信号与系统第二版余成波-第三章 01
自然数）为谐波振幅，φn为相应谐波的初相角。其中，n为1的一次
谐波也称为基波。
9
二、傅里叶级数的指数形式
便于计算
a0 e jn0t cos n0t j sin n0t f t an cos n0t bn sin n0t 2 n1 jn0t jn0 t jn0 t jn0 t e e e e a0 an bn 2 n1 2 2j an jbn a0 an jbn jn0t an jbn jn0t F e e 令 n 2 2 n1 2 2
13
2 若f t 以T0为周期，f t Fn，0 ， T0
证明:
f t t1 e jn0t1 Fn
1 T Fn 2T f t e jn0t dt T 2
2 若f t 以T0为周期，f t Fn，0 ，同时令f t t1 H n T0 T0 1 jn0t 2 根据定义，可知： H n f t t e dt T0 1 T0 2
t2
t1
0， i j i t t dt Ki 0， i j
j
Ki为常数
则称此复函数集为正交函数集。φj*(t)为函数φj(t)的共轭 复函数。 举 例 1、三角函数集{1，cosω0t，cos2ω0t ，…, cosmω0t ，…，
sinω0t ，sin2ω0t ， …，sinmω0t …}在区间（t0，t0+T）
a0 f t an cos n0t bn sin n0t 2 n1 A0 f t An cos n0t n 2 n1
单边
物理解释：满足狄里赫利条件的周期函数可以分解为直流和许多余弦
（或正弦）分量。其中第一项A0/2是常数项，也即为信号所包含的直 流分量；从第二项开始，是信号的谐波分量，n为谐波次数，An（n为
则x t 的傅里叶级数表示式为x t f t g t T0 FnGn
4、微分性质
周期信号f t 和g t 的卷积定义为x t f g t d
0
T0
则有f t 导数f t 的傅里叶系数f t jn0 Fn 若f t 的傅里叶系数为Dn， Dn 则f t 的傅里叶系数Fn n 0 jn0
t2
t1
0， i j i t j t dt Ki 0， i j
Ki为常数
则称此实函数集为在区间（t1，t2）的正交函数集；如果Ki=1， i=1，2，…n，则此函数集是归一化的正交函数集。
3
如果是复函数集，正交是指：若复函数集{φn(t)}（i=1， 2，…n）在区间（t1，t2）满足
2 T a0 2T f t dt T 2
b0=0，an=a-n，bn=-b-n
7
变换成仅含cos项
an
n
An
bn
a0 f t an cos n0t bn sin n0t 2 n1 A0 An cos n cos n0t An sin n sin n0t 2 n1 A0 An cos n0t n 2 n1
三角函数型傅里叶级数
t2 f t j t dt t 1 Cj t2 2 t1 j t dt
2 T an 2T f t cos n0tdt，n 1， 2， T 2 2 T bn 2T f t sin n0tdt，n 1， 2， T 2
1
引
言
变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信 号f(t)，或者说，信号f(t)用完备的正交函数集来 展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变 换域的区别就在于选取不同的正交完备集。
采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 从而便于研究信号的传输和处理问题。
（T=2π/ω0 ）组成完备的正交函数集。
单边
2、复函数集{ejn ω0t}（n=0，±1，±2，…）在区间（t0，t0+T） 双边 （T=2π/ω0）内是完备的正交函数集。
4
二、信号的正交分解
理论上讲，当n趋于无穷大
f t C j j t
j 1
n
即，集合{φj(t)}（j=1，2，…n）是（t1，t2）上f(t)的正交 完备集，也称为基函数或基信号。
6
一、傅里叶级数的三角函数形式
三角函数集: {1，cosω0t，cos2ω0t ，…, cosmω0t ，…， sinω0t ，sin2ω0t ， …，sinmω0t …}
周期函数f t 在区间t1，t1 T 内可用三角函数集表示为
其中，
a0 f t an cos n0t bn sin n0t 2 n1
Hn e jn0t1 Fn
证毕！
14
证明卷积性质
T0 0
f t Fn，g t Gn，x t f g t d，同时令x t X n
1 T Fn 2T f t e jn0t dt T 2
1 根据定义，可知： X n T0
③一个周期T内，具有 特点：（1）定义域从-∞到+∞。 有限个极大与极小值。 （2）当在一个周期内的信号确定后，若将其移动 T的 整数倍，则信号的波形保持不变。 a T b T （ 3）
a
f t dt
b
f t dt
只有当周期信号满足狄里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。
T0
g l e jn0l dl d
f e
jn0
Gn d
乘以除以T0
1 T0Gn T0
T0
0
f e
jn0
d T0 FnGn
证毕！
15
证明微分性质 f t Fn ，f t Dn
式中
an An cosn ，n 1， 2， bn An sin n
2 An an bn2
n的偶函数 n的奇函数
系数关系
n的偶函数
b0 0 A0 a0
bn n arctan ，n 1， 2， n的奇函数 an
8
两种三角函数形式:
2
3.1 信号分解为正交函数
一、正交函数集
如有定义在（t1，t2）区间两个实函数φ1(t)，φ2(t)，若满足
t2
t1
1 t 2 t dt 0
则称φ1(t)，φ2(t)在区间（t1，t2）内正交。 如果n个实函数φ1(t)，φ2(t)，…，φn(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间（t1，t2）内满足以下条件：
其中：
t2 f t j t dt t 1 Cj t2 2 t1 j t dt
一个信号或函数可用各种各样的完备正交信号集来表示。 1、如f(t)在区间内与φj(t)正交，则f(t)必属于该正交集。 2、若f(t)与φj(t)正交，但φj(t)中不包含f(t)，则此集不完备。
由an，bn的表示式可以知道， an=a-n，bn=-b-n，b0=0，则:
F0 an jbn 2
n 0
a0 jb0 a0 2 2
F n
a n jb n an jbn 2 2
1 jn0t jn0t jn0 t jn0 t f t F0 Fn e Fn e Fn e Fn e jn0 t F n e n 1 n 0 n n n1
5
3.2 周期信号的傅里叶级数及基本性质
1822年，法国数学家傅里叶，“热的分析理论”著作（热传导 理论），提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理。 ① f t dt T 周期信号：定义在（-∞，∞）区间，每隔一定时间 T，按相同 ②一个周期T内，f(t) 规律重复变化的信号。可表示为：f(t)=f(t+mT)。 具有有限个不连续点；
令τ= t - t1，则t =τ+ t1，上式改写为
T0 t1 2 T 0 t1 2
1 Hn T0
f e
jn0 t1
d
T0 t1 1 jn0t1 jn0 2 e d T0 t f e T 2 1 Fn
f t
n
Fn e jn0t
双边
10
an An cosn , bn An sin n ,
三角函数与指数形式之间的系数关系 A a 2 b 2 , n n n
f t
n
Fn e jn0t
Fn
an jbn 2
bn n arctan ，n 1， 2， an
1 根据定义，可知：Dn T0
T0 2 T 0 2
T0 f g t d e jn0t dt 0
1 T0
根据周期信号的性质： X n
变换t积分范围
T0 0
T0
0
T0 f g t d e jn0t dt 0
卷积积分是收敛的： X n
Fn 1 2 An e
j n
, Fn
1 2
An
an bn
T T 2
2
奥本海姆《信号与系统》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)-第3章 周期信号的傅里叶级
则
（1）弼 x(t)为实函数时，由亍 x(t)＝x*(t)，傅里叶级数系数一定是共轭对称的，即
（2）若 x(t)为实偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实偶函数。 （3）若 x(t)为实奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 7．连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理 （1）连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理：
8．连续时间傅里叶级数性质列表 表 3-1 连续时间傅里叶级数性质
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1．成谐波关系的复指数信号的线性组合 一般的周期序列的线性组合就有如下：
序列φk[n]只在 k 的 N 个相继值的匙间上是丌同的，因此上式的求和仅仅需要包括 N 项。 因此将求和限表示成 k＝（N），即离散时间傅里叶级数为
三、傅里叶级数的收敛 连续时间信号的傅里叶级数收敛的条件——狄里赫利条件： 1．条件 1 在仸何周期内，x(t)必须绝对可积，即
这一条件保证了每一系数 ak 都是有限值。 2．条件 2 在仸意有限匙间内，x(t)具有有限个起伏发化；也就是说，在仸何单个周期内，x(t)的
最大值和最小值的数目有限。 3．条件 3 在 x(t)的仸何有限匙间内，只有有限个丌连续点，而丏在这些丌连续点上，函数是有限
则
（1）施加亍连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反 转。
（2）若 x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也为偶，若 x(t)为奇函数，则其傅里叶级 数系数也为奇。
4．时域尺度发换 时间尺度运算是直接加在 x(t)的每一次谐波分量上的，傅里叶系数仍是相同的。 x（αt）的傅里叶级数表示：
信号与系统第二版 余成波-第三章 02
，
， ，
0，
2 4 2n ， ， ， 5 5 5
(1)图中虚线称为 的包络线。 F A Fn n
5 (2)f(t) 为偶函数， Fn为实数，包 取样 2 … 2 … 含幅度和相位信息。 F0
6
4
2
2
6
0
4
ω=nω0
T 2 T 2
f t e jn0t dt
代入f ( t )
A 1 A jn0t 2 e dt T jn0 T 2
jn0 jn0 2 e 2 e
f t
n
Fn e jn0t
A n0 f t Sa T 2
Fn
1 2
An e
j
n
双 边 功 率 谱
9
单边功率谱
2 功率有限信号的巴什瓦尔等式 P 1 An 4 n 对照三角函数型傅里叶级数展开 A0 f t An cos n0t n 2 n1 An A n A0 1 2 An 2 n1 2 2
2
二、周期矩形脉冲的频谱
f(t)
A
T：脉冲周期
A：脉冲幅度
τ：脉冲宽度
T
2
2
t T
周期矩形脉冲信号
A ， t 2 f t 0， t 2 2 周期：T
指数型傅里叶系数Fn的求解：
Fn
定义式
0
1 T
A T
自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验 第3、4章习题解答
第3章控制系统的时域分析法本章介绍了根据系统的时间响应去分析系统的稳定性、动态性能和稳态误差的有关问题。
其主要内容有：（1）自动控制系统的时域分析法，根据控制系统在典型输入信号的作用下输出响应的时域数学表达式和响应曲线，直接分析系统等系统的稳定性、动态性能和稳态误差的品质。
时域分析法具有直观、准确的优点。
（2）稳定性是系统能否正常工作的首要条件。
系统的稳定性取决于系统自身的结构和参数，与外作用的大小和形式无关。
线性系统稳定的充要条件是其特征方程的根均位于左半s 平面（即系统的特征根全部具有负实部）。
劳斯稳定判据是从系统的闭环特征方程，间接判定系统的稳定性的。
（3）对于稳定的控制系统，工程上常用单位阶跃响应的最大超调量σ%，调节时间t s 和稳态误差等性能指标，评价系统性能的优劣。
典型的一阶、二阶系统的性能指标与系统的参数有严格的对应关系，必须牢固掌握。
对一阶、二阶系统分析的结果，往往是分析高阶系统的基础。
当高阶系统具有一对闭环主导极点时（通常是一对共轭复数极点），可以用一个二阶系统近似，并以此估算高阶系统的动态性能。
（4）系统的稳态误差不是系统自身的固有特性，它与系统的结构参数及输入信号的形式都有关。
系统的型别ν决定了系统对典型输入信号的跟踪能力。
提高系统的型别和增大开环放大系数可以减小或消除系统的稳态误差。
但这和稳定性有矛盾。
在要求高的场合可用复合控制。
教材习题同步解析3.1系统结构图如图3.1所示。
已知传递函数12.010)(+=s s G ，现采用加负反馈的方法，将调节时间st 减小为原来的1/10，并保证总放大倍数不变。
试确定参数h K 和0K 的数值。
解：加负反馈后，系统闭环传递函数为：000()()1()10/(0.21)10/(110)110/(0.21)0.2/(110)1hh h h K G s s G s K K s K K K s s K Φ=+++==++++化为标准的时间常数表达式010110()0.21110hhK K s sK +Φ=++而典型的一阶系统传递函数为()1K s Ts Φ=+因此，欲将调节时间s t 减小为原来的1/10，则反馈系统的时间常数T 应该为原来的1/10。
信号与系统教程第二版
信号与系统教程第二版《信号与系统教程》第二版是一本经典教材，主要讲述了信号与系统的基本概念和分析方法。
它是本领域的权威教材之一，广泛应用于电子工程、通信工程、自动控制等专业的本科生和研究生学习。
本文主要从教材的内容、特点、应用领域等方面进行了分析和评价。
首先，教材全面系统地介绍了信号与系统的基本概念和分析方法。
从信号的定义和分类开始，详细介绍了连续时间信号、离散时间信号以及连续时间系统和离散时间系统的描述和分析方法。
教材以清晰的表述和简洁的数学推导，把抽象的概念和复杂的方法阐释得十分透彻，使读者对信号与系统有了全面的了解。
其次，教材的特点之一是理论结合实践。
教材中不仅介绍了信号与系统的基本理论，还通过大量的实例和应用案例，帮助读者理解和应用所学知识。
这种理论与实践相结合的教学方式，使教材更易于学习和理解，并培养了读者的问题分析和解决能力。
另外，教材还注重培养读者的思维方法和创新意识。
在教材中，作者通过一些开放性问题和拓展阅读材料，引导读者深入思考和研究，从而培养了读者的分析和综合能力。
此外，教材还鼓励读者提出自己的观点和见解，并引导他们对信号与系统的研究进行更深入的思考和拓展。
《信号与系统教程》第二版不仅适用于信号与系统这一专业的本科生和研究生学习，也可以作为工程技术人员的参考书。
信号与系统是电子工程、通信工程、自动控制等领域中非常重要的基础课程，也是理解和掌握这些领域的其他高级课程的基础。
因此，本教材的应用领域广泛，可供相关专业的学生和工程技术人员参考和学习。
总之，《信号与系统教程》第二版是一本权威且实用的教材，涵盖了信号与系统的基本概念和分析方法。
教材内容全面，理论与实践相结合，注重培养读者的思维方法和创新意识。
它不仅适用于信号与系统专业的学生学习，也可供相关领域的工程技术人员参考和学习。
信号与系统第二版
信号与系统第二版
1 信号与系统第二版
信号与系统（Signals and Systems）是电子工程领域中一门重要
的核心课程。
它隶属于概率与地址学、数字信号处理、信号与系统理论、时变系统和混沌理论等多个学科。
有多家出版社出版了该课的学
习材料，其主要作者包括John F. Proakis、Dennis Proakis等，其
中信号与系统第二版（2nd Edition）是最新出版的一套教材，由John F. Proakis著。
这套教材共有13章，主要涵盖7个方面：第1章介绍信号以及系
统的定义、类别和特性；第2章学习经典的离散时间系统；第3-7章
涉及线性、时变和散点的系统的性质；第8章介绍矩阵分析在系统理
论中的应用；第9-12章学习频域中的系统；最后，第13章阐述混沌
理论的内涵及其在系统研究中的应用。
每一章都拥有详细的实验，并且向学习者提供了大量的运用相关
表达式和公式来计算出结果。
此外，教材还提供了精致的图解和图表，可以让学习者更容易理解学习内容。
这套教材注重学习者实践，提倡
主动学习，是一本非常优秀的学习工具。
信号与系统第二版是一套完整的学习材料，为学习者提供了全面
的系统理论技能，也可直接应用于现代实际信号处理应用。
通过本书
的学习，可以为学生打下扎实的理论基础，以准备进入深入的学科领
域奠定扎实的基础，让他们真正将系统理论真正应用于实践中的各种问题。
信号与系统第二版余成波-第二章 01
系统的零状态响应形式为(假设为单根)：yzs (t ) B1e1t B2e2t y p (t ) 系数B1和B2由初始值yzs (0 )和yzs (0 )确定,特解根据f(t)形式确定。 总响应：y(t )=yzs (t )+yzi (t ) A1e1t A2e2t +B1e1t B2e2t y p (t )
n阶常系数微分方程
5
n阶常系数微分方程的求解法
y n t an1 y n1 t a1 y 1 t a0 y t bm f m t bm1 f m1 t ... b1 f 1 t b0 f t
10
例：若描述某LTI系统的微分方程为
y´´(t)+5y´(t)+6y(t)=2f´(t)+6f(t) 求（1）当f(t)=t2，y(0)=1，y´(0)=1时的全解；
（2）当f(t)=e-t，y(0)=1，y´(0)=0时的全解。
解：（1）特征方程为λ2+5λ+6=0，其特征根λ1=-2，λ2=-3。见表2.1 微分方程的齐次解为：yh(t)=C1e-2t+C2e-3t 当f(t)=t2 时，见表2.2，其特解可设为：yP(t)=P2t2+P1t+P0 将其代入微分方程得 2P2+5(2P2t+P1)+6(P2t2+P1t+P0)=4t+6t2 解得:P2=1，P1=-1，P0=0.5 于是，特解为yp(t)=t2-t+0.5
全响应= 全响应=
齐次方程通解
n
+
i t
非齐次方程特解
零输入响应
n
信号与系统第二版 余成波-第三章 04
1 j ab d 由微分性知F f at b j F e a a dt
F f t e
jt
dt，令 0， F 0 f t dt
1 f t 2
F e jt d ，令t 0
jt 证明：由定义 F f t t f t t e dt 0 0 变量代换，令t t0 x，t x t0，dt dx，则
F f t t0 f x e
j x t0
F e jt d
1 f t 2
F e jt d
1 若将t与对调，即 f 2
F t e jt dt
2 f F t e
jt
dt
F
f t e
j 0 t
dt F 0
说明：一个信号在时域中乘以e j0t，等效于在频域中将整个 频谱沿频率轴右移0。 频谱搬移技术，在通信系统中得到广泛应用，如调幅、同步
解调、变频等过程在此基础上完成。
1 f t cos 0t F -0 F +0 2 1 f t sin 0t F 0 F 0 2j
若 则 f t F ，F
F d f t f 0 t F 1
1
jt
1 式中，f 0 2
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
0
T1 2
L
t
偶函数的傅里叶级数展开式的系数为：
4 an = T1
bn = 0
∫ f (t )cos(nω t )dt
1
T1 2 0
Fn =
an ，ϕn = 0 2
偶函数的 Fn 为实数。在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含 有直流项和余弦项。 2、奇函数 若信号波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f (t ) = − f (− t ) ，此时 f (t ) 是奇 函数。
f (t ) = a0 + ∑ ⎡ ⎣ an cos ( nω1t ) + bn sin ( nω1t ) ⎤ ⎦
n =1 ∞
∫
t0 +T1
t0
⎧0 ∗ e jmω1t e jnω1t dt = ⎨ ⎩T1
(
)
m≠n m=n
信号与系统第三章知识点总结
∫
T
x (t ) e
1 ak = N
n =< N >
∑ x ( n )e
− jk
相似处：1.信号都可以表示为成谐波关系的复指数信 号的线性组合 2.傅立叶级数系数是离散的 3.求解傅立叶级数系数的方法相似 不同处：1.离散域仅N个复指数信号累加 2.离散域傅立叶级数系数是周期的 3.连续域存在收敛问题，而离散域无该问题
k =< N >
∑ a H (e
k
j
2π k N
)e
j
2π kn N
− st
H ( s ) = ∫ h (t )e dt
−∞
∞
H ( jω ) = ∫ h (t )e − jω t dt
−∞
∞
H ( z) =
n =−∞
∞
∑
∞
h( n) z
−n
H ( e jω ) =
n = −∞
∑
∞
h ( n ) e − jω n
y(t ) =
y(n) =
k =−∞
ak H ( jkω0 )e jkω0t ∑
第三章需要重点掌ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的知识点
2.傅立叶级数的物理意义 表征信号在不同频率点的强度，是频域分析的 一种方法。
3.傅里叶级数的性质 表3.1 表3.2
第三章需要重点掌握的知识点
4.傅立叶级数的收敛 仅连续时间傅里叶级数存在收敛问题 （1）平方可积
∫
T0
x(t ) dt < ∞
2
（2）狄里赫利条件
5.傅立叶级数与LTI系统 系统函数 频率响应
第三章需要重点掌握的知识点
1.傅立叶级数的表示方法
信号与系统分析基础(第2版)第3章
Sgn(t) 1
o －1 (a )
t
o
(b )
图 3.2-13 符号函数Sgn(t) (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱
第3章 傅立叶变换
阶跃函数ε(t)的频谱函数 解 由阶跃函数u(t)的波形容易得到
1 1 u (t ) Sgn (t ) 2 2
从而就可更为方便地求出u(t)的频谱函数， 即
X( )
1
(b )
图 3.2-10 双边奇指数函数 (a) 信号f(t); (b) 频谱
第3章 傅立叶变换
解 图示信号f(t)可表示为
at e f (t ) at e
t0 t0
(a>0)
F ( j ) e e
0
at jt
dt e t e jt dt
2
T T 当 t , t 2 2 2 2
f (t) E
－T
T τ o τ － － 2 2 2
T 2
T
2T
t
图 3.1-1 周期矩形脉冲信号
第3章 傅立叶变换
为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
第3章 傅立叶变换
取样函数定义为：
sin x Sa ( x) x
|Fn|=0的时刻将发生变化。 越大，即占空比越小， |Fn|=0 时
的n值越大。同时， |Fn|的最大值也随之变小。若下图3.2-5所
示。 当T表示的脉冲周期发生变化时，若脉宽 保持不变，则 越小， 即|Fn|
2 |Fn|脉冲序列的间隔发生变化。当T 越大， T
的序列越密。同时， |Fn|的最大值也随之变小。若下图3.2-6所 示。（ 思考当 / T →1和→0时的情况，以及 |Fn|的幅值变化）