第十三章函数列和函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论．重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法.第一节 一致收敛性我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一 函数列及其一致收敛性设 ,,,,21n f f f (1)是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.也可简记为： }{n f 或 n f , ,2,1=n .设E x ∈0,将0x 代入 ,,,,21n f f f 得到数列),(,),(),(00201x f x f x f n (2)若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点0x 收敛,0x 称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点0x 发散.若函数列}{n f 在数集E D ⊂上每一点都收敛,则称}{n f 在数集D 上收敛.这时对于D x ∈∀,都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了D 上的一个函数,称它为函数列}{n f 的极限函数.记作f .于是有 )()(lim x f x f n n =∞→, D x ∈,或 )()(x f x f n →)(∞→n ,D x ∈.函数列极限的N -ε定义是：对每一个固定的D x ∈,对0>∀ε,0>∃N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关）,使得当N n >时,总有 ε<-)()(x f x f n .使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合,称为函数列}{n f 的收敛域.例1 设n n x x f =)(, ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列,证明它的收敛域是]1,1(-,且有极限函数⎩⎨⎧=<=1,11,0)(x x x f (3)证明：因为定义域为),(∞-∞,所以根据数列收敛的定义可以将),(∞-∞分为四部分(i) 10<<x ,对于任给0>ε（不妨设1<ε）,当10<<x 时,由于nn x x f x f =-)()(,故只要取xx N ln ln ),(εε=,则当),(x N n ε>时,就有ε<-)()(x f x f n . (ii)0=x 和1=x 时,则对任何正整数n ,都有ε<=-0)0()0(f f n ,ε<=-0)1()1(f f n .(iii) 当1>x 时,则有)(∞→+∞→n x n,(iv) 当1-=x 时,对应的数列为 ,1,1,1,1--,它显然是发散的.这就证得{}n f 在]1,1(-上收敛,且有(3)式所表示的极限函数.所以函数列{}n x 在区间]1,1(-外都是发散的.例2 定义在),(+∞-∞上的函数列nnxx f n sin )(=, ,2,1=n 由于对任何实数x ,都有nn nx 1sin ≤, 故对任给的0>ε,只要ε1=>N n ,就有ε<-0sin n nx .所以函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin 的收敛域为无限区间),(+∞-∞,函数极限0)(=x f .定义1 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上,若对任给的正数ε,总存在某一正整数N ,使得当N n >时,对一切的D x ∈,都有ε<-)()(x f x f n则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ,记作：()()()n f x f x n →→→∞. 注：一致收敛一定收敛，反之不一定成立例 n n x x f =)(在()0,1上收敛但是不一致收敛，取10011,12nx n ε⎛⎫==- ⎪⎝⎭，但是在()0,b 上一致收敛.其中1b <定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列{}n f 在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε,总存在正数N ,使得当,n m N >时,对一切x D ∈,都有 ε<-)()(x f x f n . （4） 证明 [必要性] 设,D x ∈,即对任给0>ε,存在正数N ,使得当N n >时,对一切D x ∈,都有()()()n f x f x n →→→∞2)()(ε<-x f x f n . （5）于是当N m n >,,由（5）就有εεε=+<-+-≤-22)()()()()()(x f x f x f x f x f x f m n m n .[充分性] 若条件（4）成立,由数列收敛的柯西准则,{}n f 在D 上任一点都收敛,记其极限函数为)(x f ,D x ∈.现固定（4）式中的n ,让∞→m ,于是当N n >时,对一切D x ∈都有ε≤-)()(x f x f n .由定义1, ()()()n f x f x n →→→∞ ,D x ∈.定理13.2 函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是： 0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n . （6）证明 [必要性] 若()()()n f x f x n →→→∞,D x ∈.则对任给的正数ε,存在不依赖与x 的正整数N ,当N n >时,有ε<-)()(x f x f n , D x ∈.由上确界的定义,亦有ε≤-∈)()(sup x f x f n Dx ，则有 0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n .[充分性] 由假设,对任给的0>ε,存在正整数N ,使得当N n >,有 ε<-∈)()(sup x f x f n Dx . （7）因为对一切D x ∈,总有)()(sup )()(x f x f x f x f n Dx n -≤-∈.故由(7)式得 ε<-)()(x f x f n .于是{}n f 在D 上一致收敛于f .（第四版）推论 函数列{}n f 在区间D 上不一致收敛于f 的充要条件是：存在{}n x D ⊂,使得()()lim 0n n n n f x f x →∞-≠.例3定义在]1,0[上的函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<-≤≤=11,0121,22210,2)(22x n n x n x n n n x x n x f n ,2,1=n （8）由于(0)0n f =,故0)0(lim )0(==∞→n n f f .当10≤<x 时,只要xn 1>,就有0)(=x f n ,故在]1,0(上有0)(lim )(==∞→x f x f n n .于是函数列(8)在]1,0[上的极限函数0)(=x f ,又由于∞→==-∈n nf x f x f n n x )21()()(sup ]1,0[0≠ )(∞→n , 所以函数列(8)在]1,0[上不一致收敛.(第四版课本上例题)设()2nx n f x nxe -=,()0,,1,2,x D n ∈=+∞=判别{}n f 在D 上的一致收敛性.解：()22lim lim lim0nx n nx n n n nx f x nxe e-→∞→∞→∞===()f x =()22222nx nx n f x ne n x e --'=-()22120nx ne nx -=-=求出驻点为x =在区间⎛ ⎝,()0n f x '>；在⎫+∞⎪⎪⎭,()0n f x '<所以极大值点为12-⎫⎪⎪⎭ 因此limsup ()()0n n x Df x f x →∞∈-=∞≠,所以不一致收敛同样也可取{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,()()21111n n n n f x n ee n n -⋅-=⋅=→→∞还可取{}n x =,也可以证明函数列不一致收敛.二 函数项级数及其一致收敛性设{}()n u x 是定义在数集E 上的一个函数列,表达式 12()()()n u x u x u x ++++,x E ∈ （9）称为定义在E 上的函数项级数,简记为∑∞=1)(n n x u 或∑)(x u n .称∑==nk k n x u x S 1)()(, E x ∈, ,2,1=n （10）为函数项级数(9)的部分和函数列.若E x ∈0,数项级数 ++++)()()(00201x u x u x u n （11）收敛,既部分和∑==nk k n x u x S 100)()(当∞→n 时极限存在,则称级数（9）在点0x 收敛,0x 称为级数(9)的收敛点,若级数(11)发散,则称级数(9)在点0x 处发散.若级数(9)在E 某个子集D 上每个点都收敛,则称级数(9)在点D 上收敛,若D 为级数(9)全体收敛点的集合,这时则称D 为级数(9)的收敛域.级数(9)在D 上每一点x 与其所对应的数项级数(11)的和)(x S 构成一个定义在D 上的函数,称为级数(9)的和函数,并写作)()()()(21x S x u x u x u n =++++ ,x D ∈即 )()(lim x S x S n n =∞→,x D ∈.也就是说,函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分和函数列(10)的收敛性. 例4 定义在),(+∞-∞上的函数项级数（几何级数）+++++n x x x 21 （12）的部分和函数为x x x S n n --=11)(.故当1<x 时,xx S x S n n -==∞→11)(lim )(.所以几何级数(12)在)1,1(-内收敛于和函数xx S -=11)(； 当1x =时,01nnn n x ∞∞===∑∑发散；当1x =-时,()01nnn n x ∞∞===-∑∑发散当1x >时,1()1nn x S x x-=→∞-,几何级数是发散的. 定义2（函数项级数一致收敛性定义） 设{}()n S x 是函数项级数∑∞=1)(n n x u 的部分和函数列.若{}()n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ,则称函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于函数)(x S ,或称∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛.(第四版)若∑∞=1)(n n x u 在任意的闭区间[],a b I ⊂上一致收敛,则称级数∑∞=1)(n n x u 在区间I上内闭一致收敛.由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的,因此有定理13.3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛的充要条件是：对于任给的0>ε,N ∃,使得当N n >时,对一切D x ∈和一切正整数p ,都有 ε<-+)()(x S x S n p n即 ε<++++++)()()(21x u x u x u p n n n . 特别地,当1=p 时,得到函数项级数收敛的必要条件：推论 若函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛,则函数列{})(x u n 在D 上一致收敛于0.设∑∞=1)(n n x u )(x S =,D x ∈,称)()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.定理13.4 函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S 充要条件是0)()(sup lim )(sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n .例：0n n x ∞=∑若在[],a a -上讨论，则limsup ()()n n x D S x S x →∞∈-()limsup lim 011n nn n x D x a n x a→∞→∞∈-==→→∞-- 若在()1,1-上，则()1,1sup ()()n x S x S x ∈--()1,1sup 1n x x x ∈-=-111nn n n n ⎛⎫⎪+⎝⎭≥-+1()1n n n n n -⎛⎫=→∞→∞ ⎪+⎝⎭三 函数项级数的一致收敛性判别法1.用定义；2.柯西收敛准则（定理3）；3.函数项级数一致收敛的充要条件（必须已知和函数)(x S 才可用此判别法）；4.魏尔斯特拉斯判别法定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法,也称M 判别法或优级数判别法）设函数项级数∑∞=1)(n n x u 定义在数集D 上,∑∞=1n n M 为收敛的正项级数,若对于一切的x D ∈,有n n M x u ≤)(, ,2,1=n ,则函数项级数1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛.证明：要想证明函数项级数1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛,只需要根据柯西收敛准则,即证明对于任给的0>ε,N ∃,使得当N n >时,对一切D x ∈和一切正整数p ,都有 ε<++++++)()()(21x u x u x u p n n n .而1212()()()n n n p n n n p u x u x u x M M M +++++++++≤+++而已知∑∞=1n n M 为收敛的正项级数,则对于任给的0>ε,N ∃,使得当N n >时,对于一切正整数p ,都有12n n n p M M M ε++++++<注:(i)应用此判别法的关键是：从)(x u n 出发找到所需的n M . (ii)由此判别法所得结果是绝对一致收敛的.例5 判断函数项级数∑∞=12sin n n nx 和∑∞=12cos n n nx在()+∞∞-,上的一致收敛性.解：22sin 1nx n n ≤；22cos 1nx n n ≤,而数项级数211n n ∞=∑收敛 定理13.6 (阿贝尔判别法) 设 (i) ∑∞=1)(n n x u 在区间I 上一致收敛；(ii)对于每一个I x ∈,(){}x v n 是单调的；(iii)(){}x v n 在区间I 上一致有界,即对一切I x ∈和正整数n ,存在正数M ,使得()M x v n ≤,则级数)()(1x v x u n n n ∑∞=在区间I 上一致收敛.定理13.7 (狄利克雷判别法)设(i)∑∞=1)(n n x u 的部分和函数列∑==nk k n x u x U 1)()( () ,2,1=n 在区间I 上一致有界；(ii)对于每一个I x ∈,(){}x v n 是单调的； (iii)在区间I 上()0n v x →→)(∞→n , 则级数)()(1x v x u n n n ∑∞=在区间I 上一致收敛.例6 证明函数项级数∑∞=++-11)()1(n n nn n n x 在]1,0[上一致收敛. 证明：令()()1nn u x n-=；()1n nn x n x v x n n +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然()11nn n∞=-∑收敛,对于()n v x 中n x =,x a =设()1xa f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()1ln 10xa a a f x x x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=++-> ⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此函数列单调递增,并且1lim 1nx n x e e n →∞⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭,所以一致有界,根据阿贝尔判别法可知级数收敛例7 若数列{}n a 单调且收敛于零,则级数∑∞=1cos n n nx a 在]2,[απα-)0(πα<<上一致收敛.解:11sin 12cos 122sin 2nk n x kx x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-∑1sin 12+122sin 2n x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤11+122sin 2α≤部分和数列一致有界,数列{}n a 单调且收敛于零,则根据狄利克雷判别法可知函数项级数一致收敛第二节 一致收敛函数列与函数项级数的性质主要讨论由函数列与函数项级数所确定的函数的连续性、可积性、可微性.定理13.8 设函数列{})(x f n 在),(),(00b x x a 上一致收敛于)(x f ,且对n ∀,n n x x a x f =→)(lim 0,则n n a ∞→lim 、)(lim 0x f x x →均存在,且相等.即)(lim lim )(lim lim 00x f x f n n x x n x x n ∞→→→∞→=.（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）证明：首先证明n n a ∞→lim 存在,由于函数列{})(x f n 在),(),(00b x x a 上一致收敛于)(x f ,则对于任意的0ε>,总存在正整数N ,当n N >及任意的正整数p ,对于一切00(,)(,)a x x b x ∈,有()()n n p f x f x ε+-<左右同时令0x x →,有n n p a a ε+-<,根据数列收敛的柯西收敛准则可知,n n a ∞→lim 存在.令lim n n a a →∞=下面证明0lim lim ()n n x x a f x a →∞→==只需要证明对于0ε>,存在0δ>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<()f x a -()()()1111N N N N f x f x f x a a a ++++=-+-+- ()()()1111N N N N f x f x f x a a a ++++≤-+-+-又因为()()lim n n f x f x →∞=,则对于0ε>,存在正整数N ,当n N >时,有()()3n f x f x ε-<因此()()1N f x f x ε+-<因为n n x x a x f =→)(lim 0,则由极限定义可知,0ε>,存在0δ>,当00x x δ<-<时,有()n n f x a ε-<,从而()113N N f x a ε++-<lim n n a a →∞=,则对于0ε>,存在正整数N ,当n N >时,有3n a a ε-<,从而13N a a ε+-<证明成立定理13.9（连续性） 若函数列{})(x f n 在区间I 上一致收敛于)(x f ,且对n ∀,)(x f n 在I 上连续,则)(x f 在I 上也连续.证明：要想证明)(x f 在I 上也连续,则只需要证明对于0x I ∀∈,有()()00lim x x f x f x →=即证明 对于0ε>,存在0δ>,当00x x δ<-<时,有()()0f x f x ε-< 而()()0f x f x -()()()()()()1110100N N N N f x f x f x f x f x f x ++++=-+-+- ()()()()()()1110100N N N N f x f x f x f x f x f x ++++≤-+-+- 333εεεε<++=因为()()lim n n f x f x →∞=,则对于0ε>,存在正整数N ,对于任意的x I ∀∈,当n N >时,有()()3n f x f x ε-<因此()()13N f x f x ε+-<； ()()1003N f x f x ε+-<又因为()()00lim n n x x f x f x →=,则对于0ε>,存在0δ>,对于任意的N ,当00x x δ<-<时,有()()03n n f x f x ε-<说明：若各项为连续函数的函数列{})(x f n 在区间I 上其极限函数不连续,则此函数列{})(x f n 在区间I 上不一致收敛.如：{}n x 在]1,1(-上.因为()0,11,1x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩,显然函数在1x =处不连续定理13.10（可积性） 若函数列{})(x f n 在],[b a 上一致收敛,且每一项都连续,则⎰⎰∞→∞→=ban n n ba n dx x f dx x f )(lim )(lim .证明:要证明⎰⎰∞→∞→=ban n n b a n dx x f dx x f )(lim )(lim ,只需要证明对于0ε>,存在正整数N ,对于任意的[],x a b ∀∈,当n N >时,有()()lim bbn n aa n f x dx f x dx ε→∞-<⎰⎰因为函数列{})(x f n 在],[b a 上一致收敛,不妨假设()()lim n n f x f x →∞= 则对于0ε>,存在正整数N ,对于任意的[],x a b ∀∈,当n N >时,有()()n f x f x b aε-<-而()()lim bbn n aa n f x dx f x dx →∞-⎰⎰()()bbn aaf x dx f x dx =-⎰⎰()()bn af x f x dx =-⎰()()b n af x f x dx ≤-⎰()b a b aεε<⋅-=-注1 该定理指出：在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换顺序； 注2 一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件.如下面的： 例1 设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤=11,0121,22210,2)(x n n x n x n nx x n x f n n n n ααα, ,2,1=n . 解：先验证函数在[]0,1上的连续性()1112221lim lim 2lim 22n n nn x x x nnnf x n x n n ααα---→→→=== ；()1122lim lim 22n n n n x x nnf x n x ααα++→→=-=()()11221lim lim 2n n n n x x nnf x f x f n α-+→→⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以函数列在12x n=处连续 ()11lim lim 220n n n x x nnf x n x αα--→→=-=；()1lim 0n x nf x +→=；10n f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以函数在点1x n=处连续 综合以上可知函数列在[]0,1连续 然后求函数列的极限(1)当102x n ≤<时,,2()112n n n x x x n f α=≤<； (2)当112x n n ≤<时,11()22,2n n n f x x n x n xαα=-≤<(3)当(01),n n f x x ≥=,则取11N x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,当n N >时,()()0n f x f x →=因为[]()0,1sup ()n x n f x f x α∈-=,所以要让函数列{})(x f n 一致收敛于()f x 充要条件是()0n n α→→∞111121102()()()()n n n n n n nnf x dx f x dx f x dx f x dx =++⎰⎰⎰⎰()()111211022220n n n n n nnn x dx n x dx dx ααα=+-+⎰⎰⎰23442nnn nn nnn nαααα=+-= 1()0f x dx =⎰,要让11lim ()()n n f x dx f x dx →∞=⎰⎰充要条件是lim02nn nα→∞=当1n α≡时,1n α→,显然函数列不一致收敛于()f x ； 当n n α=时,函数列不一致收敛于()f x 且101()2n f x dx =⎰ 定理13.11（可微性） 设{})(x f n 为定义在],[b a 上的函数列,若0x ],[b a ∈为{})(x f n 的收敛点,{})(x f n 的每一项在],[b a 上有连续的导数,且{})(x f n '在],[b a 上一致收敛,则)(lim ))(lim (x f dxd x f dx d n n n n ∞→∞→=. 证明:首先证明lim ()n n f x →∞存在,假设0lim ()n n f x A →∞=；()lim ()n n f x g x →∞'=因为{})(x f n 的每一项在],[b a 上有连续的导数,则00()()()xn n n x f x f x f t dt '-=⎰即00()()()xn n n x f x f x f t dt '=+⎰令n →∞,则上式为0lim ()lim ()xn n x n n f x A f t dt →∞→∞'=+⎰0lim ()xn x n A f t dt →∞'=+⎰()0+xx A g x dt =⎰右式第一项为常数,第二项为关于x 的函数,因此lim ()n n f x →∞存在,令()lim ()n n f x f x →∞=下面证明()()f x g x '=()()0+xx f x A g x dt =⎰,左右可以求导,则()()f x g x '=注1 在该定理的条件下可以证明{})(x f n 在区间],[b a 上一致收敛；注2 该定理指出：在一致收敛的条件下,求导运算与极限运算可以交换顺序； 注3 一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件.推论 设函数列{})(x f n 定义在区间I 上,若0x I ∈为{})(x f n 的收敛点,且()n f x '在区间I 上内闭一致收敛,则()f x 在I 上可导,且()lim ()n n f x f x →∞''=例2 设函数列 221()ln(1)2n f x n x n=+, ,2,1=n . 解：221lim ()limln(1)02n n n f x n x n→∞→∞=+=()f x =2()1n nx f x n x '=+ 2lim ()lim 01n n n nx f x n x→∞→∞'==+[]()0,1lim max ()n n x f x f x →∞∈''-[]220,1lim max1n x nx n x →∞∈=+102=≠所以函数列{}()n f x '在0,1⎡⎤⎣⎦上不一致收敛,但是对于任意的0δ>[](),1lim sup ()n n x f x f x δ→∞∈''-[]22,1lim sup1n x nx n x δ→∞∈=+2lim 01n nn δ→∞==+所以函数列{}()nf x '在(]0,1上内闭一致收敛,由推论可知在(]0,1上()lim ()lim ()0n n n n f x f x →∞→∞''==下面讨论函数项级数的连续性,逐项求积与逐项求导的性质,它们都可由函数列的相应性质推出.定理13.12（连续性） 若函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛,且每一项)(x u n 都连续,则其和函数也在区间],[b a 上连续.注：在一致收敛的条件下,求和运算与求极限运算可以交换顺序,即 ∑∑∞=→∞=→=11))((lim ))(lim (0n n x x n n x x x u x u .定理13.13（逐项求积）若函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛,且每一项)(x u n 都连续,则=∑⎰∞=dx x u n n ba))((1∑⎰∞=1)(n ban dx x u .注：即在一致收敛的条件下,求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序.定理13.14（逐项求导） 若函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上每一项)(x u n 都有连续导函数,],[0b a x ∈为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点,且∑∞='1)(n nx u 在区间],[b a 上一致收敛,则 ∑∑∞=∞==11))(())((n n n n x u dx d x u dxd . 注：即在一致收敛的条件下,求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序.例 3 设)1ln(1)(223x n n x u n +=, ,2,1=n 证明函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间]1,0[上一致收敛,并讨论其和函数在]1,0[上的连续性、可积性、可微性. 例4(第四版课本上例题) 证明函数()11x n x n ξ∞==∑在()1,+∞上有连续的各阶导函数。