相电路瞬时无功功率理论
旋转p-q-r坐标系下的瞬时功率理论
旋转p-q-r坐标系下的瞬时功率理论摘要该论文在三相四线制系统中定义了一个旋转的p-q-r坐标系，这里，p为瞬时有功功率，为瞬时无功功率。
这三个分量是线性独立的，所以可以通过单独控制两个电流分量的空间矢量来补偿这两个瞬时无功功率。
该论文按照这个理论，通过补偿瞬时无功功率来消除三相四线制系统的中线上的电流，而无需储存能量，仿真的结果很好地证明了这个理论。
1引言韩国和美国等其他国家，不低于70%的电能消费用于电机，主要是感性电机。
如果假设电机负载的功率因数是0.8，那么发电厂最少得发出17%的无功功率，这就需要更多的发电机，并且增加了传输/分布损耗。
换句话说，如果完全补偿用户侧的无功功率，那么发电设备和分布损耗将最少减少17%。
除此之外，当三相四线制系统接不平衡或非线性负载时，流过中线上的电流将很大。
在单相二极管整流的情况下,流过中线的电流为相电流的1.73倍。
由于传统的三相四线制系统的中线不能解决上述问题，并且存在大量的电力电子设备，会在用户侧产生大量问题。
三相系统中，瞬时无功电流产生不产生瞬时有功功率。
所以由补偿无功功率来控制无功电流不需要储备能量的设备，如三相系统中功率补偿器的直流侧电容。
这样能够降低成本，提高功率补偿的可靠性。
三相系统中，瞬时有功和无功功率分别定义为电压矢量和电流矢量的内积和矢量积。
瞬时有功功率是线性独立的，但是瞬时无功功率的三个分量却不是彼此独立的。
也就是说，可以单独的补偿瞬时有功功率，却不能单独各自补偿瞬时无功功率的三个分量。
因此，瞬时无功功率的补偿电流的自由度是1。
系统的零序电压和零序电流既影响瞬时有功功率，又影响瞬时无功功率。
当电源电压中有零序分量时，即使把瞬时无功功率补偿到零，中线电流也不会完全消除。
[8]中采用了特殊的无功功率补偿算法，来消除三相四线制系统中的中线电流，但这种算法仍然受电流只有一个可控量的限制。
该论文提出了一个所谓的p-q-r坐标系，它能随着三相四线制系统的电压空间矢量旋转。
基于瞬时无功功率理论的谐波检测方法的仿真研究
三相对称正弦基波电流输入
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
时间t/s
图 8. 三相对称基波输入电流波形
通过谐波实时检测后得到的三次谐波电流
3
2
1
0
-1
-2
-3
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
时间t/s
图 11. 通过谐波实时检测模型后输出的谐波电流波形
然后对模型 A 相输入畸变电流和检测得到的 A 相 谐波电流进行傅里叶分析，见下图 12 和图 13。其中 图 12 的纵坐标代表各次谐波相对基波幅值的数值，图 13 的纵坐标代表各次谐波的幅值，两个图的横坐标均 为谐波次数。
图 4. C32 变换模块
图 5. C23 变换模块
（2）p-q 运算模块和 p-q 逆运算模块
图 7. Cpq 逆变换模块
（3）低通滤波器（LPF）运算模块 MATLAB 中 常 用 的 低 通 滤 波 器 有 巴 特 沃 斯 型 （ Butterworth ） 、 切 比 雪 夫 型 （ Chebyshev I 和 Chebyshev II）、贝塞尔型（Bessel）等几种型式。 当截止频率选择不太高时，Butterworth 低通滤波器 的频率特性在零点处最好[5]，其检测精度已能满足要 求。所以，综合考虑，在这儿选择 Butterworth 低通 滤波器。 从提高检测精度出发，希望 LPF 的截止频率低一 些，但如果过低，会导致动态响应变慢。采用数字滤 波器实现时，截止频率过低会使滤波器参数相差倍数 过大，从而使计算机运算时的截断误差增大，反而会 使精度降低。在这，我们选择截止频率为 30Hz。而且 由仿真波形可看出，能取得较好的效果。 理论上 LPF 的阶数越高，检测精度越好，但是计 算机的运算量会加大，进一步导致检测延时变长。检
基于瞬时无功功率理论的谐波和无功电流检测算法
根据这两个式子，就得到瞬时无功功率理论对有 功电流、无功电流以及有功功率、无功功率的定义。 • ① 在 αβ 坐标系中， 电流矢量 i 在电压矢量 e 上的投影为三相电路 瞬时有功电流 ip，电 流矢量 i 在电压矢量 e 法线上的投影为三相 瞬时无功电流 iq。即：
式中，
• ② 电压矢量 e 的模 e 和三相电路瞬时无功 电流iq的乘积为三相电路瞬时无功功率 q， e 和三相电路瞬时有功电流 ip的乘积为三相 电路瞬时有功功率 p。即：
其中，变换矩阵
将 iaf、ibf、icf与 ia、ib、ic相减，即可得出 ia、ib、ic的谐波分量 iah、ibh、 ich。 当有源电力滤波器同时用于补偿谐波和无功时，就需要同时检测出补偿对 象中的谐波和无功电流。在这种情况下，只需要计算出 p，然后由 p 即可计算出 基波有功电流 iapf、ibpf、icpf为：
三 αβ 坐标系下的瞬时无功功率理论
• αβ 变换原理：若在空间上相差为 120°的同步电机定子 abc 三相绕组中通过时间上相差 120°的三相正弦交流电，那么 在空间上会建立旋转磁场，且此旋转磁场的角速度为 ω； 若将时间上相差 90°的两相平衡交流电通过定子空间上相 差 90°的 αβ 两相绕组，此时建立的旋转磁场与 abc 三相绕 组是等效的，因此可用 αβ 两相绕组代替 abc 三相绕组。 将三相电压、电流分别通过 abc-αβ变换到 αβ 坐标系下。 得到 α、β 坐标系下的两相瞬时电压 eα、eβ和瞬时电流 iα、 iβ。
再通过与 pq 变换矩阵 Cpq相乘得到瞬时有功功率 p 和瞬时无功功率 q：
p、q 经低通滤波器得到 p、q 的直流分量 p 、q，电网电压无畸变时， p 为基波有功电流与电压作用产生，q为基波无功电流与电压作用产生。 将 p 、q同时进行 pq 反变换、αβ 反变换就得到三相基波电流 iaf、ibf、 icf：
三相电力系统中的广义瞬时无功功率理论
三相电力系统中的广义瞬时无功功率理论摘要该篇论文讲述了三相电力系统中广义上的瞬时无功功率理论。
该理论给出了瞬时无功功率的一般定义，适用于任何三相电力系统，不论正弦或非正弦，平衡或不平衡以及是否含有零序电流和电压。
并且详细论述了新定义的瞬时无功功率的特性和物理意义，然后又以含零序的三相滤波器为例来说明如何用该理论来计算和补偿无功功率。
1.引言对于正弦电压和正弦电流的单相电力系统来说，有功功率，无功功率，有功电流，无功电流、功率因数等参数都是基于平均值的概念。
很多学者都试图重新定义上述参数来处理不平衡以及电压、电流发生畸变的三相系统。
其中，引入了一个有用的瞬时无功功率的概念，它提供了一个有效的方法可以不用储存能量就能补偿三相电力系统的瞬时无功功率分量。
但是这个瞬时无功功率理论仍然在概念上仍然受[2]中所列出的限制，即该理论只是对于不含零序电流和零序电压的三相系统是完整的。
为了解决这个限制和其他问题，提出了一个新方法来定义瞬时有功电流和瞬时无功电流。
但是，他的方法是把电流分解成正交的分量，而不是分解功率。
这篇论文提出了三相电力系统的瞬时无功功率的一般理论，该理论给出了瞬时无功功率的一般定义，适用于任何三相电力系统，不论正弦或非正弦，平衡或不平衡，以及是否含有零序电流和电压。
下面介绍这个理论的一些性能。
2.三相系统的瞬时无功功率的定义图1 三相电路的结构对于图1所示的三相电力系统，瞬时电压和瞬时电流表示成瞬时空间矢量v和i ，也就是图2 三相的相量图图2给出了互相垂直的三相坐标图，依次记为a相，b相，c相。
这个三相电路的瞬时有功功率p可以写成这里表示点乘或者矢量的内积。
公式（2）也可以写成传统的定义式这里，我们定义一个新的瞬时空间矢量为q ,这里表示矢量的叉乘。
矢量q代表这个三相电路的瞬时无功功率矢量，q 的幅值或长度定义为瞬时无功功率，即这里表示一个矢量的幅值或长度。
公式（3）和（4）可以各自改写成反过来，我们再定义瞬时有功电流矢量，瞬时无功电流矢量，瞬时视在功率S,以及瞬时功率因数为这里和分别为三相系统的电压和电流的幅值。
瞬时功率理论-
赤木泰文介绍：赤木泰文（HirofumiAkagi），日本东京技术学院 （TokyoInstituteofTechnology）电气工程学教授，讲授电力电子 学。1996年当选为IEEE会士（1EEEFellow）.1998～1999年被 选为IEEE工业应用学会和电力电子学会的杰出演讲者，2001年 获得国际电力电子学领域的最高奖——IEEEWilliamE.Neweli 奖.2004年获得IEEE工业应用学会杰出成就奖。
可使线路损耗最小。
无功分量 iq 为： iq (t) i(t) ip (t)
由于 iq 与 e(t)正交，故 e(t)T iq (t) 0
瞬时有功功率和瞬时无功功率分别为：
p(t) e(t)T i(t) e(t)T ip (t)
q(t) e(t) iq (t)
该理论的特点：
i
（1）将电流分解为平行于电压的有功分量和垂直于电压的无功 分量，可用于零序分量存在的系统；
定义瞬时无功功率为： q(t) e i e i
α、β平面上的瞬时有功电流 ip 和瞬时无功电流 iq 分
别为瞬时空间矢量i在瞬时空间矢量电压e及其法线上
的投影
ip i cos, iq i sin
P Q e
ip iq
e e
e
e
i i
C
pq
i
i
瞬时无功功率理论认为：三相瞬时有功功率为各项 瞬时有功功率之和，也是各项瞬时功率之和，反映了 三相电路电源向负载传递的功率；瞬时无功功率仅在 电路之间传递，各项瞬时无功功率之和为零。
现代电力电子技术
——2.3 瞬时功率理论
基于瞬时无功功率理论的电力谐波仿真研究
综合 式 （． ） 式 （． ） 可 得 ２２和 ２３ ，
Ｖ —／ ２ １ ］ ２
ｆ 西＼ ２一
ｓ （ｃ 丌３ ｉ ａ －２ ／ ） ｎｒ
一
算 。计算出的 ｉ ｆ ｉ ｆ ｉｆ只含有有功分量 ， ａ 、ｂ 、ｃ 与被检测的三相电流相减后 得到 ｉ ｈ ｉ ｈ ｉｈ 即为包含谐波 电流和基波无功 电流。 ａ、ｂ、ｃ， 五、 仿真 结果及结论 模 型 接 入 容 性 负 载 中 ， 网频 率 选 择 ５ Ｈ ， 个 周 期 采 样 ２ ６个 点 ， 电 ０ｚ每 ５ 得 到 的 仿 真结 果 如下 图 ５ ｉ 图 ５２ 图 ５ ３所 示 。 ．、 ． 、 ．
、
了传统的以平均值 为基础 的功率 定义，系统 的定义 了瞬时有功功率 Ｐ 瞬 、 时无功功率 ｑ等瞬时功率量 ， 后人发展 了这 套理论 ， 出了瞬 时有 功 电流 提 ｉ、 时无功电流 ｉ 瞬时量； 瞬 ｐ ｑ等 以瞬 时 无 功 功 率 理 论 为 基 础 ， 以 得 出 用 可 于有源 电力滤波器 （Ｐ ） Ａ Ｆ 的谐波和无功电流实时检测 方法。通过瞬时无功 功 率 Ｐ Ｑ理 论 （Ｒ ） 电流 物 理 分 量 理 论 （Ｐ ） 电 网 电 压 、 流 为 正 弦 的 － ＩＰ 及 ＣＣ在 电 三相 三 线 制 不对 称 电路 中的 应 用 的对 比 ， 明 瞬 时无 功 功率 理 论 的分 析 结 表 果与电路 中的某些功 率现 象不一致 ： 即无功功 率 Ｑ为零时 ， 时无功 电流 瞬 可能不为零； 有功功率 Ｐ为零 时， 瞬时有功 电流不 为零 ； 电源电压为正弦， 负荷 为 非 谐 波 源 时 ，瞬 时有 功 电 流 和 瞬 时 无 功 电流 中 都 包 含 三 次 谐 波 分 量 。瞬 时 有功 功 率 ｐ 瞬 时无 功 功 率 ｑ与 有 功 功 率 Ｐ 无 功 功 率 Ｑ及 不 平 衡 、 、 功 率 Ｄ之 间 的关 系 说 明 ｐ ｑ分 别 与 多个 功 率 现 象 相 关 ， 用 Ｐ Ｑ的 瞬 时值 、 仅 、 不 能 无延 时 的辨 识 三 相 负荷 不 对 称 系 统 的 功 率特 性 。 一 结论 对 有 源 电力 这 滤 波 器 的控 制 算 法 具 有 重要 意 义 ， 电力 工 程应 用 中受 到 了极 大 关注 在 二、 算法分析 根据 Ｈ Ａ ａ ｉ的瞬 时功率理论。假设三相电网 电压对称无畸变， ．ｋｇ 三相 电路各相 电压 的瞬时值分别为 ｅ、 ｅ， 。ｅ、。幅值 为 Ｅ 各相 电流的瞬 时值分 别 ， 为 ｉ、 ｉ 通过三相至两相的坐标变 换，把它们变换 到 ｎ— Ｂ两相 正交 ｉ、 的坐 标 系 中 ：
瞬时功率理论 ppt
赤木泰文介绍：赤木泰文（HirofumiAkagi），日本东京技术学院 （TokyoInstituteofTechnology）电气工程学教授，讲授电力电子 学。1996年当选为IEEE会士（1EEEFellow）.1998～1999年被 选为IEEE工业应用学会和电力电子学会的杰出演讲者，2001年 获得国际电力电子学领域的最高奖——IEEEWilliamE.Neweli 奖.2004年获得IEEE工业应用学会杰出成就奖。
pt et i t e(t )T i (t ) cos
T
定义有功分量 i p 为电流向量 i (t ) 在电压向量 e(t )上的正 交投影，则 i p i cos .
e(t )T i (t ) e(t ) p (t ) ip e(t ) 2 e(t ) e(t ) e(t )
Akagi瞬时无功功率的不足之处： （1） 只适用于无零序电流和电压分量的三相系统； （2）只能用于三相系统，不能推导单相、多相的 情况
2.3.3 基于电流分解的瞬时无功功率
不直接对功率进行分解，而是将电流分解为平行 于电压的有功分量和垂直于电压的无功分量。
将瞬时功率定义为电压向量和电流向量的内积：
其中
1 1 1 2 2 2 C32 3 3 3 0 2 2
定义瞬时有功功率为： p(t ) e i e i eaia ebib ecic 定义瞬时无功功率为： q(t ) e i e i
α、β平面上的瞬时有功电流 i p 和瞬时无功电流 iq 分 别为瞬时空间矢量i在瞬时空间矢量电压e及其法线上 的投影 i i cos, i i sin
现代电力电子技术
——2.3 瞬时功率理论
瞬时无功功率理论在配电网电能质量控制中的应用
・ ６ ｌ・
瞬时无功功率理论在配电网电能质量控制中的应用
周 敬 尧
（ 国网浙江杭 州市余杭 区供 电公 司， 浙江 杭 州 ３ １ １ １ ０ ０ ） 摘 要： 随着社会 经济的发展 ， 电力生产方式逐 渐打破 了原有 的计划 经济体制 ， 朝 着市场经济体 系转变。 在 电力 市场条件下 ， 供 电作为 种商业性服务 ， 而电能则是一种 商品 ， 它 同其他 的商品一样都存在 着质量属性。在社会飞速发展的今天 ， 人 们对电能质量要求不断的提 升使得 电力企业工作人 员越来越重视 配电网电能质 量的控 制。与此 同时逐渐剔除 了顺势无功功 率的应 用理论 ， 经过 多年 的应 用， 这一技 术 也 取 得 了一 定 的 工 作 成 果 。 关键词： 电能； 供 电企业 ； 配电网； 瞬时无功功 率理论 在过去多年的社会发展中， 电力电子设备的使用增长非常迅速， 这就 都是极为关键的， 都是与整个公式宙 怠相关的内容。 ２ ２卒 回路和． 监测电流分析 使得电力工业中无功功率需求量不断的增加 ，同时也引起了许多的负面 影响， 如电磁波干扰、 谐波污染等。随着 ＾ 们生活水平和生活资料要求的 在目 前的工作中， 通常在工作中都是以系统的给出三相非线性负载， 不断提高 ， 配电网电能质量也越来越受到人们的重视。为了改善电能的质 是一个由三相脉冲宽度调制的逆变器构成的有源滤波器与负载进行并 从而利用公式 研究 ， 从而屎证工作的Ｉ 讯Ｊ 进行。在当前的三相电 量， 需要我们及时的对电力系统的测量和校正进行优化， 从根本 Ｅ 解决电 联 ， 能质量问题 ， 以保证供电企业的可持续发展。 流系统工作中， 其中主要 的含零 序分量可以分为 ： ｉ ａ 、 ｉ ｂ 、 ｉ ｃ 。 ２ ３ 电能 员 佥测标准 １电能质量 慨述 电力行 业伴随着社会经济体制的完善和市场经济的发展而呈现出商 由于公用电网中的谐波 电压和谐波 电流对用电设备和电网本身者 哙 品化态势 ， 在这种时代背景下， 电能已成为一种商品， 也具备着同其他普 造 艮 大的危害 ， 世界许多国家都发布了限制电网谐波 的国家标准 ， 或由 通商品—样 的质量属性。 在人』 门 生活水平不断提高的今天， 电能质量越来 规定。制定这些标准和规定的基本原则是限制 把电网谐波电压控制在允许范围内， 使接在 越受到人们的重视 ，如何科学的保证电能质量已成为供电企业管理 人员 谐波源注入电网的谐波电流 ， 研究的核 内容。 电网中的电气设名免受谐波干扰而能正常工作。由于电子技术， 特别是数 １ ． １电能质量概念 字电子技术的进步 ， 己有许多仪器能剐 趔 ｝ 彳 ＝ ＝ 的测量 ， 提供必需的 为谐 斤 工作提供了有利的条件 。 所谓的电能质量主要指的是电网中各点电压、电流以及电阻的增幅 信息 ， 与变形睛况， 它是否在应有控制力度的基础上进行完善， 它的优劣直接取 ２ ． ４控制策略 决于 电网结构与负荷： 两方面要求。 随着电力电子技术的发展， 电力系统因 并联型有源滤波器（ Ａ Ｐ Ｆ １ 产 的补偿电流应实时跟踪其指令电流的变 要求补偿电流发生器具有很好的实时 陛， 因此本文的电流控制采用跟 为非线『 生负 荷的影响而出现了许许多多的问题 ，这些非线陛负荷问题的 化 ， 存在严重的影响着供电质量， 甚至引发三相不平衡问题。 这些问题不仅造 踪型 Ｐ ＷＭ控制方式。 目 前应用于有源电力滤波器的电流跟踪控制电路一 成电能质量受到影响， 甚至是影响到人们的生活和工作。 为此在 目 前的社 般采用两种策： 三角波脉宽调制电流控制和滞环比较电流控制法。 前者的 会发展中， 电能贡量问题的研究越 Ｅ 越受到人们的重视。 优 点是开关频率固定 、 控制简单、 动态响应好 ， 钝 是开关损耗大、 存在高 ｌ ２ 电能质量 问题 淅 频畸变分量和高频失真 、 精度低 、 在大功率应用中受到限制 ； 而后者的优 在当今衬 泼展 中， 电能质量的不同所引发的供电成本也不断 Ｅ 升， 点是实现较简单 、 动态响应 决、 对负载适应能力强 ， 缺点是开关频率不固 只有供电价格与供 电质量科学 的联系起来 ， 才能够建立—个科学 、 完善 、 定、 易产生过大的脉动电流和开关噪声 、 开关频率 、 响应速度和电流跟踪 合理 的市场， 从而为供电事业的发展做出应有的贡献。 供电质量作为电力 精度受滞环宽度影响。由于本文的研究对象是配电网， 有源滤波器的容量 企业和供电管理部门工作人员研究的焦 眍，是对 人 民生活提供基础 不是很大， 所以采用改进的三角波脉冲宽度调制电流控制策略。 经仿真证 具有彳 艮 女 子 的跟踪补偿效果。 资源的主要方式， 同时保证供电质量对于促进社会发展、 保证社会安定 、 明， 实现小康社会有着重要的意义。在当前的工作中， 电能质量问题主要指的 在公式的选择 匕 ，在这里是通过对同时补偿谐波电流和无功电流为 是 电流 、 电压因为增幅、 增值 、 频率预汁波形变化而产生的供电变动， 它通 主进行控制 ， 它在选择的过程中都是采用综合性工作进行， 同时在输入电 常都是以电压偏差、 频率偏差、 谐波含量以及电压平衡等指标来进行衡量 流的线路上都是以综合陆管理为主控制的。但是在主电路电力开关高频 的。 通断的过程中， 会产生其工作频率附近也经常会出现谐波很大的变动， 这 ２瞬 时无功功率 理论分析 动问题的存在陡 ． 口二 ｆ ｛ 迅 口 困难。 结束语 三相电路瞬时无功功率理论由日 本学者赤木泰文最先提出，理沦打 破了传统的以平均值为基础的功率定义，系统的定义了瞬时有功功率 Ｐ 、 本文将广义的瞬时无功功率理论用在配电网的电能质： 量控制上。文 瞬时无功功率 ｑ 等瞬时功率量 ， 后 人发展了这套理论， 提出了瞬时有功电 中介绍了瞬时电流和瞬时功率的定义 ，提出了适用于三相四线制配电网 流ｉ ｐ 、 瞬时无功电流 ｉ ｑ 等瞬时量 ； 以瞬时无功功率理论为基础， 可以得 出 的电流检坝 ４ 方法 ，并且采用三角波脉冲宽度调制的电流控制策略来控制 用于有源电力滤波器（ Ａ Ｐ Ｆ ） 的谐波和无功电流实时检测方法， 此方法在工 有沥麟 的输出。仿 靴 明了所 的正瞻陛。 参考 文献 程应用 中受到了极大 注 。 Ｚ １瞬时功率分析 ［ １ ） 魏磊， 张伏生耿 中行等． 基于瞬时无功功率理论的电能质量扰动检测、 定 丁 ｌ 电网技术 ＇ ２ ０ ｏ ４ ｛ ｏ 在 目前的 ｝ 土 会经济发展中， 瞬时无功功率理在分析的过程中， 通常都 位与分类方 法Ｉ 是采用电压向量、 电压电流向量 、 负载电流向量来进行控制的 ， 其在工作 圈蒋平， 王宝安， 赵剑锋 配电网串并联复合有源电力滤波器的仿真研究 电 的过程中具体计算定 义 如下 ： 力 系统 自 动化 ２ ｏ ｏ ２ （ １ 翻武小梅 栗颂东， 文福拴 瞬时无功功率理论在 配电网电能质量控制中的 应用 电力 系统保护与控制２ ０ ０ ９ ５ ． ＝
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三相电路瞬时无功功率理论首先1983年由赤木泰文提出，此后该理论经不断研究逐渐完善。
赤木最初提出的理论亦称pq 理论，是以瞬时实功率p 和瞬时虚功率q 的定义为基础，其主要的一点不足是未对有关的电流量进行定义。
下面将要介绍的是以瞬时有功电流p i 和瞬时无功电流q i 为基础的理论体系，以及它与传统功率定义之间的关系。
设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为a e 、b e 、c e 和a i 、b i 、c i 。
为分析问题方便，把它们变换到βα-两相正交的坐标系上研究。
由下面的变换可以得到α、β两相瞬时电压αe 、βe 和α、β两相瞬时电流αi 、βi⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a e e e C e e 32βα （6-1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a i i i C i i 32βα （6-2） 式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=23230212113232C 。
ββe i ββi q i β图6-1 βα-坐标系中的电压、电流矢量在图6-1所示的βα-平面上，矢量αe 、βe 和αi 、βi 分别可以合成（旋转）电压矢量e 和电流矢量ie e e e e ϕβα∠=+= （6-3）i i i i i ϕβα∠=+= （6-4）式中，e 、i 为矢量、的模；e ϕ、i ϕ分别为矢量e 、i 的幅角。
【定义6-1】三相电路瞬时有功电流p i 和瞬时无功电流q i 分别为矢量在矢量及其法线上的投影。
即ϕcos i i p = （6-5）ϕsin i i q = （6-6）式中，i e ϕϕϕ-=。
βα-平面中的p i 、q i 如图6-1所示。
【定义6-2】三相电路瞬时无功功率q （瞬时有功功率p ）为电压矢量的模和三相电路瞬时无功电流q i （三相电路瞬时有功电流p i ）的乘积。
即p ei p = （6-7）q ei q = （6-8）把式（6-5）、式（6-6）及i e ϕϕϕ-=代入式（6-7）、式（6-8）中，并写成矩阵形式得出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡βαβααββαi i C i i e e e e q p pq （6-9） 式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=βββαe e e e C pq 。
把式（6-1）、式（6-2）代入上式，可得出p 、q 对于三相电压、电流的表达式 c c b b a a i e i e i e p ++= （6-10）()()()[]c b a b a c a c b i e e i e e i e e q -+-+-=31 （6-11） 从式（6-10）可以看出，三相电路瞬时有功功率就是三相电路的瞬时功率。
【定义6-3】α、β相的瞬时无功电流aq i 、q i β（瞬时有功电流ap i 、p i β）分别为三相电路瞬时无功电流q i （瞬时有功电流p i ）在α、β轴上的投影，即p e e e i e e i i p e p p 22cos βααααϕ+=== （6-12a ）p e e e i ee i i p e p p 22sin βαβββϕ+=== （6-12b ） q e e e i e e i i q e q q 22sin βαββαϕ+=== （6-12c ）q e e e i e e i i q e q q 22cos βαααβϕ+-=-=-= （6-12d ） 图6-1中给出了aq i 、q i β、ap i 、p i β。
从定义3很容易得到以后性质：（1） 222p p p i i i =+βα （6-13a ）222q q q i i i =+βα （6-13b ）αααi i i q p =+ （6-14a ）βββi i i q p =+ （6-14b ）上述性质（1）是由α轴和β轴正交而产生的。
某一相的瞬时有功电流和瞬时无功电流也可分别称为该相瞬时电流的有功分量和无功分量。
【定义6-4】α、β相的瞬时无功功率αq 、βq （瞬时有功功率αp 、βp ）分别为该相瞬时电压和瞬时无功电流（瞬时有功电流）的乘积，即 p e e e i e p p 222βααααα+== （6-15a ） p e e e i e p p 222βαββββ+== （6-15b ） q e e e e i e q q 22βαβαααα+== （6-15c ） q e e e e i e q q 22βαβαβββ+-== （6-15d ）从定义6-4可得到如下性质： （1） p p p =+βα （6-16）（2） 0=+βαq q （6-17）【定义6-5】三相电路各相的瞬时无功电流aq i 、bq i 、cq i （瞬时有功电流ap i 、bp i 、cp i ）是α、β两相瞬时无功电流q i α、q i β（瞬时有功电流p i α、p i β）通过两相到三相变换所得到的结果。
即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡p p cp bp ap i i C i i i βα23 （6-18）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡q q cq bq aq i i C i i i βα23 （6-19） 式中T C C 3223=。
把式（6-12）代入式（6-18）、式（6-19）中得Ap e i aap 3= （6-20a ） Ap e i b bp 3= （6-20b ） Ap e i c cp 3= （6-20c ） ()Aq e e i c b aq -= （6-21a ） ()Aq e e i a c bq -= （6-21b ） ()A q e e i b a cq -= （6-21c ） 式中()()()()a c cb b ac b a a c c b b a e e e e e e e e e e e e e e e A ---++=-+-+-=2222222 从以上各式可得到如下性质：（1）0=++cp bp ap i i i （6-22a ）0=++cq bq aq i i i （6-22b ）（2）a aq ap i i i =+ （6-23a ）b bq bp i i i =+ （6-23b ）c cq cp i i i =+ （6-23c ）上述两个性质分别和定义6-3的性质（1）、（2）相对应。
定义6-3的性质（1）反映了α相和β相的正交性，而这里的性质（1）则反映了a 、b 、c 三相的对称性。
【定义6-6】各相的瞬时无功功率a q 、b q 、c q （瞬时有功功率a p 、b p 、c p ）分别为该相瞬时电压和瞬时无功电流（瞬时有功电流）的乘积，即Ap e i e p aap a a 23== （6-24a ） Ap e i e p b bp b b 23== （6-24b ） Ap e i e p c cp c c 23== （6-24c ） ()Aq e e e i e q c b a aq a a -== （6-25a ） ()Aq e e e i e q a c b bq b b -== （6-25b ） ()A q e e e i e q b a c cq c c -== （6-25c ） 定义6-6也有和定义6-4类似的性质：（1） p p p p c b a =++ （6-26）（2） 0=++c b a q q q （6-27）传统理论中的有功功率、无功功率都是在平均值基础或相量的意义上定义的，它们只适用于电压、电流均为正弦波时的情况。
而瞬时无功功率理论中的概念，都是在瞬时值的基础上定义的，它不仅适用于正弦波，也适用于非正弦波和任何过渡过程的情况。
从以上各定义可以看出，瞬时无功功率理论中的概念，在形式上和传统理论非常相似，可以看成传统理论的推广和延伸。
下面分析三相电压和电流均为正弦波时的情况。
设三相电压、电流分别为t E e m a ωsin = （6-28a ）()32sin πω-=t E e m b （6-28b ）()32sin πω+=t E e m c （6-28c ）()ϕω-=t I i m a sin （6-29a ）()2sin πϕω--=t I i m a （6-29b ）()32sin πϕω+-=t I i m a （6-29c ）利用（6-1）、式（6-2）对以上两式进行变换，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t E e e m ωωβαcos sin 2 （6-30） ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ϕωϕωβαt t I i i m cos sin 2 （6-31） 式中m m E E 232=、m m I I 232=。
把式（6-30）和式（6-31）代入（6-9）中可得ϕcos 23m m I E p =（6-32a ） ϕsin 23m m I E q = （6-32b ） 令2m E E =、2m I I =分别为相电压和相电流的有效值，得ϕcos 3EI p = （6-33a ）ϕsin 3EI q = （6-33b ）从上面的式子中可以看出，三相电压和电流均为正弦波时，p 、q 均为常数，且其值和按传统理论算出的有功功率p 和无功功率q 完全相同。
把式（6-30）、式（6-31）代入式（6-12）中可得α相瞬时有功电流和瞬时无功电流 t I i m p ωϕαsin cos 2= （6-24a ）()2sin sin 2πωϕα-=t I i m q （6-24b ）比较上式和式（6-31）可以看出，α相的瞬时有功电流和瞬时无功电流的表达式与传统功率理论中a 相电流的有功分量和无功分量的瞬时值表达式完全相同。
对于β相及三相中的a 、b 、c 各相也能得出同样的结论。
由上面的分析不难看出，瞬时无功功率理论包容了传统的无功功率理论，比传统理论有更大的适用范围。