，n 1x n 21x ，2na -a 2n21x 0 ，x 2na n n n , n=1,2,…. 其图像如图：{f n (x)}是[0,1]上的连续函数列，且∀x ∈[0,1]，∞→n lim f n (x)=0=f(x). 又Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|=a n ，∴{f n (x)}在[0,1]上一致收敛于0的充要条件是：∞→n lim a n =0.∵⎰10n (x )f dx=2na n，∴⎰10n (x )f dx →⎰10f(x )dx=0的充要条件是：2n a lim n n∞→=0. 当a n ≡1时，{f n (x)}在[0,1]上不一致收敛于f(x)，但定理13.10仍成立. 而当a n =n 时，{f n (x)}不一致收敛于f(x)， 且⎰10n (x )f dx ≡21不一致收敛于⎰10f(x )dx=0.定理13.11：(可微性)设{f n }为定义在[a,b]上的函数列，若x 0∈[a,b]为{f n }的收敛点，{f n }的每一项在[a,b]上有连续的导数，且{f ’n }在[a,b]上一致收敛，则())x (f lim dx d n n ∞→=⎪⎭⎫⎝⎛∞→)x (f dx d limn n . 证：设)x (f lim 0n n ∞→=A ，f ’n ⇉g (n →∞), x ∈[a,b]，则对任一x ∈[a,b]，总有f n (x)=f n (x 0)+⎰'x x n 0(t)f dt. 两边对n →∞取极限得：)x (f lim n n ∞→=A+⎰xx 0g(t)dt ，又)x (f lim n n ∞→=f(x)，∴f(x)=A+⎰xx 0g(t)dt. 两边微分得证！推论：设函数列{f n }定义在区间I 上的，若x 0∈I 为{f n }的收敛点，且{f ’n }在I 上内闭一致收敛，则f 在I 上可导，且f ’(x)=())x (f lim n n '∞→.例2：举例一致收敛性是极限运算与求导运算交换的充分条件，但不是必要条件. 解：如函数列f n (x)=2n 1 ln(1+n 2x 2)及f ’n (x)=22x n 1nx+, n=1,2,… 在[0,1]上都收敛于0，即∞→n lim f n (x)=∞→n lim f ’n (x)=0，∴在[0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.又由][0,1x ∞n max lim ∈+→|f ’n (x)-f ’(x)|=nx 2nx lim∞n +→=21, 知 导函数列{f ’n (x)}在[0,1]上不一致收敛. 但对任意δ>0，有,1][δx sup ∈|f ’n (x)-f ’(x)|=22,1] [δx x n 1nx sup+∈≤22δn 1n+→0 (n →∞), ∴{f ’n }在(0,1]上内闭一致收敛. ∴在(0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.定理13.12：(连续性)若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续. 即有：∑⎪⎭⎫ ⎝⎛→(x)u lim nx n 0=()∑→(x)u lim n x n 0. 证：设x 0为[a,b]上任意一点，∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛于S(x). 则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]，有|S(x)-S n (x)|<3ε, |S n (x 0)-S(x 0)|<3ε, 又u n (x)在[a,b] 上连续(n=1,2,……)， ∴对取定的n>N ，S n (x)在[a,b]上连续，∴对上述的ε，∃δ>0， 当x ∈[a,b]，且|x-x 0|<δ时，|S n (x)-S n (x 0)|<3ε ，∴当x ∈[a,b]时，|S(x)-S(x 0)|=|S(x)-S n (x)+S n (x)-S n (x 0)+S n (x 0)-S(x 0)| ≤|S(x)-S n (x)|+|S n (x)-S n (x 0)|+|S n (x 0)-S(x 0)|<ε. 即S(x)在x 0连续， 从而在[a,b]上连续. 得证！定理13.13：(逐项求积) 若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰ba n (x )u dx =⎰∑ba n (x )u dx.定理13.14：(逐项求导) 若函数项级数∑(x)u n 在每一项都有连续的导函数，x 0∈[a,b]为∑(x)u n 的收敛点，且∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛，则∑⎪⎭⎫ ⎝⎛(x )u dx d n =()∑(x)u dxdn . 证：设∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛于S *(x)，∵u ’n (x)在[a,b]上连续， 由定理13.12知，S *(x)在[a,b]上连续. 又由定理13.13知，∀x ∈[a,b]， 有⎰xa *(t)S dt=⎰∑'ba n (t)u dt=∑⎰'xa n (t)u dt =∑(x)u n -∑(a)u n =S(x)-S(a). 等式两端对x 求导得：S ’(x)=S *(x)=∑'(x)u n ，得证！例3：设u n (x)=3n1ln(1+n 2x 2), n=1,2,…. 证明：函数项级数∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 证：对每个n ，易见u n (x)在[0,1]上递增，且当t ≥1时，有ln(1+t 2)<t ， ∴u n (x)≤u n (1)=3n 1ln(1+n 2)<3n 1·n=2n1, n=1,2,… 又∑2n1收敛，∴∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛. 由每一个u n (x)在[0,1]上连续，知其和函数在[0,1]上的连续且可积.又u ’n (x)=)x n 1(n x2n 2232+=)x n 1(n 2x 22+≤)x n 1(n 2nx 222+≤2n 1, n=1,2,…知 ∑'(x)u n在[0,1]上一致收敛. ∴其和函数在[0,1]上可微.例4：证明：函数ζ(x)=∑∞=1n x n 1在(1,+∞)上有连续的各阶导函数. 证：记u n (x)=x n 1, u n (k)(x)=(ln n 1)k x n 1=(-1)k x knn ln , k=1,2,…. 对任意x ∈[a,b]⊂(1,+∞)，有|u n (k)(x)|=xkn nln≤a k nnln , k=1,2,….由∞→n lim 1)/2-(a k n n ln =0知，当n 充分大时，有1)/2-(a k n nln <1，从而 xk n n ln =1)/2-(a k 1)/2(a n n ln n 1⋅+<1)/2(a n 1+, 又∑+1)/2(a n 1收敛， ∴∑∞=1n (k )n (x )u 在[a,b]上一致收敛，从而∑∞=1n (k )n (x)u 在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴ζ(x)在(1,+∞)上有连续的各阶导函数，且ζ (k)(x)=(-1)k xkn nln, k=1,2,….习题1、讨论下列函数列在所定义的区间上：a. {f n }与{f ’n }的一致收敛性；b. {f n }是否有定理13.9~11的条件与结论.(1)f n (x)=nx n2x ++, x ∈[0,b]；(2)f n (x)=x-n x n , x ∈[0,1]；(3)f n (x)=nx 2-nx e, x ∈[0,1].解：(1)记∞n lim +→f n (x)=nx n2x lim∞n +++→=1=f(x)； b][0,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=nx xsupb][0,x +∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,b]上一致收敛性；记∞n lim +→f ’n (x)=2∞n n)(x nlim++→=g(x)； b][0,x sup ∈|f ’n (x)-g(x)|=2b][0,x n)(x nsup+∈→0 (n →∞)，∴{f ’n }在[0,b]上一致收敛性. 又∵f n (x)=nx n2x ++和f ’n (x)=2n)(x n +, n=1,2,… 在[0,b]上都连续， ∴{f n }有定理13.9~11的条件与结论.(2)记∞n lim +→f n (x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n x -x lim n ∞n =x=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=n x sup n[0,1]x ∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=∞n lim +→(1-x n-1)=⎩⎨⎧<≤=1x 01，1 x 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续， ∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性.又f n (x)=x-nx n, n=1,2,… 在[0,1]上都连续，∴{f n }有定理13.9~10的条件与结论，但不具有13.11的条件. 又f ’(x)=x ’=1≠∞n lim +→f ’n (x)，∴{f n }也不具有13.11的条件.(3)记∞n lim +→f n (x)=2-nx ∞n nx e lim +→=0=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=2-nx [0,1]x nxe sup ∈=n ·2)1/2n n(e n21-=1/2e 2n →∞ (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上不一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=2-nx ∞n ne lim +→(1-2nx 2)=⎩⎨⎧=∞+≤<0x ，1x 0 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续，∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性. 从而{f n }不具有定理13.9~11的条件. ∵f(x)=0在[0,1]上连续，∴{f n }有定理13.9的结论.∵⎰+→10nx -∞n 2nx e lim dx=⎰+→10nx -∞n 2e 21lim d(nx 2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→n ∞n e 2121lim =21≠⎰+→10n ∞n )x (f lim dx=0. 又{f ’n (x)}在x=0不收敛；∴{f n }不具有定理13.10~11的结论.2、证明：若函数列{f n }在[a,b]上满足定理13.11的条件，则{f n }在[a,b]上一致收敛.证：设f ’n (x)⇉g(x) (n →∞), x ∈[a,b]，则∀ε>0，∃N 1>0，当n>N 1时， 对一切t ∈[a,b]，有|f ’n (t)-g(t)|<)a b (2ε-； 又f n (x)点x 0收敛，∴对上述的ε>0，∃N 2>0，当n>N 2时，有|f n (x 0)-f(x 0)|<2ε. ∵对任意x,x 0∈[a,b]有f n (x)=f n (x 0)+⎰'xx n 0(t)f dt ，∴f(x)=∞→n lim f n (x)=f(x 0)+⎰xx 0g(t)dt. 取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时，有∴|f n (x)-f(x)|=|f n (x 0)-f(x 0)+[]⎰'xx ng(t)-(t)f dt | ≤|f n (x 0)-f(x 0)|+|⎰'xx ng(t)-(t)f dt |<ε. 得证.3、设S(x)=∑∞=1n 21-n nx , x ∈[-1,1]，计算积分⎰x 0S(t)dt .解：∵21-n n x ≤2n 1, x ∈[-1,1]，由M 判别法知∑∞=1n 21-n n x 在[-1,1]上一致收敛.又21-n n x (n=1,2,…)在[-1,1]上连续，∴⎰x 0S(t)dt =∑⎰∞=1n x 021-n dt n t =∑∞=1n 3nnx .4、S(x)=∑∞=1n nn cosnx , x ∈R ，计算积分⎰x0S(t)dt .解：∵nn cosnx ≤nn 1, x ∈R ，由M 判别法知∑∞=1n nn cosnx 在R 上一致收敛.又nn cosnx (n=1,2,…)在R 上连续，∴⎰x0S(t)dt =∑⎰∞=1n xdt nn cosnt =∑∞=1n 2nnsinnx .5、S(x)=∑∞=1n nx -ne , x>0，计算积分⎰ln3ln2S(t)dt .解：由(ne -nx )’=-n 2e -nx <0，知ne -nx 单调减，∴对任何x ∈[ln2,ln3]，有 ne -nx ≤ne-nln2=n 2n . 又由n n 2n =2n n→21<1 (n →∞)，知∑n 2n收敛.∴∑∞=1n nx -ne 在[ln2,ln3]上一致收敛. 又ne -nx (n=1,2,…)在[ln2,ln3]上连续，∴⎰ln3ln2S(t)dt =∑⎰∞=1n ln3ln2nt-dt ne =∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-1n n n3121=21.6、证明：函数f(x)=∑3n nxsin 在R 上连续，且有连续的导函数. 证：∵3n nx sin ≤3n 1, x ∈R ，由M 判别法知∑3nnxsin 在R 上一致收敛. 又3nnxsin (n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上连续. ∵|(3n nx sin )’|=|2n cosnx |≤2n 1，由M 判别法知∑2n cosnx在R 上一致收敛.又2ncosnx(n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上有连续的导函数.7、证明：定义在[0,2π]上的函数项级数∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π0n n dt cosnx r =2π. 证： ∵|r n cosnx|≤r n (0<r<1), x ∈[0,2π]，又∑ r n (0<r<1)收敛， 由M 判别法知∑∞=0n n cosnx r 在[0,2π]上一致收敛.又r ncosnx 在[0,2π]上连续，∴∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=2π0n n dx cosnx r =∑⎰∞=0n 2π0ncosnx dx r . 又⎰2π0dx =2π，⎰2π0cosnx dx =0(n=1,2…)∴⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π00n n dt cosnx r =2π.8、讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性：(1)f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…, x ∈[-L,L]； (2)f n (x)=1nx nx+, n=1,2,…, I. x ∈[0,+∞)；II. x ∈[a,+∞) (a>0). 解：(1)∵∞n lim +→f n (x)=0=f(x), x ∈[-L,L]，且L][-L,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=L][-L,x sup ∈| x 2-nx e |≤2ne1→0 (n →∞)，∴{f n (x)}在[-L,L]上一致收敛于0，且其极限函数f(x)=0在[-L,L]上连续可积可微. 又f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…在[-L,L]上连续，∴()⎰+→LL -n ∞n dx (x )f lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+→LL -n ∞n (x)dx f lim . ∵f ’n (x)=2-nx e(1-2nx 2), 且(x)f lim n ∞n '+→=⎩⎨⎧=≠≤≤ 0x 10x L x L -0，，且， ∴[(x)f lim n ∞n +→]’≠(x)f lim n ∞n '+→.(2)∵f(x)=∞n lim +→f n (x)=1=⎩⎨⎧+∞<≤<=x a 010x 0，，,且)[a,x sup +∞∈|f n (x)-f(x)|=1nx 1-sup)[a,x ++∞∈=1na 1+→0 (n →∞)， ∴{f n (x)}在[a,+∞) (a>0)上一致收敛于1，在[0,+∞)上内闭一致收敛. ∴其极限函数不在[0,+∞)上连续可积可微；但在[a,+∞) (a>0)上其极限函数f(x)=1连续可微，但不可积.9、证明：函数S(x)=∑xn 1在(1,+∞)上连续，且有连续的各阶导数. 证：∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，则0<x n 1≤p n1，由M 判别法，知 ∑x n 1在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. 又x n 1在(1,+∞)上连续，∴S(x)在(1,+∞)上连续. 又)k (x n 1⎪⎭⎫ ⎝⎛=x k kn n ln )1(-, k=1,2,…在(1,+∞)上连续. ∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，使x k kn n ln )1(-≤p k n n ln . 固定k ，取q>p>1， 由p k n n ln /q n 1=q -p k n n ln →0 (n →∞)，及∑q n1收敛，知∑p k n n ln 收敛， ∴∑-x k kn n ln )1(在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴S (k)(x)=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛)k (x n 1=∑-x k kn n ln )1( 在(1,+∞)上连续. 得证！10、设f 在(-∞,+∞)上有任何阶导数，记F n =f (n), 且在任何有限区间内F n ⇉φ (n →∞)，试证：φ(x)=ce x (c 为常数). 证：由条件可知φ’(x)=[∞n lim +→f (n)(x)]’=∞n lim +→[f (n)(x)]’ =∞n lim +→f (n+1)(x)=φ(x). 即有φ(x )(x )φ'=1，两边取积分得：⎰'φ(x )(x )φdx =⎰dx +C ，即⎰φ(x )1d φ(x) =x+c 1， ∴ln φ(x)=x+c 1，即φ(x)=1c x e +=1c e e x =ce x (其中c=1c e 为常数).。
一致收敛函数列与函数项级数的性质
§2一致收敛函数列与函数项级数的性质有了一致收敛概念我们就可以回答本章开始时提出的问题。
连续性定理A 设在D 上nf −→−−→−)(x f ,且对∀n,函数)(x f n 在D 上连续 , ⇒)(x f 在D上连续.证 要证 : 对∈∀0x , )(x f 在点0x 连续 . 即证:对0>∀ε, 0>∃δ, 当 |δ<-|0x x 时, ⇒ ε<-|)()(|0x f x f . |)()(||)()(||)()(| |)()(|0000x f x f x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-≤-. 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数)(x f n 在点0x 连续, 第二项|)()(|0x f x f n n -也可以任意小 . ……推论 设在D 上)(x f n →)(x f . 若)(x f 在D 上间断 ，则函数列{)(x f n }在D 上一致收敛和所有)(x f n 在D 上连续不能同时成立.註 定理A 表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{)(x f n }, 有 )(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →∞→∞→→=.即极限次序可换 .由定理A 可推得定理13.9（连续性） 若函数项级数∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛，且每一项连续，则其和函数在],[b a 连续，即 ))((lim )(lim 11∑∑∞=→∞=→=n n x x n n x x x u x u 。
可积性定理B 若在区间] , [b a 上函数列{)(x f n }一致收敛 , 且每个)(x f n 在] , [b a 上连续. 则有 ()⎰⎰∞→∞→=baban n n n dx x f dx x f )(lim)(lim .证 设在] , [b a 上nf −→−−→−)(x f , 由Th1, 函数)(x f 在区间] , [b a 上连续,因此可积. 我们要证 ⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f )()(lim. 注意到⎰⎰⎰-≤-ban baban f f f f || ,可见只要ab x f x f n -<-ε|)()(|在] , [b a 上成立.定理的条件可减弱为: 用条件“)(x f n 在] , [b a 上( R )可积”代替条件“)(x f n 在] , [b a 上连续”. 证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P350.关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: 定理 设{)(x f n }是定义在区间] , [b a 上的函数列. 若{)(x f n }在] , [b a 上收敛且一致可积 , 则其极限函数)(x f 在] , [b a 上( R)可积 , 且有⎰⎰=∞→baban n f f lim .由定理B 可推得定理13.10（逐项求积性）若函数项级数∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛，且每一项连续，则可逐项求积，即 ⎰∑∑⎰∞=∞==ba n nn ban x udx x u 11)()(例 研究函数 )1ln(1)(2213x n nx S n +=∑∞= 的连续性，可积性和可微性。
一致收敛函数列函数项级数的性质定理
确界极限
lim sup |
n xD
fn (x)
f
(x) | 0
命题 设fn(x)C[a, b], 且 fn x 在(a, b)内一致收敛, 则 fn x 在[a, b]上一致收敛.
Weierst(x) | Mn, 且 M n 收敛 un (x) 一致收敛
lim
n
b a
fn
x dx
b a
lim
n
fn x
dx
b
f (x)dx
a
注 用到连续性定理: f C[a, b], 从而f R[a, b]！
推论 (逐项可积性) 设un(x)C[a, b], 且 un (x) n1
在[a, b]上一致收敛, 则
若 fn x D f x, 则D1 D: fn x D 1 f x 若 fn x D f x, 则 fn (x) D f (x), 反之不然.
f n(x)在D上不一致收敛的肯定叙述:
f (x), 0 0,N N, nN N, xN D : | fnN (xN ) f (xN ) | 0.
n1
n1
AD判别法(函数项级数)
二、不一致收敛判别法 结论
不点态收敛 不一致收敛 Cauchy不一致收敛准则
n N , p N, xn D : | fn p (xn ) fn (xn ) | 0
点列极限
xn D :| fn (xn ) f (xn ) | 0 (n )
| fn p (x) fn (x) | .
思考 un (x) 在D上一致收敛的Cauchy准则？ n 1
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因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以
对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有
| fn ( x ) － f ( x ) | < ε
b
于是当 n > N 时有
| f n ( x ) dx f ( x ) dx |
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim a n A ,
n
x x0
下面证明： lim f ( x ) A . 因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ， 因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时， 对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同时成立．特别取 n = N +1，有 | fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
n
( iii ) lim f n ( a ) 不存在，
n
则{ f n ( x )} 在 ( a , b )内不一致收敛
定理 13.9（连续性） 设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续， 则 f在 I 上也连续．
证 要证：对任何 x0 ∈I , lim f ( x ) f ( x 0 ) .
x x0
由定理 13.8， lim lim lim f ( x ) x x lim f n ( x ) lim x x f n ( x ) n n
x x0
0 0
lim f n ( x 0 ) f ( x 0 ) .
x x0
lim
u
n 1
n
( x)
?
?
lim u
n 1 x x0
n
( x)
注： 对函数序列 { S n ( x )}而言，应为
x x0 n
lim lim S n ( x )
lim lim S n ( x )
n x x0
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
定理13.11（可微性）设 x0∈[a , b] 为 { fn } 的收 敛点，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 [a , b] 上有连续的导数， { fn' }在 [a , b] 上一致收敛，则
d dx ( lim f n ( x )) lim
n n
d dx
fn ( x) .
x x0
f n ( t ) dt .
x x0
因为 fn'(x) 在 [a , b] 上连续，由定理13.10 ，得
lim f n ( x ) lim f n ( x 0 ) lim
n
n
n
f n ( t ) dt A g ( t ) dt .
x0 x
A lim f n ( t ) dt
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f n+p(x) | <ε 从而 即
x x0
lim | f n ( x ) f n p ( x ) | ,
| a n a n p | .
当0 x
1 时，只要 n
1
，就有 f n ( x ) 0 ， x
故在 (0,1] 上有 f ( x ) lim f n ( x ) 0 .于是函数列 n
在 [0,1] 上的极限函数 f ( x ) 0 ，又由于
x[0,1]
sup f n ( x ) f ( x ) n
注2：在导函数一致收敛的条件下，求导运算与极限 运算可以交换顺序； 注3：导函数一致收敛只是这两种运算换序的充分条 件， 而并非必要条件 例2 设函数列 f n ( x )
1 2n ln( 1 n 2 x 2 ) n 1,2,
f n ( x )
nx 1 n x
2 2
,
n 1,2,
3
3
3
,
x x0
所以
lim f ( x ) A .
利用两个极限交换定理可以得到下列判别法
设函数列{ f n ( x )} 在[ a , b )上有定义，并满足 ( i ) n , f n ( x ) 在点 a 右连续； ( ii ) x ( a , b ), lim f n ( x ) f ( x )；
a a b
b a
| f n ( x ) f ( x ) | dx
b a
dx ( b a ) . 证毕．
注1：该定理指出：在一致收敛的条件下， 极限运算与积分运算可以交换顺序
注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件， 而并非必要条件。如下面的
例 1.定义在 [0,1] )dx
注： 对函数序列 { S n ( x )}而言，应为
b
a n
lim S n ( x )dx
?
lim
b
n a
S n ( x )dx
一、一致收敛函数列的性质
定理 13.8 设函数列 { fn } 在 (a , x0 )∪(x0 , b) 上
一致收敛于 f ，且 lim f n ( x ) a n 则 即
x x0 x x0 n
n 1, 2 , ,
lim f ( x ) lim a n .
n x x0
x x0 n
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证
先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
13.2 一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质
一 一致收敛函数列的性质 二 函数项级数的性质
问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有限
个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数 及积分的和．对于无限个函数的和是否具有这些 性质呢？
函数项级数（或函数序列）的基本问题
1.极限运算与无限求和运算交换次序问题
n
但 f ( x ) 在 [ a , b ]上不 可积，或者 lim f n ( x )dx
n a b
b
a
f ( x )dx
则 { f n ( x )} 在 [ a , b ]上不 一致收敛 于 f ( x )
例设 f n ( x ) nxe
nx 2
, x [ 0,1]
x0 n
n
x
所以极限 lim f n ( x ) 存在，设 lim f n ( x ) f ( x ) . n
于是
f ( x ) A g ( t ) dt f ( x 0 ) g ( t ) dt .
x0 x0
x
x
由于 g 在 [a , b] 上连续，再由微积分基本定理，得
1 2 n n x , 0 x 2 n 1 1 f n ( x ) 2 n 2 n n x , x 2n n 1 0, n x 1
n 1, 2,
由于 f n (0) 0 ，故 f ( 0 ) lim f n ( 0 ) 0 . n
un x 在 U x 内一致收敛 n 1 n , lim un x a n x x0
lim
x x0
u x a
又
x x0
lim f N 1 ( x ) a N 1 ,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3 这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f ( x) A |
| f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
u dx
n 1
d
n
( x)
?
?
dx u
n 1
d
n
( x)
注： 对函数序列 { S n ( x )}而言，应为
d d dx
dx n
lim S n ( x )
lim
n
Sn ( x)
3.极限运算与无限求和运算交换次序问题
u
b a n 1
n
( x )dx
?
n 1
d dx f ( x) dx
n
d
x x0
g ( t ) dt g ( x ) fn ( x) .
d dx fn ( x) .
lim
d dx
即
d dx
( lim f n ( x )) lim
n n
证毕．
注1：在该定理的条件下可以证明
f n ( x ) 在区间 [a , b ] 上一致收敛；
n a
b
证 由定理 13.9， f 在[a , b] 上连续，从而 f 在 [a , b] 上可积．