6.3 6.3.1 平面向量基本定理

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课标要求素养要求理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用重点提升数学抽象及直观想象素养.教材知识探究音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？问题1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？提示能.依据是数乘向量和平行四边形法则.问题2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.平面向量基本定理定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量教材拓展补遗[微判断]1.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(×)2.零向量可以作为基底.(×)3.若a ，b 不共线，则a ＋b 与a －b 可以作为基底.(√)提示 1.基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底. 2.由于0和任意的向量共线，故不能作为基底. 3.由于a ＋b 和a －b 不共线，故可作基底. [微训练]1.设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是( ) A.e 1，e 2 B.e 1＋e 2，3e 1＋3e 2 C.e 1，5e 2D.e 1，e 1＋e 2解析 因为3e 1＋3e 2＝3(e 1＋e 2)， ∴两向量共线不可作为基底. 答案 B2.在△ABC 中，若AD→＝12(AB →＋AC →)，则下列关系式正确的是( ) A.BD ＝2CD B.BD ＝CD C.BD ＝3CDD.CD ＝2BD解析 由AD→＝12(AB →＋AC →)得2AD →＝AB →＋AC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，即BD →＝DC →，所以|BD →|＝|DC →|，故BD ＝CD . 答案 B [微思考]1.若e 1，e 2是一个平面内的一组基底，则集合{a |a ＝λ1e 1＋λ2e 2，λ1λ2∈R }表示的是什么？提示 集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a 与e 2共线；当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a为零向量.2.若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d是否成立？提示当e1，e2共线时，a＝c，b＝d不一定成立；当e1，e2不共线时，a＝c，b ＝d一定成立.题型一平面向量基本定理的理解【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.解(1)正确.若λ≠0，则e1＝－μλe2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.规律方法(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.【训练1】设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()考查两向量是否能构成基底主要看两向量是否不共线A.e1＋e2和e1－e2B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D.e 1和e 1＋e 2解析 选项B 中，6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴6e 1－8e 2与3e 1－4e 2共线，∴不能作为基底，选项A ，C ，D 中两向量均不共线，可以作为基底.故选B. 答案 B题型二 用基底表示向量 零向量与任一向量平行，故不能作为基底【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底a ，b 表示AB→，BC →.解 法一 由题意知， AO →＝OC →＝12AC →＝12a ， BO→＝OD →＝12BD →＝12b . 所以AB→＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ，BC→＝BO →＋OC →＝12a ＋12b .法二 设AB→＝x ，BC →＝y ，则AD →＝BC →＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB →＋BC →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，则⎩⎨⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ， 即AB→＝12a －12b ，BC →＝12a ＋12b . 规律方法 用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.【训练2】 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解 法一 ∵AB →＝e 2，DC AB ＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2. ∵AB→＋BC →＋CD →＋DA →＝0， ∴BC→＝－AB →－CD →－DA → ＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN→＋NB →＋BA →＋AM →＝0， 且NB→＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN→＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2. 法二 同法一得DC →＝k e 2， BC →＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ， 由MN→＝12(MB →＋MC →)得 MN→＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 题型三 平面向量基本定理的综合应用若a 是平面内的非零向量，且能表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，a ＝μ1e 1＋μ2e 2，那么一定有λ1＝μ1，λ2＝μ2【例3】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值.解 设BM →＝e 1，CN →＝e 2， 则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2， 由平面向量基本定理， 得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP→＝45AM →，BP →＝35BN →，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【迁移】 (变设问)在本例条件下，若CM →＝a ，CN →＝b ，试用a ，b 表示CP →.解 由典例解析知BP ∶PN ＝32， 则NP→＝25NB →， CP →＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB → ＝b ＋25(CB →－CN →) ＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .规律方法 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.【训练3】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 设AB→＝a ，AD →＝b ，则AE→＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， 又∵AC→＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案 43一、素养落地1.通过学习平面向量基本定理及其意义，提升数学抽象素养.通过运用平面向量基本定理解决问题，培养直观想象素养.2.对基底的理解(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底. 3.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 二、素养训练1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A.e 1－e 2，e 2－e 1B.2e 1－e 2，e 1－12e 2 C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2解析 选项A ，B ，C 中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底. 答案 D2.如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e －3e 2) C.12(2e 2＋5e 1)D.12(5e 2＋3e 1)解析 OC→＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋AB →)＝12(5e 1＋3e 2). 答案 A3.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 解析 DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，又∵AB →与AC →不共线，∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.答案 124.在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底表示CF→.解 AB →＝CB →－CA →＝e 1－e 2，因为D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，所以AF →＝34AB →＝34(e 1－e 2)，所以CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2.基础达标一、选择题1.设e 1，e 2是同一个平面内的两个向量，则有( ) A.e 1，e 2平行 B.e 1，e 2的模相等C.同一个平面内的任一向量a ，有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )D.若e 1，e 2不共线，则对于同一个平面内的任一向量a ，有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ) 解析 由平面向量基本定理知，选D. 答案 D2.设D 为△ABC 所在平面内一点，AD→＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( ) A.2B.3C.－2D.－3解析 由AD→＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →， 则λ＝－3. 答案 D3.如图，在△ABC 中，BD→＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13bB.－12a ＋14bC.12a ＋14bD.－13a ＋13b解析 因为AE→＝3ED →，所以BE →－BA →＝3(BD →－BE →).所以4BE→＝BA →＋3BD →，因为BD →＝12DC →，所以BD →＝13BC →，所以4BE→＝BA →＋BC →，所以4BE →＝－AB →＋(AC →－AB →)， 所以4BE →＝－2AB →＋AC →，所以BE →＝－12AB →＋14AC →， 所以BE→＝－12a ＋14b . 答案 B4.已知OA→＝a ，OB →＝b ，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB上距C 较近的一个三等分点，则用a ，b 表示OD→为( )A.19(4a ＋5b ) B.116(9a ＋7b ) C.13(2a ＋b )D.14(3a ＋b )解析 OD→＝OA →＋AD →，AD→＝AC →＋CD →＝13AB →＋13CB →＝13AB →＋29AB →＝59AB →. 而AB→＝b －a ，所以AD →＝59b －59a ，所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫59b －59a ＝49a ＋59b . 答案 A5.△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且与边AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示DN →等于( )A.14(a －b ) B.14(b －a ) C.18(a －b )D.18(b －a )解析 由题意得DN→＝12DE →＝12(AE →－AD →)＝18(AC →－AB →)＝18(b －a )，故选D.答案 D 二、填空题6.设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ， 得⎩⎨⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－74，y ＝138.所以p ＝－74m ＋138n .答案 －74m ＋138n7.如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC→，则AO →＝________(用a 和b 表示).解析 设AO→＝λAC →，则AO→＝λ(AD →＋DC →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝λAD →＋12λAB →. 因为D ，O ，B 三点共线，所以λ＋12λ＝1，所以λ＝23，所以AO→＝23AD →＋13AB →＝23a ＋13b . 答案 23a ＋13b8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________.解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4. 答案 (－∞，4)∪(4，＋∞) 三、解答题9.如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，设OA→＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.解 OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋BA →＝OA →＋OA →－OB →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来.解 NP→＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ， MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ， PM→＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b ). 能力提升11.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB ︵的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD→＝( )A.a －12b B.12a －b C.a ＋12bD.12a ＋b解析 连接CD ，OD ，图略，∵点C ，D 是半圆弧AB ︵的两个三等分点， ∴AC ︵＝BD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝30°， ∵OA ＝OD ，∠ADO ＝∠DAO ＝30°， ∴∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，AD →＝AO →＋AC →.∵AO→＝12AB →＝12a ，AC →＝b ， ∴AD→＝12a ＋b .故选D.答案 D12.设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值.(1)证明 若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2). 由e 1，e 2不共线得， ⎩⎨⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底. (2)解 设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，得 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2. 由于e 1与e 2是不共线的非零向量， 所以⎩⎨⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)解 由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2. 又e 1与e 2是不共线的非零向量， 所以⎩⎨⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎨⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.创新猜想13.(多选题)如图所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )A.AD →与AB →B.DA →与BC →C.CA→与DC →D.OD→与OB → 解析 B 中DA →与BC →共线，D 中OD →与OB →共线，AC 中两向量不共线，故选AC.答案 AC14.(多填题)已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________. 解析 ∵向量e 1，e 2不共线， ∴⎩⎨⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－15，y ＝－12. 答案 －15 －12。