(word完整版)北师大版九年级数学动点问题题型方法归纳,推荐文档
图(3) B
图(1)
B 图(2) 动点问题题型方法归纳
动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)
动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点
1、(2009年齐齐哈尔市)直线3
64
y x =-
+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止.点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动. (1)直接写出A B 、两点的坐标;
(2)设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式;
(3)当48
5
S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标.
提示:第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;
第(3)问是分类讨论:已知三定点O 、P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边,②OP 为边、OQ 为对角线,③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。
2、(2009年衡阳市)
如图,AB 是⊙O 的直径,弦BC=2cm ,∠ABC=60o. (1)求⊙O 的直径;
(2)若D 是AB 延长线上一点,连结CD ,当BD 长为多少时,CD 与⊙O 相切;
(3)若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动,同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动,设运动时间为)20)((< 注意:第(3)问按直角位置分类讨论 B C D 3、(2009重庆綦江)如图,已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长. 注意:发现并充分运用特殊角∠DAB=60° 当△OPQ 面积最大时,四边形BCPQ 的面积最小。 二、 特殊四边形边上动点 4、(2009年吉林省)如图所示,菱形ABCD 的边长为6厘米,60B ∠=°.从初始时刻开始,点P 、Q 同时从 A 点出发,点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动,点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动,当点Q 运动到D 点时,P 、Q 两点同时停止运动,设P 、Q 运动的时间为x 秒时,APQ △与ABC △重叠部分.... 的面积为y 平方厘米(这里规定:点和线段是面积为O 的三角形),解答下列问题: (1)点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒; (2)点P 、Q 从开始运动到停止的过程中,当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒; (3)求y 与x 之间的函数关系式. 提示:第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ; 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。 5、(2009年哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,四边形ABCO 是菱形,点A 的坐标为(3-,4),点C 在x 轴的正半轴上,直线AC 交y 轴于点M ,AB 边交y 轴于点H . (1)求直线AC 的解析式; (2)连接BM ,如图2,动点P 从点A 出发,沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动,设△PMB 的面积为S (0S ≠),点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式(要求写出自变量t 的取值范围); (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值. 注意:第(2)问按点P 到拐点B 所用时间分段分类; 第(3)问发现∠MBC=90°,∠BCO 与∠ABM 互余,画出点P 运动过程中, ∠MPB=∠ABM 的两种情况,求出t 值。 利用OB ⊥AC,再求OP 与AC 夹角正切值. 6、(2009年温州)如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(33,2),C (0,2).动点D 以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC 向终点C 运动,同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动.过点E 作EF 上AB ,交BC 于点F ,连结DA 、DF .设运动时间为t 秒. (1)求∠ABC 的度数; (2)当t 为何值时,AB∥DF; (3)设四边形AEFD 的面积为S . ①求S 关于t 的函数关系式; ②若一抛物线y=x 2 +mx 经过动点E ,当S<23时,求m 的取值范围(写出答案即可). 注意:发现特殊性,DE ∥OA 7、(07黄冈)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO 是菱形,且 ∠AOC=60°,点B 的坐标是(0,83),点P 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB 上向点B 移动,同 时,点Q 从点O 开始以每秒a (1≤a ≤3)个单位长度的速度沿射线OA 方向移动,设(08)t t <≤秒后,直线PQ 交OB 于点D. (1)求∠AOB 的度数及线段OA 的长; (2)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的解析式; (3)当4 3,33 a OD ==时,求t 的值及此时直线PQ 的解析式; (4)当a 为何值时,以O ,P ,Q ,D 为顶点的三角形与OAB ?相似?当a 为何值时,以O ,P ,Q ,D 为顶点的三角形与OAB ?不相似?请给出你的结论,并加以证明. 8、(08黄冈)已知:如图,在直角梯形COAB 中,OC AB ∥,以O 为原点建立平面直角坐标系,A B C ,,三 点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ,, ,,,,点D 为线段BC 的中点,动点P 从点O 出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD 的路线移动,移动的时间为t 秒. B A C D P O Q x y (1)求直线BC 的解析式; (2)若动点P 在线段OA 上移动,当t 为何值时,四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27 ? (3)动点P 从点O 出发,沿折线OABD 的路线移动过程中,设OPD △的面积为S ,请直接写出S 与t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围; (4)当动点P 在线段AB 上移动时,能否在线段OA 上找到一点Q ,使四边形CQPD 为矩形?请求出此时动点P 的坐标;若不能,请说明理由. 9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线214 10189 y x x = --与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC .现有两动点P,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F .设动点P,Q 移动的时间为t (单位:秒) (1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0<t < 9 2 时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程. 提示:第(3)问用相似比的代换, 得PF=OA (定值)。 第(4)问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF. 三、 直线上动点 8、(2009年湖南长沙)如图,二次函数2 y ax bx c =++(0a ≠)的图象与x 轴交于A B 、两点,与y 轴相交 A B D C O P x y A B D C O y (此题备用) y O x C N B P M A 于点C .连结AC BC A C 、,、两点的坐标分别为(30)A -,、(03)C ,,且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等. (1)求实数a b c ,,的值; (2)若点M N 、同时从B 点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t 秒时,连结MN ,将BMN △沿MN 翻折,B 点恰好落在AC 边上的P 处,求t 的值及点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ,使得以B N Q ,,为项点的三角形与ABC △相似?如果存在,请求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. 提示:第(2)问发现 特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM 为菱形; 第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后,按直角位置对应分类; 先画出与△ABC 相似的△BNQ ,再判断是否在对称轴上。 9、(2009眉山)如图,已知直线112y x = +与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线21 2 y x bx c =++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 (1,0)。 ⑴求该抛物线的解析式; ⑵动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点P 的坐标P 。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M ,使||AM MC -的值最大,求出点M 的坐标。 提示:第(2)问按直角位置分类讨论后画出图形----①P 为直角顶点AE 为斜边时,以AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点P ,②A 为直角顶点时,过点A 作AE 垂线交x 轴于点P ,③E 为直角顶点时,作法同②; 第(3)问,三角形两边之差小于第三边,那么等于第三边时差值最大。 10、(2009年兰州)如图①,正方形 ABCD 中,点A 、B 的坐标分别为(0,10),(8,4), 点C 在第一象限.动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动,同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当P 点到达D 点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒. (1)当P 点在边AB 上运动时,点Q 的横坐标x (长度单位)关于运动时间t (秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度; (2)求正方形边长及顶点C 的坐标; (3)在(1)中当t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时P 点的坐标; (4)如果点P 、Q 保持原速度不变,当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时,OP 与PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的t 的值;若不能,请说明理由. A D P D A P A D P 注意:第(4)问按点P 分别在AB 、BC 、CD 边上分类讨论;求t 值时,灵活运用等腰三角形“三线合一”。 11、(2009年北京市)如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为 ()6,0A -,()6,0B ,(0,43C ,延长AC 到点D,使CD=1 2 AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E. (1)求D 点的坐标; (2)作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式; (3)设G 为y 轴上一点,点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点,若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。(要求:简述确定G 点位置的方法,但不要求证明) 提示:第(2)问,平分周长时,直线过菱形的中心; 第(3)问,转化为点G到A的距离加G到(2)中直线的距离和最小;发现(2)中直线与x轴夹角为60°.见“最短路线问题”专题。 12、(2009年上海市)已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD ∥BC ,P 为线段BD 上的动点,点Q 在射线AB 上,且满足 AB AD PC PQ = (如图1所示). (1)当AD=2,且点Q 与点B 重合时(如图2所示),求线段PC 的长; (2)在图8中,联结AP .当3 2AD =,且点Q 在线段AB 上时,设点B Q 、之间的距离为x , APQ PBC S y S =△△,其中APQ S △表示△APQ 的面积,PBC S △表示PBC △的面积,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数定义域; (3)当AD AB <,且点Q 在线段AB 的延长线上时(如图3所示),求QPC ∠的大小. 注意:第(2)问,求动态问题中的变量取值范围时,先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值,然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC ⊥BD 时,点Q 、B 重合,x 获得最小值; 当P 与D 重合时,x 获得最大值。 第(3)问,灵活运用SSA 判定两三角形相似,即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA 来判定两个三角形相似;或者用同一法;或者证∠BQP =∠BCP ,得B 、Q 、C 、 P 四点共圆也可求解。 13、(08宜昌)如图,在Rt△ABC 中,AB =AC ,P 是边AB (含端点)上的动点.过P 作BC 的垂线PR ,R 为垂足, ∠PRB 的平分线与AB 相交于点S ,在线段RS 上存在一点T ,若以线段PT 为一边作正方形PTEF ,其顶点E ,F 恰好分别在边BC ,AC 上. (1)△ABC 与△SBR 是否相似,说明理由; (2)请你探索线段TS 与PA 的长度之间的关系; (3)设边AB =1,当P 在边AB (含端点)上运动时,请你探索正方形PTEF 的面积y 的最小值和最大值. 提示:第(3)问,关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形;当p 运动到使T 与R 重合时,PA=TS 为最大;当P 与A 重合时,PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。 14、(2009年河北)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC = 3,AB = 5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动.伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB -BC -CP 于点E .点P 、 Q 同时出发,当点Q 到达点B 时停止运动,点P 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q 到AC 的距离是 ; (2)在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式;(不必写出t 的取值范围) (3)在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成为直角梯形?若能,求t 明理由; (4)当DE 经过点C 时,请直接..写出t 的值. 提示:(3)按哪两边平行分类,按要求画出图形,再结合图形性质求出t 情形, (第13题) T P S R E A B C F (第13题) T P S R E A B C F DE∥QB,PQ∥BC; (4)按点P 运动方向分类,按要求画出图形再结合图形性质求出t 值;有二种情形, CQ=CP=AQ=t 时, QC=PC=6-t时. 15、(2009年包头)已知二次函数2 y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过点(10)A ,,(20)B ,,(02)C -,,直线 x m =(2m >)与x 轴交于点D . (1)求二次函数的解析式; (2)在直线x m =(2m >)上有一点E (点E 在第四象限),使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似,求E 点坐标(用含m 的代数式表示); (3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形?若存在,请求出m 的值及四边形ABEF 的面积;若不存在,请说明理由. 提示: 第(2)问,按对应锐角不同分类讨论,有两种情形; 第(3)问,四边形ABEF 为平行四边形时,E 、F 两点纵坐标相等,且AB=EF ,对第(2)问中两种情形分别讨论。 四、 抛物线上动点 16、(2009年湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标. 注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时,以C 为圆心CM 为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P ,②M 为顶点时,以M 为圆心MC 为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P ,③P 为顶点时,线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二,先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。 O y x B E A D C F 17、(2009年黄石市)正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中,A 在x 轴正半轴上,D 在y 轴的负半轴上,AB 交y 轴正半轴于E BC ,交x 轴负半轴于F ,1OE =,抛物线2 4y ax bx =+-过A D F 、、三点. (1)求抛物线的解析式; (2)Q 是抛物线上D F 、间的一点,过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ,交BC 所在直线于N ,若 3 2 FQN AFQM S S =△四边形,则判断四边形AFQM 的形状; (3)在射线DB 上是否存在动点P ,在射线CB 上是否存在动点H ,使得AP PH ⊥且AP PH =,若存在, 请给予严格证明,若不存在,请说明理由. 注意:第(2)问,发现并利用好NM ∥FA 且NM =FA; 第(3)问,将此问题分离出来单独解答,不受其它图形的干扰。需分类讨论,先画出合适的图形,再证明。 三年共同点: ⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。 ①特殊四边形为背景; ②点动带线动得出动三角形; ③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式); ④求直线、抛物线解析式; 北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”) 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 (2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。 第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(第一课时) 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 2、生活问题数学化: ⑴如图:梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? ⑵以下三组中,梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? 二、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题) ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系? ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? 三、例题: 例1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,AB=20cm,求tanA和tanB 的值. 四、随堂练习: 1、如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2、如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i=3:4的斜坡前进10米,则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ,则 tanθ=______. 5、如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的长为12 m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD,求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习: 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.北师大版九年级数学上册知识点总结
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