2015年山西省太原市高三二模考试数学(理科)试题含答案
山西省太原市第五中学2015届高三第二次模拟考试数学(理)
太原五中2014—2015学年度第二学期阶段检测高 三 数 学(理)命题人:刘晓瑜 校题人： 王文杰 (2015.5.25)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）．满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题 共60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1. 已知集合错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
为（ ）Ａ．错误！未找到引用源。
Ｂ．错误！未找到引用源。
Ｃ．错误！未找到引用源。
Ｄ．错误！未找到引用源。
2. 甲乙两人从错误！未找到引用源。
门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有错误！未找到引用源。
门不相同．．．的选法共有（ ） A ．30种 B ．36种 C ．60种 D ．72种3．已知向量(cos ,2),(sin ,1),//a b a b αα=-= 则tan()4πα-等于( )A ．3 B.3- C.13 D. 13- 4．错误！未找到引用源。
的展开式中错误！未找到引用源。
的系数是（ ）A.-3B.3C.-4D.45．实数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，使错误！未找到引用源。
取得最大值的最优解有2个，则错误！未找到引用源。
的最小值为（ ） A.0 B.-2 C.1 D.-16．已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB ＝BC ＝错误！未找到引用源。
,AC ＝3，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为错误！未找到引用源。
，则球O 的表面积为A ．36πB ．16πC ．12πD ．错误！未找到引用源。
π7. 已知实数[1,10]x ∈，执行右图所示的程序框图，则输出x 的值不小于55的概率为（ ）A.19 B.29C.49D.598．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A.2日和5日 B ．5日和6日 C ．6日和11日 D ．2日和11日9. 以下四个命题中,其中真命题的个数为( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥；③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1④命题错误！未找到引用源。
理科综合卷·2015届山西省太原五中下学期高三阶段检测(校二模)(2015.05)
太原五中2014-2015学年度第二学期阶段检测高三理科综合本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
共300分，考试时间150分钟。
第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
14—18单选，19、20、21题为多选，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 Cl 35.5 Fe 56 S 32 Zn65 1．微量元素在生物体内含量虽然很少，却是维持正常生命活动不可缺少的。
这可通过下面的哪一实例得到证实：A．缺Mg时植物叶片变黄B．油菜缺B时只开花不结果C．动物血液中钙盐的含量太低会抽搐D．缺Ｐ会影响ＡＴＰ的合成2.下图为某同学利用同位素标记法研究变形虫细胞核功能的实验，据此推断不正确的是A．RNA首先在细胞核中合成，然后释放到细胞质当中B．细胞核可能通过控制RNA的合成间接控制细胞的代谢C．若核质分离较长时间后进行移植，则B组实验细胞质中无15N的RNAD．A组培养液换用15N标记的胸腺嘧啶脱氧核苷酸进行实验，可得到相同的实验结果3.为了探究生长素和乙烯对植物生长的影响及这两种激素的相互作用，科学家用一系列浓度梯度的生长素处理某种植物的茎，结果如图，后来还发现，生长素增加雌花分化是生长素诱导产生乙烯的结果。
不正确的是A.该植物茎中乙烯含量的增加会促进生长素的合成B.该植物茎中生长素含量达到M值时，植物开始合成乙烯C.测定时间在T1之后，植物茎的生长速度可能不与生长素浓度成正比。
D.在生产实践中，为了促进黄瓜雌花分化，可以直接用一定浓度的乙烯处理，达到增产的目的。
4．下图为种群数量增长曲线，有关叙述不正确的是A．改善空间和资源条件有望使K值提高B．BC段种群增长率逐渐下降，出生率一定小于死亡率C．B到C变化过程中，其天敌捕食成功率将会增加D．曲线Y表明自然状态下种群无法实现最大增长率5．下列有关细胞分裂的图中，说法不正确的是A.若图①是某植物的体细胞，该细胞的分裂方式是有丝分裂B.假设某二倍体高等雄性动物睾丸里的一个细胞分裂如图②，其基因A、a、B、b分布如图，产生的子细胞的基因型为AaBbC.图③是某二倍体高等雌性动物体内的一个细胞，它的名称是卵细胞D.图④中CD段所能代表的时期可能是有丝分裂后期，减数第二次分裂后期6．埃博拉出血热(EBHF)是由埃博拉病毒(EBV)(一种丝状单链RNA病毒)引起的病毒性出血热，EBV与宿主细胞结合后，将核酸-蛋白复合体释放至细胞质，通过以下途径进行增殖。
2015年山西省高考理科数学试卷及答案
2015年山西省高考理科数学试卷及答案D(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(23-，23)(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛(7)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD=，则(A )1433AD AB AC =-+ (B )1433AD AB AC=-(C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC=-(8)函数f (x )＝(8)cos (ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为(A )(kπ−14,kπ+34,)，k ∈z (b )(2kπ−14,2kπ+34)，k ∈z(C )(k −14,k +34)，k ∈z (D )(2k −14,2k +34)，k ∈z(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(A)5 (B)6 (C)7 (D)8（10）25x x y++的展开式中，52x y的系数为()(A)10 (B)20 (C)30 (D)60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 ＋20π，则r＝(A )1 (B )2 (C ) 4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1)B . [33,24e -)C . [33,24e )D . [32e，1)2015年山西高考理科数学试题第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ (14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设，求数列}的前n 项和(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°， E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw11x +∑(x 1－x)211x +∑(w 1－w )211x +∑(x 1－x )(y －y )11x +∑(w 1－w )(y－y )46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w 1 x ， ，w ＝1811x w +∑ (Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由 高三网 )(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； (Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：(1)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ABCF ED年宣传费(千元)年销售量(2)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=-(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min{},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； (2)若OA 3，求∠ACB 的大小.(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求1C，2C 的极坐标方程；(2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积CD AE BO(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围一、选择题A卷选择题答案：（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）DB卷选择题答案：（1）D （2）A （3）C （4）A （5）D （6）B（7）D （8）A （9）C （10）C （11）B （12）A二、填空题（13）1 （14）（15）3（16）三、解答题（17）解：（I ）由2243n n n a a S +=+，可知211124 3.n n n a a S ++++=+ 可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即2211112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-由于0n a >可得1 2.n n a a +-=又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去，所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+111111().(21)(23)22123n n b a a n n n n +===-++++ 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12n n T b b b =+++1111111()()()()235572123.3(23)n n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦=+22325()24x y ±+=（18）解：（I ）连结BD ，设BD AC=G ，连结EG ，FG ，EF. 在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°， 可得3.由BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC.又AE ⊥EC ，所以3EG ⊥AC.在Rt ∆EBG 中， 可得2DF=22.在Rt ∆FDG 中，可得FG=62在直角梯形BDFE 中，由BD=2，2DF=22， 可得FE=32.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以 又,.ACFG G EG AFC =⊥可得平面因为EG AEC ⊂平面所以平面AEC AFC ⊥平面（1）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，GB 为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由（I ）可得2(03,0),(102),(10(03,0)2A E F C -，，，，，所以 2(132),(13,2AE CF ==-，，故3cos ,AE CF AE CF AE CF⋅==-⋅所以直线AE 与直线CF 所成直角的余弦值为33. （19）解（高三网 ）：（I ）由散点图可以判断，y c x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。
山西省太原市2015届高三模拟考试(二)数学(理)试卷
山西省太原市2015届高三年级第二次模拟试题理科数学一、选择题：1．已知 i 为虚数单位，集合A={}zi ,2,1，B={}1,3则复数z=A ．i 4-B ．4iC ．i 2-D ．2i2．下列命题中的假命题是： A. ,0x x R e ∀∈> B. 2,0x R x ∀∈≥C. 00,sin 2x R x ∃∈=D. 0200,2x x R x ∃∈>3．已知 (,2),(2,1)a x b ==-，且 a b ⊥，则 a b -=A. B. C. D. 104.已知 sin cos (,)22a a a ππ+=∈-．则 tan a =A. -1B.C ． 2D. 15．执行右图所示的程序框图，若P=1211．则输出的n= A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 76已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.314 B. 4 C. 103D. 3 7.已知△ABC 中， 34cos ,cos ,455A B BC ===，则△ABC 的面积为A. 6B.12C. 5D.108已知点A ()0,a -，B (),0a ，若圆 ()22(3)41x y -+-=上存在点P ．使得 90APB ∠= ， 则正数a 的取值范围为A.[4，6]B.[5，6]C. [4，5]D.[3，6]9已知函数 ()f x 的导函数在 (,)a b 上的图象关于直线 2a b x +=对称，则函数 ()y f x =在 [,]a b 上的图象可能是10.已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1，则AD 的取值范围是11.A ．[)2,1 B．( C ．(]0,1 D ．()2,0 11.已知 12,F F 分别是双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点p 在双曲线的右支上，且()110F P OF OP ⋅+= (O 为坐标原点），若12F P P = ,则该双曲线的离心率为 A ．+ B ．C ．D ．12．已知函数()x f 定义域为()+∞,0，且满足()()()ee f x x x f x x f 1,ln =='+，则下列结论正确的是 A.()x f 有极大值无极小值 B.()x f 有极小值无极大值C.()x f 既有极大值又有极小值D.()x f 没有极值 二、填空题：13.在直角坐标平面内，由曲线3,,1===x x y xy 所围成的封闭图形面积为_______.14已知实数x ，y 满足条件 0,434,0,x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则 1x y z x ++=最小值为 _______. 15.已知数列 {}n a 满足 ()11121,()1n n n n a a a a a n N n n *++=-=∈+，则 n a =_______. 16.已知 10≤≤x ，若1213≤-ax x 恒成立， 则实数a 的取值范围是____. 三、解答题：17. 巳知等差数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，且 131,9a S ==．数列 {}n b 中131,20b b == (I)若数列 n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比0>q 的等比数列，求 ,n n a b(Ⅱ)在(I)的条件下，求数列 {}n b 的前n 项和 n T 。
山西省太原市2015年高三年级模拟试题(一)数学试卷(理工类)(含详细答案)
考点：指数函数，函数的零点问题
答案： B
10、已知实数 x, y 满足条件
x2
xy4
若目标函数 z 3x y 的最小值为 5，其最大值为
2x y c 0
A. 10 B. 12 C. 14 考点：线性规划 答案： A
D. 15
11、已知点 为双曲线 C 的对称中心，过点
的两条直线 l1 与 l2 的夹角为 60 ，直线 l1 与双曲线 C 相交于点
n
n
1
2n 1 cos 2
1 n N ，其前 n 项和为 Sn ，则 Sn
第 3页
A、
B、6
C、
D、2
考点：圆与直线位置关系 答案： D
8、已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是
A 、16
B 、 32
C、 32
D、 48
第 2页
考点：由三视图求体积 答案： C
9、已知实数 a, b 满足 2a 3,3b 2 ，则函数 f x ax x b 的零点所在的区间是
A. 2, 1 B. 1,0 C. 0,1 D. 1,2
山西省太原市 2015 年高三年级模拟试题（一）
一、选择题
1、已知
，则复数 （）
数学试卷（理工类）
A.
B.
考点：复数的运算 答案： A
2、已知全集
，集合
A.[-1,1 ） B.(-3,1 考点：集合之间的简单运算 答案： D
C.
D.
C.(- ,3) [-1,+ ） D.(-3,-1)
,则下图阴影部分表示的集合是（） U
M
N
3、在单调递减等比数列
5
中，若 a3 1,a2 a4
河南河北山西2015届高三高考考前质量监测(二)数学(理)试题及答案
A． 5
2
2． ( x 0
B． 10
1 1)dx
2
A． -l
B．0
C． 15
1
C．
2
D． 20 D． 1
3．已知集合 A y | y a,或 y a2 1 , B y | y 2x 1, 2 x 3 ，若 A B
，则实数
a 的取值范围是A． 来自 ,2)D．2
6．设函数 f (x) 2cos 2 (x ) sin(2 x ) ，则
6
3
A． f ( x) 在区间 ( , ) 内单调递减 B． f (x) 在区间 ( , ) 内单调递减
2
44
C． f ( x) 在区间 ( , ) 内单调递增 2
7．已知向量 a，b 的夹角为 2 ， b 3
D． f ( x) 在区间 ( , ) 【 _孚， 4 ）内单调递增 44
( I)求证 ： EF AC1；
(Ⅱ )求直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角的正弦值．
19.（本小题满分 12 分）
如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为
l ， 3， 5，7．
规定：击中 A，B，C，D 区域分别可获得 5 分， 3 分， 2 分， 1 分，脱靶（即击中最大圆之
外的某点）得 0 分．
于点 B）是点 B 关于 x 轴的对称点，求△ AOC面积的取值范围， 请考生在 22、23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请
写清题号． 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1:几何证明选讲
如图，在△ ABC中，点 D 为线段 BA 延长线上的一点， 且 BDC = A CB， O 为△ ADC 的外接圆． (I)隶证： BC是 O 的切线；
2015年山西省太原市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
五.选修 4-4：坐标系与参数方程 23．在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为
（其中 θ 为参数），
点 M 是曲线 C1 上的动点，点 P 在曲线 C2 上，且满足 ＝2 ． （Ⅰ）求曲线 C2 的普通方程； （Ⅱ）以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 θ＝ ，与曲
（1）求证：GE∥平面 AA1B1B； （2）求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐角二面角的余弦值．
20．（12 分）已知椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的左右焦点 F1，F2 其离心率为 e ＝ ，点 P 为椭圆上的一个动点，△PF1F2 内切圆面积的最大值为 ．
（1）求 a，b 的值 （2）若 A、B、C、D 是椭圆上不重合的四个点，且满足 ∥ ， ∥ ，
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有两件产品的重量超过 505 克的概率．
19．（12 分）如图，在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 AA1B1B⊥底面 ABC，侧 棱 AA1 与底面 ABC 的所成角为 60°，AA1＝2，底面 ABC 是边长为 2 的正三 角形，点 G 为△ABC 的重心，点 E 在 BC1 上，且 BE＝ BC1．
＝．
（1）若△ABC 的面积等于 ，求 a，b； （2）若 sinC+sin（B﹣A）＝2sin2A，求 A 的值． 18．（12 分）某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取 40
件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方 图（其中重量的分组区间分别为（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505， 510]，（510，515]） （I）若从这 40 件产品中任取两件，设 X 为重量超过 505 克的产品数量，求随机 变量 X 的分布列； （Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取 5 件产品，求恰
2015太原二模 山西省太原市2015届高三模拟考试(二)理综化学 Word版含答案
2015太原二模山西省太原市2015届高三模拟考试(二)理综化学 Word版含答案太原市2015年高三年级模拟试题（二）理科综合能力测试注意事项：1.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至5页，第Ⅱ卷6至16页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试题上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，须用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡相对应的答题区域内，写在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 O16 Cu 64 Au197第I卷一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
7.在电解铝的电解槽中存在电解质，已知X、Y、Z、W 四种元素的简单离子的电子层结构均相同。
X原子最外层电子数等于电子层数，则下列说法正确的是A.原子序数：W>X>Y>ZB.原子半径：r(W)>r(X)>r(Y)>r(Z)C.最高价氧化物对应的水化物碱性：W<XD.在电解过程中，W3XZ6的主要作用是增强电解质的导电性8.化学与社会、生活密切相关。
下列说法正确的是A.淀粉、油脂、蛋白质都能水解，但水解产物不同B.大豆富含蛋白质，故豆浆煮沸后蛋白质变成了氨基酸C.石油的分馏、煤的气化、海水提溴的过程都包含化学变化D.地沟油经处理后可作为汽车燃油，故地沟油的成分是杂态烃9.新型燃料电池(DBFC)的结构如图所示（已知NaBH4中氢为-1价），有关该电池的说法不正确的是A.放电过程中，Na从A极区向B极区迁移B.电极B材料中含MnO2层，MnO2起导电作用C.在电池反应中，每消耗1L 6mol/L H2O2溶液，理论上流过电路中的电子为12个D.电池负极区的电极反应为10.25℃的四种溶液：①溶液②pH=2的HCl溶液③pH=12的氨水④pH=12的NaOH溶液，有关上述溶液的说法，正确的是A.①、④溶液中水电离的c(H+)：①>④B.将②、③溶液混合后pH=7，则消耗溶液的体积：②<③C.分别向等体积的上述溶液中加入100ml水，溶液的pH：③>④>①>②的排放。
2015年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)
2015年山西省太原市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1.已知()12i 2i z +=，则复数z =（ ）A.1i +B.1i - C ．1i -+ D.1i -- 答案：A考点：复数代数形式的乘除运算. 专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可． 解答：解：()1i 2i z +=， 可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -===+++-． 故选：A ．点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查． 2.已知全集U =R ，集合()(){}130M x x x =-+<，{}1N x x =≤，则下图阴影部分表示的集合是（ ）A.[)1,1-B.(]3,1-C ．()[),31,--+ ∞∞ D.()3,1--答案：D考点： Venn 图表达集合的关系及运算. 专题：集合．分析：先确定阴影部分对应的集合为()U N M ð，然后利用集合关系确定集合元素即可． 解答：解：阴影部分对应的集合为()U N M ð，{}31M x x =-<< ，{}11N x x =-≤≤， {}11U N x x huox ∴=><-ð， (){}31U N M x x ∴=-<<- ð， 故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，利用Venn 图，确定阴影部分的集合关系是解决本题的关键．3.在单调递减等比数列{}n a 中，若31a =，2452a a +=，则1a =（ ）A.2B.4 D.答案：B考点：等比数列的性质.专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项，得到152q q +=，进利用数列{}n a 为递减数列，求出公比q 的值，即可求出1a 的值．解答：解：31a = ，2452a a +=， 152q q ∴+=，数列{}n a 为递减数列，12q ∴=14a ∴=， 故选：B ．点评：此题考查了等比数列的性质，通项公式，考查学生的计算能力，比较基础．．4.已知函数()2log f x x =，若在[]1,8上任取一个实数0x ，则不等式()012f x ≤≤成立的概率是（ ） A.14 B.12 C.27 D.12 答案：C考点：几何概型. 专题：概率与统计．分析：由题意，本题是几何概型的考查，只要求出区间的长度，利用公式解答即可．解答：解：区间[]1,8的长度为7，满足不等式()012f x ≤≤即不等式201log 2x ≤≤，解答024x ≤≤，对应区间[]2,4长度为2，由几何概型公式可得使不等式()012f x ≤≤成立的概率是27； 故选C ．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确结合测度，；本题利用区间长度的比求几何概型的概率．5.执行如图所示程序框图，则输出a =（ ）A.20B.14C.10D.7答案：C考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，i 的值，当i=2016时，不满足条件2015i ≤，退出循环，输出a 的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得10a =，i=1满足条件i 2015≤，不满足条件a 是奇数，5a =，i=2 满足条件i 2015≤，满足条件a 是奇数，14a =，i=3 满足条件i 2015≤，不满足条件a 是奇数，7a =，i=4 满足条件i 2015≤，满足条件a 是奇数，20a =，i=5 满足条件i 2015≤，不满足条件a 是奇数，10a =，i=6满足条件i 2015≤，不满足条件a 是奇数，5a =，i=7 满足条件i 2015≤，满足条件a 是奇数，14a =，i=8≤观察规律可知，a 的取值以5为周期，由20154035=⨯可得 满足条件i 2015≤，不满足条件a 是奇数，10a =，i 2016= 不满足条件i 2015≤，退出循环，输出a 的值为10． 故选：C ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，观察规律可知a 的取值以5为周期从而解得退出循环时a 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6.已知函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数()f x 的图象（ ）A.关于直线π12x =对称 B.关于直线5π12x =对称 C.关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D.关于直线5π,012⎛⎫⎪⎝⎭答案：B考点：函数()sin y A x ωφ=+的图象变. 专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．解答：解： 函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，2ππT ω∴==，解得2ω=，即()()sin 2f x x φ=+，将其图象向右平移π3个单位后得到π2πsin 2sin 233y x x φφ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若此时函数关于原点对称，则2ππ3k φ-=，即2ππ3k φ=+，k ∈Z ，π2φ< ，∴当1k =-时，π3φ=-．即()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由ππ2π32x k -=+，解得5ππ122k x =+，k ∈Z ，故当0k =时，函数的对称轴为5π12x =，故选：B点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．7.已知在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD的面积为（ ）A. B. C. D.答案：D考点：直线与圆的位置关系. 专题：计算题；直线与圆．分析：圆22420x y x y +-+=即()()22215x y -++=，圆心()2,1M -，半径r =最长弦AC 为圆的直径．BD 为最短弦，AC 与BD 相垂直，求出BD ，由此能求出四边形ABCD 的面积．解答：解：圆22420x y x y +-+=即()()22215x y -++=，圆心()2,1M -，半径r最长弦AC 为圆的直径为， BD 为最短弦AC ∴与BD 相垂直，ME d =，2BD BE ∴==1122ABD BDC ABCD S S S BD EA BD EC =+=⨯+⨯⨯ 四边形△△()111=222BD EA EC BD AC ⨯⨯+=⨯⨯=故选：D点评：本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 8.已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）A.16B.32C.32D.48 答案：D考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，结合题目中的数据，求出它的体积． 解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形的四棱锥， 如图所示；∴该几何体的体积是()11=2666=4832V ⨯⨯+⨯⨯四棱锥.故选：D ．6266点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．9.已知实数a ，b 满足23a =，32b =，则函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ） A.()2,1-- B.()1,0-C0()0,1D0()1,2答案：B考点：函数的零点；指数函数的图像与性质. 专题：函数的性质及应用．分析：根据对数，指数的转化得出()()23log 3log 2xf x x =+-单调递增，根据函数的零点判定定理得出()301log 20f =->，()331log 21log 210f -=--=-<，判定即可．解答：解： 实数a ，b 满足23a =，32b =，2log 31a ∴=>，30log 21b <=<，函数()x f x a x b =+-，()()23log 3log 2xf x x ∴=+-单调递增， ()301log 20f =->()331log 21log 210f -=--=-<，∴根据函数的零点判定定理得出函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间()1,0-，故选：B ．点评：本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题．10.已知实数x ，y 满足条件2420x x y x y c ⎧⎪+⎨⎪-++⎩≥≤≥若目标函数3z x y =+的最小值为5，其最大值为（ ）A.10B.12C.14D.15 答案：A考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数3z x y =+的最小值为5，建立条件关系即可求出k 的值．解答：解：目标函数3z x y =+的最小值为5，3y x z ∴=-+，要使目标函数3z x y =+的最小值为5， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则目标函数经过点B 截距最小， 由235x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即()2,1B -，同时B 也在直线20x y c -++=，即410c --+=，解得5c =，此时直线方程为250x y -++=，当直线3z x y =+经过点C 时，直线的截距最大，此时z 最大， 由2504x y x y -++=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ，此时33110z =⨯+=， 故选：A ．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数3z x y =+的最小值为5，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．11.已知点O 为双曲线C 的对称中心，过点O 的两条直线1l 与2l 的夹角为60︒，直线1l 与双曲线C 相交于点1A ，1B ，直线2l 与双曲线C 相交于点2A ，2B ，若使1122A B A B =成立的直线1l 与2l 有且只有一对，则双曲线C 离心率的取值范围是（ ）A.,2⎤⎥⎝⎦B.2⎫⎪⎪⎣⎭C.,⎫+⎪⎪⎝⎭∞D.,⎫+⎪⎪⎣⎭∞ 答案：A考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．解答：解：不妨设双曲线的方程是()222210,0x y a b a b-=>>，由1122A B A B =及双曲线的对称性知1A ，2A ，1B ，2B 关于x 轴对称，如图， 又 满足条件的直线只有一对，当直线与x 轴夹角为30︒时，双曲线的渐近线与x 轴夹角大于30︒， 双曲线与直线才能有交点1A ，2A ，1B ，2B ，若双曲线的渐近线与x 轴夹角等于30︒，则无交点， 且不可能存在1122A B A B =，当直线与x 轴夹角为60︒时，双曲线渐近线与x 轴夹角小于60︒， 双曲线与直线有一对交点1A ，2A ，1B ，2B ，若双曲线的渐近线与x 轴夹角等于60︒，也满足题中有一对直线， 但是如果大于60︒，则有两对直线．不符合题意，tan30tan60b a ∴︒<︒≤b a <≤22133b a <≤， 222b c a =- ，222133c a b -∴<≤，则21e 133<-≤， 解得24e 43<≤e 2<≤， ∴双曲线离心率的范围是2⎤⎥⎝⎦， 故选：A ．点评：本题考查双曲线的简单性质以及应用，考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．12.已知数列{}n a 的通项公式为()()()*π121cos 12nn n a n n =--+∈N ，其前n 项和为n S ，则60S =（ ）A.30-B.60-C.90D.120 答案：D考点：数列的求和.专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列的通项公式求出数列前几项，得到数列的奇数项均为1，每两个偶数项的和为6，由此可以求得60S 的值．解答：解：由()()π121cos12nn n a n =--+，得 1πcos 112a =-+=，23cos π+1=2a =-，33π5cos 112a =-+=，47cos2π+1=8a =，55π9cos 112a =-+=，611cos3π+1=10a =-，77π13cos 112a =-+=，815cos4π+1=16a =，由上可知，数列{}n a 的奇数项为1，每两个偶数项的和为6， ()()60135924586030156120S a a a a a a a ∴=++++++++=+⨯= .故选：D ．点评：本题考查了数列递推式，考查了三角函数的求值，关键是对数列规律的发现，是中档题． 二、填空题13.已知向量a ，b 满足()()26a b a b -+= ，且2a = ，1b =，则a 与b 的夹角为 ．答案：120︒考点：数量积表示两个向量的夹角. 专题：平面向量及应用．分析：将已知等式展开，利用向量的平方与模的平方相等以及向量的数量积公式，得到关于 向量夹角的等式解之．解答：解：由()()26a b a b -+= ，且2a = ，1b = ，得2226a b a b -+⋅= ，即812cos ,6a b -+=，所以1cos ,2a b =- ，所以a 与b的夹角为120︒； 故答案为：120︒．点评：本题考查了向量的数量积的运算以及向量夹角的求法；关键是熟练利用数量积公式． 14.已知2nx⎛⎝展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是 ．答案：60考点：二项式定理.专题：计算题；二项式定理．分析：根据题意，2nx⎛ ⎝的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得264n=，解可得，6n =；进而可得二项展开式，令3602r -=，可得4r =，代入二项展开式，可得答案．解答：解：由二项式系数的性质，可得264n=，解可得，6n =；62x⎛ ⎝的展开式为为()()3666662166C 212C rr r r r r r r T x x -----+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝， 令3602r -=，可得4r =，则展开式中常数项为60． 故答案为：60．点评：本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．15.已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -的体积取最大值时，其外接球的体积为 ．答案：4π3考点：球的体积和表面积.专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．解答：解：已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，如图：2AB =，1AD =，1CD =，AC ∴BC ， BC AC ∴⊥，取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ， 当三棱锥体积最大时， ∴平面DCA ⊥平面ACB ， OB OA OC OD ∴===，1OB ∴=，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：34π4π133⨯=．故答案为：4π3．点评：本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．16.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()23f -=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，()*2n n S a n n =+∈N ，则()()56f a f a += ．答案：3考点：数列与函数的综合. 专题：等差数列与等比数列．分析：先由函数()f x 是奇函数，()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，推知()()3f x f x +=，得到()f x 是以3为周期的周期函数．再由11a =-，且2n n S a n =+，推知531a =-，663a =-计算即可．解答：解： 函数()f x 是奇函数 ()()f x f x ∴-=- ()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，()32f x f x ⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭()()3f x f x ∴+=()f x ∴是以3为周期的周期函数．数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，1121n n S a n --∴=+-，221n n n a a a ∴=-+， 即121n n a a -=-，()1121n n a a --=-，{}1n a -以2-为首项，2为公比的等比数列． 12n n a =-．531a ∴=-，663a =-()()()()()()()()56316320223f a f a f f f f f f ∴+=-+-=+==--=故答案为：3．点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点． 三、解答题17.已知a ，b ，c 分别是ABC △的角A ，B ，C 所对的边，且2c =，π3C =．（1）若ABC △a ，b ；（2）若()sin sin 2sin2C B A A +-=，求A 的值．考点：余弦定理；正弦定理. 专题：解三角形．分析：（1）2c =，π3C =，由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，即224a b ab =+-，利用三角形面积计算公式1πsin 23ab =4ab =．联立解出即可．（2）由()s i n s i n C B A =+，()sin sin 2sin2C B A A +-=，可得2sin cos 4sin cos B A A A =．当c o s 0A =时，解得π2A =；当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理可得：2b a =，联立解得即可． 解答：解：（1）2c = ，π3C =，由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，224a b ab ∴=+-， 1πsin 23ab 4ab =． 联立2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，解得2a =，2b =．（2）()sin sin C B A =+ ，()sin sin 2sin2C B A A +-=， ()()sin sin 2sin2A B B A A ∴++-=， 2sin cos 4sin cos B A A A =，当cos 0A =时，解得π2A =； 当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =， 由正弦定理可得：2b a =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得a =，b =，222b a c ∴=+，π2B ∴=，又π3C =，π6A ∴=．综上可得：π2A =或π6A =．点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为(]490,495，(]495,500，(]500,505，(]505,510，(]510,515）（I ）若从这40件产品中任取两件，设X 为重量超过505克的产品数量，求随机变量X 的分布列；（Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．/克考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差. 专题：概率与统计． 分析：（ I ）根据频率分布直方图求出重量超过505克的产品数量，推出随机变量X 的所有可能取值为 0，1，2求出概率，得到随机变量X 的分布列．（Ⅱ）求出该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，推出()5,0.3Y B ~．然后求解所求概率． 解答：解：（ I ）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为()0.0010.00554012+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦． 由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2()228240C 630C 130P X ===，()112812240C C 281C 65P X ===，()212240C 112C 130P X ===．: 505克的概率为0.3设Y 为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则()5,0.3Y B ~．故所求概率为()22352C 0.30.70.3087P Y ==⨯⨯=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列，以及概率的求法，考查计算能力． 19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，侧棱1AA 与底面ABC 的所成角为60︒，12AA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，点G 为ABC △的重心，点E 在1BC 上，且113BE BC =．（1）求证：GE ∥平面11AA B B ；（2）求平面1B GE 与底面ABC 所成锐角二面角的余弦值．C 1B 1A 1G ECBA考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定. 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）连接1B E ，并延长交BC 于点F ，连接1AB ，AF ，证明1GE AB ∥，然后证明GE ∥平面11AA B B ；（2）过点1A 作1AO AB ⊥，垂足为O ，连接OC ，以O 为原点，分别以OC ，OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系O xyz -，求出相关点的坐标，平面1B GE 的一个法向量，平面ABC 的一个法向量，即可求解二面角的余弦函数值． 解答：解：（1）证明：连接1B E ，并延长交BC 于点F ，连接1AB ，AF ， 111ABC A B C - 是三棱柱，11BC B C ∴∥，11EFB EB C ∴△∽△，又113BE BC = ，111112BE EF BF EC EB B C ∴===， 12BF BC ∴=，F ∴是BC 的中点．点G 是ABC △的重心，∴点G 在AF 上，且112GF BF AG EB ==， 1GE AB ∴∥， GE ∴∥平面11AA B B ；（2）证明：过点1A 作1AO AB ⊥，垂足为O ，连接OC ， 侧面11AA B B ⊥底面ABC ，1AO ∴⊥底面ABC ，160A AB ∴∠=︒， 12AA = ，1AO ∴=，2AB = ，∴点O 是AB 的中点，又 点G 是正三角形ABC 的重心∴点G 在OC 上，OC AB ∴⊥，1AO ⊥底面ABC ，1AO OB ∴⊥，1AO OC ⊥，以O 为原点， 分别以OC ，OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系O xyz -，由题意可得：()0,1,0A -，()0,1,0B，)0,0C，(10,0,A，(10,2,B，11,C ，则,0,0G ⎫⎪⎪⎝⎭，110,3BE BC ∴==⎝⎭，,1,E ∴⎝⎭，0,1,GE ⎛∴= ⎝⎭,11,B E =-⎝⎭, 设(),,n x y z = 是平面1B GE 的一个法向量，则1n GE n B E ⎧⎪⎨⎪⎩ ⊥⊥0y y ⎧=⎪⎪∴-=令z =，则x =1y =-，1,n ∴=-，由（1）知(1π0,0,OA ==是平面ABC 的一个法向量，设平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角为θ，则有：cos m n m nθ⋅=⋅ ．FAB CEG A 1B 1C 1点评：本题考查直线与平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力．20.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 其离心率为1e=2，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F △内切圆面积的最大值为4π3．（1）求a ，b 的值（2）若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，且满足11F A FC ∥，11F B F D ∥，0AC BD ⋅= ，求A C B D +的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）当P 为椭圆上下顶点时，12PF F △内切圆面积取得最大值，设12PF F △内切圆半径为r ，利用()121212121122PF F S F F b bc F F PF PF r =⋅==++△，化为)bc a c +，又12c a =，222a b c =+，联立解得a ，c ，b 即可得出．（2）由满足11F A FC ∥，11F B F D ∥，0AC BD ⋅=，可得直线AC ，BD 垂直相交于点1F ，由（1）椭圆方程2211612x y +=，()12,0F -．①直线AC ，BD 有一条斜率不存在时，14AC BD +=．②当AC 斜率存在且不为0时，设方程()2y k x =+，()11,A x y ，()22,C x y ，与椭圆方程联立化为()2222341616480k xk x k +++-=．利用根与系数的关系可得：()2224134k AC k +=+ ,把1k -代入上述可得：可得()2224143k BD k +=+ ，可得()()()222216814334k AC BD k k ++=++ ，设()210t k k =+≠，1t >．即可得出．解答：解：（1）设12PF F △内切圆半径为r ，由12PF F △的面积为()()1212112222S r PF PF F F r a c =++=+，S 最大，则r 最大，当P 为椭圆上下顶点时，12PF F △的面积最大，其内切圆面积取得最大值，24ππ3r =，r ∴=． ()()1212121211122222PF F S F F b bc F F PF PF r c a =⋅==++=+△，化为)bc a c +，又12c a =，222a b c =+，联立解得4a =，2c =，b = （2） 满足11F A FC ∥，11F B F D ∥，0AC BD ⋅= ， ∴直线AC ，BD 垂直相交于点1F ，由（1）椭圆方程2211612x y +=，()12,0F -．①直线AC ，BD 有一条斜率不存在时，6814AC BD +=+=．②当AC 斜率存在且不为0时，设方程()2y k x =+，()11,A x y ，()22,C x y ， 联立()22211612y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，化为()2222341616480k x k x k +++-=．21221634k x x k -∴+=+，2122164834k x x k -=+，()2224134k AC k +∴+ ，把1k -代入上述可得：可得()2224143k BD k +=+ ，()()()222216814334k AC BD k k +∴+=++，设()210t k k =+≠，1t >． 168112AC BD t t∴+=-+ ，1t > ，21104t t -∴<≤，96,147AC BD ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭ ．综上可得：AC BD + 的取值范围是96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数关系、向量垂直与数量积的关系、三角形内切圆的性质、二次函数的性质，考查了“换元法”、推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数()()2ln f x x a x x =++，a ∈R ． （Ⅰ）若当1a =-时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()()1e 12f x a >+，求a 的取值范围． 考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题：导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）1a =-时，求出()2ln f x x x x =--，通过求导，根据导数符号即可判断出()f x 的单调区间；（Ⅱ）讨论a 的取值：0a =时，容易得出满足题意；0a >时，会发现函数2x ax +在()0,+∞上单调递增，让110e1ax --<<<，便得到()()111ln 110e 12f x a a x a a a a ⎛⎫<++<++--=<+ ⎪⎝⎭，从而这种情况不存在；当0a <时，通过求导，容易判断出，存在()00,x ∈+∞，使()0'0f x =，从而判断出()f x 的最小值()0f x ，再由条件()()1e+12f x a >便可得到()00,e x ∈，并根据()0'0f x =，可求出20021x a x =-+，从而求出a 的取值范围． 解答：解：（Ⅰ）由题意得()0,x ∈+∞； 当1a =-时，()2ln f x x x x =--，()()()212121'x x x x f x x x-+--==；∴x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0； ()f x ∴的单调减区间是()0,1，单调增区间是[)1,+∞；（II ）①当0a =时，()20f x x =>，显然符合题意； ②当0a >时，当110eax --<<时；()()111ln 110e+12f x a a x a a a a ⎛⎫<++<++--=< ⎪⎝⎭,不符合题意；③当0a <时，则()22'x ax af x x++=；对于220x ax a ++=，280a a ∆=->；∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在()00,x ∈+∞，使得20020x ax a ++=； 即()0'0f x =；00x x ∴<<时，()'0f x <，0x x >时，()'0f x >；()()0min f x f x ∴=()()()220000000001111ln 12ln 12ln 2222x a x x x ax a a x x a x x ⎡⎤⎡⎤=++=+++-+=-+⎣⎦⎣⎦; ()()1e 12f x a >+ ，()002ln e 20x x ∴+-+<；00e x ∴<<；由20020x ax a ++=得，20021x a x =-+；设20021x y x =-+，()2002024'01x x y x +=-<+； ∴函数2021x y x =-+在()0,e 上单调递减； 220022e ,01e+1x x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭；综上所述，实数a 的取值范围22e ,0e+1⎛⎤-⎥⎝⎦． 点评：考查根据函数导数符号判断函数单调性，求函数单调区间的方法，判别式的取值和一元二次方程根的关系，由韦达定理判断一元二次方程根的符号，以及根据导数求函数最小值的方法与过程，函数单调性定义的运用． 四.选修4-1：几何证明选讲 22.如图，已知点C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，过C 的直线交AB 的延长线于E ，交过点A 的圆O 的切线于点D ，BC OD ∥，2AD AB ==． （Ⅰ）求证：直线DC 是圆O 的切线； （Ⅱ）求线段EB 的长．BCADE考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明. 专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）要证DE 是圆O 的切线，连接AC ，只需证出90DAO ∠=︒，由B C O D O D A C ⇒∥⊥，则OD是AC 的中垂线．通过AOC △，BOC △均为等腰三角形，即可证得90DAO ∠=︒．（Ⅱ）由BC OD CBA DOA ⇒∠=∠∥，结合BCA DAO ∠=∠，得出ABC AOD △∽△，利用比例线段求出EB ． 解答：（Ⅰ）证明：连接AC ，AB 是直径，则BC AC ⊥， 由BC ∥OD ⇒OD ⊥AC ，则OD 是AC 的中垂线OCA OAC ⇒∠=∠，DCA DAC ∠=∠， 90OCD OCA DCA OAC DAC DAO ⇒∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒. OC DE ⇒⊥，所以DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）解：BC OD CBA DOA ⇒∠=∠∥，BCA DAO ABC AOD ∠=∠⇒△∽△22225533BC AB OA AB BC BE BE BC BE OA OD OD OD OE OB ⋅⇒=⇒===⇒=⇒=⇒=. EDACB点评：本题考查圆的切线的证明，与圆有关的比例线段．准确掌握与圆有关的线、角的性质是解决此类问题的基础和关键．五.选修4-4：坐标系与参数方程23.直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中θ为参数），点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，且满足2OP OM =． （Ⅰ）求曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）以原点O 为极点，x =轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线π3θ=，与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB ．考点：参数方程化成普通方程. 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）设(),P x y ，()','M x y ，因为点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，将M 坐标代入，消去θ，得到M 满足的方程，再由向量共线，得到P 满足的方程；（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，分别利用极坐标方程表示两个曲线，求出A ，B 的极坐标，得到AB 长度．解答：解：（Ⅰ）因为点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，且满足2OP OM =．设(),P x y ，()','M x y ，则2'x x =，2'y y =，并且'1'x y θθ⎧=⎪⎨⎪⎩，消去θ得，()22'1'3x y -+=，所以曲线2C 的普通方程为：()22212x y -+=；（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，将π3θ=代入得2ρ=，A ∴的极坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 极坐标方程为24cos 80ρρθ--=，将π3θ=代入得4ρ=，所以B 的极坐标为π4,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以422AB =-=．点评：本题考查了将参数方程化为普通方程以及利用极坐标方程表示曲线． 五.选修4-5：不等式选讲24.已知函数()21f x x x a =-+-，a ∈R ．（Ⅰ）当3a =时，解不等式()4f x ≤； （Ⅱ）若()1f x x a =-+，求x 的取值范围．考点：绝对值不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）当3a =时，化简函数()f x 的解析式，画出函数()f x 的图象，画出直线4y =，数形结合求得不等式()4f x ≤的解集．（Ⅱ）由条件求得()()210x x a ---≤，分类讨论求得x 的范围． 解答：解：（Ⅰ）当3a =时，函数()34,312132,32143,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪=-+-=+<<⎨⎪⎪-⎪⎩≥≤,如图所示：由于直线4y =和函数()f x 的图象交于点()0,4、()2,4，故不等式不等式()4f x ≤的解集为[]0,2．（Ⅱ）由()1f x x a =-+，可得211x x a x a -+-=-+．由于()()21211x x a x x a x a -+----=-+≥，当且仅当()()210x x a -⋅-≤时，取等号． 故有()()210x x a -⋅-≤．当12a =时，可得12x =，故x 的范围为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；当12a >时，可得12x a ≤≤，故x 的范围为1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当12a <时，可得12a x ≤≤，故x 的范围为1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2015年山西省太原市高考数学二模试卷(理科)
2015年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）已知i 为虚数单位，集合{}1,2,i A z =，{}1,3B =，{}1,2,3,4A B ⋃=，则复数z =（ ）A ． 4i -B ．4iC ．2i -D ．2i 答案：A考点：并集及其运算．专题：集合；数系的扩充和复数．分析：根据集合的基本运算，结合复数的基本运算进行求解即可． 解答：解： 集合{}1,2,i A z =，{}1,3B =，{}1,2,3,4A B ⋃=，i=4z ∴，即4i z =-， 故选：A ．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．下列命题中的假命题是（ ）A ．x ∀∈R ，e 0x >B ．x ∀∈R ，20x ≥C ． 0x ∃∈R ，0sin 2x =D ．0x ∃∈R ，0202x x >答案：C考点：特称命题． 专题：简易逻辑．分析：根据基本初等函数的图象与性质，对选项中的命题进行分析判断即可．解答：解：对于A ，根据指数函数e x y =的图象与性质，得x ∀∈R ，e 0x >正确，A 是真命题；对于B ，根据二次函数2y x =的图象与性质，得x ∀∈R ，20x ≥正确，B 是真命题； 对于C ，根据正弦函数sin y x =的有界性，得sin 1x ≤，C 是假命题； 对于D ，根据指数函数2xy =与二次函数2y x =的图象与性质，知5x =时，5225>，D 是真命题． 故选：C ．点评：本题考查了特称命题与全称命题的真假性判断问题，解题时应用排除法等解法，是基础题目．3．已知(),2a x = ，()2,1b =- ，且a b ⊥ ，则a b -=（ ）A B ． D ．10答案：B考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量垂直得到x 的值，然后求出两个向量差的坐标，再求值．解答：解：由已知，因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅= ，所以220x -=，解得1x =，所以()1,3a b -=-， 所以a b -=故选B ．点评：本题考查了向量的坐标运算以及向量垂直的性质，属于基础题．4．已知sin cos a a +=，ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．则tan a =（ ）A ．1-B ．C D ．1 答案：D考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值．分析：已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sin cos αα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sin cos 0αα-=，联立求出sin α与cos α的值，即可求出tan α的值．解答：解：把sin cos αα+①，两边平方得：()2sin cos 2αα+=，即12s i n c o s 2αα+=，2sin cos 1αα∴=，()2sin cos 12sin cos 0αααα∴-=-=，即sin cos 0αα-=②，①+②得：2sin α=，即sin cos αα==， 则tan 1α=， 故选：D ．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 5．执行如图所示的程序框图，若1112P =．则输出的n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：B考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S ，n 的值，当有11110.937524816S =+++=，5n =，不满足条件S p <，输出n 的值为5．解答：解：模拟执行程序框图，可得 110.91612P =≈．1n =，0S = 满足条件S p <，12S =，2n = 满足条件S p <，1124S =+，3n = 满足条件S p <，111248S =++，4n = 满足条件S p <，11110.937524816S =+++=，5n = 不满足条件S p <，退出循环，输出n 的值为5．故选：B ．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图和算法，属于基础题． 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.143 B ．4 C ．103 D ．3 答案：B考点：由三视图求面积、体积． 专题：常规题型；立体几何．分析：利用三视图作出原几何图形，继而求得体积． 解答：由三视图可得该几何图形为如图所示： 其中，2AB =，1AD GF ==，2BC =AE FGBCDGAE FBH CD作DH AB ∥，连接GH ，DG ，AF ，则V ABEF ﹣CDG =V E ﹣AFGD +V C ﹣DGH +V DGH ﹣ABF，1111112222143322ABEF CDG V -=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故选：B ．点评：本题主要考查根据三视图作出原几何图形的能力．属基础题型，高考常考题型．7．已知ABC △中，3cos 5A =，4cos 5B =，4BC =，则ABC △的面积为（ ）A ．6B ．12C ．5D ．10 答案：A考点：正弦定理的应用． 专题：解三角形．分析：由已知可求A ，B 为锐角，sin A ，sin B 的值，从而可求()sin sin 1C A B =+=，角C 为直角，即可求得AC 的值，由三角形面积公式即可求解． 解答：解：34cos cos 55A B =<= ， A ∴，B为锐角，则4sin 5A ==，3sin 5B ==，()4433sin sin sin cos cos sin 15555C A B A B A B ∴=+=+=⨯+⨯=，角C 为直角，4BC = ，454sin 5BC AB A ∴===，3sin 535AC AB B ==⨯=， ABC ∴△的面积1134622AC BC =⨯⨯=⨯⨯=． 故选：A ．点评：本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式及三角形面积公式的应用，属于基础题．8．已知点(),0A a -，(),0B a ，若圆()()22341x y -+-=上存在点P ．使得90APB ∠=︒，则正数a 的取值范围为（ ） A ．[]4,6B ．[]5,6C ．[]4,5D ．[]3,6答案：A考点：圆与圆的位置关系及其判定． 专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意，得出圆C 的圆心C 与半径r ，设(),P m n 在圆C 上，表示出(),AP a m n =+ ，(),BP m a n =-，利用90APB ∠=︒，求出2a ，根据OP 表示的几何意义，得出a 的取值范围．解答：解： 圆()()22:341C x y -+-=，∴圆心()3,4C ，半径1r =；设点(),P m n 在圆C 上，则(),AP a m n =+ ，(),BP m a n =-；90APB ∠=︒ ，AP BP ∴⊥，()()20m a m a n ∴+-+=；即222a m n =+；OP ∴，OP ∴的最大值是516OC r +=+=，最小值是514OC r -=-=；a ∴的取值范围是[]4,6．故选：A ．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目． 9．已知函数()f x 的导函数在(),a b 上的图象关于直线2a bx +=对称，则函数()y f x =在[],a b 上的图象可能是（）A ．B． C． D．答案：D考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：对于A 、B 、C ，由图象得出在a 处与b 处切线的斜率不等，即可排除答案；对于D ，由图象得出是中心对称图形，对称中心是直线2a bx +=与原函数的交点，由此判断命题成立．解答：解：函数()y f x =的导函数在区间(),a b 上的图象关于直线2a bx +=对称， ∴导函数的图象无增减性，或在直线2a bx +=的两侧单调性相反； 对于A ，由图知，在a 处切线斜率最小，在b 处切线斜率最大，∴导函数图象不关于直线2a bx +=对称，A 不成立； 对于B ，由图知，在a 处切线斜率最大，在b 处切线斜率最小，∴导函数图象不关于直线2a bx +=对称，B 不成立； 对于C ，由图知，在a 处切线的斜率最小，在b 处切线的斜率最大，其导函数图象不关于直线 2a bx +=对称，C 不成立； 对于D ，由图知，原函数是中心对称函数，对称中心在直线2a bx +=与原函数图象的交点处， ∴导函数图象关于直线2a bx +=对称，D 成立． 故选 D ． 点评：本题考查了利用函数的导数判断函数增减性的应用问题，也考查了函数导数的几何意义的应用问题，是基础题目．10．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ）A ．[)1,2B ．(1,C ．(]0,1D ．()0,2答案：C考点：直线与平面垂直的性质． 专题：空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= 求出a 的范围．解答：解：如图建立坐标系， 设()0AD a a =>，()02AP x x =<<， 则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()1,,2D P a x ∴= ，(),2,0CP a x =-， 1D P PC ⊥ ，10D P CP ∴⋅=，即()220a x x +-=，a =当02x <<时，(]0,1a ∈． 故选：C ．点评：本题考查棱柱的结构特征，是基础题．11．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线的右支上，且()110F P OF OP ⋅+= （O 为坐标原点），若12F P P|，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD答案：A考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用()110F P OF OP ⋅+= ，可得12PF PF ⊥ ，设2F P x =，则1F P =，利用勾股定理，求出x =2x a -=，代入即可得出结论．解答：解：()110F P OF OP ⋅+=（O 为坐标原点），1OF OP ∴=，12PF PF ∴⊥ ，设2F P x =，则1F P ，22224x x c ∴+=，x ∴=，2x a -=，)12a = ，e ca ∴=． 故选：A ．点评：本题考查双曲线的定义与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 12．已知函数()f x 定义域为()0,+∞，且满足()()ln 'x f x xf x x +=，()1e ef =则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 有极大值无极小值B ．()f x 有极小值无极大值C ．()f x 既有极大值又有极小值D ．()f x 没有极值答案：D考点：利用导数研究函数的极值． 专题：计算题；导数的综合应用． 分析：由题意可得()()21ln 2xf x x c =+；再由()1e e f =可得12c =，从而可得()()()211ln 12f x x x=⋅+；从而再求导判断即可．解答：解：()()ln 'x f x xf x x+=，()ln 'xxf x x ∴⎡⎤⎣⎦， ()()21ln 2xf x x c ∴=+； 又()1e ef = ，()211e lne e 2c ∴⋅=+；故12c =； 故()()()211ln 12f x x x=+； ()()()222ln 2ln 12'4x x x x f x x ⋅-+⋅= ()222l n 104x x--=≤； 故函数()f x 在()0,+∞上为减函数， 故()f x 没有极值；故选D ．点评：本题考查了导数的运算与积分的运算，同时考查了导数的综合应用，属于中档题． 二、填空题：13．在直角坐标平面内，由曲线1xy =，y x =，3x =所围成的封闭图形面积为 ． 答案：4ln 3-考点：定积分在求面积中的应用． 专题：计算题；导数的概念及应用．分析：确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．解答：解：由曲线1xy =，直线y x =，解得1x =±．由1xy =，3x =可得交点坐标为13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴由曲线1xy =，直线y x =，3x =所围成封闭的平面图形的面积是 323111191ln ln 34ln 3222S x dx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 故答案为： 4ln 3-．点评：本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．14．已知实数x ，y 满足条件04340x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则1x y z x ++=最小值为 ．答案：2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用分式的性质，结合直线斜率的公式，即可得到结论． 解答：111x y y z x x+++==+， 设1y k x+=， 则k 的几何意义是区域内的点到定点()0,1-的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知BD 的斜率最小， 由图象知()1,0B ，则BD 的斜率0111k +==， 则z 的最小值为112z =+=， 故答案为：2点评：本题主要考查线性规划以及直线斜率的求解，利用分式的性质，结合数形结合是解决本题的关键．15．已知数列{}n a 满足11a =，()()1121n n n n a aa a n n n ++-=∈+N *，则n a = ．答案：32nn - 考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：把已知的数列递推式变形，得到即1111121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，然后利用累加法求得数列通项公式．解答：解：由()()1121n n n n a a a a n n n ++-=∈+N *，得 ()11211211n n n n a a a a n n n n ++-⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，即1111121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭， ()112211111111112n n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ≥ 1111112112112n n n n ⎛⎫=-+-+-+ ⎪---⎝⎭()1322112n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭≥．()232n n a n n ∴=-≥．当1n =时，上式成立．32n na n ∴=-． 故答案为：32n na n =-． 点评：本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．16．已知01x ≤≤，若3112x ax -≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ．答案：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：计算题；分类讨论；导数的综合应用．分析：易知当0x =时，31012x ax -=<；当01x <≤时，321122x ax x x a -=-，从而化为2112x a x-≤；再以a 讨论从而确定函数的单调性及取值，从而解得． 解答：解：当0x =时，31012x ax -=<， 当01x <≤时，321122x ax x x a -=-， 故|3112x ax -≤可化为2112x a x-≤； ①当0a ≤时，2112x a x -≤可化为2112x a x-≤， 即2112a x x-≥， 易知2112y x x=-在(]0,1上是增函数，故只需使11122a -=-≥； ②当01a <≤时， 21112x a x -≤≤，故成立； ③当1a >时，2112x a x -≤可化为2112x a x -+≤，即2112a x x+≤， 22111'02x x x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭≤，故2112x x +在(]0,1上是减函数，故13122a +=≤；综上所述，1322a -≤≤； 故答案为： 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题． 三、解答题： 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，39S =．数列{}n b 中 11b =，220b = （Ⅰ）若数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比0q >的等比数列，求 n a ，n b（Ⅱ）在（I ）的条件下，求数列 {}n b 的前n 项和n T ． 考点：数列的求和；等比关系的确定． 专题：等差数列与等比数列．分析：（I ）通过等差数列的等差中项的性质可得23a =，结合11a =得21n a n =-，进而可得数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公比2q =，计算即可；（II ）结合（I ），利用错位相减法即得结论． 解答：解：（I ）由题意得3239S a ==，23a ∴=， 又11a = ，2d ∴=，21n a n ∴=-， 111b a ∴=，222045b a == ∴数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公比2q =， 12n nnb a -∴=，()112212n n n n b a n --∴==-⋅； （II ）由（I ）得()1212n n b n -=-⋅，()0121123252212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅ ，()1232123252212nn T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，两式相减，得()1211222222212n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯ ， ()()()14122121232312n nn n T n n -⨯-∴=-⨯--=-⨯+-.点评：本题考查等差、等比数列的性质，利用错位相减法求前n 项和是解决本题的关键，属于中档题．18．已知正三棱锥S ABC -的侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，D ，E ，F 分别是它们的中点，2SA SB SC ===，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，加上点S ，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X （若点S 与所取三点在同一平面内，则规定0X =）． （Ⅰ）求事件“0X =”的概率；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）求出从A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任取三个点的所有不同的取法，再求出其中所选取的3个点与点S 在同一平面内的取法，然后利用古典概型概率计算公式求得所求事件“0X =”的概率；（Ⅱ）由题意可得X 的所有可能取值为0，16,13,23,43．然后利用古典概型概率计算公式分别求出概率，列出频率分布表，再由期望公式求期望．解答：解：（Ⅰ）从A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任取三个点共有36C 20=种不同的取法，其中所选取的3个点与点S 在同一平面内的取法有1334C C 12=不同取法，∴所求事件“0X =”的概率()1230205P X ===； （Ⅱ）由题意可得X 的所有可能取值为0，16,13,23,43． 由（Ⅰ）得：()305P X ==， 3336C 116C 20P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，213136C C 133C 20P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，123236C C 233C 20P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3336C 413C 20P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴随机变量X 的分布列为：()31113234190562032032032040E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 点评：本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，60DAB ∠=︒，22AB AD ==，PD ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）若BD 与平面PBC 的所成角为30︒，求二面角P BC D --的余弦值．BCDPA考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AD PB ⊥．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角P BC D --的余弦值 解答：证明：（Ⅰ）因为60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得22222cos 3BD AB AD AB AD DAB AD =+-⋅∠=， 从而222BD AD AB +=，90ADB ∴∠=︒，故BD AD ⊥， 又PD ⊥底面ABCD ，可得PD AD ⊥， AD ∴⊥平面PBD ．故AD PB ⊥．（Ⅱ）PD ⊥ 底面ABCD ，PD AD ∴⊥，PD BD ⊥，AD BD ∴⊥，∴以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -， 设AD a =，DP b =， 则(),0,0A a，()0,,0B，(),,0C a -，()0,0,P b ．()0,,0DB ∴=，(),0,0BC a =-，()0,,PB b =- ，设()π,,x y z =是平面PBC 的一个法向量，则00m BD ax m PB bz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令y =，则0x =，a z b =，则π0,a b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， BD 与平面PBC 的所成角为30︒，π∴ 与DB 的夹角为60︒，1cos π,cos602m DB DB m DB⋅∴===︒=整理得b a =，π0,,1⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 设(),,n x y z =是平面PAB 的一个法向量，则00n AB ax n PB az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅-=⎪⎩ ，令y =，则1x =，1z =，即1,,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭cos π,m n n m n ⋅∴==即二面角P BC D --的余弦值是．点评：本题主要考查空间线面垂直的性质，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．20．已知动点A 在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，动点B 在直线2x =-上，且满足OA OB⊥ （O 为坐标原点），椭圆C上点,3M ⎫⎪⎪⎝⎭到两焦点距离之和为（Ⅰ）求椭圆C 方程．（Ⅱ）判断直线AB 与圆223x y +=的位置关系，并证明你的结论． 考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意，2229314a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，求出a ，b ，即可求椭圆C 方程． （Ⅱ）设出点A ，B 的坐标分别为()0,x y ，()2,t -，直线AB 的方程为()()()0000220y t x x y tx y --+++=，由OA OB ⊥得到02x t y =，然后由圆223x y +=的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆223x y +=相切．解答：解：（Ⅰ）由题意，2229314a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，a ∴=b =∴椭圆C 方程为221123y x +=．（Ⅱ）直线AB 与圆223x y +=相切，证明如下：设点A ，B 的坐标分别为()00,x y ，()2,t -，直线AB 的方程为()()()0000220y t x x y tx y --+++=．OA OB ⊥ ，0OA OB ∴⋅= ，即0020x ty -+=，解得002xt y =．圆心O 到直线AB 的距离d ===∴直线AB 与圆223x y +=相切．点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R 有两个不相等的零点1x ，()212x x x < （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：21xx 是a 的减函数；（Ⅲ）证明： 12x x ⋅是a 的减函数．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析：（1）利用导数研究函数的单调性、极值情况，利用数形结合可知，只需极大值为正即可；（2）将21xx 表示成关于a 的函数，然后利用导数研究其单调性即可；（3）将12x x ⋅表示成关于a 的函数，然后利用导数判断函数的单调性． 解答：解：（1）由题意得1x ，2x 是方程ln x ax =两个不相等正实数根．令()ln g x x =，()()0h x ax x =>，设()0y kx k =>是()ln g x x =的切线，切点为()00,x y ，则01k x =．所以00001ln y kx y x ==⎧⎨=⎩，所以0e x =，011e k x ==．所以10e a <<，综上可得a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）由（1）得max 1e a <，所以10ea <<． 不妨设1110e a a <<<，设1m ，()212m m m <是()1ln f x x a x =-的两个零点，则1m ，2m 是方程ln xa x=的两个不相等正实数根，由（1）知()10,e m ∈，()2e ,m ∈+∞． 同理设1n ，()212n n n <是()2ln f x x a x =-的两个零点， 则1n ，2n 是方程ln xa x=的两个不相等实数根，则()10,e n ∈，()2e ,n ∈+∞， 因为()g x 在()0,e 上单调递增，12a a <，所以110e m n <<<； 由()g x 在()e ,+∞单调递减，12a a <，所以22e n m <<． 所以2211m n m n >，所以21x x 是a 的减函数． （3）证明：因为1x ，2x 是()f x 的两个不相等的零点，则1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，令()211x t t x =>，则1111ln ln ln x ax x t atx =⎧⎨+=⎩，所以1ln ln 1t x t =-，2ln ln 1t tx t =-． 所以()()12121ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=-．设()()()1ln 11t th t t t +=>-，则()()212ln '1t t t h t t -+-=-．再设()()12ln 1k t t t t t=-+->，则()()221'0t k t t-=>．所以()k t 在()1,+∞上递增，所以()()10k t k >=．所以()'0h t >，所以()h t 在()1,+∞上是增函数，所以12x x ⋅是t 的增函数． 结合（2）可知，12x x ⋅是a 的减函数．点评：本题有一定难度，第二、三问的关键在于如何找到21x x ，12x x ⋅分别与a 的函数关系式，然后借助于函数的单调性解决问题． 四、选讲4-1：几何证明选讲22．如图，ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ．（1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆；（2）求证：22DE AB AC DM +=．MOEA考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）连接BE 、OE ，由直径所对的圆周角为直角，得到BE EC ⊥，从而得出12DE BD BC ==，由此证出ODEQD ODB △△，得90OED OBD ∠=∠=︒，利用圆内接四边形形的判定定理得到O 、B 、D 、E 四点共圆；（2）延长DO 交圆O 于点H ，由（1）的结论证出DE 为圆O 的切线，从而得出2DE DM DH =⋅，再将DH 分解为DO OH +，并利用12OH AB =和12DO AC =，化简即可得到等式22DE DM AC DM AB =⋅+⋅成立，即可证明结论． 解答：解：（1）连接BE 、OE ，则AB 为圆O 的直径，90AEB ∴∠=︒，得BE EC ⊥，又D 是BC 的中点，ED ∴是Rt BEC △的中线，可得DE BD =．又OE OB = ，OD OD =，ODEQD ODB ∴△△． 可得90OED OBD ∠=∠=︒， 因此，O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）延长DO 交圆O 于点H ，DE OE ⊥，OE 是半径，DE ∴为圆O 的切线．可得()2DE DM DH DM DO OH DM DO DM OH =⋅=⋅+=⋅+⋅．12OH AB =，OD 为ABC △的中位线，得12DO AC =， 21122DE DM AC DM AB ∴=⋅+⋅，化简得22DE DM AC DM AB =⋅+⋅，22DE AB AC DM∴+=．MODEAH点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．选讲4-4：坐标系与参数方程23．已知平面直角坐标系xOy 中，过点()1,2P --的直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t =-+︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()sin tan 20a a ρθθ=>，直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ．N （Ⅰ）求曲线C 和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若PM MN =，求实数a 的值．考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）利用极坐标方程和直角坐标的互化公式求解； （Ⅱ）结合直线的参数方程中参数的几何意义求解即可． 解答：解：（Ⅰ）1cos 452sin 45x t y t =-+︒⎧⎨=-+︒⎩ （t 为参数），∴直线l 的普通方程：10x y --=，曲线C 的极坐标方程为()sin tan 20a a ρθθ=>，()22sin 2cos 0a a ρθρθ∴=>，∴曲线C 的普通方程：22y ax =；（Ⅱ）22y ax = ；0x ∴≥，设直线l 上点M 、N 对应的参数分别为1t ，2t ，()120,0t t >>， 则1PM t =，2PN t =，PM MN = ，12PM PN ∴=， 212t t ∴=，将1cos 452sin 45x t y t =-+︒⎧⎨=-+︒⎩，代人22y ax =得)()22420t a t a -+++=，)12+2t t a ∴=+， ()1242t t a =+，212t t = ，14a ∴=． 点评：本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．选修4-5：不等式选讲24．已知函数()()10f x x a x a a=+++> （I ）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（Ⅱ）证明：()14f m f m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥． 考点：带绝对值的函数．专题：选作题；不等式的解法及应用；不等式．分析：（I ）当2a =时，去掉绝对值，再求不等式()3f x >的解集； （Ⅱ）()1111111224ππππf m f m a m a m m a a m ⎛⎫⎛⎫+-=++++-++-++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥，可得结论．解答：（I ）解：当2a =时，()122f x x x =+++， 不等式()3f x >等价于21232x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩或1221232x x x ⎧--⎪⎪⎨⎪+-->⎪⎩≤≤或121232x x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪+++>⎪⎩， 114x ∴<-或14x >， ∴不等式()3f x >的解集为11144x x HUOx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）证明：()11111πππf m f m a m a a a ⎛⎫+-=++++-++-+ ⎪⎝⎭11224πm m m ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭≥≥，当且仅当m =±1，1a =时等号成立， ()14f m f m ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭≥．点评：本题考查带绝对值的函数，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。