抽象代数复习题及答案.docx

《抽象代数》试题及答案本科一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

每小题3 分)1. 设 Q 是有理数集，规定f(x)=x +2； g(x)= x 2 +1, 则（ fg ） (x) 等于（ B）A. x 22 x 1B. x 23 C.x 2 4x 5D. x 2 x 32. 设 f 是 A 到 B 的单射， g 是 B 到 C 的单射，则 gf是 A 到 C 的（ A）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射 3. 设 S = {（ 1），（1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 中与元素 （ 1 32）不能交换的元的个数是( C )。

33A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环 Z 中，可逆元的个数是(B)。

A. 1 个B. 2 个C. 4个D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。

10A. 3 个B. 4 个C. 5 个D. 6个6. 设 G 是有限群， a G, 且 a 的阶 |a|=12,则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B )A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设 G 是有限群，对任意a,b G ，以下结论正确的是 ( A)A.(ab) 1 b 1a 1B. b的阶不一定整除 G 的阶C. G 的单位元不唯一D. G中消去律不成立8. 设 G 是循环群，则以下结论不正确 的是 ( A )．．． A. GC. G的商群不是循环群是交换群D. GB. G 的任何子群都是正规子群 的任何子群都是循环群9. 设集合A={a,b,c},以下 A A 的子集为等价关系的是( C)A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D.R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设 f 是 A 到 B 的满射， g 是 B到 C 的满射，则 gf 是 A 到 C 的 （ B）A. 单射B.满射C.双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 3 中与元素（ 1 2）能交换的元的个数是 ( B )。

A. 1B. 2C. 3D. 412. 在剩余类环 Z 8 中，其可逆元的个数是( D )。

A. 1 个B. 2 个C. 3个 D. 4个13. 设（ ， +，·）是环 ，则下面结论不正确的有 ( C)。

RA. R 的零元惟一B.若 x a 0 ，则 x aC.对 aR ， a 的负元不惟一D.若 a b a c ，则 b c14. 设 G 是群， a G, 且 a 的阶 |a|=12,则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B)15．设A． 2 B. 3G是有限群，对任意a,bC. 6D.9G，以下结论正确的是( A )A.|a | | G |B. |b| =∞C. G的单位元不唯一D.方程ax b 在G中无解16.设 G是交换群，则以下结论正确的是 ( B )．．A. G 的商群不是交换群B. G的任何子群都是正规子群C. G是循环群D. G 的任何子群都是循环群17.设 A={1， -1,i， -i}， B = {1, -1},: A→ B,a a 2,a∈ A，则是从 A 到 B 的( A )。

A. 满射而非单射B. 单射而非满射C.一一映射D. 既非单射也非满射18. 设 A=R（实数域）， B= R（正实数集），:a →10a， a ∈ A，则是从 A 到 B 的 ( C ) 。

A. 满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射19. 设 A={ 所有实数 x} ， A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成 A 到 A 的一个子集的同态满射的是( C )。

→10x→2x→|x|→ -x20.数域 P 上的 n 阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )A.构成一个交换群B.构成一个循环群C.构成一个群D.构成一个交换环21.在高斯整数环 Z[i] 中，可逆元的个数为（ D ）A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4个22 .剩余类加群 Z 的子群有 (B)。

8A. 3 个B. 4 个C. 5个D. 6个23.下列含有零因子的环是（ B）A. 高斯整数环 Z[i]B.数域 P 上的 n 阶全矩阵环C.偶数环 2ZD.剩余类环 Z524．设 (R,+, ·) 是一个环，则下列结论正确的是（D）A. R中的每个元素都可逆B. R的子环一定是理想C. R一定含有单位元D. R的理想一定是子环25．设群 G是 6 阶循环群，则群G的子群个数为（ A）A． 4 个B. 5个 C. 6个 D. 7个26.设 A = {a, b, c}， B = {1,2,3},则从集合 A 到集合 B 的满射的个数为( D )。

A.1B.2C.3D.627.设集合 A = {a, b, c},则以下集合是集合A的分类的是( C )A.P1= { {a, b},{a, c}}B.P2= {{a},{b, c},{b,a}}C.P3= {{a},{b,c}}D.P4= {{a,b},{b,c},{c}}28.a0a,b Z，那么 R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是(A)。

设 R =bA.有单位元的交换环B.无单位元的交换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环29.设 S3={ （ 1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3 ），（ 1 2 3 ），（ 1 3 2 ） } ，则 S3的子群的个数是 (D)。

A. 1B. 2C. 3D. 630.在高斯整数环Z[i]中，单位元是 (B)。

A. 0B.1C.iD.i31..设 G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是( B )。

A. 任意两个子群的乘积还是子群B.任意两个子群的交还是子群C.任意两个子群的并还是子群 D.任意子群一定是正规子群32.7 阶循环群的生成元个数是(C)。

A. 1B. 2C. 6D. 733.设 A={a,b,c}， B={1,2,3},则从集合 A 到集合 B 的映射有 (D)。

A.1B. 6C.18D. 2734.设G,为群，其中G 是实数集，而乘法: a b a b k ，这里k 为 G 中固定的常数。

那么群G ,中的单位元 e 和元和xx的逆元分别是（；和 0；DC.）k 和x2k ； D.k 和(x2k)}35.设a, b, c和x 都是群G中的元素，且x2 a bxc 1 , acx xac，那么x（A）A. bc1a 1 ；B. c 1 a 1 ；C. a 1bc 1 ；D. b 1ca 。

36.下列正确的命题是（ A ）A. 欧氏环一定是唯一分解环；C. 唯一分解环必是主理想环；B.主理想环必是欧氏环；D.唯一分解环必是欧氏环。

37．设H是群G 的子群，且G 有左陪集分类H , aH , bH , cH。

如果| H |6，那么G 的阶G（B）；；；。

38.设 G是有限群，则以下结论正确的是（ A ）．．A. G C. G 的子群的阶整除是交换群G的阶 D.GB. G的任何子群都是正规子群的任何子群都是循环群39．设 f : G1G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（D）A. f的同态核是G1的正规子群；B. G2的正规子群的原象是G1的正规子群；C. G1的子群的象是G 2的子群；D.G1的正规子群的象是G2的正规子群。

40.关于半群，下列说法正确的是：（ A ）A.半群可以有无穷多个右单位元C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元B.半群一定有一个右单位元D.半群一定至少有一个左单位元二、填空题 ( 每空 3 分)1.设 A 是 m元集， B 是 n 元集，那么 A 到 B 的映射共有（n m）个 .2. n 次对称群S n的阶是（n ！）.3.一个有限非交换群至少含有（6）个元素 .4.设 G是 p 阶群，（ p 是素数），则 G的生成元有（p1) 个.5.除环的理想共有（2）个 .6.剩余类环 Z6的子环 S={ ［0］ , ［ 2］ , ［ 4］} ，则 S 的单位元是（［ 4］） .7.在 i+3,2 , e-3 中，（i 3 ）是有理数域Q上的代数元 .8. 2 在有理数域Q上的极小多项式是（x 22） .9.设集合 A ={a,b} ， B={1,2,3} ，则A B=（{( a,1）（, b,1), (a,2), ( b,2), (a,3), (b,3)}.）10.设 R 是交换环，则主理想(a) =（Ra{ra ma |r R, m Z}. ）11．设( 5431), 则1(1345).12 .设 F 是 9 阶有限域，则 F 的特征是（3） .13．设1 (351), 2(2154)是两个循环置换，则21（（ 1342））14 .设 F 是125阶有限整环，则 F 的特征是（ 5） .15.设集合 A含有3个元素，则A A 的元素共有（9）个 .16.设群 G的阶是 2n,子群 H是 G的正规子群，其阶是n,则 G关于 H 的商群所含元素的个数是（ 2 ） .17. 设 a 、 b 是群 G 的两个元，则(ab) 1 =（ b 1a 1 ） .18. 环 Z 10 的可逆元是（ [1], [ 3], [7], [9] ）.19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环， 但欧式环一定是主理想环） .20．如果 f 是 A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f 1 f a(a) 。

21.设群 G 中元素 a 的阶为 m ，如果 a ne ，那么 m 与 n 存在整除关系为（ m 整除 n ）。

22．设(31425) 是一个 5- 循环置换，那么 1((52413)). 。

23．有限群 G 的阶是素数 p ，则 G 是（ 循环）群。

24．若 I 是有单位元的环 R 的由 a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为（ { 有限和x i ay i | x i , y i R } ）。

i25．群 (Z 12 , ) 的子群有（6）个。

26．由凯莱定理，任一个抽象群G 都同一个（群 G 的变换群）同构。

27．设 A 、B 分别是 m 、n 个元组成的集合，则 | A B | =（ mn）。

28．设 A ={ a,b,c } ，则可定义 A 的（5）个不同的等价关系。