2019年高考立体几何命题预测
2019年高考立体几何命题预测■广东省中山市第一中学许少华PABDC正视图侧视图从近三年高考的命题情况看，立几命题都是三道，其中两道客观性试题、一道主观性试题.客观性试题方面，一道命在三视图、一道命题在面积或体积、客观性试题都是两问，第一问考查线面位置关系、第二问文科考查体积或面积的计算、理科考查角度或与角度有的计算问题，分值都是22分.这三道题的平均难度只能是中等，是广大考生普遍的得分之题，因此，立体几何试题做的如何，直接决定了高考的成败.2019年的高考离我们越来越近，对于这块知识可能出现的试题及其类型你胸有成竹吗？下面是我们结合历史及近期各校的模拟试题，提出的猜想，希望对你最后阶段的复习与备考能有所帮助.一、客观性试题方面客观性试题，主要考查分析判断与在两道客观性试题的命制上，往往基础与技能分别体现.1.基本关系的判断例1给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行.④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线.其中假¾命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4解析想一想正方体中的各棱，很快便知道命题①是错的.命题②是线面垂直的性质，当然是正确的；命题③可以想一下圆锥的母线与圆锥的底面，易知不正确.命题④是正确的，可以借助于反证法，¾若不是异面直线，则相交的四个交点一定共面，那么再结合公理1很快可得l 1，l 2也共面.故选B.点评此类题可认为是多项选择题，对四个命题的判断不允许有一个出错，一个出错则“满盘皆输”.因此，不能用处理一般选择题的手段来处理它.2.与三视图有关的计算例2在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如下图所示，则下列命题正确的是（）A ．AD ⊥平面PBC ，且三棱锥D-ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面PAC ，且三棱锥D-ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC ，且三棱锥D-ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面PAC ，且三棱锥D-ABC 的体积为163解析选C.由正视图可知，PA=AC ，且点D 为线段PC 的中点，所以AD ⊥PC .由侧视图可知，BC =4.因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥BC ，又因为BC ⊥AC ，且AC ∩PA=A ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥AD ，又因为AD ⊥PC ，且PC ∩BC=C ，所以可得AD ⊥平面PBC ，V D -ABC =13（12PA ）×S △ABC =163.点评本题求解的关键在于通过三视图中的正视图与侧视图捕捉到几何体的线、线的位置关系及线段的量的关系．结合这些关系产生必要的结论，不难，但易错．3.多面体与球的切、接问题例3已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA 1的长度为_______．解析如图，满足题意的球心一定是上、下底面中心连线的中点球与一条侧棱及底边一条棱相切的切点，一定是该棱的中点，由于球的半径为2．于是OO 2=OE 2-O 2E 2姨=22-12姨=3姨．故AA 1的长度为23姨．点评本题画图相当困难，但，结合题意画一个揭示求解实质、可以帮助解题的图还是可以的.如图，抓住切点与球心的连线与边垂直即可产生结论．二、主观性试题方面主观性试题都是两问，第一问文、理科差不多，常规设计都是考查线面的位置关系，诸如：线线、线面、面面的平行与垂直的论证或判断.第二问有差别，文科多以计算体积、面积等为主，而理科则以求角为主，下面我们具体看看可能出现的试题形式．1.与表面积或体积有关的问题例4已知四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，PC =2，且底面ABCD 是边长为1的正方形．E 是最短的侧棱PC 上的动点．CBEAD O O 2C 1O 1B 1A 1P ECB KADMOF ABCDF EP ECBDF AyK zxMECBDFA(1)求证：P ,A,B,C,D 五点在同一个球面上，并求该球的体积．(2)如果点F 在线段BD 上，DF =3BF ，且EF 平面∥PAB ，求PE CE的值．解析(1)设PA 的中点为M ，连接AC ，CM ，则驻PAC 为直角三角形，∴CM=PM=AM=6姨２.设正方形ABCD 的中心为点O ，连接OM ，则OM ∥PC ，OM =1，∵PC ⊥底面ABCD ，∴OM ⊥底面ABCD ，又O 为BD 的中点，连接DM ，BM ，则DM =BM =1+（2姨２）2姨=6姨２，∴CM=PM=AM=BM=DM .故点P ，A ，B ，C ，D 在以M 为球心，半径为6姨２的球上且体积V=43仔（6姨２）3=6姨仔.(2)连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK .∵EF ∥平面PAB ，EF 奂平面PCK ，平面PCK ∩平面PAB=PK ，∴EF ∥PK ，∵DF =3BF ，又AB ∥CD ，∴CF =3KF .由EF ∥PK ，得CE =3PE 圯PE CE =13.点评本题的第一问要说明P ,A,B,C,D 五点到某一点的距离相等，此时要抓住直角三角形的性质.第二问主要考查线面平行的判定及性质的应用，考查平行线的性质.两问难度都不大，解题过程的合理、准确书写将是本题重中之重.2.与推理、论证有关的问题例5一个多面体的三视图和直观图如下图：其中H ，M ，N 分别是DE ，AF ，BC 的中点.(1)求证：MN ∥平面CDEF .(2)求证：MN ⊥AH .(3)求多面体A-CDEF 的体积.解析由三视图知，该多面体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，侧面ABCD 和侧面ABEF 为边长为2的正方形.(1)∵四边形ABEF 为正方形，∴连接BE ，则BE 与AF 交于中点M ，∴连接EC ，在△BEC 中，M ，N 分别是BE ，BC 的中点，故中位线MN ∥EC .而平面MN 埭平面CDEF ，EC 奂平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF .(2)△ADE 为等腰直角三角形，且H 为中点，∴AH ⊥DE .……①∵该多面体是直三棱柱，故侧棱EF ⊥平面ADE ，而AH 奂平面ADE 圯AH ⊥EF ，……②综合①②，AH ⊥平面CDEF ，而EC 奂平面CDEF ，∴AH ⊥EC .由(1)可知，MN ∥EC ，∴AH ⊥MN .(3)由(2)可知AH ⊥平面CDEF ，∴AH 为高，且AH =１２DE =2姨，而S 四边形CDEF =2×22姨=42姨.所以V A-CDEF =１3S CDEF ·AH =１3×42姨×2姨=83.点评推理论证能力是立几考查的重点之一，本题主要考查线面平行与线面垂直的判定与性质的应用，最后再加上多面体的体积计算，是文科较好的试题之一.3.与长度或距离有关的问题例6如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，且DE =6，AF =2．（1）点M 在线段BD 上，当AM ∥平面BEF 时，求点M 到面BCE 的距离.（2）点M 在线段AD 上，若二面角N-BE-C 为120°时，求线段ND 的长．解析由题意知DA ，DC ，DE 三线两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则B （3,3,0），E （0,0,6），C （0,3,0），E,B =（3,3,-6），B ,C =（-3,0,0），设平面BCE 的法向量为m 軖=（x 1,y 1,z 1），由3x 1+3y 1-6z 1＝0，-3x 1＝00，可取m 軖=（0,2,1）.（1）取BE 的三等分点K （靠近点B ），过K 作KM ⊥BD 交BD 于M ，则有KM=１3DE =2，由DE⊥平面ABCD ，AF ∥ABP DECABP DCDE ，∴FA ∥KM ，且FA =KM ．∴四边形FAMK 为平行四边形，可知AM ∥FK ，∴AM ∥平面BEF .此时，M 点的坐标为（4,4,0），得Ｃ"#M =（4,1,0）.设点M 到面BCE 的距离为d ，则d=Ｃ"ＣM·m 軖|m 軖|=25姨=25姨5.（2）设点N 的坐标为（t ,0,0），得B"ＣN =（t -3,-3,0）.再设面NBE 的法向量为n 軋=（x 2,y 2,z 2），则3x 2+3y 2-6z 2＝0，（t -3）x 2-3y 2＝00，可取n軋=（3,t -3,t 2）.由于平面BCE 的法向量为m 軖=（0,2,1），那么|cos120°|=|m 軖·n 軋||m 軖|·|n 軋|=|（3,t -3,t 2）·（0,2,1）|9+（t -3）2+t 24姨·5姨=１2圯t =１2±62姨5.由于DA =3，得t =１2-62姨5.故面角N-BE-C 为120°时，线段ND 的长为１2-62姨5.点评本题涉及距离与长度问题，对于第一问还可以通过等积法产生点到面的距离，但有时体积的计算可能会比较麻烦，相比之下，用空间向量的方法显得干脆、利落.第二问假若两点的位置不特殊的话，可能也要借助空间向量来求.4.与角度有关的计算问题例7在三棱锥A -BCD 中，AB =AD =BD =2，BC =DC =2姨，AC=2．（1）若点Q 在BC 上且两异面直线AB 与DQ 所成角的余弦值为310姨20时，求BQ BC的值．（2）点P 为AC 上一动点，设兹为直线BP 与平面ACD 所形成的角，求sin 兹的最大值．解析（1）取BD 中点E ，连接AE ，CE ，∵AB=AD=BD=2，又E 为BD 中点，∴AE ⊥BD .同理可得：CE ⊥BD .∵AB=AD=BD=2，BC=DC=2姨.∴△BCD 为直角三角形，且AE=３姨，CE=1.∴AE 2+EC 2=AC 2，∠AEC=仔2，即AE ⊥EC .又AE ⊥BD ，所以AE ⊥平面BCD .∴以E 为坐标原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴建立如图直角坐标系．∴B （0,-1,0），C （0,1,0），D （1,0,0），A （0,0,３姨）.（1）设BQ BC=t （0≤t ≤1）圯B "ＣQ =t B ＣC 圯Q 点的坐标为Q （t ,t -1,0）.那么D"ＣQ =（t ,t -2,0），A "ＣB =（0,-1,-３姨）由两异面直线AB 与DQ 所成角的余弦值为310姨20，即cos<D "ＣQ ,A "ＣB >=|t -2|2t 2+（t -2）2姨=310姨20圯t =１2.故两异面直线AB 与DQ 所成角的余弦值为310姨20时BQBC =１2．（2）再由AＣP =姿A "ＣC （0≤姿≤1）圯P 点的坐标为P （姿,0,3姨-3姨姿）.由BＣP =（姿,1,3姨-3姨姿），D "ＣA =（0,1,3姨），D "ＣC =（1,-1,0）.设n 軋=（x 1,y 1,z 1）是平面ACD 的法向量.∴n 軋·D "ＣA ＝0n 軋·D "ＣC ＝00圯-y 1+·3姨z 1＝0，x 1-y 1＝00，令x 1=1，得y 1=1，z 1=3姨3，∴n 軋=（1,1,3姨3）.∴sin 兹=|cos<n軋,B ＣP >|=n 軋·B ＣP |n軋|·|B ＣP|=273姨·姿2+1+3（姿-1）2姨=6姨7姨·2姿2-3姿+2姨.由0≤姿≤1，可知78≤2姿2-3姿+2≤2圯21姨7≤sin 兹≤43姨7.故sin 兹的最大值为43姨7．5.与试题创新及探索性有关的计算问题例8如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥CB ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，BC =１２AD .（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD .（2）若PA=PD=2，BC=1，CD=3姨，在棱PC 上是否存在点M .使异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为277姨，若极坐标参数方程中关于极角和参数角的易错点分析■广东梅县东山中学廖宗云高考全国卷中对选修系列参数方程和极坐标的考查，主要包括直线和圆的参数方程；椭圆的参数方程；参数方程与普通方程的互化；极坐标与直角坐标的互化；极坐标方程与直角坐标方程的互化，结合解析几何中有关曲线的图形及性质、三角函数、平面向量等在求点的坐标、参数的值或范围、曲线的方程、有关线段的长度或最值等方面命制题目，考查学生的转化能力，分析问题、解决问题的能力，以及数形结合思想、方程思想等思想方法的应用.试题以解答题形式为主.然而，笔者在教学过程中发现不少同学对极角和参数方程中的参数角两者之间模棱两可，理解不够准确，导致解题的错误.下面以一道高三模拟题的解答为例进行分析.引例：在直角坐标系xOy 中，直线l ∶3姨x +y +9=0.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同单位长度，曲线C 的极坐标方程为籽=-23姨cos 兹，兹∈[仔，3２仔].（1）求曲线C 的参数方程；（2）求曲线C 上一点P 到直线l 的距离的最小值及此时点P 的坐标.解析过程：（1）曲线C ∶籽＝-23姨cos 兹，可化为籽2+23姨籽cos 兹＝0，由x ＝籽cos 兹，y ＝籽sin 兹得：x 2+y 2+23姨x ＝0.∵兹∈[仔，3２仔]，∴x ≤0，y ≤0.从而曲线的直角坐标方程为（x +3姨）2+y 2＝3（y ≤0），再化为参数方程为ｘ＝-3姨+3姨cos 琢，ｙ＝3姨sin n琢（琢为参数且琢∈[仔，2仔]）.（2）设P （-3姨+3姨cos 琢，3姨sin 琢），琢∈[仔，2仔]，则P 到l 的距离d=3姨（-3姨+3姨cos 琢）+3姨sin 琢+9＝23姨sin （琢+仔3）+6.又琢∈[仔，2仔]，∴当琢＝76仔时，点P 的坐标为（-3姨-PMC BAQ D 存在，求出PM PC 的值.否则，说明理由.解析（1）∵AD ∥BC ，BC =１２AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ .∵∠ADC =90°，∴∠AQB =90°，即QB ⊥AD .又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD .∵BQ ⊥平面PAD ，又∵BQ 奂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD .（2）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD .∵PQ ⊥平面ABCD .以Q 为原点分别以QQ ,A 、Q Q ,B 、Q ,P 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则Q （0,0,0），A （1,0,0），P （0,0,３姨），B （0,３姨,0），C （-1,３姨,0）.设M （x 0,y 0,z 0），∴A ,P =（-1,0,3姨），P ,C =（-1,3姨,-3姨），P Q ,M =（x 0,y 0,z 0-3姨）.由M 是PC 上的点，设PQ ,M =t P ,C （0≤t ≤1），化简得M （-t ,３姨t ,-３姨t +３姨）.设异面直线AP 与BM 所成角为兹，则cos 兹=|cos<A,P ，B Q ,M >|=A ,P ·B Q ,M |A ,P|·|B Q ,M|=277姨.∴|-2t +3|27t 2-12t +6姨=277姨圯t =12或1114，故PM PC =12或1114.点评创新是发展的动力，试题创新是保证“年年花相似”又不乏味的基础.立几中的创新试题多与探索性试题结合，在处理此类问题时，往往先假定存在，在此基础上进行推理与运算，最后产生结论.本例中的两道例题结论都是存在，但事实上，也会有结论不存在的试题出现，在产生结论之前，请不要乱帖“标签”.距离高考已越来越近了，对于立几的最后复习一定要“精”与“准”，本文的预测仅作参考，希望它在我们的意料之中.责任编辑徐国坚。
2019年高考“立体几何”专题命题分析
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位 置关系. 认识空间图形，培养和发展空间想象能力、 逻辑思维能力和运算求解能力，是高中数学课程对立 体几何的基本要求. 高考立体几何试题对数学抽象、 直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养的考查， 集中体现在直观感知、操作确认、推理论证、度量计 算等方法上，着重考查点、线、面位置关系的判断、 证明和计算等问题.
2019年高考数学试卷中，北京卷、上海卷、天津 卷、浙江卷、江苏卷均是自主命题，其他地区均采用 全国卷. 浙江卷和上海卷不分文、理科，江苏卷文、 理科合卷，其他均为文、理科分卷. 2019年高考数学 共 13 份 试 卷 ， 每 份 试 卷 都 对 立 体 几 何 内 容 进 行 了 考 查. 本文将对这13份试卷中立体几何的考查情况进行 分析，总结试题特点和规律，以便对2020年复习备考 提供参考.
分值 17 17 22 22 22 22 24 24
基于 《普通高中数学课程标准 （实验）》 和考试大 纲，文、理科对立体几何初步的要求一致，理科对空 间向量与立体几何有要求. 因此，2019年高考的13份 数学试卷中，文、理科分卷的立体几何试题，大部分 选择题或填空题基本相同，解答题除文、理科第二问 因要求不同而设问不同之外，问题背景和第一问完全 一致. 这种题型协调搭配的方式，进一步传递了继 2018年高考后文、理科同题比例进一步提高的信号.
3. 总体难度稳定，突出通性、通法 近几年高考中，立体几何试题总体难度都不大， 考查相对稳定. 考查特点是：考查全面，梯度清晰， 突出基础知识、基本思想和关键能力等的考查. 例 如，全国Ⅱ卷文、理科共用的选择题第7题，直接考查 面面平行的定义及判定定理. 2019年高考的13份数学 试卷中的立体几何解答题，绝大多数采用“一半证 明、一半计算”的设问方式，即第一问主要考查线面 位置关系的证明，第二问涉及角与距离或体积的计 算. 这些做法充分体现了“通过立体几何的基本图 形，在考查必备知识的基础上，注重对通性、通法的 考查”的命题思路.
专题04+立体几何小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学(文)名师押题高端精品
CE 为 m' ,同理 B1F1 为 n ' ,而
,则 m ', n ' 所成的角即为 A1B, BD 所成的角,即为 60 ,故
m, n 所成角的正弦值为 3 ,故选 A. 2
（2015 年）(6)【解析】设圆锥底面半径为 r，则
，所以 r 16 ，所以米堆的体积为 3
= 320 ，故堆放的米约为 320 ÷1.62≈22，故选 B.
B.
C.
D.
2017 年 （6）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的 A
中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是
（16）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径。若平面 36
SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 ________。
,
，
,因为正四 面体的边长为 ，所以
,故
，
，在
中，
，即
,解得：
，故外接球的表面积为
.
10.【答案】C
【解析】A 项:因为面 AD1∥面 BC1，且面 AD1 与面 MBN 的交线为 FH，面 BC1 与面 MBN 的交线为 BE，所
以 HF∥BE，A 正确；
B 项：
同理，
,B 正确；
C 项：
，所以
即为所求线面角，
的比值为
.
【解析与点睛】
（2018 年）（5）【解析】根据题意，可得截面是边长为 的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底
面为半径是 的圆，且高为 ，所以其表面积为
，故选 B.
哈三中名师预测高考数学命题趋势
哈三中名师预测2019高考数学命题趋势10日，哈三中高三数学把关教师姜仁海做客本报生活知道网生活直播室，姜仁海老师介绍，2019年我省高考数学考纲和前三年的考纲相比基本没变化，结合高考大纲和近三年高考试题姜仁海老师对今年高考数学命题方向进行预测，同时分析了考生在模拟考试中存在的问题，并给出第二轮备考策略。
命题趋势预测预测一：集合、复数、程序框图、三视图、球的简单切接、双曲线是填选必考题如果用描述法表示集合要看清楚代表元素；复数主要是考查复数的四则运算和相关概念，四则运算主要以除法为主；对于立体的小题主要是考查三视图、球的切接；双曲线主要是考定义、方程，基本性质重要的是双曲线的离心率、渐近线等。
预测二：函数的零点在高考中是热点必修一的函数部分通常是考两道小题，有时导数这道大题也需分析函数的零点。
以往老教材中函数的基本性质、基本初等函数还是高考重点。
预测三：用定积分求不规则图形面积可以和几何概型交汇出题导数的常见题型有：切线问题、函数的单调性、函数的极值问题、最值问题、利用导数解决不等式的问题、恒成立和存在性问题、方程的根等等。
新教材中增加了定积分的内容，重点了解微积分定理的基本含义，计算简单的定积分，理解积分三个方面的应用。
预测四：应重视三角应用题要弱化与公式有关的技巧性试题，重视基本题。
宁夏2019、2019、2009高考三角应用题是热点，近三年我省的高考题没考过三角应用题。
预测五：大题中的17题可能考三角或数列数列这一章重点还是等差、等比、求和、简单递推。
从这三年高考统计分析，大题考数列，填空的16题考的是三角的压轴题，当大题考的是三角，填空的16题考的是数列的压轴题。
预测六：理科生要重视空间向量办法解立体几何题预测七：概率统计部分重视随机模拟预测八：解析部分椭圆今年易出题预测九：选修题难度不大建议放在解析和导数前解答另外，向量、排列与组合、二项式定理，推理与证明、线性规划都可能考一道小题，不等式部分是和其他章节融合在一起考查。
2019年高考数学1卷文科立体几何解答题命题趋势与备考指南
2019年高考数学1卷文科命题趋势与备考指南系列（五）立体几何解答题命题趋势与备考指南高考数学对空间想象能力、推理证明能力的考查主要集中在立体几何上.因此立体几何在高考中一直占据重要的地位，近几年小题加解答题的分数基本上都是22分，并且这部分内容是所有考生易得分数的内容之一.能拿到的分数我们一定要拿到，对于这部分内容我们一定要做到胸有成竹、稳操胜券.在本系列中，我们通过对近几年高考立体几何解答题命题的分析，提出今后有效复习备考的建议，助即将参加高考的你一臂之力.一、数据统计与分析纵观2014-2018年这五年的全国文科I卷，对于解答题，我们从知识点的分布上看，第1问考查证明线线、线面、面面垂直为主.第2问重点考查几何体的体积与面积；从难度上看，它一般位于解答题第二题左右的位置，题型比较常规，要求考生基本概念要清晰，并且要具备一定的运算能力.在认真分析以往命题特点的基础上，并结合考试说明，我们提出以下热点问题及相应的备考建议.二、命题趋势与备考指南1.空间的线面位置关系预计在今年的高考中，仍将以多面体为载体，第1问以线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定进行考查，并运用平行、垂直的判定定理与性质进行推理论证.解题的策略要结合图形进行平行与垂直的推理证明，有时是由线线平行或垂直推证出线面平行或垂直，再由线面平行或垂直证明面面平行或垂直，有时需在它们之间自由转化，这就需要我们对判定定理与性质定理极其熟练，只有这样才能善于联想与转化．2.空间距离的计算高考试题中直接考查距离求解的不多，但距离是立体几何的重要内容之一，在计算空间几何体的体积时，往往需要计算距离．距离问题与逻辑推理、空间想象密不可分，解决的关键是“垂直”，通过作垂线把求解距离问题纳入到一个具体的平面图形中进行计算．因此在复习时掌握好这些求距离的方法与转化模式．3.空间几何体表面积、体积的计算问题通过上述表格我们也看到了，本部分是第2问考查的重点内容，常以棱柱、棱锥的表面积、侧面积和体积的计算为主要命题点进行考查．在备考中要牢记一些典型几何体的表面积和体积的计算公式．在求体积时，一般会用到点面距的求法、等体积转化法，对这两个方法要熟练掌握.同学们只要把以上的点复习到位，一定可以拿下立体几何解答题，因为它不会太难，只要稳定住情绪，以必胜的心态面对这道试题，它会在你的强大攻势下缴械投降.另外同学们还可拥有一款超强武器，它就是《黄金预测卷》. 在预测2019年高考全国文科I卷的命题上，组合教育联合全国数百位一线名师和清华大学数学博士团队，我们站在新高度洞穿高考，它会对你的数学备考做更加精准的复习，结合资料中的命题趋势分析和命题报告和原创试题以及拓展内容，对每一部分最可能出的题型做练习，达到精准把握高考数学命题脉络，使备战高考的同学们更加胸有成竹，更容易在考试中脱颖而出.预祝2019莘莘学子超水平发挥，取得优异成绩！我们在清华等你来！。
2019年高考立体几何解析几何考试大纲命题分析
11．立体几何一、考试大纲1．空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.2．点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理,并能够证明.如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.4．空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.二、新课标全国卷命题分析立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、线面角以及面面角，要重视常见几何体的三视图、三视图还原几何体的常用方法、面积和体积的计算式以及点线面的位置关系等，也要注意提高空间想象能力与数学计算能力．立体几何解答题第1问主要集中考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，而第2问多考查空间向量在空间立体几何中的应用，在证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理，空间思维要求较高，运算量较大，对学生的空间想象能力、转化能力、计算能力要求较高．在考查考生运算求解能力的同时侧重考查考生的空间想象能力和推理论证能力，给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，体现了立体几何教学中课程标准对考生的知识要求和能力要求，提升了对考生的数学能力和数学素养的考查.本试题能准确把握相关几何元素之间的关系，把推理论证能力、空间想象能力等能力和向量运算、二面角作图、建立空间直角坐标系等知识较好地融入试题中，使考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到了有效考查.12．解析几何一、考试大纲1．直线与方程(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式), 了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.2．圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.3．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的简单应用.(5)理解数形结合的思想.4．曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.二、新课标全国卷命题分析解析几何部分一般是2小1大，小题一般考查圆、圆锥曲线的性质，如离心率、渐近线，与圆、圆锥曲线有关的最值、取值范围问题，解答题一般考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系，充分地考查了考生的逻辑思维能力、应用解析几何思想解决问题的能力和进行代数运算的能力．突出考查了用解析几何方法解决几何问题的能力，试题计算量较大，在计算的过程中，无论是公式记错了，用错了，还是算错了，都会由于一步的计算错误而导致整道试题的解答错误，因此，强调运算的准确性对于解析几何是十分必要的，充分应用解析几何基本知识与基本思想的通性通法．。
专题06 立体几何(理)-2019年领军高考数学热门命题知识点猜想(解答篇) Word版含解析
专题06理科立体几何1．在三棱柱中，平面平面，证明：；求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)在三棱柱中，平面平面，平面平面平面为原点，轴，轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量则，取，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为2．如图，在几何体中，平面底面ABC，四边形是正方形，，Q是的中点，且．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】证明：（1）如图所示，连接交于点，连接．因为四边形是正方形，所以点的中点，又已知点的中点，所以，且，又因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，故，因平面平面，故平面．（2）如图所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以．设平面的法向量为，则即，取，则平面的一个法向量，所以．故二面角的平面角的余弦值为．3．已知五边形ABECD有一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，，且，将梯形ABCD沿着BC折起，形成如图2所示的几何体，且平面BEC．求证：平面平面ADE；求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】证明：直角梯形ABCD中，延长AD，BC相交于F，则，连接EF，三角形BCE为等边三角形，是直角三角形，则，平面平面BEC.．，面ABE，面ADF，平面平面ADE；面ABE，则，则是二面角的平面角，，则，则，即二面角的平面角的余弦值是．4．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线交于点，侧面是边长为2的等边三角形，的中点.（1）证明：平面；（2）若侧面底面，求斜线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）连接，易证的中位线，所以.又∵平面平面，∴平面.（2）取的中点为的中点为，连结，则，因为侧面底面，所以，又，所以可建立如图所示的坐标系则从而设平面的法向量为，则，取，则，所以设斜线与平面所成的角为∴斜线与平面所成角的正弦值.∴5．已知四棱锥的底面是等腰梯形，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）点是棱上一点，且平面，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）证明：等腰梯形中，，所以，又，所以，所以.所以，所以，即，又因为，且于点，所以平面，又因为平面，因此平面平面.（Ⅱ）连接，由（Ⅰ）知，平面，所以，所以，所以，即，如图以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，平面的法向量，因为平面平面，平面平面，所以，设平面的法向量为，则，即，，令，则，所以，所以所求二面角的余弦值是.6．如图，在平面四边形中，等边三角形，，以为折痕将折起，使得平面平面．（1）设的中点，求证：平面；（2）若与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】(1)见证明；(2)【解析】证明：（1）因为平面平面，平面平面平面，所以平面．又平面，所以．在等边中，因为的中点，所以．因为，所以平面．（2）解：由（1）知平面，所以即为与平面所成角，于是在直角中，．以为坐标原点，分别以所在的方向作为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设等边的边长为，则，.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，于是. 设平面的一个法向量为，则，即，解得，令，则，于是．所以.由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．7．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，.（1）求证：；（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）在直三棱柱中，平面，又，且平面，∴平面，又∵平面，∴.（2）以点为坐标原点，分别以轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，直线的方向向量，平面的法向量，可知，∴，，设平面的一个法向量，∴，设平面的一个法向量，∴，记二面角的平面角为，∴，∴二面角的正弦值为.8．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，E，F为AB的三等分点，且分别沿DE、CF折起到A、B两点重合，记为点P．证明：平面平面PEF；，求PD与平面PFC所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】四边形CDEF是平行四边形，，，，面PEF，面PFC，平面平面PEF．在平面PEF内作，垂足为O，取CD的中点M，由平面PEF，故FC平面CDEF，，，OF，OM两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设是等边三角形，0，0，2，2，，0，2，2，，设y，是平面PFC的法向量，则，取，得0，，设PD与平面PFC所成角为，则，与平面PFC所成角的正弦值为．9．如图在棱锥中，为矩形，（1）在上是否存在一点，使，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；（2）当中点时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在点E为PC中点.法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ，由题意知PD＝CD＝1，，设，，由，得，即存在点E为PC中点.（2）由（1）知，设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为由的法向量为得，，同理求得所以，故所求二面角P－AE－D的余弦值为.10．如图，四棱锥的底面是平行四边形，的中点，.（1）求证：平面；（2）若，点在侧棱上，且，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）平行四边形中，设的中点，连结因为的中点，所以又由，得所以，平行四边形中，，则又由，且平面平面，故平面（2）由（1）知平面，又平面，于是平面平面，连结由，可得，则，又所以平面得，故二面角的平面角为由此得以为原点，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，由可知点，则设平面的一个法向量为，由得设直线与平面所成角为所以11．如图所示，在四面体中，，平面平面，且.（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）证明：因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为，所以，所以，因为，所以平面.（2）解：设，则，四面体的体积.，当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，四面体的体积取得最大值.以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，则，即，令，得，同理可得平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.12．如图，在多面体中，为等边三角形，为边的中点.（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求证:平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】(I)取中点,连结，是平行四边形，平面平面平面.(II)，又平面平面，又为等边三角形，为边的中点，平面由(I)可知，平面，平面平面平面。
专题06立体几何解答题2019年高考数学理专项押题全国卷
专题06立体几何解答题数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．空间几何体的解答题一般以柱体或锥体为背景，考查线面、面面关系，考查空间角和距离。
押题1. 如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．【答案】见详解。
【审题路线图】 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角 【详解】规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA .第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．连接AD1，如图(1)．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因为C1M∥D1A.又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1.(2)解方法一如图(2)，连接AC，MC.由(1)知CD∥AM且CD＝AM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BC＝AD＝MC，由题意得∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC为正三角形，因此AB＝2BC＝2，CA＝3，因此CA⊥CB.以C为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C－xyz，所以A(3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，3)，因此M⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D1C1→＝MB→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C1D1M的一个法向量为n＝(x，y，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧n·D1C1→＝0，n·MD1→＝0，得⎩⎨⎧3x－y＝0，3x＋y－23z＝0，可得平面C1D1M的一个法向量n＝(1，3，1)．又CD1→＝(0,0，3)为平面ABCD的一个法向第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．第四步求夹角：计算向量的夹角．第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.量，因此cos〈CD1→，n〉＝CD1→·n|CD1→||n|＝55.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55.方法二由(1)知平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，过点C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N，如图(3)．由CD1⊥平面ABCD，可得D1N⊥AB，因此∠D1NC为二面角C1－AB－C的平面角．在Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°，可得CN＝32.所以ND1＝CD21＋CN2＝152.所以Rt△D1CN中，cos∠D1NC＝CND1N＝32152＝55，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55.押题2.已知直四棱柱，四边形ABCD为正方形，'AA22==AB，E为棱CC'的中点．（Ⅰ）求证：A E'⊥平面BDE；（Ⅱ）设F为AD中点，G为棱'BB上一点，且14BG BB'=，求证：FG∥平面BDE；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角G DE B--的余弦值．【答案】见详解。
2019年高考_立体几何_专题命题分析_周远方
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.认识空间图形，培养和发展空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力，是高中数学课程对立体几何的基本要求.高考立体几何试题对数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养的考查，集中体现在直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等方法上，着重考查点、线、面位置关系的判断、证明和计算等问题.2019年高考数学试卷中，北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷、江苏卷均是自主命题，其他地区均采用全国卷.浙江卷和上海卷不分文、理科，江苏卷文、理科合卷，其他均为文、理科分卷.2019年高考数学共13份试卷，每份试卷都对立体几何内容进行了考查.本文将对这13份试卷中立体几何的考查情况进行分析，总结试题特点和规律，以便对2020年复习备考提供参考.一、考查内容分析2019年高考数学立体几何命题严格依据考试大纲，认真贯彻“五育并举”教育方针，突出几何学科特色，依托基本立体图形，通过数形结合的思想方法，着重考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养，以及综合运用数学思维方法分析问题和解决问题的能力.试题以几何情境、生活情境和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近学生实际，突出素养导向，全面覆盖立体几何的基础知识和基本技能，凸显综合性、应用性和创新性，充分体现了立体几何的考核目标、考查要求和育人功能.统计表明，2019年高考中立体几何的考查特点，主要体现在以下几个方面.一是注重考查基础知识、基本技能和基本数学思想方法.例如，点、线、面位置关系的判断，能用直观图形表示和理解空间图形，能将空间问题转化为平面问题，等等.二是以基本立体图形为载体，着重考查用度量计算点、线、面位置关系的方法.例如，求解二面角、点到平面的距离等.三是考查方式与育人方式相结合.例如，用中国悠久的金石文化赋予几何体真实背景，用工厂劳动实践场景体现劳动教育的要求，等等.在2019年的13份高考数学试卷中，关于立体几何的三类试题（选择题、填空题和解答题）中，选择题和填空题进一步减少了对三视图的考查，为不分文、理科的高考删除三视图内容做准备.试题突出立体几收稿日期：2019-07-16作者简介：周远方（1962—），男，正高级中学高级教师，湖北省特级教师，苏步青数学教育奖获得者，主要从事中学数学课程、教材、教学和评价研究.2019年高考“立体几何”专题命题分析周远方1摘要：2019年高考数学试卷中的立体几何试题，考点覆盖全面，题型布局合理，总体难度稳定.命题通过立足考查“四基”“四能”，突出几何本质，创新试题情境，彰显育人功能，注重贴近教材、强调通性通法等方式达到对学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养的考查目的，对今后立体几何的命题趋势有较强的引领作用，对今后立体几何的复习备考有很好的指导价值.关键词：2019年高考；立体几何；命题思路；命题趋势；复习建议··104何的主干内容，通过点、线、面的位置关系的判断、推理和证明，考查学生的逻辑思维能力和直观想象素养.文科解答题体现综合几何法的优势，理科解答题体现向量基底法和向量坐标法的优点，并遵循“用而优则选”的原则.1.考点覆盖全面，题型一应俱全总体来看，2019年高考数学对立体几何知识点的考查覆盖面广，且形式多样.以考查点、线、面的位置关系为主线，既重点考查了有关线面平行与垂直关系的判断、四点共面证明等必备知识，又着重通过二面角求解、点到面的距离计算等考查学生的关键能力与学科素养.同时，通过真实的几何问题情境体现数学的核心价值.在注重考点全覆盖的基础上，讲究主干内容重点考查，选择题、填空题和解答题三类题型，一应俱全.2.题量、分值相当，文、理科差异缩小2019年高考试卷中的立体几何试题的题型、题号和分值如下表所示.全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷全国Ⅲ卷北京卷科别理文理文理文理文题型选择题解答题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题填空题填空题解答题填空题填空题解答题题号1218161971617716178161981619111216121318分值1717222222222424卷别天津卷上海卷浙江卷江苏卷科别理文——————题型填空题解答题填空题解答题选择题解答题选择题选择题解答题填空题解答题题号1117121714174819916分值1818192319续表统计表明，2019年高考的13份数学试卷中的立体几何试题的题量和分值差异不大，各卷题量基本按照“两小一大”（两道选择题或填空题、一道解答题）或者“一小一大”（一道选择题或填空题、一道解答题）布局，其中文、理科分科的三套全国卷的分值为17分或22分，天津卷和北京卷的分值分别为18分和24分；而三套文、理科合卷的分值为19分或23分.基于《普通高中数学课程标准（实验）》和考试大纲，文、理科对立体几何初步的要求一致，理科对空间向量与立体几何有要求.因此，2019年高考的13份数学试卷中，文、理科分卷的立体几何试题，大部分选择题或填空题基本相同，解答题除文、理科第二问因要求不同而设问不同之外，问题背景和第一问完全一致.这种题型协调搭配的方式，进一步传递了继2018年高考后文、理科同题比例进一步提高的信号.3.总体难度稳定，突出通性、通法近几年高考中，立体几何试题总体难度都不大，考查相对稳定.考查特点是：考查全面，梯度清晰，突出基础知识、基本思想和关键能力等的考查.例如，全国Ⅱ卷文、理科共用的选择题第7题，直接考查面面平行的定义及判定定理.2019年高考的13份数学试卷中的立体几何解答题，绝大多数采用“一半证明、一半计算”的设问方式，即第一问主要考查线面位置关系的证明，第二问涉及角与距离或体积的计算.这些做法充分体现了“通过立体几何的基本图形，在考查必备知识的基础上，注重对通性、通法的考查”的命题思路.··105二、命题思路分析2019年高考数学立体几何试题，以柱、锥等常见几何体为载体，重点考查学生的空间想象、逻辑推理、数学阅读和表达等关键能力；重视几何主干知识，将其作为考查重点，并围绕主干内容加强对核心概念、思想方法和关键能力的考查.全面检测学生的立体几何基础知识、基本技能和数学素养.1.重视理论基础，突出几何本质2019年高考的13套数学试卷，除浙江卷和北京卷仍有三视图的选择题或填空题之外，其他试卷的选择题和填空题均以点、线、面的位置关系判断和计算为主，命题重心回归到重视立体几何基本定义、公理、定理、性质的考查上.这种重视立体几何的理论基础、突出几何本质的做法，有利于考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.例1（全国Ⅱ卷·文/理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）.（A ）α内有无数条直线与β平行（B ）α内有两条相交直线与β平行（C ）α，β平行于同一条直线（D ）α，β垂直于同一平面【评析】作为全卷的第7题，一般试题难度已上升到中等难度.该题将充要条件和点、线、面的位置关系综合在一起，学生需要在明确充要条件定义的基础之上对平面位置关系做出判断.理解了面面平行判定定理及定义的学生能更快得到答案.该题体现了“紧扣考试大纲，重视基本定义和定理的考查”的命题思路，教师要引导学生在平时注重对数学基本概念的学习.例2（全国Ⅲ卷·文/理8）如图1，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）.ENMDCBA图1（A ）BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线（B ）BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线（C ）BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线（D ）BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【评析】解决此题既可以用几何法，也可以用向量法.显然，利用BD ，ED 相交于点D ，得到M ，N ，B ，E 四点共面，导出BM ，EN 相交的结论更直观.此题较好地体现了要重视立体几何基本公理、定理的学习的命题意图，突出了立体几何的本质特征.特别是对“部分学生过度依赖向量法”的纠偏，起到了很好的引领作用.例3（北京卷·文13/理12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【评析】此题主要考查直线与平面平行和垂直的判定及性质，属于立体几何的主干知识.试题的设问方式新颖别致、不落俗套，需要学生自拟条件然后得出结论，具有一定的开放性，拓展了学生的思维空间.这种开放题既考查了基础知识，又考查了学生的探究能力.2.紧扣教材素材，引导教学回归教材是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养的重要学习资源.通过对教材上的例题和习题的挖掘，改编和拓展，可以很好地考查学生学习目标的达成情况，从而引导中学数学教学从“题海战术、题型套路”回归到“素养为本、教材为本”的正确轨道上来.例4（全国Ⅱ卷·理17）如图2，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B -EC -C 1的正弦值.例5（全国Ⅱ卷·文17）如图2，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.ED 1C 1B 1A 1DC BA 图2··106（1）证明：BE⊥⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C 的体积.【评析】上面这两道试题文、理科题干和第一问完全相同，仅第二问不同，属于典型的姊妹题，体现了文、理科立体几何试题问题背景趋同的变化.两道题都由人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—1）》第三章的复习参考题B组第2题改编而成，并采用分步设问.第一问都是证明线面垂直，主要考查学生的逻辑推理素养；第二问文、理科有别，文科是求四棱锥的体积，关键是求其高，理科则是求二面角的问题，利用长方体为学生提供了建立空间直角坐标系的基本架构，让学生将精力集中在分析建立基本几何元素的关系上，综合考查学生的几何直观和数学运算素养.两道试题的设计较好地诠释了“动态中的变化、变化中的稳定”的命题理念，起到了良好的区分效果.3.注重几何联系，凸显直观想象近几年的高考立体几何试题都出现了组合体的问题，这种以多个简单几何体组合为问题背景的试题，要求学生在面对不同形状的几何对象时，适当运用几何知识和技能进行探究，可以充分甄别学生的几何思维水平、几何应用能力和直观想象素养.例6（全国Ⅰ卷·理12）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（）.（A）86π（B）46π（C）26π（D）6π【评析】该题以常见的三棱锥的外接球问题为载体，主要考查了球的基本概念、三棱锥中元素的几何度量与位置关系判定，突出考查了球与三棱锥组合情境下的空间想象能力，同时着重考查学生的运算求解能力和应用能力.试题以学生熟悉的三棱锥为依托，通过∠CEF=90°为情境，巧妙地隐藏了PA，PB，PC 两两相互垂直这一重要条件.由于球的特征由三棱锥的几何特征来决定，因此思维的关键在于对三棱锥图形特征的分析，学生必须通过观察、分析、想象、判断、计算等思维过程，才能发现PA，PB，PC两两互相垂直，进而解决问题.另外，如果能将三棱锥的外接球等价于正方体的外接球，整个解题思维就显得清晰快捷了.试题设计源于教材，面向全体学生，难度适宜，突出了对学生综合、灵活运用知识解决问题的能力的考查，对中学数学教学有积极的引导作用和很好的指导意义.例7（全国Ⅰ卷·文16）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB的两边AC，BC的距离均为3，那么点P到平面ABC的距离为.【评析】该题是常规的点到平面的距离问题，考查学生对空间几何结构的掌握与运用.试题的思维起点立足于空间想象能力，需要学生根据题设几何条件的相互联系构建成空间图形，解题的关键在于将相对零散、陌生的问题背景构置于集中、熟悉的几何体中来研究.不仅是对整体图形的分析，也是对局部图形的想象，并能通过自主探究画出几何体的图形，很好地考查了学生的应用意识和创新意识.试题的设计源于教材，体现了要求学生自主探究的理念.试题的研究从读懂文字到想象图形再到构造图形，学生要经历分析、判断和推理的逻辑过程.因此，试题既注重基础也关注能力，体现了从能力立意到素养导向的转变，从常规性的问题解决技能到创造性的探究能力，对教学有很好的指导意义.例8（天津卷·文12/理11）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.【评析】该题以正四棱锥的一个内接圆柱为背景，主要依托简单组合体的基本特征，考查学生“无图想图、无图构图”的直观想象素养，要求学生在图形构建过程中强化棱、弱化面，抓住轴截面解决问题，整个构图过程很好地考查了学生的空间想象能力和抽象概括能力.计算时需要将空间问题转化为平面问题，体现了化归与转化的思想.4.展现多种解法，强调优选原则在研究几何问题时，综合几何方法能很好地考查学生的逻辑思维能力，对学生的理性思维有较高的要求.向量坐标方法可以通过建立空间直角坐标系，运用合适的向量模型，将相对困难的逻辑推理问题转化··107为向量运算来解决，需要学生具备较强的数学运算素养.解法的多样性既能展现学生的综合解题能力，又需要学生遵循“解而优则选”的原则，根据问题情境，结合个人实际，在多种方法的选择中做到为我所用、游刃有余.例9（全国Ⅰ卷·理18）如图3，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A -MA 1-N 的正弦值.【评析】该题是以学生熟悉的直四棱柱为载体，设计的空间的线面关系和面面关系的证明问题和计算问题，让学生对试题中的线与面、面与面的空间图形会有“似曾相识又不相认”的感觉.试题贴近广大学生的学习实际，给出的信息含量是多样的，给不同基础的学生提供了想象的空间和多维度的思维平台，同时为学生分析问题和解决问题提供了发挥能力水平的空间.试题在全面考查学生的立体几何基础知识的同时，把空间想象能力、逻辑推理能力、向量运算、空间建系、二面角的平面角作图等较好地融入到试题的两问之中，着重考查了学生的化归与转化思想和针对多种解法的优化选择意识.第一问考查线面平行的判定，发现MN ∥DE 即可得到证明，思维难度不大，展现了几何法直观简洁的特点.第二问考查二面角的求解，几何法的思维难度较大，且作出二面角的平面角的途径不一，对纯平面几何的运算有较高的要求.评卷发现采用几何法的学生几乎是凤毛麟角，绝大多数学生都选择了向量坐标法，但建系方式多种多样，给阅卷带来了一定的困难.两种方法的灵活选择体现了学生有较强的立体几何的综合解题能力.例10（全国Ⅲ卷·理19）图4是由矩形ADEB ，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图5所示.（1）证明：图5中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图5中的二面角B -CG -A 的大小.D CBAEFG图4D CBAE （F ）G图5【评析】该题以折叠问题为背景，借助于将平面图形折叠的方式构成一个三棱柱，主要通过四点共面、面面垂直和二面角的求法，考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养.折叠问题的特点就是从平面到空间的基本元素需要重置，重点要关注折叠前后发生变化的量与不变量，抓住这些特征是解决折叠问题的前提.第一问，几何法仍然是最佳的选择；第二问，几何法的逻辑推理难度并不大，过程简洁明了，这对过度依赖向量法的学生起到了一定的警示作用.试题通过方法的选择和解题时间的长短，区分出学生能力的差异，体现了让不同学生在数学上得到不同的发展.5.创新试题情境，彰显育人功能试题情境是试题的材料和介质，体现着立意表达的程度，其目的是反映试题的立意.试题情境通常包含着试题的知识背景、呈现形式和设问方式.主要包括数学情境、现实情境和科学情境等几种类型.每种情境又可以分为熟悉的、关联的和综合的等几个层次.素养导向的高考数学命题注重情境化试题的考查，并坚持贴近学生、贴近生活、贴近社会的“三贴近”原则.其主要特点表现为人文性、趣味性、新颖性、生活性、开放性等.当然，高考受作答时间、评卷时间和工作量的制约，试题情境不同于日常教学情境设计的开放性和真实性，而是有限度地开放、有条件地探索、渐进式地创新.2019年高考中的立体几何试题的情境主要体现出多样化、真实化和结构化的特点，重在将学生的解题转变为解决问题，将做题转变为做人、做事.例11（全国Ⅱ卷·文/理16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图6）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面D 1C 1B 1A 1NMED CB A图3··108体体现了数学的对称美.图7是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.图7图6【评析】该题的问题背景融入了中国悠久的金石文化，赋以几何体真实的背景和浓厚的人文气息，需要学生将实物图形（图6）抽象成几何模型（图7），主要考查学生的抽象概括能力和空间想象能力.试题以“半正多面体”为载体，将美育教育融入数学教育，体现了中国古代数学智慧的传承与发展，既可使学生关注中华优秀的传统文化，又可让学生感受到数学的现实应用，激发学生学习立体几何的兴趣，使他们养成良好的数学学习习惯.例12（全国Ⅲ卷·文/理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图8，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB =BC =6cm ，AA 1=4cm ，3D 打印所用原料密度为0.9g /cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为.D 1C 1B 1A 1D CBAOH G E F 图8【评析】该题以现实问题情境为依托，将劳动实践与立体几何有机结合，需要学生综合使用数学学科中的体积公式和物理学科中的密度公式，充分体现了学科间的纵横联系，反映了数学知识和方法的应用价值.试题再现学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，体现了劳动教育的要求.试题贴近生活，有利于在中学数学教育中激发学生学习数学的热情，提高学生对数学价值的认识，提升他们的数学素养，对中学的素质教育有很好的导向和促进作用.三、复习建议1.回归教材，重视基础教材是落实数学课程目标、发展学生数学核心素养的重要教学资源，也是历年高考命题的重要素材.基于高考数学“重题海战术、重题型套路、重猜题押题、重机械刷题”的复习备考现状，复习过程必须紧扣考纲、用好教材.首先，应该结合图形对几何公理、定理、性质进行理解学习，让学生形成基本的几何素养，为能力的提升垫定坚实的基础.其次，应该通过对教材上的例题和习题的变式、拓展，挖掘教材上的例题和习题的深度和宽度，从中提炼通性、通法，准确把握立体几何的本质，提高复习效率.2.强化联系，形成体系在立体几何的学习过程中，应该准确把握柱、锥、台、球的基本特征，认真梳理核心概念、基本事实和公理（定理）之间的相互联系，形成有效的知识网络结构，明确几何问题的研究思路和一般观念，认清线面平行和垂直关系既彼此独立又相互交织、互联互通的本质特征，在复习时相互推演，构成整体，提高学生的逻辑推理能力.3.识图作图，习得素养识图作图是立体几何学习的基本素养.识图应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，认识空间几何体的结构特征，掌握在平面上表示空间图形的基本方法，并能根据已知条件准确、迅速地构建空间几何图形；要以柱体、椎体等常见几何体为载体，认识和理解空间点、直线和平面的位置关系，重点研究直线、平面之间的平行和垂直关系，并能证明一些简单的几何命题.要充分运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等方法，认识和探索空间图形的性质，建立空间观念，提升直观想象、逻辑推理和数学运算等素养.4.规范书写，精益求精每年的评卷过程表明，学生在解答立体几何试题时的突出问题：一是证明过程表达不准确、不清晰、··109不到位，甚至是主观臆断、逻辑混乱；二是使用向量方法时经常出现计算错误，将相应点的坐标、向量坐标或平面的法向量求错，导致后续出错.为此，复习时要以教材上的例题的解答书写为模板，反复对比演练，精益求精，做到条理清晰，表达规范，计算准确.5.研究高考，掌握动向新一轮高考改革正在进行之中，“一核、四层、四翼”的高考评价体系，推动着高考命题由能力立意向素养导向的变革.在不分文、理科的背景下，高考数学试题的命制会适时优化试卷结构、适当调整命题目标、适度降低试题难度，更加重视考查学生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查学生对数学思想方法和数学本质的理解水平，考查学生关键能力的发展水平，检验学生进入高等学校继续学习的潜能.立体几何在形成学生的空间想象能力、逻辑思维能力和促进学生智力发展的过程中发挥着不可替代的作用，在高考数学改革的新变化、新导向、新举措和新要求的驱动下，2020年高考立体几何试题将会延续2019年的命题趋势，进一步体现文、理科趋同，进一步突出立体几何的考查特点，重视考查学生的逻辑思维能力和直观想象素养，为学生的可持续发展和终身学习打下坚实的基础.四、模拟题欣赏1.已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②过一个平面内的任意一点作另一个平面的平行线，则此平行线必与交线平行；③垂直于其中一个平面的直线必平行于另一个平面；④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是（）.（A）3（B）2（C）1（D）0答案：B.2.已知一个四面体的四个平面都是边长分别是5，6，7的全等三角形，则这个四面体的外接球的表面积为.答案：55π.3.如图9，边长为2的正方形ABCD中，点O是正方形ABCD的中心，点E是AB的中点，点F是BC 的中点，将△AED和△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，如图10所示.FEDCBA图9FEDBA′图10（1）A′D上是否存在一点P，使得OP∥平面A′EF？若存在，试确定点P的位置.（2）求二面角A′-FD-E的正弦值.答案：（1）A′D上存在点P，且A′P=13A′D；（2）二面角A′-FD-E的正弦值为.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.［2］郑喜中，罗苑华，雷波，等.2016年高考“立体几何”专题命题分析［J］.中国数学教育（高中版），2016（7/8）：110-119.［3］范美卿，张晓斌.2017年高考“立体几何”专题命题分析［J］.中国数学教育（高中版），2017（7/8）：106-112.［4］李晓群，吴丽华.2018年高考“立体几何”专题命题分析［J］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：88-97.［5］任子朝.从能力立意到素养导向［J］.中学数学教学参考（上旬），2018（5）：1.［6］任子朝，陈昂，赵轩.数学核心素养评价研究［J］.课程·教材·教法，2018，38（5）：116-121.［7］于涵，任子朝，陈昂，等.新高考数学科考核目标与考查要求研究［J］.课程·教材·教法，2018，38（6）：21-26.［8］任子朝，赵轩.高考数学逻辑思维能力测评研究［J］.中国考试，2019（6）：32-36.··110。
2019年高考全国Ⅰ卷立体几何试题解析与备考建议
行运算求解, 再利用所求得的数据进行的推理论证, 并通过
进一步的列式和列方程进行求解, 最终得出正确结论. 因此
在运算求解能力的考查上, 这 4 道题都有较高要求.
2.2 解法剖析
题目 1 的解法剖析
《考试大纲》提出了对考生空间想象力的识图和画图要
求, 考生在解决此题时对识图和画图的不同认知, 会直接导
得 P H 垂直平面 ACB, 所以 P H 的长度√即为点 P 到√平面
2
10
ABC 的距离. 由勾股定理可得: OC = √
2 , PO =
(1) 证明: M N // 平面 C1DE; (2) 求点 C 到平面 C1DE 的距离. 题 目 4 (2019 年 高 考 全 国 I 卷 理 科 第 18 题) 如 图 2, 直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 的底面是菱形, AA1 = 4,
AB = 2, ∠BAD = 60◦, E, M, N 分别是 BC, BB1, A1D 的 中点.
致其采取以下几种不同解法:
解 法 1 依 题 意, 如 图 3 所 示 其 中 P E⊥CA 于 E,
P F ⊥CB 于 F . 取 EF 中点 O, 连接 P O、CO. 由已知可得
△P EC = △P F C, 从而得到 CF = CE, 再由 P E = P F , 可 得 EF ⊥ 面 P OC. 过 P 作 CO 的 垂 线, 垂 足 为 H, 可
(1) 证明: M N // 平面 C1DE; (2) 求二面角 A − M A1 − N 的正弦值.
图1
图2
2. 解法研究
2.1 问题分析
《普通高等学校招生全国统一考试大纲—数学 (文、理 科) 》(以下简称《考试大纲》) 对考生能力要求包括空间想象 能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处 理能力以及应用意识和创新意识. 立体几何突出考查了考生 的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
2019年高考命题趋势预测与立体几何二轮复习专题(34张PPT)电子教案
5课时
学情分析
学情分析
学情分析
一轮备考策略
1.强化识图能力
01
三视图与 直观图的
转化
02
组合体（对 图形进行必 要的分解、 组合）
03
对图形或其 某部分进行 平移、翻折、 旋转、展开 或割补
04
还原到自 己熟悉的 几何载体
一轮备考策略
2. 重视立体几何最值问题的研究
平面展 开图
均值不 等式
3. 空间向量与立体几何 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. （3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量 的共线与垂直. （4）理解直线的方向向量与平面的法向量. （5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. （6）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 （7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的 计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.
典例研究
例题1.【2018年全国卷Ⅰ（理7）】某圆柱的高为2，底面周 长为16，其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的 对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此 圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( B )
A.2 17
B.2 15 C.3
D.2
【方法总结】求解以三视图为背景的空间几何体上的两点间的最短路径问题的 关键是过好双关：一是还原关，即利用“长对正，宽相等，高平齐”还原出空 间几何体布的直观图；二是转化关，即把空间问题转化为平面问题去解决.
知识网络与备考策略
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空间几何体