流形概念的演变与理论发展
第6章 河道演变规律
2、河床具有自动调整作用。
调整方向是从输沙不平衡向平衡的方向发展，通过改变 河宽、水深、比降、床沙组成使挟沙力与来沙相适应。
第六章 河道演变规律
§6-1 河道演变的基本原理 演变基本原理
如上所述，河流内部矛盾的发展和外部条件的变化 都可能使输沙平衡遭到破坏，从而使河床变形。同 时河床又具有向平衡状态进行自我调整的能力，使 得河床演变得以持续进行。这就是河床演变的基本 原理。
第六章 河道演变规律
§6-2 河道演变的分析方法 实测资料分析
当河段内有若干次实测大断面成果时，则可进行河 道断面的冲淤计算： 1）每个断面选择一个定常的、比较高的控制高程 作为断面冲淤计算的基准面； 2）分别计算各断面历次实测控制基准面以下的断 面面积； 3）计算各断面相邻两个测次的断面面积之差，再 根据上下相邻两个断面的间距，计算其间的冲淤量； 4）根据计算所得冲淤量，绘制沿程冲淤变化图。
2
缺点：需要长期观测，可能不易识别
第六章 河道演变规律
§6-3 河相关系与造床流量 一、均衡状态
2）、以河道内泥沙的输运过程为依据 河道形态达到均衡的根本原因是水沙输运过程达 到了动态平衡。上游来水来沙恰好不冲不淤。 麦金(Mackin)(1948)提出的定义：“一条均衡河 流是在经过一定的年月以后，坡降经过精致的调整， 在特定的流量和断面特征条件下，所达到的流速恰 好使来自流域的泥沙能够输移下泄。均衡河流是一 个处于平衡状态的系统； 它的主要特点是控制变量中任一个变量的改变都 会带来平衡的位移，其移动的方向能够吸收这种改 变所造成的影响。” 不足：仅把河道比降作为关键变量，没有考虑断 面型态（比如河宽）的调整。
第一造床流量
第二造床流量
高中立体几何课程的演变与发展
高中立体几何课程的演变与发展
高中立体几何课程的演变可以追溯到古代的希腊数学家。
乔治·瓦尔代尔在17，18世纪建立了维数学体系，并将棱柱、棱锥、棱台等空间
几何体进行了精确的描述，进一步实现了对立体几何的发掘与成熟。
19世纪，到20世纪初和20世纪中叶，名人学者们将立体几何的新认
知植入高中几何课程中，它们包括几何基本定理，如泰勒等距定理、
三角形最大角定理、三角形内心定理等；坐标系与几何体交互描述，
以及立体几何相关的新学科，如方位角定理和内心圆定理等。
20世纪后期，微积分的概念被引入高中立体几何，为几何定理的证明
与应用提供了强有力的基础。
同时，高中立体几何也开始鼓励学生将
几何体空间几何体理解由图像到张量，引入有限元技术，进一步提高
了课程深度与应用价值。
流形观念也逐渐被引入高中立体几何，使学生能够更好地理解几何体。
流形理论为学生提供了结合几何和微积分的无穷空间，让学生认识到
几何与数学的联系，以及如何在流形中探究宇宙的秘密。
总的来说，高中立体几何课程几百年来一直在不断发展与深化，从古
代希腊数学家几何学的单调发展，到现代计算机技术所助力的集合学科，历经数百年发展，立体几何理论正如火如荼地发展着。
流变学复习(名词解释)
流变学：研究材料流动及变形规律的科学。
熔融指数：在一定的温度和负荷下，聚合物熔体每10min通过规定的标准口模的质量，单位g/10min。
假塑性流体：指无屈服应力,并具有粘度随剪切速率增加而减小的流动特性的流体。
可回复形变：先对流变仪中的液体施以一定的外力，使其形变，然后在一定时间内维持该形变保持恒定，而后撤去外力，使形变自然恢复。
韦森堡效应&爬杆现象&包轴现象：当圆棒插入容器中的高分子液体中旋转时，没有因惯性作用而甩向容器壁附近，反而环绕在旋转棒附近，出现沿棒向上爬的“爬杆”现象。
第2光滑挤出区：剪切速率持续升高，当达到第二临界剪切速率后，流变曲线跌落，然后再继续发展，挤出物表面可能又变得光滑，这一区域称为第二光滑挤出区挤出胀大&弹性记忆效应：指高分子被强迫挤出口模时，挤出物尺寸要大于口模尺寸，截面形状也发生变化的现象。
冷冻皮层：熔体进入冷模后，贴近模壁的熔体很快凝固，速度锐减，形成冷冻皮层法向应力效应：聚合物材料在口模流动中，由于自身的黏弹特性，大分子链的剪切或拉伸取向导致其力学性能的各向异性，产生法向应力效应。
松弛时间：是指物体受力变形，外力解除后材料恢复正常状态所需的时间。
Deborah数：松弛时间与实验观察时间之比。
《1时做黏性流体，》1时做弹性固体。
残余应力：构件在制造过程中，将受到来自各种工艺等因素的作用与影响；当这些因素消失之后，若构件所受到的上述作用于影响不能随之而完全消失，仍有部分作用与影响残留在构件内，则这种残留的作用与影响称为残余应力。
表观粘度：非牛顿型流体流动时剪切应力和剪切速率的比值。
表观剪切黏度：表观粘度定义流动曲线上某一点τ与γ的比值。
入口校正：对于粘弹性流体，当从料筒进入毛细管时，由于存在一个很大的入口压力损失，因此需要通过测压力差来计算压力梯度时所进行的校正。
驻点：两辊筒间物料的速度分布中，在x’*处,物料流速分布中,中心处的速度=0,称驻点。
了解一下数学中的“流形”概念
了解一下数学中的“流形”概念欧几里得几何学两千三百年前，古希腊数学家欧几里得著成了《几何原本》，构建了被后世称为“欧几里得几何学”的研究图形的方法。
欧几里得创立了当时颇为独特的公理系统，即首先提出一些显然的、不言自明的公理。
比如，他提出了“三角形的内角和一定等于一百八十度”的定理，他的许多几何计算也是基于此，并且看起来颇为正确。
但是后来的数学家对此产生了质疑，认为这个定理是缘于经验而并非真理。
那么，把不遵从欧几里德公里系统的几何学，也取了个相对应的名字，叫“非欧几里德几何学”（non-Euclidean Geometry）。
欧几里德几何对空间物体的刻画，是基于某个维度上的内积(Inner Product)。
对于空间中的一些点或线，我们感兴趣的是它们的距离、角度等等属性，这可以通过求其内积获得。
例如，在二维空间里两个向量X=(x1, x2)和Y=(y1, y2)的距离为x1*y1+x2*y2。
也就是等于内积<X, Y>。
此公式可以推广到三维空间，甚至是大于三维的空间。
因此欧几里德空间也被称为“有限维实内积空间”。
然而，就如同三角形的内角和问题一样，在使用中也发现了欧几里德空间的局限性。
这就必须先从拓扑学谈起。
拓扑学（Topology）“拓扑学家就是不会区分甜甜圈和咖啡杯的人。
” -John L. Kelley“拓扑”这个词在希腊语中的意思是地貌。
拓扑学是研究几何体连续形变中保持不变的性质。
比如下面链接里介绍的“亏格”。
无论怎么变形，亏格不同的对象都无法变成同一个模样。
亏格就是一个拓扑不变量。
而连续的变换最后都能变成一样的两个物体，称为同胚（Homeomorphism）。
从这个角度上说，甜甜圈与有一只把手的杯子等价（都只有一个洞）。
但是事实上，杯子无法捏成甜甜圈的模样，因为杯子都是瓷或塑料做的，它们都太硬。
相对的，在拓扑学中研究的对象，都必须是“柔软”的，从某种意义上说就像可以流动的液体一样。
流形(Manifold)
流形球面(球的表面)为二维的流形，由于它能够由一群二维的图形来表示。
流形（Manifold），是局部具有欧几里得空间性质的空间。
欧几里得空间就是最简单的流形的实例。
地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。
一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。
流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的自然的舞台。
物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
他们也用于位形空间（configuration space）。
环面（torus）就是双摆的位形空间。
我们可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析簇看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。
例如一个1维多项式，如果你知道 (0,1) 区间的取值，则整个实数范围的值都是固定的，局部的扰动会导致全局的变化。
我们还可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。
这也许是中文译名流形的原因（整体的形态可以流动）。
该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。
这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。
流形可以视为近看起来象欧几里得空间或其他相对简单的空间的物体。
例如，人们曾经以为地球是平坦的，因为我们相对于地球很小，这是一个可以理解的假象。
所以，一个理想的数学上的球在足够小的区域也像一个平面，这使它成为一个流形。
但是球和平面有很不相同的整体结构:如果你在球面上沿一个固定方向走，你最终回到起点，而在一个平面上，你可以一直走下去。
一个曲面是二维的。
但是，流形可以有任意维数。
其他例子有：一根线的圈（一维的）以及三维空间中的所有旋转（三维的）。
旋转所组成的空间的例子表明，设M是豪斯多夫空间，若对任意一点，则有x在M中的一个邻域U同胚于m维欧几里得空间R m的一个开集，称M是一个m维流形。
聚合物流变学(绪论)
❖ 加工流变学：属于宏观流变学，主要研究
与高分子材料加工工程有关的理论与技术 问题。
❖ 比如说，研究加工条件变化与材料流 动性质（主要指粘度、弹性）及产品力学 性质之间的关系，异常的流变现象如挤出 胀大、熔体破裂现象发生的规律、原因及 克服办法；高分子材料典型加工成型操作 单元（如挤出、吹塑、注射等过程的流变 学分析；多相高分子体系的流变性规律， 以及模具与机械设计中遇到的种种与材料 流动性质有关的问题等。）
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主要内容：
挤出流变学 密炼流变学 塑炼流变学 压延流变学 注模流变学 吹塑流变学 熔体纺丝流变学
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研究和学习流变学的意义
1）对高分子材料合成而言，流变学与高分子化学结合在一 起，流变性质通过与分子结构参数的联系成为控制合成产 物品质的重要参数。
2）对高分子材料成型加工而言，流变学与高分子物理学和 高分子材料成型工艺原理结合在一起，成为设计和控制材 料配方及加工工艺条件，以获取制品最佳的外观和内在质 量的重要手段。
图 1-8 孔压误差 21
牛顿型流体不存在孔压误差，无论压力传 感器端面安装得与流道壁面是否相平，测得 的压力值相等。高分子液体有孔压误差现象。
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2 原因：在凹槽附近，流线发生弯曲，但法向应
力差效应有使流线伸直的作用，于是产生背向凹 槽的力，使凹置的压力传感器测得的液体内压力 值小于平置时测得的值。在实施流变测量时，应 当注意这一效应。同样地，当高分子液体流经一 个弯形流道时，液体对流道内侧壁和外侧壁的压 力，也会因法向应力差效应而产生差异。通常内 侧壁所受的压力较大。
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二、Weussebberg效应
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三、Barus效应
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四、不稳定流动与熔体破裂
拓扑学简介(四) 流形
拓扑学简介〔四〕——流形1854年，28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。
这个职位是所谓无薪讲师，他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。
即使是争取这样一个职位，也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。
1853年他提交了就职论文，其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题，并导致对定积分的第一个严格数学定义。
之后的就职演讲要求候选人准备三个演讲课题，委员会从中挑选一个作为正式演讲题目。
黎曼选了两个思虑多时的课题，外加一个还未及考虑的课题——关于几何学的根本假设。
他几乎确信委员会将挑选前面两个题目之一。
然而，委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。
当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间的互相关系问题，从这样的深沉考虑中抽身转而研究新的问题无疑是一种宏大的压力，再加上长期的贫穷，一度让黎曼崩溃。
但不久他就重新振作起来，用7个星期时间准备了关于几何学根本假设的演讲。
为了让数学系以外的委员会成员理解他的演讲，黎曼只用了一个公式，并且忽略了所有计算细节。
尽管如此，估计在场鲜有人能理解这次演讲的内容。
只有高斯为黎曼演讲中蕴含的深邃思想冲动不已。
黎曼在演讲中提出了“弯曲空间〞的概念，并给出怎样研究这些空间的建议。
“弯曲空间〞正是后世拓扑学研究的主要对象。
在这些对象上，除了可以运用代数拓扑的工具，还可以运用微积分工具，这就形成了“微分拓扑学〞。
回到黎曼的演讲。
黎曼认为，几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不知道这些关系怎么来的，甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系。
黎曼认为，几何对象应该是一些多度延展的量，表达出各种可能的度量性质。
而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量，因此欧几里德的公理只能从经历导出，而不是几何对象根本定义的推论。
欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。
但是，我们可以考察这些定理成立的可能性，然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何，比方大到不可测的几何，以及小到不可测的几何。
第七章 流变学基础
a）牛顿型 b）胡克型。c）圣维南型
第三种类型在小于一定值的应力的作用下，物体呈现出完全刚性。但应力超过一定 值以后，物体极易流动。故其D－f 流型曲线为距原点一定距离的垂直线。这一引起 物体流动的最低应力称为流动极限值或称屈服值，这种物体称为理想塑性体或称圣 维南（St. Venen）型物体。简称S－流型。其机械模型可以用物体在底板上滑动来描 2 述，如图7－lc所示。
第七章 流变学基础
流变学（Rheology）是研究物质在外力作用下发生形变和流动的科学。它研究剪切 应力，切变速率以及时间三者之间的关系。 内容包括： 1）研究在外力作用下物体发生形变。通常作用力以剪切应力表示，形变则以切变速 率表示。 2）研究液体、胶体或悬浮液在外力作用下的流动。流动时所表现出来的一个重要性 质是粘度，因此讨论液体的粘度及其测定，悬浮液的粘度定律及其影响因素，以及 粘度与高聚物摩尔质量的关系。 7.1 流型 1、流型简介 流体，特别是胶体和悬浮液的流变行为一般都很复杂，不可能用一个简单的公式来 作统一的描述。 在研究流体的流变性时按照剪切应力 f 与切变速率 D 的关系，分成各种类型——流 型来进行讨论。 最基本的流型有三种，其他可以通过这三种基本形式组合得到。
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流形概念的演变与理论发展一、引言流形是20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。
在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。
〔1〕53物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。
从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是“软” 的，因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形（该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入）的原因。
流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？是如何解决的？谁解决的？形成了什么理论？这是几何史的根本问题。
目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、细致的分析，并对上述问题给予解答。
二、流形概念的演变流形概念的起源可追溯到高斯（ C.F.Gauss,1777-1855）的内蕴几何思想,黎曼（C.F.B.Riemann,1826-1866）继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。
随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特（D.Hilbert,1862-1943）用公理化方案改良了黎曼对流形的定义，最终外尔（H.Weyl,1885-1955）给出了流形的严格数学定义。
1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。
1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长，并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。
高斯在绘制地图中创造了高斯-克吕格投影，这是一种等角横轴切椭圆柱投影，它假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各3°或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面展开成平面。
采用分带投影的方法，是为了使投影边缘的变形不致过大。
当大的控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。
高斯-克吕格投影相当于把地球表面看成是一块块平面拼起来的，并且相邻投影带的坐标可以进行换算。
这种绘制地图的方式给出了“流形”这个数学概念的雏形。
大地测量的实践导致了高斯曲面论研究的丰富成果。
由于地球表面是个两极稍扁的不规则椭球面，绘制地图实际上就是寻找一般曲面到平面的保角映射。
高斯利用复变函数，得出两个曲面之间存在保角映射的充要条件是两个曲面的第一类基本量成比例。
高斯关于这一成果的论文《将一给定曲面投影到另一曲面而保持无穷小部分相似性的一般方法》使他获得了1823 年哥本哈根科学院的大奖，也使他注意到当比例常数为 1 时，一个曲面可以完全展开到另一个曲面上。
高斯意识到这个成果的重要性，在论文的标题下面写下了一句话：“这些结果为重大的理论铺平了道路。
”〔8〕189这里重大的理论就是高斯后来建立的内蕴几何学。
全面展开高斯的内蕴几何思想的是他1827 年的论文《关于曲面的一般研究》，这是曲面论建立的标志性论述。
〔2〕163高斯在这篇文章中有两个重要创举：第一，高斯曲率只依赖于曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，测地三角形内角和不一定等于180°，它依赖于三角形区域的曲率积分。
高斯的发现表明，至少在二维情况下可以构想一种只依赖于第一基本形式的几何，即曲面本身就是一个空间而不需要嵌入到高维空间中去。
〔3〕32,〔4〕308高斯在这两篇论文中都使用曲纹坐标（u,v）表示曲面上的一个点，这相当于建立了曲面上的局部坐标系。
突破笛卡尔直角坐标的局限性是高斯迈出的重要一步，但问题是：曲纹坐标只适用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的点都有坐标表示，就需要在曲面上建立若干个局部坐标系，那么这些坐标系是否彼此协调一致？这是高斯的几何的基础。
高斯当时不具备足够的数学工具来发展他的几何构想，但高斯对空间的认识深刻地影响了黎曼。
2. 黎曼的“关于几何基础的假设”黎曼在1851 年的博士论文《单复变函数的一般理论》中，为研究多值解析函数曾使用黎曼面的概念，也就是一维复流形，但流形是什么还没有定义。
在高斯的几何思想和赫巴特（J.F.Herbart,1776-1841）的哲学思想的影响下,黎曼1854 年在哥廷根做了着名演讲《关于几何基础的假设》，演讲中他分析了几何的全部假设，建立了现代的几何观。
〔5〕2全文分三部分，第一部分是n 维流形的概念，第二部分是适用于流形的度量关系，第三部分是对空间的应用。
黎曼在开篇中提到：“几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。
关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特征则以公设的形态出现。
这些假设（诸如空间的概念及其基本性质）彼此之间的关系尚属一篇空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知道是否能导出任何的相关性。
从欧几里得到几何学最着名的变革家雷建德，这一领域无论是数学家还是哲学家都无法打破这个僵局。
这无疑是因为大家对于多元延伸量的概念仍一无所知。
因此我首先要从一般量的概念中建立多元延伸量的概念。
”〔9〕411从开篇中我们可以看到黎曼演讲的目的所在：建立空间的概念，因为这是几何研究的基础。
黎曼为什么要建立空间的概念？这与当时非欧几何的发展有很大关系。
罗巴切夫斯基（N.L.Lobatchevsky,1793-1856）和波约（J.Bolyai,1802-1860）已经公开发表了他们的非欧几何论文，高斯没有公开主张非欧几何的存在，但他内心是承认非欧几何并做过深入思考的。
然而就整个社会而言，非欧几何尚未完全被人们接受。
黎曼的目的之一，是以澄清空间是什么这个问题来统一已经出现的各种几何；并且不止如此，黎曼主张一种几何学的全局观：作为任何种类的空间里任意维度的流形研究。
黎曼在第一部分中引入了n 维流形的概念。
他称n 维流形为n 元延伸量，把流形分为连续流形与离散流形，他的研究重点是把连续流形的理论分为两个层次，一种是与位置相关的区域关系，另一种是与位置无关的大小关系。
用现代术语来讲，前者是拓扑的理论，后者是度量的理论。
黎曼是如何构造流形呢？他的造法类似于归纳法，n+1 维流形是通过n 维流形同一维流形递归地构造出来的；反过来，低维流形可以通过高维流形固定某些数量简缩而成。
这样每一个n 维流形就有n 个自由度，流形上每一点的位置可以用n 个数值来表示，这n 个数值就确定了一个点的局部坐标。
黎曼这种构造流形的方法显然是受到赫巴特的影响。
赫巴特在《论物体的空间》中提到：“ 从一个维度前进到另一个维度所依据的方法，很明显是一个始终可以继续发展的方法，然而现在还没有人会想到按空间的第三个维度去假设空间的第四个维度。
”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的启发并突破了三维的限制按递归的方法构造了n 维流形，这种构造方法体现了几何语言高维化的发展趋势。
从本质上讲，黎曼的“流形” 概念与当时格拉斯曼（H.G.Grassmann,1809-1877）的“ 扩张” 概念和施莱夫利（L. Schlafli,1814-1895）的“连续体”概念基本一致.〔6〕83流形应具有哪些特征呢？黎曼提到：“把由一个标记或者由一条边界确定的流形中的特殊部分称为量块（Quanta），这些量块间数量的比较在离散情形由数数给出，在连续情形由测量给出。
测量要求参与比较的量能够迭加，这就要求选出一个量，作为其他量的测量标准。
”〔9〕413黎曼在此使用的量块体现了现在拓扑学中的邻域概念的特征，“参与比较的量能够迭加”则是要求两个量块重叠的部分有统一的测量标准，即保证任意两个局部坐标系的相容性，这在后来由希尔伯特发展为n 维流形局部与n 维欧氏空间的同胚。
黎曼这种引入点的坐标的方法并不是很清晰的，这种不清晰来自他缺乏用邻域或开集来覆盖流形进而建立局部坐标系的思想。
11〕8在文章第二部分黎曼讨论了流形上容许的度量关系。
他在流形的每一点赋予一个正定二次型，借助高斯曲率给出相应的黎曼曲率概念。
进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。
曲面上的度量概念，等价于在每一点定义一个正定的二次型，亦称为曲面的第一基本形式。
自高斯以来，第一基本形式的内蕴几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。
从后来的希尔伯特和外尔的流形的定义可看出，他们都延续了高斯的内蕴几何思想。
3. 希尔伯特的公理化方法从19 世纪70 年代起，康托尔（G. Cantor,1845-1918）通过系统地研究欧几里得空间的点集理论，创立了一般集合论，给出了许多拓扑学中的概念。
康托尔的研究为点集拓扑学的诞生奠定了基础，这使得希尔伯特能够利用一种更接近于拓扑空间的现代语言发展流形的概念。
希尔伯特在1902 年的着作《几何基础》中引进了一个更抽象的公理化系统，不但改良了传统的欧几里得的《几何原本》，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。
在这部着作中他尝试以邻域定义二维流形（希尔伯特称之为平面，而把欧氏平面称为数平面），提出了二维流形的公理化定义：“平面是以点为对象的几何，每一点A 确定包含该点的某些子集，并将它们叫做点的邻域。
（1）一个邻域中的点总能映射到数平面上某单连通区域，在此方式下它们有唯一的逆。
这个单连通区域称为邻域的像。
（2）含于一个邻域的像之中而点A 的像在其内部的每个单连通区域，仍是点 A 的一个邻域的像。
若给同一邻域以不同的像，则由一个单连通区域到另一个单连通区域之间的一一变换是连续的。
（3）如果B 是A 的一个邻域中的任一点,则此邻域也是B 的一个邻域。
（4）对于一点A 的任意两个邻域,则存在A 的第三个邻域，它是前两个邻域的公共邻域。
（5）如果A 和B 是平面上任意两点,则总存在A 的一个邻域它也包含B. ”〔12〕150可以看出在希尔伯特的定义中，（1）和（2）意味着在平面（二维流形）的任意一点的邻域到数平面（欧氏平面）的某单连通区域上都能建立同胚映射。