2020-2021学年人教版 高三 数学 9-5 两个平面垂直
9.5 两个平面垂直
●知识梳理
1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.
2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.
●点击双基
1.在三棱锥A —BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么必有
A.平面ABD ⊥平面ADC
B.平面ABD ⊥平面ABC
C.平面ADC ⊥平面BCD
D.平面ABC ⊥平面BCD
解析：由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ?AD ⊥平面BCD ，面AD ?平面ADC ，
∴平面ADC ⊥平面BCD .
答案：C
2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是
A.a
B. 2a
C. 22a
D. 3a
解析：取A 1C 的中点O ，连结AO .
∵AC =AA 1，∴AO ⊥A 1C .
又该三棱柱是直三棱柱，∴平面A 1C ⊥平面ABC .
又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .
因此AO ⊥平面A 1BC ，即A 1O 等于A 到平面ABC 的距离.解得A 1O =2
2a . 答案：C
3.设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为
A.3
B.2
C.1
D.0
解析：
答案：C
4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1—BD —A 的正切值为_____________.
答案：2
5.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a 的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________.
解析：如下图，平面α⊥β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，AB =2a .
AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，则CD 即为所求.
∵α⊥β，AC ⊥l ，∴AC ⊥β，∠ABC 就是AB 与平面β所成的角.
故∠ABC =30°，故AC =a .
同理，在Rt △ADB 中求得AD =2a .
在Rt △ACD ，CD =222a a -=a .
答案：a
●典例剖析
【例1】 如下图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB =∠ASC =60°，∠BSC =90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC .
剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC 的中点O ，连结AO 、SO ，既可证明AO ⊥平面BSC ，又可证明SO ⊥平面ABC .另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS 是二面角A —BC —S 的平面角，转化为证明∠AOS 是直角.
证法一：取BC 的中点O ，连结AO 、SO .
∵AS =BS =CS ，SO ⊥BC ，又∵∠ASB =∠ASC =60°，∴AB =AC ，
从而AO ⊥BC .
设AS =a ，又∠BSC =90°，则SO =22a .又AO =22BO AB -=2221a a -= 2
2a ， ∴AS 2=AO 2+SO 2，故AO ⊥OS .
从而AO ⊥平面BSC ，又AO ?平面ABC ，
∴平面ABC ⊥平面BSC .
证法二：同证法一证得AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，
∴∠AOS 就是二面角A —BC —S 的平面角.再同证法一证得AO ⊥OS ，即∠AOS =90°. ∴平面ABC ⊥平面BSC .
特别提示
本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外，本题中证明∠AOS =90°的方法较为特殊，即通过“算”，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体 何中证明垂直的一种重要方法.
【例2】 如下图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .
（1）求证：AB ⊥BC ；
（2）若设二面角S —BC —A 为45°，SA =BC ，求二面角A —SC —B 的大小.
（1）证明：作AH ⊥SB 于H ，
∵平面SAB ⊥平面SBC ，
∴AH ⊥平面SBC .
又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC .
SA 在平面SBC 上的射影为SH ，∴BC ⊥SB .又SA ∩SB =S ，∴BC ⊥平面SAB .
∴BC ⊥AB .
（2）解：∵SA ⊥平面ABC ，
∴平面SAB ⊥平面ABC .又平面SAB ⊥平面SBC ，
∴∠SBA 为二面角S —BC —A 的平面角.∴∠SBA =45°.设SA =AB =BC =a .
作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，则EH ⊥SC ，∠AEH 为二面角A —SC —B 的平面角，
AH =
22a ，AC =2a ，SC =3a ，AE =3
6a ， ∴sin ∠AEH =2
3，二面角A —SC —B 为60°. 思考讨论 证明两个平面垂直的常见方法：
（1）根据定义，证其二面角的平面角是直角；
（2）根据判定定理，证明一个平面经过另一个平面的垂线.
【例3】 已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，若过面对角线AB 1与另一面对角线BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的一边A 1C 1于点D .
（1）确定D 的位置，并证明你的结论；
（2）证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ；
（3）若AB ∶AA 1=2，求平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角的大小.
剖析：本题的结论是“开放性”的，点D 位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB 1与BC 1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC 1沿BA 平行移动，BC 1取AE 1位置，则平面AB 1E 1一定平行BC 1，问题可以解决.
（1）解：如下图，将正三棱柱ABC —A 1B 1C 1补成一直平行六面体ABCE —A 1B 1C 1E 1，由AE 1∥BC 1，AE 1 平面AB 1E 1，知BC 1∥平面AB 1E 1，故平面AB 1E 1应为所求平面，此时平面AB 1E 1交A 1C 1于点D ，由平行四边形对角线互相平行性质知，D 为A 1C 1的中点.
（2）证明：连结AD ，从直平行六面体定义知AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，且从A 1B 1C 1E 1是
菱形知，B 1E 1⊥A 1C 1，据三垂线定理知，B 1E 1⊥AD .
又AD ∩A 1C 1=D ，所以B 1E 1⊥平面AA 1D ，
又B 1E 1?平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面AA 1D .
（3）解：因为平面AB 1D ∩平面AA 1D =AD ，
所以过A 1作A 1H ⊥AD 于点H .
作HF ⊥AB 1于点F ，连结A 1F ，从三垂线定理知A 1F ⊥AB 1.
故∠A 1FH 是二面角A 1—AB 1—D 的平面角.
设侧棱AA 1=1，侧棱AB =2.于是AB 1=22)2(1+=
3. 在Rt △AB 1A 1中，A 1F =1111AB B A AA ?=3
21?=36， 在Rt △AA 1D 中，AA 1=1，A 1D =
21A 1C 1=22，AD =2121D A AA += 26. 则A 1H =AD D A AA 11?=3
3. 在Rt △A 1FH 中，sin ∠A 1FH =
F A H A 11=22， 所以∠A 1FH =45°.
因此可知平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角为45°或135°.
评述：本题主要考查棱柱的性质，以及面面关系、二面角的计算，同时考查空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力.
特别提示
1.开放性问题已进入高考试卷中，近年来，全国及上海市多次考查开放题，解开放题并将经验与解题技巧相结合，并要有较熟练的基础知识和“图形意识”，并能将典型图形灵活应用到解题中去.
2.立体几何的计算并非单纯的数字计算，而是与作图和证明相结合的.立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画—证—算三步.“画”是画图，添加必要的辅助线，或画出所要求的几
何量，或进行必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算.这三步之间紧密相连，环环相扣，互相制约，形成了解决立体几何计算题的思维程序，是综合考查学科能力的集中体现.
●闯关训练
夯实基础
1.P 为△ABC 所在平面外的一点，则点P 在此三角形所在平面上的射影是△ABC 垂心的充分必要条件是
A.P A =PB =PC
B.P A ⊥BC ，PB ⊥AC
C.点P 到△ABC 三边所在直线距离相等
D.平面P AB 、平面PBC 、平面P AC 与△ABC 所在的平面所成的角相等
解析：条件A 为外心的充分必要条件，条件C 、D 为内心或旁心的必要条件（当射影在△ABC 的形内时为内心，在形外时为旁心）.
答案：B 2.m 、n 表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为
①α∩β=m ，n ?α，n ⊥m ，则α⊥β ②α⊥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ⊥n ③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m ，则m ⊥α ④m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
答案：C
3.设a 、b 是异面直线，α、β是两个平面，且a ⊥α，b ⊥β，a ?β，b ?α，则当__________（填上一种条件即可）时，有α⊥β.
解析：本题为开放性问题.可以填上a ⊥b ，也可以填a ∥β，或b ∥α.
答案：a ⊥b
4.三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O ，P 到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP 的长为__________.
解析：构造棱长分别为3、4、5的长方体，使OP 为长方体的对角线.
故OP =222543++=52.
答案：52
5.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C .
证明：如下图，∵E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，
∴EF ∥AC .
∵AB 1=CB 1，O 为AC 的中点，∴B 1O ⊥AC .
故B 1O ⊥EF .
在Rt △B 1BO 中，∵BB 1=3，BO =1，
∴∠BB 1O =30°.从而∠OB 1D 1=60°，又B 1D 1=2，B 1O 1=
2
1OB 1=1（O 1为BO 与EF 的交点）. ∴△D 1B 1O 1是直角三角形，即B 1O ⊥D 1O 1.
∴B 1O ⊥平面D 1EF .又B 1O ?平面ACB 1，
∴平面D 1EF ⊥平面AB 1C .
6.（文）如下图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD =G .
（1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ；
（2）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ；
（3）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .
（1）证法一：如下图，连结AC .
∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，
∴AC ⊥BD .又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1.
∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC .∴EF ⊥平面BDD 1B 1.
∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.
证法二：∵BE =BF ，∠EBD =∠FBD =45°，∴EF ⊥BD .
又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1.
∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.
（2）解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H .
∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，
且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ，
∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H .
∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H .
在Rt △D 1HB 1中，D 1H =D 1B 1·sin ∠D 1B 1H .
∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4，sin ∠D 1B 1H =sin ∠B 1GB =11GB B B =221
44+=174， ∴d =D 1H =4·174=17
1716. （3）解：V =V 11EFD B -=V EF B D 11-=31·d ·S EF B 1?=31·17
16·21·2·17=316. 评注：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.如本题的三小问便是如此.本题主要考查正四棱柱等基本知识，考查逻辑推理能力及空间思维能力.
（理）如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a .求：
（1）AB 与B 1C 所成的角；
（2）AB 与B 1C 间的距离；
（3）AB 与B 1D 间的距离.
解：（1）∵AB ∥CD ，
∴∠B 1CD 是AB 与B 1C 所成角.
∵DC ⊥平面BB 1C 1C ，∴DC ⊥B 1C .于是∠DCB 1=90°.
∴AB 与B 1C 所成角为90°.
（2）连结BC 1交B 1C 于O ，则BO ⊥B 1C .又AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BO .
∴BO 是异面直线AB 和B 1C 的公垂线段，易得BO =
22 a ， 即AB 与B 1C 间的距离为2
2a . （3）∵AB ∥DC ，AB ?平面B 1DC ，DC ?平面B 1DC ，∴AB ∥平面B 1DC ，从而AB 与平面B 1DC 间的距离即为AB 与B 1D 间的距离.
∵BO ⊥B 1C ，BO ⊥CD ，B 1C ∩DC =C ，
∴BO ⊥平面DB 1C .∴BO 的长为B 到平面B 1DC 间的距离.
∵BO =
22a ，∴AB 与B 1D 间的距离为2
2a . 培养能力
7.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，P A ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且P A =AB .
（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；
（2）求点D 到平面PCE 的距离.
（1）证明：取PD 的中点F ，则AF ⊥PD .
∵CD ⊥平面P AD ，∴AF ⊥CD .
∴AF ⊥平面PCD .
取PC 的中点G ，连结EG 、FG ，可证AFGE 为平行四边形.
∴AF ∥EG .∴EG ⊥平面PCD .
∵EG 在平面PCE 内，
∴平面PCE ⊥平面PCD .
（2）解：在平面PCD 内，过点D 作DH ⊥PC 于点H .
∵平面PCE ⊥平面PCD ，∴DH ⊥平面PCE ，即DH 为点D 到平面PCE 的距离.
在Rt △P AD 中，P A =AD =a ，PD =2a .
在Rt △PCD 中，PD =2a ，CD =a ，PC =3a ，
∴DH =PC DC PD ?=3
6a . 8.如下图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =AA 1，E 是棱BB 1的中点.
（1）求证：平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C ；
（2）若我们把平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由；
（3）设AB =a ，求体积V EC A A 1-.
（1）证明：连结A 1C 与AC 1交于点F ，连结EF ，则由条件可得EC =EA 1，则EF ⊥A 1C .同理EC 1=EA ，则EF ⊥AC 1，∴EF ⊥面AA 1C 1C .
而EF ?面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C .
〔也可通过如下（2）的辅助线先证明EF ∥A 1H ，而A 1H ⊥面AA 1C 1C 得到〕
（2）解：延长CE 交C 1B 1的延长线于点H ，则有C 1B 1=B 1H =A 1B 1，则∠HA 1C 1=90°，且∠CA 1H =90°，所以∠CA 1C 1为平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角的平面角.若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA 1C 1=60°，应有CC 1=3A 1C 1，与条件AB =AA 1矛盾.
所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”.
（也可利用公式cos θ=ABC C B A S S ??1
11得到二面角的平面角来解决）
（3）解：V EC A A 1-=V C AA E 1-=31·EF ·21AA 1·AC =61×23a ×a ×a =12
3 a 3. （或通过V EC A A 1-=V AE A C 1-来计算）
探究创新
9.如下图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB =60°，且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD .
（1）若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ；
（2）求证：AD ⊥PB ；
（3）求二面角A —BC —P 的大小；
（4）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找一点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.
（1）证明：∵在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，G 为AD 边的中点，∴BG ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴BG ⊥平面P AD .
（2）证明：连结PG ，则PG ⊥AD ，由（1）得BG ⊥AD ，又PG ∩BG =G ，BG ?平面PBG ，PG ?平面PBG ，∴AD ⊥平面PBG ，PB ?平面PBG .∴AD ⊥PB .
（3）解：由（2）AD ⊥平面PBG ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥平面PBG .而PB ?平面PBG ，BG ?平面PBG ，∴BC ⊥PB ，BC ⊥BG .∴∠PBG 就是二面角A —BC —P 的平面角.
在△P AD 中，PG =2
3a ，∴在△PGB 中，∠PBG =45°，即二面角A —BC —P 为45°. （4）解：当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下：
取PC 的中点F ，连结DE 、EF 、DF ，则由平面几何知识，在△PBC 中，EF ∥PB ，在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而EF ?平面DEF ，ED ?平面DEF ，EF ∩DE =E ，∴平面DEF ∥平面PGB .又PG ⊥平面ABCD ，而PG ?平面PGB ，∴平面PGB ⊥平面ABCD .故平面DEF ⊥平面ABCD .
评述：本题第（1）问的论证中主要运用了面面垂直的性质定理，第（2）问通过线线垂直与线面垂直的转化得以证明，第（3）问是通过寻找与二面角的棱垂直的平面，进而得出二面角的平面角，再归结为论证与计算，第（4）问是探索性问题，这里通过直觉捕捉结果，再进行逻辑论证.
●思悟小结
在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用.
●教师下载中心
教学点睛
1.结合图形向学生讲明两个平面垂直的判定定理及性质定理.
2.在作二面角的平面角时，往往利用两个平面垂直的性质定理，即从某个平面内一点作它们交线的垂线，从而与另一个平面垂直，再作二面角、棱的垂线，由三垂线定理的逆定理得两垂足的连线也垂直于棱.
3.对“线线垂直”“线面垂直”及“面面垂直”之间的关系作系统小结.
拓展题例
【例1】 已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l 垂直于α内两条相交直线，则l ⊥α；②若l 平行于α，则l 平行于α内所有的直线；③若m α，l β且l ⊥m ，则α⊥β；④若l β且l ⊥α，则α⊥β；⑤若m α，l β且α∥β，则l ∥m .
其中正确命题的序号是_____________. 答案：①④
【例2】 如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，P A ⊥平面ABC .
（1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；
（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.
（1）证明：∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，
∴BC ⊥AC .
又P A ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，
∴BC ⊥P A ，从而BC ⊥平面P AC .
∵BC ?平面PBC ，
∴平面P AC ⊥平面PBC .
（2）解：平面P AC ⊥平面ABCD ；
平面P AC ⊥平面PBC ；
平面P AD ⊥平面PBD ；
平面P AB ⊥平面ABCD ；
平面P AD ⊥平面ABCD .
【例3】 如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P —CD —B 为45°.
（1）求证：AF ∥平面PEC ；
（2）求证：平面PEC ⊥平面PCD ；
（3）设AD =2，CD =22，求点A 到平面PEC 的距离.
分析：对问题（1），关键是证明AF 与平面PEC 内的一条直线平行，为此可取PC 的中点G ，论证AF ∥EG ；对问题（2），可转化为证明线面垂直；对问题（3），可转化为求点F 到平面PEC 的距离，进而可以充分运用（2）的结论.
（1）证明：取PC 的中点G ，连结EG 、FG .
∵F 是PD 的中点，∴FG ∥CD 且FG =21CD .而AE ∥CD 且AE =2
1CD ，∴EA ∥GF 且EA =GF ，故四边形EGF A 是平行四边形，从而EG ∥AF .又AF ?平面PEC ，EG ?平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .
（2）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 上的射影.又CD ⊥AD ，∴CD
⊥
PD ，∠PDA 就是二面角P —CD —B 的平面角.∴∠ADP =45°，则AF ⊥PD .
又AF ⊥CD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD .
由（1），EG ∥AF ，∴EG ⊥平面PCD ，
而EG ?平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD .
（3）解：过F 作FH ⊥PC 交PC 于点H ，又平面PEC ⊥平面PCD ，则FH ⊥平面PEC ，∴FH 为点F 到平面PEC 的距离，而AF ∥平面PEC ，故FH 等于点A 到平面PEC 的距离.
在△PFH 与△PCD 中，
∵∠FHP =∠CDP =90°，∠FPC 为公共角，
∴△PFH ∽△PCD ，CD FH =PC
PF . ∵AD =2，CD =22，PF =2，PC =22PD CD +=4，∴FH =
42·22=1. ∴点A 到平面PEC 的距离为1.
直线与平面垂直的典型例题
直线与平面垂直的典型例题 例1 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号． (1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ） (2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ） (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ） (4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ） (5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ） 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD 例3 如图，在△ABC 中， 90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥
例4如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ?= 例5如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离 例6 如图所示，直角ABC ?所在平面外一点S ，且SC SB SA ==． (1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ； (2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．
例7如图所示，?=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，?=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角． 例8如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥． 例9 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．
人教版高中数学知识点大全(文科版)
高中文科数学常用公式及常用结论总结 1、集合的运算 （1）交集 }|{B x A x x B A ∈∈=，且 （B A 、中的公共元素组成的集合） （2）并集 }|{B x A x x B A ∈∈=，或 （B A 、中的所有元素组成的集合） （3）补集 记全集为U ,则}|{A x U x x A C U ?∈=，且（全集U 中除去A 中的元素组成的集合） 2、四种命题及其相互关系 注意：“否命题”和“命题的否定”是两个不同的概念.命题“若p 则q ”的否命题为“若p ?则q ?”，命题“若p 则q ”的否定为“若p 则q ?”. 3、充分必要条件 定义：若p q ?则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. （1）若q p ?且p q ?，则称p 是q 的充分不必要条件； （2）若q p ?且p q ?，则称p 是q 的必要不充分条件； （3）若q p ?且p q ?，则称p 是q 的充分必要条件； （4）若q p ?且p q ?，则称p 是q 的既不充分也不必要条件. 例：（1）在ABC ?中，“B A >”是“B A sin sin >”的充分必要条件. （2）若)(x f 在0x 处可导，则“0)(0='x f ”是“)(x f 在0x 处有极值”的必要不充分条件. （3）“B A ,互为互斥事件”是“B A ,互为对立事件”的必要不充分条件. （4）若)(x f 在],[b a 上连续，则“0)()(
高三文科数学模拟试题含答案知识分享
高三文科数学模拟试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 满分50分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数31i i ++（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2 B ．1- C ．2i D ．i - 2．已知集合{3,2,0,1,2}A =--，集合{|20}B x x =+<，则()R A C B ?=（ ） A ．{3,2,0}-- B ．{0,1,2} C ． {2,0,1,2}- D ．{3,2,0,1,2}-- 3．已知向量(2,1),(1,)x ==a b ，若23-+a b a b 与共线，则x =（ ） A ．2 B ． 12 C ．1 2 - D ．2- 4．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那 么这个几何体的表面积为（ ） A ．4π B ． 3 2 π C .3π D .2π 5．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6 π 个单位，得到函数 () y g x =的图象，则它的一个对称中心是（ ） A ．(,0)2π - B . (,0)6π- C . (,0)6π D . (,0) 3π 6．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ．10- B ．3- C ． 4 D ．5 7. 已知圆22 :20C x x y ++=的一条斜率为1的切线1l ，若 与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（ ） A. 10x y -+= B. 10x y --= C. 10x y +-= D. 10x y ++= 8．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a Λ， 则65a a ?的最大值是( ) A ． 94 B ．6 C ．9 D ．36 正视图 侧视图 俯视图 1k k =+结束 开始 1,1 k s ==5?k < 2s s k =- 输出s 否 是
人教版高三文科数学课后习题(含答案)课时规范练17同角三角函数的基本关系及诱导公式
课时规范练17同角三角函数的基本关系及诱导公 式 基础巩固组 1.已知α是第二象限角,且sin α=,则cos α=() A.4 5B.-4 5 C.3 5 D.-3 5 2.若cos(3π-x)-3cos(x+π 2 )=0,则tan x等于() A.-1 2B.-2 C.1 2 D.1 3 3.已知A=sin(kπ+α) sinα+cos(kπ+α) cosα (k∈Z),则A的值构成的集合是() A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2} 4.(2019湖南湘潭期末)已知θ∈(0,π),且满足cos 2θ=cos θ,则tan θ=() A.-√3 B.-√3 3C.√3 D.√3 3 5.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=() A.40° B.50° C.70° D.80° 6.已知sin(π-α)=-2sin(π 2 +α),则sin αcos α=() A.2 5B.-2 5 C.2 5 或-2 5 D.-1 5
7.(2019广西桂林二模)已知α是第一象限的角,且tan α=,则cos α=( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D. 2√55 8.(2019山西太原模拟)记cos(-80°)=k ,那么tan 280°= ( ) A.√1-k 2 k B.- √1-k 2 k C. k √2 D.-k √2 9.已知cos (α-π4 )=45 ,则sin (α+π4 )=. 10.已知tan(α-π)=-4 3,则 sin 2α-2cos 2α sin2α = . 11.已知α为第二象限角,则cos α+sin α=. 12.(2019甘肃兰州模拟)已知sin α+cos α=7 5,sin α>cos α,则tan α= . 综合提升组 13.若倾斜角为α的直线l 与曲线y=x 4相切于点(1,1),则cos 2α-sin 2α的值为( ) A.-1 2 B.1 C.-3 5 D.-7 17 14.(2019湖南长沙二模)已知θ∈(π4 ,π2 ),则2cos θ+√1-2sin (π-θ)cosθ=( ) A.sin θ+cos θ B.sin θ-cos θ C.cos θ-sin θ D.3cos θ-sin θ
人教版高中数学《导数》全部教案
导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ???0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
(完整版)人教版高中数学目录(理科)
必修1 第一章集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修2 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 阅读与思考割圆术 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1 随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程 3．2 古典概型 3．3 几何概型 必修4 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换 必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例
人教版高中数学集合教案
1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈
(完整版)高三文科数学试题及答案
高三1学期期末考试 数学试卷（文） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题．．卡．相应位置上．．．．． ． 1. 已知集合{1,1},{|124},x A B x R =-=∈≤<则A B =I （ ） A ．[0,2) B ．{ 1 } C ．{1,1}- D ．{0,1} 2. 下列命题中错误的是 （ ） A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，1=?βα，那么直线⊥l 平面γ D ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 3. 已知}{n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为}{n a 的前n 项和， *N n ∈，则10S 的值为 （ ） A ．110- B ．90- C ．90 D ．110 4. 若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补， 记(,)a b a b ?=-， 那么(,)0a b ?=是a 与b 互补的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 5. 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 （ ） A ．222a b ab +> B ．a b +≥ C ．11a b +> D ．2b a a b +≥ 6. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ?≤≤?≤??≤?给定。若(,)M x y 为D
人教版高中数学目录(文科)
人教A版高中数学（文）目录表必修1第一章集合与函数概念 1．1集合 1．2函数及其表示 1．3函数的基本性质阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1指数函数 2．2对数函数 2．3幂函数第三章概率 3．1随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程 3．2古典概型 3．3几何概型第三章函数的应用 3．1函数与方程 3．2函数模型及其应用必修4第一章三角函数 1．1任意角和弧度制 1．2任意角的三角函数必修 21．3三角函数的诱导公式第一章空间几何体 1．4三角函数的图象与性质 1．1空间几何体的结构
1．2空间几何体的三视图和直观图 1．5函数y=Asin（ωx+ψ） 1．3空间几何体的表面积与体积 1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量第二章点、直线、平面之间的位置关 2．1平面向量的实际背景及基本概系念 2．1空间点、直线、平面之间的位 2．2平面向量的线性运算置关系 2．3平面向量的基本定理及坐标表 2．2直线、平面平行的判定及其性示质 2．4平面向量的数量积 2．3直线、平面垂直的判定及其性 2．5平面向量应用举例质第三章直线与方程第三章三角恒等变换 3．1直线的倾斜角与斜率 3．1两角和与差的正弦、余弦和正 3．2直线的方程切公式 3．3直线的交点坐标与距离公式 3．2简单的三角恒等变换必修3第一章算法初步 1．1算法与程序框图 1．2基本算法语句 1．3算法案例阅读与思考割圆术必修5第一章解三角形
人教版高中数学选修2-1优秀全套教案
高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
2018年全国高考文科数学试题及答案(全国1卷)
文科数学试题 第1页（共12页） 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--,则A B =I A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{2,1,0,1,2}-- 2．设1i 2i 1i z -=++，则||z = A ．0 B ．12 C ．1 D 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．已知椭圆22 214 x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为 A ．13 B ．12 C ．2 D ．3 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ． B ．12π C ． D ．10π 6．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =
空间中直线与平面垂直的定义及判定教学设计
新课标高中立体几何教学案例 空间中直线与平面垂直的定义及判定 广州大学附属中学王映 说明： 本教学案例使用的教材是人教 A 版普通高中数学课程标准实验教材必修2。 【教学设计】 一、教材分析 （一）教材内容的安排与要求： 与传统立体几何内容体系相比，本次立体几何内容的体系结构有重大改革。传统立体几何基本上按照从局部到整体的原则，从研究点、直线和平面开始，先讲清楚它们之间的位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体的结构特征，几何体的体积、表面积等等。人教A 版新课标实验教材先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。这种安排有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力，淡化几何论证，降低立体几何学习入门难的门槛，强调几何直觉，把培养学生的空间观念和空间想象能力放到突出的位置，以激发学生学习立体几何的兴趣。 “空间中直线和平面垂直的定义及判定”这一专题内容经修改后教学要求大大降低，特别是论证方面，删去了"利用有关概念进行论证和解决有关的问题"的要求；将"三垂线定理及其逆定理"由"掌握"级降为" 了解" 级要求，淡化了几何论证的要求。强调通过直观感知、动手实践来认知和理解线面垂直的定义和判定定理，能运用定义及定理证明一些空间位置关系的简单命题。在教学内容设计上更注重实践操作和探 究。 （二）学情分析
笔者所带两个教学班差异明显，重点班学生学习习惯良好，基础相对扎实，但不善于大胆表述自己的观点，合作意识有待加强；另一普通班学生学习依赖性较强，自主探究意识薄弱。 同时，同一个班中的学生有近一半来自初中课改实验区，使用实验教材；而另一半则沿用原教材。学生的初中几何基础参差不齐，差异较大。其中非课改区学生的空间感以及了解的几何知识相对课改区有一定差距。 （三）教学目标 针对教材特点和学生现状，分别从知识、能力以及情感与态度三方面来确定本节课的教学目标如下： 1．知识目标： （1）掌握直线与平面垂直的定义及判定定理； （2）会应用直线与平面垂直的定义及判定定理解决一些简单的问题。2．能力目标： （1）在合作探究中逐步构建知识结构； （ 2 ）在实践操作中发展学生几何直观能力和空间想象能力。 3. 情感与态度目标： （1）通过创造情境激发学生学习的兴趣与热情； （2）鼓励合作探究、互助交流，培养创新意识。 （四）教学重点与难点 1．教学重点会运用定义与判定定理证明直线与平面的垂直关系。 2．教学难点在正方体模型中寻找线面垂直关系并予以证明。 二．教法分析
2020年高三联考文科数学试卷及答案
2020届高三年级四校联考 数 学（文科） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2. 答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔用答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破. 第一部分 选择题（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{ }{} 2 230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =I A ．[3,0]- B ．[3,1]- C ．[3,0)- D ．[1,0)- 2．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．线段 3．设0.7log 0.8a =，0.9 11log 0.9 1.1b c ==，，那么 A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b << 4．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子，乙丑，丙寅，…癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…癸未，甲申，乙酉，丙戌，…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年 B ．乙巳年 C ．丙午年 D ．丁未年
空间直线和平面总结知识结构图+例题
【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 期中复习 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥ 面面∥ 公理 4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ //,//I I ==???? a b a b 面面平行判定1 a b a b a //,//???? ??ααα 面面平行性质 a b a b A a b ??=????? ?ααββαβ ,//,////I 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ?I 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
人教版高中数学三角函数全部教案
人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α
4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0
高三文科数学测试题
襄阳五中高三文科数学测试题 命题人：谢伟 审题人：马文俊 考试时间：20180310 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．己知复数i z -= 12 ，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i B ．|z |=2 C ．2 z 为纯虚数 D ．z 的共轭复数i z +-=1 2．已知集合{|05}A x R x =∈<≤，2{|log (2)2}=∈->的长轴长、短轴长、焦距成等比数列， 离心率为1e ；双曲线()22 222222 10,0x y a b a b -=>>的实轴长、虚轴长、 焦距也成等比数列，离心率为2e ，则12e e 等于（ ） A ． 2 2 B ．1 C ． 3 D ．2 8．函数sin ()2x x f x e = 的图象的大致形状是（ ） 9．已知直线:=-l y kx k 与抛物线C ：2 4=y x 及其准线分别交于, M N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM MN =，则实数k 等于（ ） A ． B ．1± C ． D ．2± 10．已知函数()2 cos 2(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()2016f ()(2016)2017(2017)f f f ''--++-=（ ） A ．4034 B ．4032 C ．4 D ． 11．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ） 48 12．已知函数()2,0 1 ,0 x x a x f x x x ?++?? 的图像上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在这两 点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4??-∞ ??? B ．()2,+∞ C ．12,4? ?- ?? ? D ．() 1,2,4?? -∞+∞ ??? 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝ . 14. 若变量y x ,满足约束条件?? ? ??≤-≤+≥0262y x y x x ，则目标函数y x z -=的最大值是 ． 15. 已知向量(,),(1,2)a m n b ==-，若||25,(0)a a b λλ==<，则m n -= . 16.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是四边形11 DCC D （包括四边形的边界）内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是 ． sin 360°否是结束输出n s ≥3.102n n=开始
高考文科数学真题全国卷
２014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）(课标I) 一．选择题:本大题共10小题，每小题5分，共５０分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合M={x ｜-1＜x ＜3｝,N={x ｜－2＜x<1｝则M ∩N=（ ) A. )1,2(- B. )1,1(- C ． )3,1( D. )3,2(- （2）若0tan >α,则 A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α （3）设i i z ++=11,则=||z A ． 21 B ． 22 C. 23 D. 2 （４）已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则=a A ． 2 Ｂ． 26 Ｃ. 2 5 Ｄ. 1 (5)设函数)(),(x g x f 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 Ｂ． )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 （6）设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点,则=+FC EB A. AD B. AD 21 C ． BC ? D. BC 21 (7)在函数①|2|cos x y =， ②|cos |x y = ,③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A ．①②③ B ． ①③④ C. ②④ Ｄ. ①③ （8)如图,网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的 三视图,则这个几何体是（ ） A.三棱锥 Ｂ.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 （9)执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，２,3,则输出的 M =（ ) A. 20 B.7 Ｃ．16 D ．15
人教版高中数学目录(文理科)
高一上： 必修1 第一章集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修4 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 高一下 必修4 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换 必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列 2.3等差数列的前n项和 2.4等比数列 2.5等比数列的前n项和第三章不等式 3.1不等关系与不等式 3.2一元二次不等式及其解法 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域 3.3.2简单的线性规划问题 3.4基本不等式 高二上 必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 第二章统计 2．1 随机抽样 2．2 用样本估计总体 2．3 变量间的相关关系 第三章概率 3．1 随机事件的概率 3．2 古典概型 3．3 几何概型 必修2 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 第四章圆与方程 4．1 圆的方程 4．2 直线、圆的位置关系 4．3 空间直角坐标系
人教版高三数学教案模板
人教版高三数学教案模板 与高一高二不同之处在于，此时复习力学部分知识是为了更好的与高考考纲相结合，尤其水平中等或中等偏下的学生，此时需要进行查漏补缺，一起看看人教版高三数学教案!欢迎查阅! #人教版高三数学教案1# 教学目标 掌握等差数列与等比数列的性质，并能灵活应用等差(比)数列的性质解决有关等差(比)数列的综合性问题. 教学重难点 掌握等差数列与等比数列的性质，并能灵活应用等差(比)数列的性质解决有关等差(比)数列的综合性问题. 教学过程 【示范举例】 例1：数列是首项为23，公差为整数， 且前6项为正，从第7项开始为负的等差数列 (1)求此数列的公差d; (2)设前n项和为Sn，求Sn的值; (3)当Sn为正数时，求n的值. #人教版高三数学教案2# 一、教学内容分析 本小节是普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)第三章第3小节,主要内容是利用平面区域体现二元一次不等式(组)的解集;借助图解法解决在线性约束条件下的二元线性目标函数的最值与解问题;运用线性规划知识解决一些简单的实际问题(如资源利用,人力调配,生产安排等)。突出体现了优化思想，与数形结合的思想。本小节是利用数学知识解决实际问题的典例,它体现了数学源于生活而用于生活的特性。 二、学生学习情况分析 本小节内容建立在学生学习了一元不等式(组)及其应用、直线与方程的基础之上，学生对于将实际问题转化为数学问题,数形结合思想有所了解.但从数学知
识上看学生对于涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系的知识接触尚少，从数学方法上看，学生对于图解法还缺少认识，对数形结合的思想方法的掌握还需时日，而这些都将成为学生学习中的难点。 三、设计思想 以问题为载体，以学生为主体，以探究归纳为主要手段，以问题解决为目的，以多媒体为重要工具，激发学生的动手、观察、思考、猜想探究的兴趣。注重引导学生充分体验“从实际问题到数学问题”的数学建模过程，体会“从具体到一般”的抽象思维过程，从“特殊到一般”的探究新知的过程;提高学生应用“数形结合”的思想方法解题的能力;培养学生的分析问题、解决问题的能力。 四、教学目标 1、知识与技能:了解二元一次不等式(组)的概念,掌握用平面区域刻画二元一次 不等式(组)的方法;了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和解等概念;理解线性规划问题的图解法;会利用图解法 求线性目标函数的最值与相应解; 2、过程与方法:从实际问题中抽象出简单的线性规划问题,提高学生的数学建模能力; 在探究的过程中让学生体验到数学活动中充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、 化归能力、探索能力、合情推理能力; 3、情态与价值:在应用图解法解题的过程中,培养学生的化归能力与运用数形结合思想的能力;体会线性规划的基本思想，培养学生的数学应用意识;体验数学来源于生活而服务于生活的特性. 五、教学重点和难点 重点:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),用平面区域刻画二元一次不等式组 的解集及用图解法解简单的二元线性规划问题; 难点:二元一次不等式所表示的平面区域的探究,从实际情境中抽象出数学问题的过