排列组合解题技巧综合复习.docx

排列组合综合应用（导学案）

学习目标：1 ?进一步熟悉解决排列组合问题的基本方法；

2.学会基本的排列组合应用题的解题方法

3.学会应用数学思想分析解决排列组合问题。

学习重点：会运用基本的方法和技巧解决常见的排列组合问题。

学习难点：分类讨论时如何做到不重不漏。

学习方法：指导学习法。

学习过程：

（-）基础知识回顾：

1、排列：一般地，从〃个不同的元素中任取mg个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从“个不同元索中取出加个元索的一个排列.（其中被取的对象叫做元索）排列数：从〃个不同的元素小取出加伽Wn）个元素的所有排列的个数，叫做从〃个不同元索中取出〃7个元索的排列数，用符号A；表示.

排歹U 数公式：, m , n G N+ ,并且加Wn ?

全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.

〃的阶乘：正整数rtll到“的连乘积，叫作"的阶乘，用川表示.规定：0!=1 .

2、组合：一般地，从斤个不同元素中，任意取出加（加Wn）个元素并成一组，叫做从川个元索屮任取加个元素的一个组合.

组合数：从〃个不同元素中，任意取出加SWn）个元素的所有组合的个数，叫做从朴个不同元素中，任意取出加个元素的组合数，用符号C：表示.

组合数公式：c；J"J…（一 + 1）=—，心〃并且加

m l m \（n -m）\

组合数的两个性质：性质1： C； = C：-w,；性质2： C：；严C；：+C；「.（规定C、l）（-）典型例题讲解：

一、特殊元素、特殊位置优先法：先考虑有限制条件的元素、位置的要求，再考虑

其他元素；

例1、六人站成一排，求甲不在排头、乙不在排尾的排法个数。

变式练习1、甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了笫一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这个回答分析，5人的名次排列共有（用数字作答）种不同情况.

二、分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏.

例2、在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A, B两种作物，每种种植一垄，为冇利于作物生长，要求A, B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有种。

变式练习2、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有。（用数字作答）

三、排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.

例3、某班里有43位同学，从中任抽5人，止、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法冇多少种？

变式练习3、用排除法做例1?

四、捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列.

例4、5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起，有多少种不同的排法？

变式练习4、某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况？

五、插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空. 例5、学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

变式练习5、马路上有编号为1, 2, 3,……,10十个路灯，为节约用电乂看清路而，可以把其屮的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种？

六、插板法：〃个相同元素，分成加伽W”）组，每组至少一个的分组问题——把〃个元素排成一排，从斤-1个空中选加-1个空，各插一个隔板，有C ；：：?

例6、在高二年级中的8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人, 名额分配方案有多少种？

变式练习6、十个相同的小球，放入七个不同的盒子，每个盒子至少放一个，则有多少种不同的放法？

七、分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）?有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成料堆（组），必须除以〃！，如果有加堆（组）元素个数相等, 必须除以〃7 !

例7、6本不同的书

分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种分法？分成三堆，每堆两本，有多少种分法？分成三堆，一堆一木，一堆两本，一堆三木，有多少种分法？

分给甲乙丙三人，一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种分法？

\)/ \)/ XJ/ \)/ 12

/(X

/(\

/(X /(X

变式练习7、6个导游分派到三个旅游景点工作，每个景点至少一人，有多少种不同分配方法？

法八、对等法:在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一?在求解中只要求出全体，就可以得到所求.

例8、期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序？

法九、剩余法:在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法,他们是一一对应的，因

此，当求取法困难时，可转化为求剩法.

例9、袋屮有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋小取出2元钱, 有多少种取法？法十、错位法：编号为1至料的料个小球放入编号为1到n的斤个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n = 2,

3,4, 5时的错位数各为1, 2, 9, 44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,

可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.

例10、5个人两两互赠贺卡，则有多少种不同的赠送方法?

（三）课后练习：（排列组合综合问题：涂色问题）

1、用红、黄、蓝、口、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每

个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复

使用，共有多少种不同的涂色方法？

2、四棱锥P-ABCD,用4种不同的颜色涂在四棱锥的

各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？

课后小结：（本节课你学到了什么？）

(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档

m m m n ! n m 知识内容 1. 基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素）排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出排列数公式：， m ， n ∈ N + ，并且 m ≤ n ．全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合．表示．规定： 0! = 1 ．个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号表示．元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中，组合数公式：， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 1 / 20 排列组合问题的常用方法总结 1 m (m ≤ n ) m ! C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) = n C m n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤ n ) N = m 1 ? m 2 ? ? m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n

☆排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ C 14A 34C 1 3

排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)

种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（）种 A. B.3种 C. 种 D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：种，故选A 。例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种

解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32A33=18，故选B．七．相同元素分配--档板分隔法例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2 C种插法，即有15种分 6 法。 2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种. 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他

排列组合常用方法总结

/////////解决排列组合问题常见策略学习指导 1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。 “正难则反”是处理问题常用的策略。常用方法：一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。二. “至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）三. 注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）；第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）；第三类：203×，204×，205×，共有：（个） ∴比2015大的四位数共有237个。

排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！ 35C ＝（5×4×3）/（3×2×1） 26 C ＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子看出 n m C 公式是种子数M 开始与自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。以取值N 的阶层作为分母 35P ＝5×4×3 66P ＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 n m P ＝从M 开始与自身连续N 个自然数的降序乘积当N ＝M 时即M 的阶层排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.

排列组合常用方法总结

排列组合常用方法总结排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何

一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。

排列与组合解题技巧

佛山学习前线教育培训中心高二数学（理）讲义专题：排列与组合解题技巧主要技巧：一. 运用两个基本原理例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？练习1：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种二. 特殊元素（位置）优先例2：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？练习2：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？三. 捆绑法例3：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？练习3：记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 .A1440种.B960种.C720种.D480种四. 插入法例4：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？练习4：安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种。五. 排除法例5：求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。练习5：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？练习6：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？六. 机会均等法例6：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？练习7：用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。七. 转化法例7：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？练习8：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？八. 隔板法例14：20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？练习9：把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考

排列组合问题的解答技巧和记忆方法

排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略 ①分堆问题； ②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个. 四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．30 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答）解：区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．用三种颜色着色有=24种方法, 用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72. 六、混合问题——先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（） A．种B．种

排列与组合解题技巧

四. 插入法例4：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？练习4：安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种。五. 排除法例5：求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。练习5：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？练习6：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？六. 机会均等法例6：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？练习7：用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。七. 转化法例7：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？

排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. ***************************************************************************** 习题 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ） (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个 2、（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ 3、七个同学排成一横排照相. （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600）（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440）（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120）（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440）（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）

排列组合7个解题技巧

排列组合7个解题技巧一、排列和组合的概念排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。二、七大解题策略 1.特殊优先法特殊元素，优先处理;特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。例：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有( ) (A) 280种 (B)240种 (C)180种 (D)96种正确答案：【B】解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C(4,1)×A(5,3)=240种，所以选B。 2.科学分类法问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素(即组合)后排列。对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。同时明确分类后的各种情况符合加法原理，要做相加运算。例：某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有()种。 A.84 B.98 C.112 D.140 正确答案【D】解析：按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类： a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C(8，5)=56种;

排列组合常用方法总结

排列组合常用方法总结导读：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是排列组合常用方法总结，请参考！排列组合常用方法总结一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法

中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

排列组合问题常用的解题方法含答案

高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有种。二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是。三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有。四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。例5：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有。六、多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。例6：由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个。例7：从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？例8：从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n A B n A n B n A B ?=+-?。 ()()()() 例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。例10：1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不

排列组合的二十种解法(的排列组合方法总结)

教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有 n 类办法，在第 1类办法中有种不同的方法，在第 2类办法中有 m 2种不同的方法，…，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第1步有m ,种不同的方法，做第 2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有口种不同的方法，那么完成这件事共有 : 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 然后排首位共有C 4 A 3 解：由于末位和首位有特殊要求 3 ,应该优先安排以免不合要求的元素占了这两个位置

排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)

学员数学科目第次个性化教案授课时间教师姓名备课时间学员年级高二课题名称排列组合问题的解题策略课时总数共课时教育顾问学管邱老师教学目标1、两个计数原理的掌握与应用； 2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握； 3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）教学重点1、两个计数原理的掌握与应用； 2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；教学难点运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）教学过程教师活动一、作业检查与评价（第一次课程）二、复习导入排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。三、内容讲解 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 1 m种不同的方法，在第2类办法中有 2 m种不同的方法，…，在第n类办法中有 n m种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 1 m种不同的方法，做第2步有 2 m种不同的方法，…，做第n步有 n m种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略排列组合问题的解题策略

排列组合常用方法总结归纳

排列组合常用方法总结归纳排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是排列组合常用方法总结，请参考！排列组合常用方法总结一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法

中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴2b=a+c, 可知b由a,c决定，又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入

排列组合的主要题型及解答方法

一、相邻问题捆绑法例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )种 A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法;甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。二、相离问题插空法例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法?(只要求写出式子，不必计算) 解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种;这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。三、定序问题缩倍法例3信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是________(用数字作答)。解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10(种)。评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。四、标号排位问题分步法

例4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有( )种 A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。评注：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。五、有序分配问题逐分法例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有( )种 A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040 解：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下8人中选1人承担乙项任务，最后从剩下7人中选1人承担丙项任务。根据分步计数原理可知，不同的选法共有=2520种，故选C。评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。六、多元问题分类法例6 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( ) A. 210个 B. 300个 C. 464个 D. 600个解：按题意个位数只可能是0，1，2，3，4共5种情况，符合题意的分别有，个。合并总工有 +=300(个)，故选B。评注：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。

排列组合解题技巧和方法

运用两个基本原理例1．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A ）6种（B ）9种（C ）11种（D ）23种解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。特殊元素（位置）的“优先安排法”：特殊优先，一般在后例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。 A ． 24个 B.30个 C.40个 D.60个例2． 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种．例3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种. 例4．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？相邻问题用捆绑法：例5 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（）． A ．5544A A ? B ．554433A A A ?? C ．554413A A C ?? D ．554422A A A ?? 例6 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？例7．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．例8．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？例9．8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？例10． 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？不相邻问题用“插空法”：例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．例12．4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？例13．排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几