浅析微积分在中学数学中的应用
毕业论文（设计）论文（设计）题目：浅析微积分在中学数学中的应用姓名学号院系专业年级指导教师2016年04月17日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章引言 (3)第2章中学微积分的基本数学思想方法 (4)2.1 “极限”思想 (4)2.2 化归思想[1] (5)第3章微积分在中学数学中的应用 (7)3.1 导数在函数单调性问题上的应用 (7)3.2 利用导数求函数的极值问题 (7)3.3 函数的变化形态及作图 (8)3.4 微积分在解方程中的应用 (10)3.5 不等式的证明 (10)3.6 恒等式的证明 (11)3.7 曲线的切线及求法 (12)第4章结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要本文对微积分中的思想诸如如函数的思想、极限的思想、和化归思想等思想都有深浅不同的探讨。
我们使用微积分的方法来讨论函数的单调性、函数的极值和最值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法。
这样就简化了解题思路和步骤，更深层次的体现出微积分与中学数学间的联系。
关键词：微积分；函数形态；思想方法ABSTRACTThis article focuses on the varying degrees of the main mathematical thinking in calculus,such as limit thought,the the thought of function,and the transforming thought.In discussions on the monotonicity of the function, and the function extreme value and maximum function, and the change of configuration and mapping, application of calculus in solving equations, inequalities and proof of identity, the tangent of the curve and the method, using the methods of calculus to solve problem more easy, in order to reflect calculus links with the middle school mathematics.Key words: Calculus;Function form;Math Thought第1章引言由古至今数学都与人类的生活息息相关，特别是当今社会，科技迅速的发展，高科技产物的层出不穷也使得人们对生活质量的需要越来越高。
数学又是高科技发展的基础性学科，所以在越来越重视教育的当今数学在教学中占有的比例也是逐年增大。
我们数学教育专业的学生在毕业后无论从事哪个层次的教育我们的首要目标就是培养社会需要的人才。
在中学数学中，让学生掌握良好的思想方法是有效的学习数学的工具和手段。
作为教师引导他们熟练的运用数学思想方法去找出问题、理解问题和解决问题是紧急而充满挑战的任务。
微积分中的许多数学思想都是数学家们辛苦研究的成果，而我们现在所要进行的就是在前人的肩膀上眺望更远的远方。
数学思想是数学史上的美丽的瑰宝值得我们研究与探索。
[2]在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研究型人才的基石。
作为一名即将踏上讲台的教师，深刻了解微积分与中学数学分析问题，解决问题的关系，掌握微积分在中学数学中的应用，这对提高数学教学的方法是十分重要的。
我们有必要好好学习并掌握。
微积分在解决数学问题中有着举足轻重的作用，在中学数学的教材中对于微积分的介绍和知识比例也越来越多，掌握基本的数学思想方法也自然而然的是我们当代数学教师应有的基本专业知识。
在如今社会里学生是社会发展的希望与未来而教师是学生学校教育的领导者和榜样示范者。
由此可见教师自身掌握专业知识对于学校教育的重要性。
第2章中学微积分的基本数学思想方法数学思想和数学方法统称为数学思想。
而数学思想的本质就是人们对于数学理论知识和他的本质的反映。
数学思想在数学问题的解决中起着桥梁的作用，数学方法既是一种解决数学问题的过程，方法和手段。
单纯的运用一种方法去解决每一个类型的数学问题是不可能的。
数学家们在解决问题时产生得到另一种思想和方法记录下来并流传后世才使得数学思想方法越来越丰富，众多的数学问题也迎刃而解。
微积分近两年在中学数学中的应用比例逐渐升高。
而其在大学数学里是许多专业的基本必修内容更是数学专业学生要掌握的最近本的解题思路。
由此可见我们应当更加的重视这个内容。
2.1 “极限”思想极限思想方法的概念就是用无限的变化过程来研究有限的数学问题。
具体是说能用有限的数值方法去探索数学问题棘手的繁琐的无限思想。
它是高等数学的中心思想是我们要熟练掌握的数学思想方法之一。
[3]假如我们想要解决求曲边梯形的面积，但是我们没有具体的求值公式，这时我们就可以用极限思想来解决。
将曲线的面积分为若干个不同的矩形的面积的结合，并且将矩形越分越细逐渐贴近曲线的面积，由此就可以将诸多个矩形的面积之和视为这个我们需要求值的曲线面积。
将矩形分的越精细就会越接近我们所要求的的值。
即：(1)化“整”为“零”：将曲边梯形逐渐的分为n个逐渐接近曲线的小曲边梯形。
如图2-1图2-1 图2-2在 [a ,b]中插入n 个点a =x 0 <x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =b ，把区间[a,b]分成n 个不同长度的小区间[x 0,x 1][x 1,x 2],⋯[x n−1,x n ]，记为 [x i−1,x i ],i =1,2,⋯n ，它们的长度依次可以分为： Δx 1=x 1−x 0,Δx 2=x 2−x 1,⋯,Δx n −x n−1. 设∆x =max{∆x 1,∆x 2,⋯,∆x n },经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个小曲边梯形的面积记作∆A i ，i =1,2,⋯i .(2)以“直”代“曲”：用分出的诸多个小矩形的面积代替曲边梯形的面积。
如图2-2在每个小区间 [x i−1,x i ]上任取一点ξi ，以 [x i−1,x i ]为底， f (ξi )为高的小矩形近似替代第i 个小曲边梯形(i =1,2,⋯n )，则有∆A i = f (ξi )∆x i ，i =1,2,⋯n .(3)积“零”为“整”：求n 个小矩形面积之和。
将诸多个矩形的面积之和视为这个我们需要求值的曲线面积，即A =∑∆A i n i−1≈f (ξ1)∆x 1+f (ξ2)∆x 2+⋯f (ξn )∆x n =∑ f (ξi )∆x i n i−1.(4)取极限：由近似值过渡到精确值，当 ∆x →0时，可以求得曲边梯形的面积A =lim ∆x→0∑ f (ξi )∆x i n i−1。
[4] 2.2 化归思想化归思想的实质是在许多可能的答案进行分析对比，尽量排除错误答案或者从另一个方面去解决问题的思想方法。
[4]化归思想有三个重要分类：化归对象，化归目标和化归途径。
在所学习到的心理学中关于认知心理学的描述为人们在认知新的事物理解新的问题都是要以曾经的旧的记忆为基础，形成前摄抑制。
有助于加强两者之间的联系，而这种联系就会用到数学思想中的化归思想。
在数学问题中我们常常会将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点等问题判定转化为其导函数的值的问题；将曲边四边形面积和旋转体的体积转化为定积分问题；[5]像这种用化归思想方法解决实际问题从方法论角度说就是“化归原则”。
在数学中利用化归原则解决问题时的一般模式可以归结为图2-3:图2-3 求曲边梯形的面积时，“一条曲线边”影响着问题用以往的知识的解答，是解决问题的矛盾的所在。
然而，在将曲线之间进行任意分割为n 个小区间后，得到了n 个小矩形。
通过对矩形面积的加和得到曲边梯形的面积的近似值，这样问题就迎刃而解。
省去了诸多麻烦。
如图2-4图2-4 这样在解决问题时运用化归思想可以节省人力,由此可见其简洁性。
问题 解答解答 问题化归还原求曲边梯形的面积 解 求小矩形面积之和 求小矩形面积化归 还原第3章 微积分在中学数学中的应用3.1导数在函数单调性问题上的应用中学数学中讨论函数y =f (x )的单调性，用的是定义法，即在定义域某区间上任取x 1>x 2，若f (x 1)−f (x 2)>0，则y =f (x )在该区间单调递增，若f (x 1)−f (x 2)<0，则y =f (x )在该区间单调递减。
当我们在运用微积分方法讨论函数的单调性时，只需求出f (x )，再考虑f ′(x)的正负即可.这个方法简便易操作，在很多方面都能得到运用。
例1[6] 已知函数f (x )=x ln x ，讨论y =f (x )的单调性。
解 f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x)=ln x +1，令f ′(x)=0，得x =1e ， 当x ∈(0,+∞)时， f ′(x)，f (x )的变化情况如表1：表1 ：所以，f (x )在(0,+∞)上的最小值是f (1e )=−1e .当x ∈(0,1e )，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是(−1e ,0)；当x ∈( 1e ,+∞)，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是(−1e ,+∞). 3.2利用导数求函数的极值问题设f (x )在点x 0连续，在点x 0的某一空心领域内可导，当x 由小增大经过x 0时，如果：（1）f (x )由正变负，那么x 0是极大值点；（2）f (x )由负变正，那么x 0是极小值点；（3）f (x )不变号，那么x 0不是极值点.注明：(1)驻点不一定是f (x )的极值点.比如说x =0是函数f (x )=x 3的驻点，但不是其极值点。
(2)极值点还可能是使导数不存在的点。
如函数f (x )=|x |，在x =0处导数不存在，但是x =0是它的极小值点。
例2 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx 的导函数图像分别经过点(1,0),(2,1)。
在x 0取得极小值5，如图3-1所示，求：(1) x 0的值；(2) a,b,c 的值；(3)f (x )的极大值.解 f ′(x)=3ax 3+2bx 2+c(1)观察图象，我们可发现： 图3-1当x ∈(−∞,1)时，f ′(x)>0，此时f (x )为增函数；当x ∈(1,2)时，f ′(x)<0，此时f (x )为减函数；当x ∈(2,+∞)时，f ′(x)>0，此时f (x )为增函数.因此在x =2处函数取得极小值.结合已知，可得x 0=2.(2)由(1)知f (2)=5，即8a +4b +2c =5，再结合f ′(x)的图象可知，方程f ′(x)=3ax 3+2bx 2+c =0的两根分别是1,2.那么{1+2=−2b 3a 1×2=c 3a ，即{2b =−9a c =6a. 联立8a +4b +2c =5，得a =52， b =−454，c =15.(3)由(1)知f (x )在x =1处函数取得极大值，所以f(x)极大值=f (1)=a +b +c =52−454+15=254 3.3函数的变化形态及作图对于一些非初等函数的解决，采用描点法非常复杂而且很容易出现错误，有许多的不方便和棘手的问题。
微积分在中学数学教学中的应用
微积分在中学数学教学中的应用摘要微积分是高中数学新增加的容，也是大学数学的重要的基础课程，容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用；微积分是现代数学的基础，提供以直代曲，把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式，在人类思想文化的发展中占有特殊的地位.在高中阶段开设部分微积分的容，不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求，也是实现高中教育性目标和发展性目标的要求.微积分的容，在我国高中数学课程容中的选择和教学要求中，没有得到它应有的体现，难以满足我国社会、经济、科学文化高速的发展对它的要求和体现微积分自身的价值.对高中微积分的研究多数是中学是否开设微积分以及开设微积分的深度和广度的探讨.论文立足于教材《全日制普通高级中学教科书数学》第三册（选修2—2）（人民教育），从微积分产生的时代背景和历史意义出发，简要分析了国外对微积分教学的研究现状和意义，论述了高中开设微积分知识的必要性和可行性，通过对高中微积分课程的主要容的分析和研究，结合现代教育教学理论，归纳并总结了微积分在高中数学教学中的地位、作用和应用.并希望这些意见和建议对高中数学微积分的教学和发展具有一定的积极意义.关键词：微积分；导数；应用目录1引言 (1)2文献综述 (3)2.1国外研究现状 (3)2.2国外研究现状评价 (4)2.3提出问题 (4)3微积分在中学数学教学中的应用 (4)3.1微积分与中学数学的联系 (4)3.2微积分在中学数学中的地位和作用 (5)3.3微积分在中学数学解题中的应用 (5)3.3.1导数在求曲线的切线中的应用 (5)3.3.2导数在不等式证明中的应用 (6)3.3.3导数在恒等式证明中的应用的 (8)3.3.4导数法在求函数极值、最大（小）值中的应用 (9)3.3.5导数在几何上的应用 (12)3.3.6导数在方程解的问题上的应用 (12)3.3.7导数在数列问题中的应用 (12)3.3.8运用微分学知识研究函数图像[4] (13)4定积分在中学数学中的应用 (14)4.1定积分在求曲边形面积上的应用 (14)4.2积分在不等式证明中的应用 (14)4.3定积分在组合恒等式证明中的应用 (15)5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性 (16)5.1提高现代数学教师修养的必要性 (16)5.2提高现代数学教师修养的可行性 (16)6结论 (16)6.1主要发现 (16)6.2启示 (16)6.3局限性 (16)6.4努力方面 (17)参考文献 (17)1引言微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国，公元前4世纪前，恒团，公龙等提出的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”；公园3世纪徽的“割圆术”和公元5—6世纪祖冲之、祖横对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在徽割圆术的基础上首先地计算了地球的体积），都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含着上述的萌芽.欧洲文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大发展.到了16世纪，由于航海、机械制造以及军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题.于是在数学中开始研究各种变化过程中的变化的量间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点.在伽利略等人的数学著作中，都包含着微积分的初步想法.到了17世纪，生产的发展提出了许多技术上的新要求，而要实现技术要求必须有相应的科学知识，例如流体力学、机械力学等都有了突飞猛进的发展.在资本主义社会的商品生产中，贸易活动占有重要的地位，与此相关的海运事业迅速发展，向外扩的军事需要，也促进了航海的发展.航海需要精确而方便地确定位置（经纬度）、预报气象，天文学因而发展起来，所有这些发展都对数学提出了新的要求，这些要求变现为一些急需解决的问题，可以分为一下四种类型：（1）球运动物体的瞬时速度和加速度.（2）已知曲线求其切线.（3）已知函数求函数的极大值和极小值.（4）求曲线的长度.这些问题都是17世纪时，其他科学，尤其是天文学和力学极其某些技术科学所提出的基本数学问题.总之，到17世纪前叶，已经积累了许多关于微积分思想的成果，但微积分作为一门学科来发展，还是由于牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学，他们建立微积分的出发点都是直观无穷小量.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分学，17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度以及物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算关系（微积分基本定理）.微积分的产生具有深远的历史意义.一方面，它极促进了数学科学的发展，丰富了数学科学的思想宝库，随着微积分的理论基础逐步完善，以微积分为基础的数学分析科学得到空前发展，建立了多种数学分支，如微分方程、积分方程、复变函数、拓扑学、流形等.另一方面，微积分在力学、天文学以及物理和其它科学技术中的应用，极促进了以上科学的发展.2文献综述2.1国外研究现状国，由于历史的原因，我国对微积分的教学研究和把微积分容引入课堂相对比较滞后.自从1961年的大纲将微积分初步的知识纳入我国中学数学以后，广大的教育工作者在不同的时期，从不同的角度，利用不同的方法，对高中阶段微积分初步的教学目标、课程目的、容选取、教材编排以及教学方法等一系列的问题进行了一定的理论探索和实践研究，取得了一定的成果.早在1983年，的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书，对当时大纲中所列出的中学微积分容进行了教学和教法的探讨.而在现阶段，教育学院的宏安教授、西北师大学附属中学教师高维纵和五中的特级教师袁桐等人，也分别从不同的角度对微积分课程容的选择、教学和教法等进行了有益的探索.在这一研究领域中有影响的另外一些学者和研究集体，也都从不同的角度和层面进行了广发而深入的研究.这些集体和个人的研究中，有一些还是国家和地方教育研究的重要课题.可见，高中微积分课程和教学的探索是一个重要的研究领域.国外，对微积分的教学研究较早，并且微积分的知识进入中学课本也较国超前.早在20世纪初，德国著名数学家F·克莱因就主微积分知识要进入中学.20世纪50年代末在美国兴起的“新数学”运动及后来60年代末在法国进行的“现代数学教育改革”运动，他们的主之一就是要求中小学数学课程容体现现代数学的发展，将微积分知识纳入中学数学课程.进入上个世纪80年代，各国又掀起了新一轮的微积分课程的改革.美、英、法、日、俄罗斯、国和我国的地区等国家和地区都相继出版了新的针对高中阶段学生学习的微积分教材.例如，日本，文英堂，竹之修，高等学校新编，数学II（1998）；我国地区高中三年级学习使用的《理科数学》上、下册（1988）；英国，剑桥大学SMP教材系列，纯数学（1997）；俄罗斯出版了由吉洪诺夫担任科学指导，阿利莫夫等主编的高中“代数与分析初步”（2000）等新编高中微积分教材，都在课程容的选择、编制和教学上进行了有益的探索.2.2国外研究现状评价文献分别就微积分在中学数学应用中的重要性及微积分在求导和曲边形面积的计算中的意义举例做了说明，文献中主要阐述微积分在中学数学解题中的几种应用方法，没有全面的介绍中学数学中常用的微积分数学思想.而且文献中对微积分在中学数学中怎样应用的问题提及较少，对学生在应用微积分时存在的问题也未给出详细说明. 2.3提出问题在一些发达的省市，微积分已纳入高考，对微积分的进一步学习迫在眉睫，但就部分高中生而言，他们已具备较强的学习能力，数学学习过程中会根据教师的指导，除学好基础知识外，还会体会微积分的思想，总结微积分在各方面的应用.但对普通高中多数学生，要教好掌握高中数学知识尚且困难，更谈不上对微积分的具体应用有更进一步的了解.因此，除对问题解决中应用微积分外，还要对应用微积分过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨，包括了解中学数学与微积分的联系、微积分在中学数学中的地位和作用等.3微积分在中学数学教学中的应用3.1微积分与中学数学的联系微积分是高三数学第三册（选修2—2）的进一步延伸和发展，而这恰是高三学生步入大学需要继续学习微积分的基础.作为学习和研究数学的步骤，无疑是要先学习和掌握初等的微积分知识，进入大学后才能更好的学习和应用微积分.反之，学习高等数学中的微积分能加深对初等数学中微积分的理解和掌握，可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能力.但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接，使不少大一新生一接触到“数学分析”时，就对数学专业课产生了畏惧、抵触情绪.而且高等数学中的微积分理论与中学教学又严重脱节，许多大学师毕业生对如何运用微积分理论指导中学数学感到迷茫；毫无头绪.为了解决上述长期存在的问题，研究微积分在中学数学教学中的应用是一项有效的措施.3.2微积分在中学数学中的地位和作用微积分在高中阶段只从几何意义的角度出发讲了导数、微分、定积分三部分的容，为中学生进入大学埋下伏笔，微积分在中学数学解题中提供了新的方法，同时也提供了重要的思想，为中学生以后进一步学好微积分打下基础．在中学数学中我们可以用微积分的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些初等的方可以为中学生所接受, 而应用这些方法都可以将表面上看来完全无关的初等数学问题用几乎相同的方法解出.同时也可以对中学数学中的难题证明起到一些简化的作用.微积分的数学思想方法不仅在初等数学中有广泛的应用, 而且用微积分的观点往往可以揭示数学问题的本质, 从而使学生不仅知其然而且知其所以然.3.3微积分在中学数学解题中的应用3.3.1导数在求曲线的切线中的应用在中学教材里，由于初等数学知识本身的极限性，对切线的定义是建立在直线与圆和直线与圆锥曲线只有之个交点的基础上的，并且切线是不能穿过切线的.因此，求曲线的切线方法一般都是将直线方程与曲线方程组成方程组，消去y，化成关于x的一元二次方程，利用判别式0=∆来求解的.现在我们知道曲线上某点处的切线是曲线过该点的割线在这一点的极限位置，即只要曲线在这点的极限存在并连续，那么它的切线就存在.并且切线可以通过切点穿过这条曲线，即一条切线除切点外，还可能与这条曲线有其它的公共点，因此我们可以用导数的方法求曲线的切线.例1(2013年卷 理科)已知函数()x x x f ln 2-=，求曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程.解：函数()x f 的定义域为()∞+，0， ()xx f 21'-，()0>x 因为 ()11=f ，()11'-=f所以曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程为：()11--=-x y即02=-+y x因此，用导数的方法不仅修正了切线的定义，还可以用来求一些较为复杂的曲线的切线.3.3.2导数在不等式证明中的应用不等式不但是研究高等数学的重要工具，包括解不等式和不等式的证明两大部分容.相对来说，前者较易，后者较难.虽然在中学教材中也介绍了不等式证明的一些常用方法，如：比较法、分析综合法、反证法、数学归纳法等，但这些方法毕竟带有局限性，对于一些比较复杂的问题往往就不起作用，而且还有这些情况，题目略有不同，证明方法就迥然不同.总之，证明不等式是方法很多，要得出确定的方法几乎是不可能的.因此，不等式是证明在中学数学中是一个显著的难点.微积分却为不等式的明提供了强有力的方法和工具.下面通过例题分析说明利用导数证明不等式的基本方法和规律.例2已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 证明：构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ， 从其导数入手即可证明：1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为：0)0()(max ==f x f因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x∴x x ≤+)1ln( （右面得证） 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ，则： 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为：0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即：0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当1->x 时，有：x x x ≤+≤-+)1ln(111从此例可以看到，导数作为证明不等式的工具，方法简单、实用.而且渗透了很强的数学思想.3.3.3导数在恒等式证明中的应用的恒等式的证明在数学的各个分支几乎都要用到，这里就恒等式的三种情况（组合恒等式、代数恒等式、三角恒等式）利用导数的方法来证明更加简便.例3求证1321232-⋅=++++n n n n n nn nC C C C 解 方法一 利用组合数公式 11--=k n k n nC kC ，则()()1111110132121132------⋅=+⋅=+++=++++n n n n n n n n n n n n n C C C n nC C C C这种方法简单，但是技巧强，若想不到这样或者遗忘公式，就无法作答. 方法二 由二项式定理展开得：()nn n n n o n n x C x C x C C x ++++=+ 2211由幂函数的导数公式()1'-=n n nx x ，对上式两边求导得：()13211321--++++=+n n n n n n n x nC C x C C x n令1=x ，即可得：1321232-⋅=++++n n n n n n n nC C C C利用微积分中导数这种运算工具不仅能使问题变得简单，更重要的是可以优化解题过程，开阔学生视野，发展学生思维. 例3证明()()2112111321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++-证明：()'3212321n n x x x x nx x x ++++=++++-()()[]()21'111111x x x x n x x x x n n n --++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++()()21111x nx x n n n -++-=+例4 ()π=--343arccos arccos 3x x x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛≤21x证明：令()()343arccos arccos 3x x x X F --=,则()()()2322'43141313xx x xx F ---+--=当2121<<-x 时，()0131322'=-+--=xx x F 故在⎪⎭⎫⎝⎛-21,21，()c X F ≡令0=x ，则()()0arccos 20403arccos 0arccos 30=⨯-⨯-=Fππ=⋅=22故π=c ，所以在⎪⎭⎫⎝⎛-21,21，()π=--343arccos arccos 3x x x又π=⎪⎭⎫⎝⎛±21F ，所以当21≤x 时()π=--343arccos arccos 3x x x在三角学中，有时从关于正（余）弦的恒等式出发，通过求导，即可得到有关余（正）弦的相应很等式恒等式.3.3.4导数法在求函数极值、最大（小）值中的应用 一、求函数()x f 极值的方法[3]一般地，求函数()x f y =的极值的方法是： 解方程()0'=x f ，当()00'=x f 时：⑴如果在0x 附近的左侧()00'>x f ，右侧()00'<x f ，那么()0'x f 是极大值； ⑵如果在0x 附近的左侧()00'<x f ，右侧()00'>x f ，那么()0'x f 是极小值. 二、求函数()x f 最值的方法我们知道，如果()x f 在闭区间[]b a ,上连续，那么()x f 必可在[]b a ,上取得最大值和最小值.求最值的方法是：先求出()x f 在[]b a ,上的所有极值点，设1x ，2x ，……，n x ，则()()()()(){}b f x f x f x f a f Max f n Max ，，，，， 21= ()()()()(){}b f x f x f x f a f f n ，，，，， 21min m in =如果确知()x f 的最值存在的话，这个方法也适用于开区间和无穷区间.例5求()44313+-=x x x f 的极值 解：因为()44313+-=x x x f ，所以()()()2242'+-=-=x x x x f令()0'=x f ，解得2=x 或2-=x . 下面分两种情况讨论：①当()00'>x f 时，2>x 或2-<x ； ②当()00'<x f 时，22<<-x当x 变化时，()0'x f ，()x f 的变化如下表：因此，当2-=x 时，()x f 有极大值，极大值为()3282=-f 当2=x 时，()x f 有极小值，极小值为()342-=f例6求()44313+-=x x x f 在[]3,0上的最大值与最小值. 解：由例4可知，在[]3,0上，当2=x 时，()44313+-=x x x f 有极小值，并且极小值为()342-=f又由于()40=f ，()13=f 因此函数()44313+-=x x x f 在[]3,0上的最大值是4，最小值是34-. 通过这两个例题我们看到，求函数极大（小）值和最大（小）时，运用导数在计算过程中简单快捷.通过例题我们看到，初等方法只能处理一些特殊问题，有很大的局限性，并且往往需要一定的技巧，还容易遗漏一些极值点，导数法不但方法简单、统一，易于掌握和运用，而且不会漏掉极值点，更重要的是它的应用围比初等方法广得多.3.3.5导数在几何上的应用3.3.6导数在方程解的问题上的应用利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题. 例 若3>m ，则方程0123=+-mx x 在[]2,0上有多少根？ 解：设()123+-=mx x x f ，则()mx x x f 232'-=，当3>m 且[]2,0∈m 时，()0'<x f ，故()x f 在()2,0上单调递减，而()x f 在0=x 与2=x 处都连续，且()010>=f ， ()0492<-=m f故()x f 在[]2,0上只有一个根． 3.3.7导数在数列问题中的应用导数是解决函数问题的有力工具, 更为数学解题注入了新的活力. 由于数列可看作特殊的函数, 所以自然可联想、尝试、应用导数知识解决数列问题.例已知数列{}n a 满足：n nn a a a 3231+-=+，*∈N n ，且()1,01∈a ，求证： 10<<n a证明：构造函数()x x x f 23213+-=，则：()()()1123'+--=x x x f当()1,0∈x 时，()0'>x f ，所以()x f 在()1,0上是增函数. 因为()1,01∈a ，即：101<<a故1=n 时，原不等式成立.设k n =时，原不等式成立，即10<<k a 因为()x f 在()1,0上是增函数，所以()()()10f a f f k <<又()00=f ，()11=f ，所以()10<<k a f ，即101<<+k a即1+=k n 时，原不等式成立，故：当*∈N n 时，10<<n a导数在数列中的应用还远不止这些，如利用导数还可以确定数列的最大项和最小项、研究数列的增减性、求数列的前n 项和等，但基本思想方法是一样的，在这里就不一一例举.3.3.8运用微分学知识研究函数图像[4]函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图形．学微分学之前，用描点法作图是十分必要的，不过它有缺陷，带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等．而运用微分学作出的函数图像，就能克服描点法作图的缺点，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断．一般来说，讨论函数图像的步骤是：例4定积分在中学数学中的应用定积分是新课标中选修2—2新加的容，《课标》对定积分的定位如下：“（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础；（2）通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值．可见，高中课程学习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和基本方法，从一些实例中初步认识定积分的工具作用．纵观这几年新课改地区高考主要在定积分的求法，定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章．4.1定积分在求曲边形面积上的应用定积分的几何意义[3]：如果在区间[]b a ,上函数()x f 连续且恒有()0≥x f ，那么定积分()⎰ba dx x f 表示直线a x =，b x =，0=y 和曲线()x f y =所围成的曲边梯形的面积.例(2013年卷理科) 求直线 l 过抛物线y x C 4:2=的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于解析：本题考查抛物线的性质，定积分的计算.利用微积分基本定理求解.因为l 的方程是1=y ，所求面积等于一个矩形的面积减去一个积分值，即38122442420322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-=⎰x dx x S 例4.2积分在不等式证明中的应用利用导数之所以能证明不等式，主要是因为导数可以判断函数的单调性，可以求函数的极值和最值，此外还可以应用微分中值定理等等.而积分与微分互为逆运算，积分本身又具有单调性，此外也有积分中值定理，再加上积分明显的几何直观，使积分在不等的证明中也有广泛的应用. 例 比较12-和()21ln +的大小解： ∵1211102102-=+=+⎰x dx x x ()21ln ln111122+==+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰x x xdx而当10≤≤x 时，有22111xx x+>+∴由积分单调性得()12ln 21->+4.3定积分在组合恒等式证明中的应用选择适当的二项式，通过求导运算，可以证明组合恒等式，这是我们在3.3中已经介绍过.同样，选择适当的二项式，通过积分运算，也可以证明组合恒等式.例 证明()11113121210+=+-+-+-n C n C C C n n nn n n 证明：考虑积分()⎰-=11dx x I n的两种算法：①11111+==-=⎰⎰-=n du u du u I n nxu ②()dx x C I n k k n kk n ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-1001()()1111010+-=-=∑⎰∑==k C dx x Ckn knk k nk knk()n nnn n nC n C C C 113121210+-+-+-= 比较积分I 的两种计算结果，即得所证.局限于高中对微积分不做过深的研究，如定积分在求平面区域的面积，求平面曲线的弧长，求旋转体的体积，求旋转体的侧面积等方面的应用在这就不做过多的讨论.5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性5.1提高现代数学教师修养的必要性5.2提高现代数学教师修养的可行性6结论6.1主要发现微积分在高考中越来越来被重视，且题型灵活多变，一般的学生难于把握，在解决的过程中更是困难重重，在解题中很难找到清晰的思路.然而当学生能够灵活掌握导数在解题中的应用以及数学思想方法，以其为指导，并熟练掌握微积分的基础知识以后，问题就能够迎刃而解，使得在解决微积分问题时思路清晰，运算简便，尤其是导数在求函数的单调性、极大（小）值和定积分在计算曲边形面积时对学生的帮助很大.6.2启示从上面的研究中可以看出微积分在求曲线的斜率、不等式的证明、函数的单调性以及求极大极小值、曲边梯形等有着广泛的应用，以后在处理微积分问题时，若能灵活应用微积分在这些方面的数学思想，对学生学习则会起到事半功倍的效果；微积分是高中教材选修2—2新增的容，无论是对于教师还是学生都是“新”的.作为教师要从思想方法上指导学生，6.3局限性本文主要就几种微积分在中学数学上的应用举例说明，其主要是归结概括，还有诸多知识需待补充，微积分在中学数学中的应用远远不止这些，未能一一例举.而本只介绍了几种微积分常用思想，其余的还有待进一步探讨.6.4努力方面微积分在中学数学中应用的领域众多，并不是短时间就可以学习掌握的.学好微积分是学习数学的关键，应用微积分可以解决很多数学数学问题，需进一步学习积累，灵活应用，以解决各类数学问题.参考文献[1]孟季和.中学微积分教材教法[M].：，1983：73—221[2]发祯.微积分在中学数学中的应用[M].教育，1991[3] 人民教育课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）.人民教育.2009.。
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 函数概念的理解：微积分中的函数概念是在中学数学的基础上进一步深化而来的。
通过微积分的学习，可以更好地理解函数概念的本质，掌握函数的应用。
2. 几何应用：微积分中的微元法可以应用于中学数学中的几何问题。
例如，计算曲线的长度、曲率、面积等问题，都可以通过微元法来解决。
3. 方程的求解：中学数学中的方程问题可以通过微积分中的微分方程来解决。
例如，求解函数的导数、积分、微分方程等问题，都可以通过微积分来解决。
4. 数值计算：微积分中的数值计算方法可以应用于中学数学中的数值计算问题。
例如，求解函数的极值、拐点、数值积分等问题，都可以通过微积分来解决。
需要注意的是，微积分在中学数学中的应用主要是一些简单的问题，需要以实际需求为基础，选择合适的方法和技巧来解决。
同时，中学数学中的知识点有限，可能无法提供足够的支撑，需要借助其他工具和方法来辅助解决一些复杂的问题。
微积分在中学数学中的应用开题报告
<2>、2013年1月1日—1月20日：开题、撰写开题报告。
<3>、2013年2月1日—3月25日：撰写论文、提交初稿。
<4>、2013年4月2日—4月11日：修改初稿、提交第二稿。
<5>、2013年4月20日—4月30日：修改第二稿、定稿。
山西大同大学
学院：数计学院 系别：数学系 专业(专业方向)：数学与应用数学
论文题目
微积分在中学数学中的应用
指导教师
王鲜凤
职称
讲师
学生姓名
苗慧芳
学号
090701011427
一、研究目的(选题的意义和预期应用价值)
微积分是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。它是我国现在普遍使用的高中数学教材中增加的部分，蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用和价值。学习微积分的知识可以进一步提高学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力,可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力,有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用。将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现，而且可以进而指导初等数学的教学工作。对于中学数学中一些问题的解决用初等数学的方法可能繁琐、困难甚至根本无法做到，但利用微积分解决则能取得意想不到的效果。作为一名未来的中学教师不但要掌握中学数学中各种题型的一般解法，也要能运用高等数学中相应知识来解答，从而提高教师专业素质。其中微积分就是一个重要的知识点。是个值得研究的课题。
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微分中值定理与导数在中学数学中的应用
微分中值定理与导数在中学数学中的应用微分中值定理与导数在中学数学中的应用微分中值定理和导数是中学数学中的重要内容，也是数学和物理等学科中不可或缺的基本工具。
本文将介绍微分中值定理和导数在中学数学中的应用。
微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个基本定理，主要用于研究函数在一定区间内的变化情况。
微分中值定理有三种形式，分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是指：若函数f(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(b)−f(a)b−a=f′(c)。
拉格朗日中值定理可用于解决函数极值、函数单调性等问题。
柯西中值定理柯西中值定理是指：若函数f(x)和g(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且g′(x)≠0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)。
柯西中值定理可用于解决函数图像的相交问题、微商和导数的求法等问题。
罗尔中值定理罗尔中值定理是指：若函数f(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f′(c)=0。
罗尔中值定理可用于解决函数的零点问题、函数图像的最值问题等。
导数的应用导数是微积分的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。
导数具有计算简便、应用范围广泛等优点，被广泛应用于数学、物理等学科中。
导数的应用主要包括函数的极值、函数的单调性、函数的凹凸性、函数图像的研究等。
函数的极值函数的极值是指函数在某一点处取得的最值。
要求函数在该点求出导数，当导数为0或不存在时，该点即为函数的极值点。
函数的极值可用于解决优化问题、最值问题等实际应用问题。
函数的单调性函数的单调性是指函数在某一区间内的增减情况。
要求函数在该区间内求出导数，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。
函数的单调性可用于解决函数图像的特点问题、函数值域问题等。
浅谈微分学在中学数学教学中的应用
浅谈微分学在中学数学教学中的应用１ 序言法国数学家费马为研究极值问题而提出了导数的理论．微分学在经过费马、牛顿和莱布尼茨等多位数学家的辛辛耕耘，由萌芽状态转化为比较成熟的状态，以几乎完备的数学体系展现在世人面前．导数的提出是依据当时的实际问题．英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学建立与导数紧密相联系的数学模型，进而对已知运动规律和已知曲线求它的切线的问题进行求解．由导数与微分的关系，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积,函数的导数就等于函数微分与自变量微分的商，因此也常称导数为微商．微分在数学中有许多重要的应用，尤其在中学数学中应用，它能提高学生的运用相关知识解决实际问题的能力，有提升学生严谨的思维的作用．使数学的研究领域也随之扩展，而我们现在所学习的微分学是前人的精华，随着社会向前推进，社会规律的探索，向前发展，面临了大量的急需解决的问题，需要我们掌握并灵活运用微分学去解决，提升我们的能力，使之更加完备．在中学教学中，建立相应的数学模型，解决简单的问题，提高学生生活实践能力，进而为社会培养有用的人才．２ 在求曲线的切线方程中的应用在中学教材中，由于初等数学知识和方法本身的局限性，对于曲线的切线问题的解法，出现了解题过程繁琐复杂，并没有固定的解题方法,定义不严谨，但随着微分学进入中学教材后，对上述问题给出了一般的解法，并给出了明确的定义,从而降低了解题的难度,同时也大大加强了对知识体系渗透性理解．曲线的切线的一般定义[]()11P ：设0M 是曲线()y f x =上一定点，M 是该曲线上的一动点，从而有割线0M M ，令M 沿着曲线无限趋近于0M ，则割线0M M 的极限位置是曲线()y f x =在0M 的切线．这一切线定义可以用于求解任何曲线()y f x =的切线方程．故运用上述的切线的一般定义和函数()f x 在0x 处的导数的几何意义：就是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率()0f x '，于是相应的切线方程就是：()()000y y f x x x '-=-．例1[]()11P 若直线31y x =+是曲线3y ax =的切线，试求出a 的值．解 设直线31y x =+与曲线3y ax =相切于点()00,P x y ，因为曲线方程为3y ax =,所以23y ax '=则()()()00300203112333y x y ax ax =+⎧⎪=⎨⎪=⎩由（1），（2）得30031x ax +=，由（3）得201ax =．将它代人上式得0031x x +=，所以012x =-，于是2112a ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即4a =．例2 求曲线2y x =和1y x=()0x <的公切线方程． 解 设公切线在2y x=()0x <上的切点为()211,x x ，在1y x=()0x <上的切点为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则公切线作为曲线2y x =的切线，其方程为()21112y x x x x =+- （1）公切线作为曲线1y x=的切线，其方程为 ()222211y x x x x =-- （2） 由（1）式和（2）式解得12212x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ， 所以公切线方程为 440x y ++=．例3[]()252P 已知()f x 是(),-∞+∞上的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式()1sin f x +-()31sin f x -()8x x ο=+()0x →，且()f x 在点1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．解 令sin x t =，注意到当()0x →时，0t →，且sin ~x x ，arcsin ~x x ，题设条件可改写为()()()1318f t f t t t ο+--=+()0t →（1）又因为()f x 在点1x =处可导，所以()()()111f t f f t '±=±+()t ο()0t →（2）将（2）式代入（1）式，得()()2141f f t '-++()t ο()8t t ο=+所以()10f =，()12f '=，从而，所求切线方程为()21y x =-．３ 在函数单调性中的应用在初等数学中讨论函数()y f x =的单调性时常用的方法是：在给定区间D 上，任取1x ，2x ，令1x <2x ，若()()120f x f x -<，则()y f x =在区间D 上是增函数；令1x <2x ，若()()120f x f x ->，则()y f x =在区间D 上是减函数．这种方法通俗易懂便于学生接受．但是在函数比较复杂时，对()()120f x f x ->或()()120f x f x -<做出判断时会很困难，技巧性很强，且适用范围也比较窄．在中学引入导数之后，用导数判别函数的单调性就使得很多复杂的问题简单化．用导数判别函数单调性的方法是：设函数()f x 在区间D 可导，若()f x '0>，则函数()f x 在区间D 上是增函数；若()f x '0<，则函数()f x 在区间D 上是减函数．例1[]()11P 判断函数31y x x =-和32y x x =+在(),-∞+∞上的单调性．解 由于2131y x '=-3x x ⎛= ⎝333x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令10y '>，则3x <-或3x >， 令10y '<，则33x -<<所以31y x x =-在3,,3⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调增加，在⎛ ⎝⎭内单调减少．而 2231y x '=+ 0>，所以32y x x =+在(),-∞+∞上单调增加．例2 设0a >，求函数()f x ()ln x a =+()0,x ∈+∞的单调区间．解 当0a >,0x >时, 有()1f x x a'=+， ()0f x '>⇔()22240x a x a +-+>， ()0f x '<⇔()22240x a x a +-+<．（1）当1a >时，()22240x a x a +-+>恒成立，即()0f x '>，则()f x 在()0,+∞内单调增加．（2）当1a =时，对1x ≠，有()22240x a x a +-+>，即()0f x '>，则()f x 在()0,1内单调增加，又函数()f x 在1x =处连续，所以()f x 在()0,+∞内单调增加．（3）当01a <<时，令()0f x '>即()22240x a x a +-+>，解得2x a <--2x a >-+，故函数()f x 在区间(0,2a --内单调增加，在区间()2a -++∞内也单调增加．令()0f x '<，即()22240x a x a +-+<，解得 22a x a --<-+故函数()f x 在区间(2a a ---+内单调减少．例3 求证()f x 12arctan1x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭在()0,1内单调减少．证明 设()1x x x ϕ=-，则()x ϕ0>，()()0,1x ∈，()111x x ϕ'⎛⎫'=- ⎪-⎝⎭()211x =-0>，()()0,1x ∈，所以()arctan x ϕ'⎡⎤⎣⎦()()21x x ϕϕ'=+0>，()()0,1x ∈ （1） 又因为()()()12arctan f x x ϕ-=，所以()()()()()321arctan arctan 2f x x x ϕϕ-''=-（2）联合（1）式和（2）式可知，()0f x '<()()0,1x ∈，从而()f x 在()0,1内单调减少．４ 在不等式证明中的应用在初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、配方法等方法解决或运用已有的不等式证明，往往先要进行恒等变形，这需要较高的技巧．在学习了微积分的知识以后，利用微积分的知识和方法，例如微分中值定理、函数的增减性、极值判别法、可简化不等式的证明过程，降低技巧性．例1[]()4199P 证明以下不等式：1xe x >+和212xx e x >++()0x >．证明 设()f x 1xe x =--,则()1xf x e '=-0>()0x >，所以()f x 递增．又()00f =，故()f x 1xe x =--0>，即1xe x >+．设()212xx y x e x =---，则()1x y x e x '=--．由上面已证得的结论：1xe x >+，可知()0y x '>，即212xx e x >++．例2[]()4199P 证明 ()log a b a+()log a b c a c +++>()0,0,1b c a >>>．证明 设()()()log 1x b xf x x +=>，则()()ln ln x b f x x+=，因为()()()2ln ln ln x b x x b x f x x +-+'=， 所以()0f x '<，即()f x 是减函数．于是有()()f a f a c >+，即()log a b a+()log a b c a c +++>．例3 证明 当0x >时, 1arctan 2x x π+>． 证明 令()1arctan 2f x x x π=+-, 则()221101f x x x '=-<+,()0,x ∈+∞,所以()f x 在()0,+∞内递减．又()1lim lim arctan 02x x f x x x π→+∞→+∞⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故()1arctan 2f x x x π=+-0>，即1arctan 2x x π+>，()0,x ∈+∞． ５ 在极值中的应用在初等数学中，求函数极值的方法主要是 利用二次函数的定点、三角函数、不等式以及曲线的端点等特殊点求极值．这些求极值的方法一般思路都比较简单，但化简起来比较麻烦，一般需要一定的技巧性．用微分学的知识求极值就避免了这些问题．充分条件（1） 设()f x 在点0x 处连续，且在点0x 的某空心邻域内可导，若当x 从0x 的左侧变到右侧时，()f x '的符号由“正”变“负”（或由“负”变“正”），则()0f x 为极大值（或极小值）；若()f x '不变号，则()0f x 不是极值．充分条件（2） 设0x 是函数()f x 的驻点，且()0f x ''≠，若()0f x ''>，则()0f x 为极小值点，若()0f x ''<，则()0f x 为极大值点．判别函数的极值的第一充分条件比较全面，不易出错．第二充分条件判别极值较为方便，但对()0f x ''=和()f x ''不存在的点不能用此判别而改为第一充分条件判别，因此用第一条件判别极值是最基本的方法．例1 求函数()f x 22x x e-=⋅的极值．解 方法一 用第一充分条件判断 由()()22222x x f x xex e x --'=+⋅-()2221x xe x -=-，令()0f x '=，得驻点：11x =-，20x =，31x =．把定义域(),-∞+∞分成几个部分区间，可列表讨论：由表可知，()00f =为极小值，()11f e -±=为极大值．方法二 用第二充分条件判断由()f x '()2221xxe x -=-，令()0f x '=，得驻点：11x =-，20x =，31x =．又因为()()2242104x f x x x e -''=-+，()020f ''=>，所以()00f =是极小值．又()1140f e -±=-<，所以()11f e -±=是极大值．例2 设0()0f x +'>，0()0f x -'<，证明0x 是()f x 的极小值点． 证明 由0()0f x +'>可知，当0δ>足够小时，若00x x δ<-<，则00()()0f x f x x x ->-，于是0()()0f x f x ->；同理：由0()0f x -'<，可知，当0δ>足够小时，若00x x δ-<-<，则00()()0f x f x x x -<-，于是也有0()()0f x f x ->，从而可知0x 是()f x 的极小值点．该题用极小值的定义及导数的定义证明0x 是()f x 的极小值点，用定义法证明问题是我们常用的方法之一．例3 设()f x 在R 上存在二阶导数，且对任意x R ∈满足 2()3[()]1xxf x x f x e -'''+=-． （1）若()f x 在(0)x c c =≠，取极值，证明()f c 必为极小值； （2）若()f x 在0x =取极值，问(0)f 是极大值还是极小值．证明 (1)若()f x 在(0)x c c =≠取极值，则()0f c '=，这时有1()0ce f c c--''=>，所以()f c 必为极小值．(2)若()f x 在0x =取极值，且1()xe f x x--''=23[()]f x '-，(0)0f '=， 2001lim ()lim[3[()]]10xx x e f x f x x-→→-'''=-=> 在0x =附近总有()0f x ''>，因此(0)f 是极小值．６ 在解方程中的应用在初等数学中求方程根的个数，大多数是采用图像法和因式分解法．图像法对作图的准确性要求较高，往往由于作图误差而出错；因式分解法对运算能力要求较高，但学习了微分学的知识后，用导数的方法就降低了难度．例１ 求证方程1sin 02x x -=只有一个根． 证明 构造函数()1sin 2f x x x =-，x R ∈．因为()11cos 02f x x '=->，所以()f x 在R 上是单调递增的．又()00f =，所以曲线()y f x =与x 轴有且仅有一个交点，即方程1sin 02x x -=有唯一的一个根．例２ 已知函数()43241027f x x x x =-+-，则方程()0f x =在[]2,10上的根的个数是多少？解 因为()3241220f x x x x '=-+，令()0f x '=，得()24350x x x -+=．因为235x x -+0=无实数解，所以0x =．所以()f x 的图像的驻点只有一个0x =．当0x >时，()()24350f x x x x '=-+>，所以()f x 在()0,+∞上是增函数，所以()f x 在[]2,10上是增函数． 又因为()230f =-<，()100f >，所以()f x 在[]2,10上有且只有一个根．例３[]()3117118P - 讨论方程()0x xe a a -=>有几个根．解 令()x f x xe a -=-，则()()1x f x x e -'=-，故当1x <时，()0f x '>，()f x 单调增加；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调减少，从而()11f e a -=-是()f x 的最大值．若10e a --<，即1a e ->，()()10f x f ≤<，方程无实根；若1a e -<，由()f -∞=-∞，()10f >，且()f x 在(),1-∞内单调增加，故()f x 在(),1-∞内有且仅有一个实数根；又由()0f a +∞=-<，()10f >，()f x 在()1,+∞内单调减少，故()f x 在()1,+∞内亦有且仅有一个实数根，从而()f x 在(),-∞+∞内有两个实数根；若1a e=，则方程有唯一实数根1x =． 7 在数列问题中的应用因为数列可以看作特殊的函数所以用导数知识解决数列问题，用导数可以确定数列的最大项或最小项，研究数列的增减性、证明数列不等式．例１ 已知数列{}n a 的通项238n a n n =-，n N +∈，求数列{}n a 的最大项．解 构造辅助函数()238f x x x =-，()0x >，则()2163f x x x '=-，显然，当1603x <<时，()0f x '>；当163x >时，()0f x '<，故()f x 在区间160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在区间16,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，所以当163x =时，函数()f x 取最大值． 对于n N +∈，()238f n n n =-，()575f =，()672f =．所以(){}max75f n =，即数列{}n a 的最大项为575a =．例２ 设定义在R 上的函数()f x 与数列{}n a 满足：1a α>，其中α是方程()f x x =的实数根；()1n n a f a +=；()f x 可导，且()()0,1f x '∈．（1）证明 n a α>；（2）判定n a 与1n a +的大小关系，并给出证明．证明 (1) 由已知1a α>，即1n =时，n a α>成立．设n k =时，k a α>．因为()0f x '>，所以()f x 是增函数，所以()()1k k a f a fα+=>．又由题设可知()f αα=，所以1k a α+>，即1n k =+时，命题成立．综上可知，当n N +∈时，n a α>成立．（2）要比较n a ，1n a +的大小，即比较n a 和()n f a 的大小，构造辅助函数()()g x x f x =-，则()()10g x f x ''=->，故()g x 是增函数．所以当n a α>时，()()n g a g α>．又因为()()g fααα=-0=，()()n n n g a a f a =-，所以()0n n a f a ->，故()n n a f a >，即1n n a a +>．例３ 已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n N +∈，且()10,1a ∈．求证 01n a <<．证明 构造辅助函数()31322f x x x =-+，则()()()3112f x x x '=--+．当()0,1x ∈时，()0f x '>．所以()f x 在()0,1上是增函数，因为()10,1a ∈，即101a <<，故当1n =时，原不等式成立．设n k =时原不等式成立，即01k a <<，因为()f x 在()0,1上是增函数，所以()()()01k f f a f <<．又()00f =，()11f =，所以()01k f a <<，即101k a +<<．即1n k =+时，原不等式成立，故n N +∈时，01n a <<．8 曲线的凸向与拐点定义 设函数()f x 在某区间内可导，曲线()y f x =上任一点处的切线都在曲线的上（下）方，则称曲线在该区间是向上（下）凸，（亦称凸（凹）弧），连续函数的凸弧与凹弧的分解点叫该曲线的拐点．判别法 设()f x 在(),a b 内具有二阶导数，若在该区间上()0f x ''>（()0f x ''<）则在该区间是下（上）凸的．例1[]()3117118P - 求下列曲线上（下）凸区间及拐点（1）()2ln 1y x=+； （2）y a =解 （1）因为221xy x '=+，()()222211x y x -''=+， 令0y ''=，得1x =±，故点1,1-把函数定义域(),-∞+∞分成三个区间， 可列表如下：由表可知，曲线的上凸区间是(),1-∞-，()1,+∞；下凸区间是()1,1-；拐点为()1,ln 2-，()1,ln 2（２）因为()2313y xb -'=--，()5329y xb -''=-，在x b =处，y '，y ''不存在，但y 在x b=处连续，当x b -∞<<时，0y ''<，故曲线在(),b -∞上凸；当b x <<+∞时，0y ''>，故曲线在(),b +∞下凸，所以点(),b a 是曲线的拐点，而(),b -∞，(),b +∞分别是曲线的上凸区间、下凸区间．注：求曲线拐点时，其二阶导数不存在的点也有可能是拐点，故也应予以判定．9 导数在实际问题中的应用在实际生活、生产中，经常会遇到求函数最大（小）值的问题，若建立的目标函数是三次函数、高次多项式函数、分式函数、无理函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，及时能求出，也要涉及到较高的技巧，而运用导数知识，求目标函数的最值就变的非常简单．例1[]()5132P 在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图所示），做成一个无盖的方底盒子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？解 设箱子底边长为x ,则箱高602x h -=，箱子容积 23260()(060)2x x V x x h x -==<<，23()602V x x x '=- 令23()602V x x x '=-0=，解得0x =（舍去），40x =，在定义域)(0,60内，函数()V x 只有在40x =处使得()0V x '=，故在40x =处取得最大值()max 40V V ==316000cm ．例2 铁路线上AB 段的距离为100km ，工厂C 距A 处为20km ，AB 垂直于AC （如图），为了运输需要，要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路每千米货运的运费与公路上每千米的货运的运费之比是5:3，为了使货物从供应站到工厂C 的运费最少，问D 点应选在何处？解 设()AD x km =，那么100DB x =-，CD 设从B 点到C 点的总运费为y ，由已知可得()53100y k x =-，0100x ≤≤，0k >，则 3y k ⎛⎫'=-⎪⎭， 令0y '=，得15x =，因为y 在]0,100⎡⎣内连续，故y 的最小值在稳定点或端点处取得，当0x =时，400y k =；当15x =，380y k =；当100x =时，500y =380y k =为最小，因此，当15AD =时，总运输费最少．例3[]()3127128P - 将一长为a 的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？解 设围成正方形的铁丝长为x ，围成圆形的铁丝长为y ，则正方形的边长为14x ，圆形的半径为12y π，于是正方形与圆面积之和为222211142164y s x x y πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设x y a +=，将y a x =-代入上式，得A D BC()()2211164S S x x a x π==+-，()()1182S x x a x π'=--， 令()0S x '=得驻点44a x π=+，由11()082S x π''=+>，故当44a x π=+时，()S x 取得极小值，也是最小值．由x y a +=可得y a x =-4a ππ=+．因此，当围成正方形的铁丝之长为44a π+，围成圆形的铁丝之长为4a ππ+时，正方形与圆形面积之和最小，其最小面积为()244a S π=+． 求实际问题的最值是导数应用的主要内容之一，解题的关键是要理清各量之间的关系，建立目标函数，判断函数的极值及端点的函数值，进而确定函数的最值情况．。
积分在中学数学中的融合与应用
单讲述，使学生对数学问题有简单的解决思路。
微积分是数学中所占比重较大的一项内容，在数学课程的学习中必须要借助微积分中的一些思想才能解决更多的数学问题，在中学的数学教育中就要重视对数学思想的教授，所以微积分的相关内容必须在中学数学课程中进行简单的讲解，以便学生在日后学习更难的数学知识。
只有将微积分中的数学思想进行简单的理解，才能将中学数学学习得更加透彻。
一、微积分在中学数学中的应用概况1.微积分学的发展背景微积分是数学中较为基础的课程，它涵盖许多数学领域中的知识，涉及的数学思想有很多方面。
微积分学的发展过程较为漫长，它虽然是属于数学范畴中的一项基本内容，但是解决微积分问题要用属于微积分的独特数学思想才能够进行。
微积分学中的基础问题就是利用微积分的思想来进行求解不规则几何图形的面积，这种解决数学问题的重要方法对于数学中其他难题的分析也有着重要的意义。
微积分学中内容在发展中进行不断的完善，在微积分学开始建立时只是由简单的数学思想和少数的典型问题所构成，随着数学知识的拓展与创新，微积分学也进行了较大的变革，增加了很多的问题类型，更加深入地进行微积分数学思想的涵盖。
在传统的中学数学中不进行对微积分的要求，中学数学中微积分方面的内容几乎没有涉猎，这对于学生在日后对学习数学是十分不利的，微积分学的思想对于数学的学习十分重要，所以在中学数学中加入微积分的内容对学生的数学学习至关重要。
2.现阶段中学数学的发展分析我国中学数学教育课程中在近些年有着较大的变动，在进行中学数学课程选择时遇到很多存在矛盾的方面，数学学习主要是学习思想，这种思想上的学习就要通过完善的知识体系来进行，如果缺少某项必要的数学内容，数学中的整体思想就会出现漏洞，以至于对学生的数学学习产生不好的影响。
现阶段我国中学数学中缺少微积分等必要内容的讲授，这种必要知识的缺失会对学生的数学学习产生很大的障碍，知识链的断裂会使学生在日后的数学学习中产生较大的困难，有一些问题没有正确的数学思程中去，只有这样，才能使中学生进行全面正确的数学思想掌握。
微积分与中学数学的关联
微积分与中学数学的关联微积分和中学数学分别是数学学科中的两个重要阶段，它们之间有着密切的关联。
微积分作为更高层次的数学学科，其思想和工具在中学数学中已经有所体现和应用。
本文将从历史回顾、中学数学中的微积分、微积分与中学数学的互动以及结论四个方面探讨微积分与中学数学的关联。
历史回顾微积分的起源可以追溯到17世纪，当时科学家们为了解决一些实际问题，如速度、曲线下的面积和体积等，逐渐发展出了微积分的基本概念和方法。
微积分的诞生可以看作是数学和自然科学的一次重大革命，它为现代科学技术的发展提供了强有力的工具。
在中学数学中，学生们也开始接触到微积分的基本思想，如极限、导数和积分等，为后续的学习打下了基础。
中学数学中的微积分微积分在中学数学中的应用范围很广。
首先是在函数的学习中，学生们可以通过学习导数来了解函数的变化率和函数图象的形态。
在解决一些实际问题，如最大值、最小值和曲线长度等问题时，也需要用到微积分的知识。
同时，积分学也在中学数学中有所介绍，学生们可以初步了解积分的概念和应用。
微积分与中学数学的互动微积分对中学数学的影响主要体现在以下几个方面。
微积分的基本思想和方法可以帮助学生更好地理解中学数学中的一些基本概念，如函数、导数和积分等。
微积分在解决一些综合性较强的问题时具有独特的优势，学生们可以通过学习微积分来提高解题能力和创新思维。
微积分的学习可以提升学生们的数学素养和思维能力，帮助他们更好地应对未来的挑战。
微积分和中学数学之间存在着紧密的关联。
微积分作为更高层次的数学学科，其思想和工具在中学数学中已经有所体现和应用。
通过学习微积分，学生们可以更好地理解数学的基本概念、方法和思想，提高解题能力和创新思维，同时也可以提升数学素养和思维能力。
因此，教育者应该更加注重微积分教学的质量和效果，让学生们能够真正掌握微积分这一强有力的工具，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
微积分知识在解决中学数学问题中的应用微积分是数学领域中的重要分支，它研究的是变量之间的关系和变化过程。
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用摘要：用高等数学乃至现代数学的思想、观点和方法来分析、认识初等数学的内容，高屋建瓴地处理教材，是高等专业学校数学教学中的一个重要问题。
本文从求函数的极值、讨论函数的单调性、不等式的证明、恒等式的证明、切线方程的求法、数的概念的深刻理解、定积分计算体积等七个方面对微积分在中学数学中的应用问题加以分析，既为解决中学数学的相关问题找到了一些新的解题途径，又使微积分对中学数学的指导作用得到了具体说明。
这样，既拓宽了数学解题的思路，使学生原有的数学知识体系更连贯，学生对知识的理解也更深刻，也能对学生学习高等数学产生良好的心理效应。
关键词：微积分；切线方程；单调性；极值我国现在普遍使用的高中数学教材(人民教育出版社)中，增加了微积分的部分知识。
为什么要增加这部分内容，笔者认为，至少有以下五个原因：一是微积分是人类宝贵的精神财富，加进微积分知识可以增强高中数学的人文价值：二是使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养；三是可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高；四是增加了解决实际问题的工具，有利于学生分析问题、解决问题能力的培养；五是微积分进入中学已成为国际潮流。
本文将就第三条原因展开讨论，主要讨论微积分在初等数学中的应用问题。
一、求函数的极值初等数学中，经常用不等式、配方法求极值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。
但这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值。
用微积分方法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分。
例1.求++1的极值解： =，令=0 得解得或由可得或，因此：当时,得极小=；当时，得极大=3；当时，得极大=1此题若用配方法解如下：(+)2+，当时，得极小=；当时,得极大=3,但很容易遗漏极大=1.二、讨论函数的单调性初等数学中讨论函数的单调性时，经常在某区间任取，令若，则在该区间单调增加。
微积分在初等数学解题中的应用
又1 < m < n ，且 m、n 是正整数，故 f (m) > f (n) ．
即 ln(1+ m) > ln(1+ n) ．从而有 (1 + m)n > (1 + n)m ．
m
n
评注：本题有多种证法，上面通过构造函数利
用导数由函数的单调性来证，证法新颖、简洁，是
证明不等式的一种新方法.
4.应用于化简三角函数式
证明不等式从函数思想上理解实质上是研究函
数值的大小关系问题．因此根据不等式的结构特点，
构造适当的函数，将不等式问题转化为函数问题，
进而通过求导法判断函数的单调性或最值，再利用
函数单调性或最值来证明不等式．
例 4 设 e 是自然对数的底，π 是圆周率，求证
eπ > π e ．
证明：因为函数 y = ln x 单调递增，故 eπ > π e 等
此题若用配方法解，可得 y = (cosx +1/ 2)2 + 3/ 4 ．
当 cos x = −1 / 2 时，得 y 极小=3/4；当 cos x = 1 时， 得 y 极大= 3．但很容易遗漏 y 极大=1．
2.应用于讨论函数的单调性
初等数学中讨论函数 y = f (x) 的单调性时，经 常在某区间任取 x1、x2 ，令 x1 < x2 ，若 f (x1) − f (x2 ) < 0 ，则 y = f (x) 在该区间单调递增；若 f (x1) − f (x2 ) > 0 ，则 y = f (x) 在该区间单调递减．该方法的优点 是直观易懂，其) 的正负比较困难，往往要求运用较高技 巧，且适用面也较窄．运用微积分方法讨论函数单
浅析微积分在中学数学中的应用
毕业论文（设计）论文（设计）题目：浅析微积分在中学数学中的应用姓名学号院系专业年级指导教师2016年04月17日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章引言 (3)第2章中学微积分的基本数学思想方法 (4)2.1 “极限”思想 (4)2.2 化归思想[1] (5)第3章微积分在中学数学中的应用 (7)3.1 导数在函数单调性问题上的应用 (7)3.2 利用导数求函数的极值问题 (7)3.3 函数的变化形态及作图 (8)3.4 微积分在解方程中的应用 (10)3.5 不等式的证明 (10)3.6 恒等式的证明 (11)3.7 曲线的切线及求法 (12)第4章结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要本文对微积分中的思想诸如如函数的思想、极限的思想、和化归思想等思想都有深浅不同的探讨。
我们使用微积分的方法来讨论函数的单调性、函数的极值和最值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法。
这样就简化了解题思路和步骤，更深层次的体现出微积分与中学数学间的联系。
关键词：微积分；函数形态；思想方法ABSTRACTThis article focuses on the varying degrees of the main mathematical thinking in calculus,such as limit thought,the the thought of function,and the transforming thought.In discussions on the monotonicity of the function, and the function extreme value and maximum function, and the change of configuration and mapping, application of calculus in solving equations, inequalities and proof of identity, the tangent of the curve and the method, using the methods of calculus to solve problem more easy, in order to reflect calculus links with the middle school mathematics.Key words: Calculus;Function form;Math Thought第1章引言由古至今数学都与人类的生活息息相关，特别是当今社会，科技迅速的发展，高科技产物的层出不穷也使得人们对生活质量的需要越来越高。